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第六章 理想流体不可压缩流体的定常流动

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3、理想流体的定常流动

3、理想流体的定常流动

ΔS·V=常数C
1)原理:在同一流管中，对不可压缩的流体而 言，流体的流速和流管的横截面积之 积为一恒量，叫体积流量。 2）流量单位：m3/s 应用： 在流量不变的情况下，流管中横截面积大的地 方，流速小；流管中横截面积小的地方，流速大
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ΔS·V=常数C
成立的前提之一是流量Q不变
毛细管的面积之和 大于主动脉的横截面 V毛细 << V主动脉
1 2 gh p v C 2
人的脚在心脏之下约1.35m处， 脚步上血压多大？ ρ =1.05×103 Kg/米3 P主=100 mmHg Δ h=1.35 m
gh脚 p脚 gh p 主 主 则P脚-P主=ρ g（h主 – h脚）
=1.05×103×9.8×1.35 =103 P脚=203 mmHg mmHg 整天站立
S
解： 出水速度应为
水平距离为
2
v出口 2 g ( H h) S v出口 t
g
而 h 1 gt 2 得 t 2h
S=
2h 2 g ( H h) g
4( H h)h
要得到S的最大值， 可以求下式的极值
H 为开口向下抛物线的最高点 h 2
H V出口 h S 普本作业：再做4-4 从“伯”推出出口速度
微重状态对人体的生理影响 影响1、生理平衡系统 影响2、心血管 影响3、肌肉组织 影响4、骨骼
9.8m/S2
身体上部血液流量加大
造成胸腹和大脑的高血压 上部有肿胀之感觉 四天太空飞行之后血流量减少20%左右 宇航员回到地面后 补偿方法： 飞行服 调节压力 使下身的外部压力小一些，则下身血管净 压力比上身血管净压力更大一些，于是促 使血液从上部往下部流。

工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4

工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
② μ和ρ随温度变化不大时，温度对流场(速度和压力)的影响很小，这
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )

流体力学复习提纲及答案 交大

流体力学复习提纲及答案 交大

切向应力与流体的角变形率成正比 应力张量 σ xx τ xy τ xz
τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz
九个应力分量中只有六个是独立的
二、计算
1、积分形式的动量方程、连续方程同伯努利方程的综合应用； （注意坐标系、控制体的选取、 受力分析时尤其要注意表压力是否存在）
1、牛顿内摩擦定律的应用－间隙很小的无限大平板或圆筒之间的流动。的特点； 方向垂直于作用面，并指向流体内部 静止流体任意点处静压强的大小与其作用面方位无关，只是作用点位置的函数 理想流体压强的特点（无论运动还是静止） ；
p = f (x , y ,z ) 静压强的大小与其作用面方位无关，只是作用点位置的函数
DN ∂N ∂N ∂N ∂N = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
DN 流体质点的物理量 N 随时间的变化率 Dt ∂N 空间点上的 N 随时间的变化率，由物理量场的非定常性引起 局部导数或当地导数 ∂t u ∂N ∂N ∂N +v +w 由物理量场的非均匀性引起的 N 的变化率 位变导数或对流导数 ∂x ∂y ∂z
/
µ 反应流体真实粘性的大小 ν 不能真实反应流体粘性的大小
µ ρ
理想流体的定义及数学表达 粘性系数为零的流体
µ = 0
牛顿内摩擦定律（两个表达式及其物理意义）
τ = µ du dy
粘性切应力与层间速度梯度成正比，而不由速度决定
τ =µ
dα dt 粘性切应力与角变形率成正比，而不由变形量决定
粘性产生的机理，粘性、粘性系数同温度的关系 液体：分子间内聚力 温度上升，粘性系数增大 气体：分子热运动 温度上升，粘性系数减小 牛顿流体的定义 符合牛顿内摩擦定律的流体 3、可压缩性的定义 压强变化引起流体体积或密度变化的属性 体积弹性模量的定义、物理意义及公式 =−

6第六章伯努利方程及其应用

6第六章伯努利方程及其应用
由兰姆方程(引入理想流体假设1)：
0 ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为： 假设流动为定常(2) t
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。

