不可压缩流体连续性微分方程

流体力学（流体动力学）历年真题试卷汇编2(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、解答题(总题数：8，分数：16.00)1.(北京航空航天大学2007年考研试题)(3，1，2)处的加速度。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题意可知，x、y、z三个方向的速度分别为u=xy 2，v=一3y，w=2z 2，由欧拉表示的加速度公式可求得x、y、z三个方向上的加速度分别为：)解析：2.(北京航空航天大学2007年考研试题)试求t=0时过M(一1，一1)点的流线。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设x方向的速度为u，y方向的速度为v，由题意可知：u=x+t，v=一y+t 两边积分得： ln(x+t)=一ln(y一t)+C(C为积分常数) 化简得： ln(x+t)(y-t)=C 1所以有： (x+t)(y-t)=C 2由于t=0，则xy=C 2。

又因为流线过点(一1，一1)，于是得： C 2 =1 所以流线为： xy=1 关于流动方向：因为cos(x，u)= (x＜0)，则可知cos(x，u)＜0 所以流线的图形如图3—3所示。

) 解析：3.(北京航空航天大学2006年考研试题)试求在t=2时刻空间点(1，2，3)处的加速度。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由流线上加速度公式得：将数据代入各方向上的加速度表达式可得，在t=2时刻空间点(1，2，3))解析：4.(北京航空航天大学2006年考研试题)已知流体的流动速度为a为常数，试求t=1时，过(0，b)点的流线。

第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。

但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。

本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。

第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。

位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。

在直角坐标系中取微小立方体进行研究。

一、平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为z y x u u u 、、。

基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。

二、线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比A 点和D 点大了dy yu y ∂∂，而yu y ∂∂就代表1=dy 时液体基体运动时，在单位时间内沿y 轴方向的伸长率。

x u x ∂∂，y u y ∂∂，zuz ∂∂ 三、角变形（角变形速度）ddd DCABCDBAdt yu dy dt dy y u d x x ∂∂=⋅∂∂=α dt x udx dt dx x u d yy∂∂=⋅∂∂=β θβθα+=-d d 2βαθd d -=∴ 角变形： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=+=-=x u y u d d d y x z 212βαθαθ ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=x u z u z x y 21θ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y u z u z y x 21θ 四、旋转（旋转角速度）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-=y u x u x y z 21θω ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y zx 21ω 即， ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y 21ωzyxu u u z y x k ji ∂∂∂∂∂∂=21ω 那么，代入欧拉加速度表达式，得：z x x x x x x z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t xu u u u u u u u dt t y u u uu u u u u dt t z αθθωωαθθωωαθθωω∂∂⎫==++++-⎪∂∂⎪∂∂∂⎪==++++-⎬∂∂⎪⎪∂∂∂==++++-⎪∂∂⎭各项含义： （1） 平移速度（2）线变形运动所引起的速度增量（3）（4）角变形运动所引起的速度增量 （5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。

流体力学标准化作业（三）——流体动力学本次作业知识点总结1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。

2.流体流动的加速度、质点导数流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即(,,,)u u x y z t =流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即Du u u dx u dy u dza Dt t x dt y dt z dt ∂∂∂∂==+++∂∂∂∂投影式为x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u ua u u u t x y z ∂∂∂∂⎧=+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂⎩或 ()du ua u u dt t∂==+⋅∇∂在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t∂∂为固定空间点，由时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。

()u u ⋅∇v v 为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。

欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。

例如不可压缩流体，密度的随体导数D D u t tρρρ∂=+⋅∇∂（） 3.流体流动的分类 （1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线流线微分方程x y zdx dy dzu u u ==迹线微分方程x y zdx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流（3）过流断面、流量及断面平均流速体积流量 3(/)AQ udAm s =⎰质量流量 (/)m AQ udAkg s ρ=⎰断面平均流速 AudA Qv AA==⎰（4）渐变流与急变流 5. 连续性方程（1）不可压缩流体连续性微分方程0y x zu u u x y z∂∂∂++=∂∂∂ （2）元流的连续性方程121122dQ dQ u dA u dA =⎧⎨=⎩ （3）总流的连续性方程1122u dA u dA =6. 运动微分方程（1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）111xx x x x y z yy y y x y z zz z z x y z u u u u p X u u u x t x y zu u u u p Y u u u x t x y z u u u u p Z u u u x t x y z ρρρ∂∂∂∂∂⎫-=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式1()u f p u u tρ∂+∇=+⋅∇∂r r r r（2）粘性流体运动微分方程（N-S 方程）222111x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u pX u u u u x t x y zu u u u pY u u u u x t x y z u u u u p Z u u u u x t x y z νρνρνρ∂∂∂∂∂⎫-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-+∇=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式 21()u f p u u u tνρ∂+∇+∇=+⋅∇∂r r r r r 7.理想流体的伯努利方 （1）理想流体元流的伯努利方程22p u z C g gρ++=（2）理想流体总流的伯努利方程221112221222p v p v z z g g g gααρρ++=++8.实际流体的伯努利方程（1）实际流体元流的伯努利方程2211221222w p u p u z z h g g g gρρ++=+++（2）实际流体总流的伯努利方程2211122212w 22p v p v z z h g g g gααρρ++=+++10.恒定总流的动量方程()2211F Q v v ρββ=-∑r r r投影分量形式()()()221122112211xx x y y y z z z F Q v v F Q v v FQ v v ρββρββρββ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=-⎪⎭∑∑∑标准化作业(5)——流体运动学选择题1. 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于( )。

不可压缩流体连续性微分方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。

一、三维流动连续性方程假定流体连续地充满整个流场，从中任取出以点为中心的微小六面体空间作为控制体如右图。

控制体的边长为dx ，dy ，dz ，分别平行于直角坐标轴x ，y ，z 。

设控制体中心点处流速的三个分量为 ,液体密度为 。

将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。

例如：通过控制体前表面中心点M 的质点在x 方向的分速度为通过控制体后表面中心点N 的质点在x 方向的分速度为因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。

所以单位时间内沿x 轴方向流入控制体的质量为z y x u u u ，，dx x u u x x ∂∂+21dx x u u x x ∂∂-21流出控制体的质量为于是，单位时间内在x 方向流出与流入控制体的质量差为同理可得在单位时间内沿y ，z 方向流出与流入控制体的质量差为和 由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。

所以整理得此式即为连续性微分方程的一般形式。

适用于定常流及非定常流。

对于定常流： ，上式成为()dydz dx x u u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-ρρ21()dydz dx x u u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+ρρ21()()()dxdydz x u dydz dx x u u dydz dx x u u x x x x x ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+ρρρρρ2121()dxdydz y u y ∂∂ρ()dxdydzz u z ∂∂ρ()()()()dxdydz t dxdydz t dxdydz z u y u x u z y x ∂∂-=∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂ρρρρρ()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u t z y x ρρρρ0=∂∂t ρ()()()0=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u z y x ρρρ对于均质不可压缩流体 ，则不论定常流或非定常流均有对二维流动连续性微分方程为上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。