《理论力学》课件 第六章

运动学
静力学：研究作用在刚体上的力系的平衡条件。

平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动。

物体不平衡，则其运动状态将发生变化。

运动学：研究物体在空间的位置随时间的变化。

研究物体运动的几何性质的科学。

运动学研究的对象是点和
刚体。

运动学单独研究物体运
动的几何性质（轨迹、运动方
程、速度、加速度），而不涉
及引起运动的原因。

物体的运动是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。

参考体通常是一个大小有限的物体，与参考体固联的坐标系称为参考系，参考系是整个坐标空间，分为定参考系和动参考系。

运动学的重点为：点的运动规律、点的速度合成、点的加速度合成、刚体平面运动分析中的基点法和瞬心法。

注意问题：矢径、位移、
速度、加速度等参数是变矢量，
注意矢量分析、矢量计算。

第六章点的运动学
体验放风筝的感觉。

M O r
原点
矢径
动点
矢端曲线
r r 当动点M 运动时,矢径r 随时间而变化,并且是时间的单值连续函数, 即------以矢量表示的点的运动方程。

矢径r 的矢端曲线就是动点M 的运动轨迹。

一、矢径（位矢）：
注意：矢径r
是变矢量。

r v d dr v dt =速度为
动点运动轨迹的切线，
而不是矢径的垂线。

v r = 速度与r 垂直吗？
点的速度矢对时间的变化率称为加速度。

点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。

即2v r a d 加速度 三、加速度矢：---全加速度a v r == 加速度与v
垂直吗？
r xi yj zk
=++分别为沿三个定坐
标轴的单位矢量，是常矢量。

,,i j k 123()()
()f t f t f t ===以直角坐标表示的点的运动方程
也是点的轨迹的参数方程
(,)0(,)0f x y f y z =⎧⎨=⎩r v d x y z v i v j v k
=++xi
yj zk =++ i j k
, , x y z v x
v y v z === 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。

三、加速度矢：---全加速度
x y z a i a j a k =++v a d i j k t d
加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。

,x x a v x
== ,y y a v y == z z a v z
== ,,x y z a a a 加速度a 的大小和方向由它的三个投影完全确定。

在运动轨迹未知的情况下，可以利用此法进行分析
cos(,)x
v i cos(,)v j 22
x y
v v +22
2cos2l a al t
ωω+-故点M 的速度大小为
其方向余弦为
()sin y l a t
ω=-()cos x l a t t ωω=+
2
2x y
a a
+t
al a l ωω2cos 22
2++cos(,)a i x
a
故点M 的加速度大小为
其方向余弦为
()sin y l a t
ω=-()cos x l a t t ωω=+
A
A 将点的坐标与时间的函数关系绘成图
线，一般取横轴为时间，纵轴为点的
坐标，绘出的图线称为运动图线。

直线谐振动
振动中心: 往复运动中心o 振幅: 距离r 位相:
初位相:
周期T:2、有关名词:
t ϕωθ
=+θ
运动图线
2T π
ω
=
频率:
角频率:
1f T
=
22f
T
πωπ==
)动点在振动中心时，速度值最
大，加速度值为零；在两端位置时，加速度值最大，速度值为零；又知，点从振动中心向两端是减速运动，而从两端回到中心的运动时加速运动。

sin()
A x b r t ωθ=++sin()
B x r t ωθ=+
v k a
,
v
v k
a
：
此题主要应用高等数学知识.
P151 作业：6 --2、4、
汽车行驶在弯曲的马路上，如何确定其行驶的
距离、速度、加速度？
一、弧坐标
在动点M的已知曲线轨迹上，任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。

---点沿轨迹的运动方程，
或以弧坐标表示的点的运动方程
在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M1。

点M 处的切线的单位矢量为τ，点M1处的切线的单位矢量为τ1 。

其指向与弧坐标正向一致，
τ和τ1决定一平面，称为曲线在点M的密切面。

过点M并与切线垂直
的平面称为法平面，
法平面与密切面的交
线称为主法线，指向
曲线内凹一侧。

法平面与密切面的交线称为主法线。

令主法线的单位矢量为n ，指向曲线内凹一侧。

过点M 且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b ，指向与τ ，n 构成右手系，即b n τ=⨯三者关系符合右
手螺旋法则。

以点M 为原点，以
切线、主法线和副法
线为坐标轴组成的正
交坐标系称为曲线在
点M 的自然坐标系，这
三个轴称为自然轴。

∆∆,,b n τ注意：随着点M 在轨迹上运动，的方向也在不断变动；自然坐标系是沿曲线而变动的游动坐标系。

由τ和τ1决定的密切面与M 、M 1的位置有关。

如果是分析平面曲线，则密切面就是曲线所在平面。

曲率的倒数称为曲率半径。

01lim x s ϕρ→= 1n s τρ=d d
d ϕτ
=d d ds s ϕτ==d d d d n τϕ=⋅ 大小方向
r v d τr d v τMM ' 0lim x r v t →= 0lim x s ds t dt →== ds v s dt
== 动点的速度是矢量，速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值，其方向沿曲线的切线方向，用单位矢量τ 表示。

r s
τ=d d 大小方向
τn n a τττ注意: v 、τ都是变矢量
1n s τρ=d d 令：n ds v s dt == τv a d τ
结论：切向加速度反映点的速度大小值对时间的变化率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹切线。

法向加速度反映点的速度方向改变的快慢速度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法线，
指向曲率中心。

2t n v v a n a a n t ττρ=+=+d d
22n
t a
a +tan t
n
a a θ=
加速运动
减速运动
0,
n a ≠
m s
m s
m
22
s
m +n
t a a m t
22280
x y z
v v v
++m s
22280x y z
v v v ++m s 222x y z
a a a ++m s
m 这是在半径为2m 的圆柱面上的匀速螺旋线运动。

注意其轨迹的曲率半径并不等于圆柱面的半径。

是常数
则，用直角坐标表示的点M的运动方程为：
22
x
y
v v +则，用直角坐标表示的点M 的运动方程为：
2、M 点的速度为：
22a a y
x
+3、M 点的加速度为：
4、取点M 的起点O 作为弧坐标原点，用弧坐标表示的运动方程：
2sin
2
t
t
s r dt ωω=⎰得： 4(1cos
),
2
t
r ω=-(02)
t ωπ≤≤
5、点M 的切向加速度：
6、点M 的法向加速度为：22t a a -
7、轨迹的曲率半径ρ：
2ω
点M运动到与地面相接触的位置时，点M的速度为零，点M全加速度的大小恒为rω2，这表明沿地面作纯滚动的轮子与地面接触点的速度为零，但加速度却不为零。

接触点的加速度方向向上。

P151 作业：6—4、7、9。