流体力学——定常流动

流体力学——定常流动
h
vA
A
d B
d+h
图8 测流速原理
如图6.8所示，A点的流速为VA, 该点在水面下 的深度为d, 故该处的压强PA =ρgd, B点在管 口之前，流速VB=0，压强PB=ρg(d+h), 根据 伯努利方程 PA v A PB 所以，
vA
PB PA

gh
27
泊肃叶公式 无限长刚性圆管内稳定层流的黏 滞性规律有如下公式
P P Q ( )R l
其中，Q为体积流量，P1，P2为圆管两端的压 强，R为圆管的半径，l为管长。当流速小， 管子细，黏滞系数大，泊肃叶公式很准确， 它可用于测量黏滞系数。
例7 人的某根血管内半径为4*10-3M，流过 血管的血液流量
S2 S2’ S1 S1’
v2
v1
h2
h1
图5 推导伯努利方程
由于理想流体不可压缩有：Δm1=Δm2=Δm Δt时间内动能变化： ΔEk=1/2Δm V22 —1/2Δm V12 Δt时间内外力作功 S1处，压力f1=P1 S1 ，正功W1= f1V1Δt S2处，压力f2=P2 S2 ，负功W2= - f2V2Δt 重力作负功：W3= -Δm g(h2—h1) 总功W= P1S1V1Δt-P2S2V2Δt-Δmg(h2-h1) 根据连续性原理，V1S1=V2S2=Δm/ρΔt 综合上式有，W=(P1 -P2)Δm/ρ-Δmg(h2—h1)
根据动能定理：外力作功等于动能的增量，
(P1 —P2 )Δm/ρ-Δm g(h2—h1)=1/2ΔmV22-1/2Δm V12
得：P2 + 1/2ρV22 +ρgh2 = P1 + 1/2ρV12 +ρgh1 即对于定常流动的理想流体中同一根流线上 （或同一根细流管内）的任意一点，有

第六章理想流体不可压缩流体的定常流动

第六章理想流体不可压缩流体的定常流动
一、流体运动的基本方程回顾 动量方程： 粘性、不可压缩流体 N-S方程
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿

第六章 不可压缩理想流体平面无旋流动


ϕ = xV∞ cos α + yV∞ sin α + c1 ∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy = −V∞ sin α dx + V∞ cos α dy
∂x ∂y
ψ = − xV∞ sin α + yV∞ cos α + c2
令通过原点的流函数及势函数及势函数的值为零，则 c1 = c2 = 0 ，最后得到均匀场速度势与流函数为
V×V = 0
将V = ∇ϕ 及 V = ∇ψ × k 代入，得
V × V = ∇ϕ × (∇ψ × k ) = (∇ϕ ⋅ k )∇ψ − (∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = −(∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = 0
∇ϕ ⋅ ∇ψ = 0
所以
§ 9-4 不可压理想流体平面无旋流动的 复势与复速度
一.复势与复速度
2 2
1 d[(x − x0 ) +(y − y0 ) ] 2 2 σ 1 2 d ln σ 2
Γ φ = ∫ dφ + const = − ln σ + const 2π Γ ln σ φ= − 2π y − y0 Γ arctg ϕ= 2π x − x0 Γ ' ϕ= ε 2π
Γ ' ⎛ Γ ⎞ χ = ϕ + iφ = ε + i ⎜ − ln σ ⎟ 2π ⎝ 2π ⎠ iΓ ⎡ iε ⎤ =− ln σ + ln e ⎥ ⎣ ⎦ 2π ⎢ iΓ iε =− ln σ e 2π iΓ =− ( z-z0 ) 2π iΓ χ ( z ) = − ( z-z0 ) 2π
一、流函数的定义
∂ρ + ∇i( ρV ) = 0 ∂t ∇iV = 0 ∇i( ρV ) = 0 ∂ = 0 ,Vz = 0 ∂z 1 ⎛ ∂h2 ρV1 ∂h1ρV2 ⎞ ∇iV = + ⎜ ⎟=0 h1h2 ⎝ ∂q1 ∂q2 ⎠

