6-1流体的压强和理想流体的连续性方程

第3章流体动力学基础教学要点一、教学目的和任务1、本章目的1）使学生掌握研究流体运动的方法2）了解流体流动的基本概念3）通过分析得到理想流体运动的基本规律4）为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础2、本章任务1）了解描述流体运动的两种方法；2）理解描述流体流动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、流线与迹线、流管、流束与总流、过水断面、流量及断面平均流速等；3）掌握连续性方程、伯努利方程、动量方程，并能熟练应用于求解工程实际问题动量方程的应用二、重点、难点1、重点：流体流动中的几个基本概念，连续性方程，伯努利方程及其应用，动量方程及其应用。

2、难点：连续性方程、伯努利方程以及与动量方程的联立应用。

三、教学方法本章讲述流体动力学基本理论及工程应用，概念多，容易混淆，而且与实际联系密切。

所以，必须讲清楚每一概念及各概念之间的联系和区别，注意讲情分析问题和解决问题的方法，选择合适的例题和作业题。

流体动力学：是研究流体运动规律及流体运动与力的关系的力学。

研究方法：实际流体→理想流体→实验修正→实际流体流体动力学:研究流体运动规律及流体与力的关系的力学。

3.1 流体运动要素及研究流体运动的方法一、流体运动要素表征流体运动状态的物理量，一般包括v、a、p、ρ、γ和F等。

研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。

（1）每一运动要素都随空间与时间在变化；（2）各要素之间存在着本质联系。

流场：将充满运动的连续流体的空间。

在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。

二、研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。

（1，质点的运动要素是初始点坐标和时间的函数。

用于研究流体的波动和震荡等（2）欧拉法（“站岗”的方法）欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象，而不是跟随个别质点。

其要点：分析流动空间某固定位置处，流体运动要素随时间的变化规律；分析流体由某一空间位置运动到另一空间位置时，运动要素随位置的变化规律。

第十一章 流体运动基础一、基本知识点流体的可压缩性：流体的体积会随着压强的不同而改变的性质。

流体的黏性：内摩擦力作用导致相邻流体层速度不同的性质。

理想流体：绝对不可压缩且完全没有黏性的流体。

稳定流动：空间各点的流速不随时间变化的流体流动。

流线：在流体空间设想的一系列曲线，其上任意一点的切线方向都与流体通过该点时速度方向一致。

任何两条流线不能相交。

流管：在稳定流动的流体中的一个由流线围成的管状微元。

稳定流动的连续性方程：单位时间内通过任一截面的流体质量都相等，即S ρυ=恒量也称为质量流量守恒定律。

理想流体稳定流动的连续性方程：单位时间内通过任一截面的流体体积都相等，即S υ=恒量也称为体积流量守恒定律。

理想流体的伯努利方程：理想流体作稳定流动时，单位体积的势能、动能及该点压强之和是一恒量，即212P gh ρρυ++=恒量牛顿黏滞定律：黏性力f 的大小与两速度不同的流体层的接触面积S 及接触处的速度梯度d dxυ成正比，即 d f Sdxυη= 式中比例系数η称为流体的黏滞系数或黏度。

η值的大小取决于流体本身的性质，并和温度有关，单位是2N s m -⋅⋅或Pa s ⋅。

表11-1 几种流体的黏度流体 温度()C ︒η()Pa s ⋅流体 温度()C ︒η()Pa s ⋅水0 20 37 100 31.7910-⨯ 31.00510-⨯ 30.69110-⨯ 30.28410-⨯ 空气0 20 100617.110-⨯ 618.110-⨯ 621.810-⨯蓖麻油7.5 2050 60112.2510-⨯ 19.8610-⨯ 11.2210-⨯ 10.8010-⨯ 氢气-125168.310-⨯ 61310-⨯血液 373(2.5~3.5)10-⨯二氧 化碳0 30061410-⨯ 62710-⨯雷诺数: 判断黏性流体的流动状态的一个无量纲的数e rR ρυη=式中，υ为流速，ρ为流体密度，η为黏度，r 为流管半径。