长沙理工 流体力学是非题、选择题、思考题

第一章流体及其物理性质1、在高压下，流体(包括气体和液体)的粘性随着压力的升高而增大。

( )2、流体在静止时无粘性，只有内部发生相对运动时才有粘性。

( )3、。

流体在静止时无粘性，只有在流体微团发生相对运动时才有粘性。

( )4、当两流层之间残生相对运动时，单位面积上的内摩擦力与速度梯度成反比。

( )5、构成气体粘性主要因素是气体分子间的吸引力。

( )6、根据牛顿内摩擦定律，流层间的摩擦切应力与速度梯度成正比，而与压力无关。

( )7、理想流体必须具备两个条件：一是不具有粘性，二是不可压性。

( )8、流体在静止时无粘性，只有在内部发生相对运动时才有粘度。

( )9、在无粘性流体中，不管是否运动，都不会产生切应力。

( )10、流体的粘性随温度的升高而减小。

( )11、静止的不可压缩流体的密度并非处处都为同一常数，只有即为不可压缩流体，同时又是均质时，密度才时时处处都是同一常数。

( )12、静止流体无粘性，即切应力等于零。

( )13、由于粘性是流体的固有属性，因此粘性流体在静止是应该存在切应力。

( )第一章流体及其物理性质1、如果在某一瞬间使流体中每个流体微团的密度均相同，则这种流体一定是( )。

A、可压缩流体；B、不可压缩流体；C、均质流体；D、非均质流体；2、牛顿内摩擦定律告诉我们( )。

A、作用于流层上切向应力与压力成正比；B、作用于流层上切向应力与速度梯度成正比；C、作用于流层上切向应力与速度梯度成反比；D、作用于流层上切向应力与流层面积成反比；3、流体的特点是( )。

A、只能承受微小剪切力作用；B、受任何微小压力都能连续变形；C、当受到剪切力作用时，仅能产生一定程度的变形；D、受任何微小剪切力作用将发生连续变形；4、在地球的重力场中，流体的密度和重度的关系为( )。

A、gργ=；B、gργ=；C、ργg=；D、γρg=；5、流体是那样一种物质，它( )。

A、不断膨胀，直到充满任意容器；B、实际上是不可压缩的；C、不能承受切应力；D、在任意切应力作用下，不能保持静止；6、流体的力学特征为( )。

工程流体力学课后单选题100道及答案解析

工程流体力学课后单选题100道及答案解析1. 流体的粘性与流体的（）无关。

A. 分子内聚力B. 分子动量交换C. 温度D. 压强答案：D解析：流体的粘性主要与分子内聚力、分子动量交换和温度有关，与压强无关。

2. 理想流体是指（）的流体。

A. 无粘性B. 不可压缩C. 无粘性且不可压缩D. 符合牛顿内摩擦定律答案：C解析：理想流体是指无粘性且不可压缩的流体。

3. 液体的压缩性比气体的压缩性（）。

A. 大B. 小C. 相等D. 无法比较答案：B解析：液体的压缩性很小，气体的压缩性较大。

4. 下列关于流线的描述错误的是（）。

A. 流线不能相交B. 流线是光滑的曲线C. 稳定流动时流线与迹线重合D. 流线可以是折线答案：D解析：流线是光滑的曲线，不能是折线。

5. 连续性方程是根据（）原理推导出来的。

A. 质量守恒B. 能量守恒C. 动量守恒D. 牛顿第二定律答案：A解析：连续性方程基于质量守恒原理。

6. 伯努利方程适用于（）。

A. 理想流体B. 粘性流体C. 可压缩流体D. 不可压缩流体的定常流动答案：D解析：伯努利方程适用于不可压缩流体的定常流动。

7. 沿程阻力损失与（）成正比。

A. 流速的平方B. 管长C. 管径D. 流体的密度答案：B解析：沿程阻力损失与管长成正比。

8. 局部阻力损失产生的主要原因是（）。

A. 流体的粘性B. 流速的变化C. 管道的粗糙度D. 流体的压缩性答案：B解析：局部阻力损失主要由流速的变化引起。

9. 圆管层流的平均流速是最大流速的（）倍。

A. 0.5B. 1/2C. 1/4D. 2答案：A解析：圆管层流的平均流速是最大流速的0.5 倍。

10. 圆管紊流的速度分布呈（）。

A. 抛物线分布B. 对数分布C. 均匀分布D. 线性分布答案：B解析：圆管紊流的速度分布呈对数分布。

11. 雷诺数的物理意义是（）。

A. 惯性力与粘性力之比B. 压力与粘性力之比C. 重力与粘性力之比D. 惯性力与重力之比答案：A解析：雷诺数表示惯性力与粘性力之比。

流体力学总结

流体力学总结第一章流体及其物理性质1. 流体：流体是一种受任何微小剪切力作用都能连续变形的物质，只要这种力继续作用，流体就将继续变形，直到外力停顿作用为止。

流体一般不能承受拉力，在静止状态下也不能承受切向力，在任何微小切向力的作用下，流体就会变形，产生流动 2. 流体特性：易流动(易变形)性、可压缩性、粘性 3. 流体质点：宏观无穷小、微观无穷大的微量流体。

4. 流体连续性假设：流体可视为由无数连续分布的流体质点组成的连续介质。

稀薄空气和激波情况下不适合。

5. 密度0limV m m V V δδρδ→==重度0lim V G Gg V Vδδγρδ→===比体积1v ρ=6. 相对密度：是指*流体的密度与标准大气压下4︒C 时纯水的密度〔1000〕之比w wS ρρρ=为4︒C 时纯水的密度13.6Hg S = 7. 混合气体密度1ni ii ρρα==∑8. 体积压缩系数：温度不变，单位压强增量引起的流体体积变化率。

体积压缩系数的倒数为体积模量1P PK β=9. 温度膨胀系数：压强不变，单位温升引起的流体体积变化率。

10. 不可压缩流体：流体受压体积不减少，受热体积不膨胀，密度保持为常数，液体视为不可压缩流体。

气体流速不高，压强变化小视为不可压缩流体 11. 牛顿内摩擦定律：du dyτμ=黏度du dyτμ=流体静止粘性无法表示出来，压强对黏度影响较小，温度升高，液体黏度降低，气体黏度增加μυρ=。

满足牛顿内摩擦定律的流体为牛顿流体。

12. 理想流体：黏度为0，即0μ=。

完全气体：热力学中的理想气体第二章流体静力学1. 外表力：流体压强p 为法向外表应力，内摩擦τ是切向外表应力〔静止时为0〕。

2. 质量力〔体积力〕：*种力场对流体的作用力，不需要接触。

重力、电磁力、电场力、虚加的惯性力 3. 单位质量力：x y z Ff f i f j f k m==++，单位与加速度一样2m s 4. 流体静压强：1〕流体静压强的方向总是和作用面相垂直且指向该作用面，即沿着作用面的内法线方向2〕在静止流体内部任意点处的流体静压强在各个方向都是相等的。

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厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，
与流线形状无关。
QAB
ABVndS
dx dy
AB x
y
B d
A
B A
§4 理想不可压缩流体的平面势流
三、速度势函数
1、速度势函数 存在的条件：
在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：
u w z x
v u x y
w v y z
u v 0 x y
u v （连续性方程） x y
udy vdx 0 （流线方程）
根据数学分析可知，不可压缩流体平面流动的连续性条件是 udy vdx 0 成
为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数 。
d dx dy vdx udy
x
y
u
y
v
x
§4 理想不可压缩流体的平面势流
p4 p5 m gh p3 m gh
及
z4 z5 h z3 h
将上两式代入(d)式可得
gz 2
p2
g(z3
h)
p3
m gh
(e)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
V22 V12 ( m 1)gh
2
由连续性方程
V2
A1 A2
V1
由一维平均流动伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
(a)
移项可得
V22
V12 2
(gz1
p1
)
(
gz
2
p2 )
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
gz1
p1
gz3
p3
(c)
gz2
p2
gz4
p4
(d)
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
v u y
fx
1
p x
v t
u v x
v v y
fy
1
p y
V
V V
g
1
p
t
不可压缩
u v 0 或 V 0 x y
定常和不定常都适应
v
定常
V 0
t
§3 理想不可压缩流体的一元流动
二、理想、不可压缩流体一元定常流动的基本方程
沿流线的一元流动微分方程
V V f 1 p
l
l
f grad ∏为力势函数 l
DV
g
1
p
2V
Dt
§3 理想不可压缩流体的一元流动
理想、不可压缩流体
u t
u
u x
v
u y
w u z
gx
1
p x
v t
u
v x
v
v y
w v z
gy
1
p y
w t
u
w x
v
w y
w w z
gz
1
p z
v
DV g 1 p
Dt
V
V V
g
1
p
t
§3 理想不可压缩流体的一元流动
DV g 1 p
§3 理想不可压缩流体的一元流动
沿同一条流线 的伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
V22 2
V12 2
g(z2
z1)
p1 p2
伯努利方程的几何意义和能量意义
z p V2 H
g 2 g
位势头
静压头
质点的位置高度 相当的高度
速度头 总机械能
相当的高度
伯努利方程中每一项的量纲与长度单位相同，表示
平面势流流动：
1、平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，由两个坐标唯一确 定该点的流动参数，且流动是无旋的。
2、满足上述要求的有轴对称流动问题和相互平行的所 有平面上的流动情况完全一样的流动问题
3、在实际情况中不存在平行平面完全一样的流动。 为了简化，这类问题只是近似地作二元流动问题来处理
§4 理想不可压缩流体的平面势流
p0 p (m )gh
(e)
由(c) , (e)式可得
(m
) gh
k
1 2
v 2
(d)
k 称为毕托管系数。由(d)式可得
v k( m 1) 2gh
伯努利方程的应用
3）文特里管流量计
已知: 文特里管如图所示 求： 管内流量Q
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
解： 设流动符合不可压缩无粘性流体定常流 动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、V 2， 流体密度为ρ.
三元流动
u t
u
u x
v
u y
w
u z
gx
1
p x
v t
u
v x
v
v y
w
v z
gy
1
p y
不可压缩
V
V
V
g
1
p
t
u v w 0 或 V 0 x y z
w t
u
w x
v
w y
w
w z
gz
1
p z
定常和不定常都适应
v
定常
V 0
t
§3 理想不可压缩流体的一元流动
二元流动
u t
u u x
连续性方程： 适用于不可压缩和可压缩，定常和非定常流动。
u v w 0
t x y z
D
Dt
u x
v y
w z
0
讨论： 1、定常流动：
0 V 0
t 适用于不可压缩和可压缩流动
2、不可压缩流动： D 0
Dt
V 0
适用于定常和非定常流动
§3 理想不可压缩流体的一元流动
理想、不可压缩流体基本微分方程组
§3 理想不可压缩流体的一元流动
一、流体运动的基本方程回顾
动量方程： 粘性、不可压缩流体
N-S方程
（粘性系数为常数）
Du Dt
gx
1
p x
2u x2
2u y 2
2u z 2
Dv Dt
gy
1
p y
2v x2
2v y 2
2v z 2
Dw Dt
gz
1
p z
2w x2
2w y 2
2w z 2
x
y
上 d 0 ，流函数 都有各自的常数值，流函数的等值线就是流线。
§4 理想不可压缩流体的平面势流
4、对于不可压缩流体的平面势流，流函数满足拉普拉斯方程，流函数也是调和
函数。
u
y v
x
z 0
v u 0 x y
2
x 2
2
y 2
2
0
满足拉普拉斯方程
5、平面流动中，通过两条流线间任意一曲线（单位
伯努利方程： 理想、不可压缩、定常平面流动，不考虑重力，无旋流动
p 1 V 2 C '
2
讨论：和一元伯努利方程形式完全相同，但 1、一元方程只适用于同一条流线，与流动是否有旋无关 2、二元方程是在无旋下得到的，适用于整个流场
§4 理想不可压缩流体的平面势流
二、流函数 1、流函数的引入
对于不可压缩流体的平面流动有连续性方程如下：
(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数ε
小孔出流量
Ae
A
收缩截面面积 / 孔口面积 (c)
Q vAe vA A 2gh
(d)
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
收缩系数ε与孔口边缘状况有关，实际的孔口流速会
比理论流速低一些，可以定义速度系数k，即实际平均速
度/理论速度。
重力场中的一元流动微分方程
V V 1 p
l l Hale Waihona Puke lfl g cos g z l
§3 理想不可压缩流体的一元流动
沿流线积分
V V 1 p
l l l
1V 2
2
dp
C
C
gz
V 2 gz p C
2
伯努利（Bernoulli）方程
在重力作用下，不可压缩理想流体作定常流动时，沿同一条流线单位质量流体 的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，但可转换。
锐角边ε= 0.61~0.66, k=0.97~0.99
流线型圆弧边ε=1.0，k=0.98
内伸管ε= 0.5,
实际孔口出流应为：
Q kA 2gh A 2gh (e)
上式中μ= kε,称为流量修正系数，由实验测定。
讨论2：上述各式均只适用于小孔情况(孔直径d≤0.1h),对大孔口(d >0.1h)应 考虑速度不均匀分布的影响。
伯努利方程的应用
2）毕托测速管
已知: 设毕托管正前方的流速 保持为v,静压强为p,流体密度为 ρ,U 形管中液体密度ρm .
求： 用液位差Δh表示流速v
毕托测速管
解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。
AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流 线AO段列伯努利方程
v2 2
gz A
p
v02 2
Dt
V
V V
g
1
p
t
讨论：
1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。
2、 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 Dt