流体的连续性方程流体力学是关于流体力学与流动的规律和性质的科学。

在流体的运动过程中，流体的密度和速度都会发生变化。

为了描述这种变化，我们引入了连续性方程，它是流体力学中的重要基本方程之一。

连续性方程是描述流体质量守恒的方程。

它基于以下几个假设：假设流体是连续均匀的，假设流体是非可压缩的，假设流体在稳态流动过程中质量不会减少或增加。

基于这些假设，我们可以得到流体的连续性方程。

在流体力学中，流体的连续性方程可以表示为以下形式：∇·ρv+A=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∇·是散度运算符，A 是质量流量。

连续性方程的物理意义是流体的质量在单位时间内的净流入或流出量等于单位时间内质量积累的速率。

在实际应用中，根据具体问题的不同，连续性方程可以具体表达为不同的形式。

下面将介绍几个常见的连续性方程的应用。

1. 理想流体的连续性方程理想流体是指当流体受到外力作用时不发生黏性耗散的流体。

在理想流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在理想流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。

2. 不可压缩流体的连续性方程不可压缩流体是指密度在流动过程中可以忽略变化的流体。

在不可压缩流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在不可压缩流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。

不过需要注意的是，不可压缩流体的连续性方程只能描述速度场的分布，而不能描述流体密度的变化。

3. 积分形式的连续性方程连续性方程还可以表示为积分形式。

在空间中的一个任意闭合曲面S上，流体质量的净流出量等于质量积累的速率，即可以表示为以下积分形式：∮S ρv·n dS = -d/dt ∭V ρ dV其中，S是曲面的边界，n是法向量，V是曲面所包围的体积，∮和∭分别表示曲面和体积的积分。

流体流速压强公式
在流体力学中，流速和压强之间的关系可以由伯努利方程来描述。

根据伯努利方程，对于稳态、不可压缩、理想流体（忽略粘性和外力），在流体沿着流线的运动过程中，流速和压强之间存在以下关系：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数
其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流速，g是重力加速度，h是流体所处位置的高度。

这个方程表示了流体的总能量守恒，称为伯努利定理。

它说明了流体的压强、速度和位置之间的关系。

当流速增大时，压强会减小；当流速减小时，压强会增大。

这是因为流体在流动过程中，动能和势能的转换导致了压强的变化。

需要注意的是，伯努利方程适用于理想流体的简化情况，并且对于复杂的流动情况（如湍流、粘性流体等），可能需要考虑其他因素和修正。

此外，伯努利方程也要求流体的流动是稳态的，没有外力作用，并且流体是不可压缩的。

流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。

流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。

本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。

一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。

它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。

连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。

二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。

根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。

三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。

根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。

四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。

流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。

综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。

这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。

通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。

在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。

数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。

工程流体力学公式总结第二章 流体的主要物理性质流体的可压缩性计算、牛顿内摩擦定律的计算、粘度的三种表示方法。

1．密度 ρ = m /V2．重度 γ = G /V3．流体的密度和重度有以下的关系：γ = ρ g 或 ρ = γ/ g4．密度的倒数称为比体积，以υ表示υ = 1/ ρ = V/m5．流体的相对密度：d = γ流 /γ水 = ρ流 /ρ水6．热膨胀性7．压缩性. 体积压缩率κ8．体积模量9．流体层接触面上的内摩擦力10．单位面积上的内摩擦力（切应力）（牛顿内摩擦定律）11．.动力粘度μ：12．运动粘度ν ：ν = μ/ρ13．恩氏粘度°E ：°E = t 1 / t 2第三章 流体静力学重点：流体静压强特性、欧拉平衡微分方程式、等压面方程及其、流体静力学基本方程意义及其计算、压强关系换算、相对静止状态流体的压强计算、流体静压力的计算（压力体）。

1．常见的质量力：重力ΔW = Δmg 、直线运动惯性力ΔFI = Δm·a离心惯性力ΔFR = Δm·r ω2 .T VV ∆∆=1αp VV ∆∆-=1κV P V K ∆∆-=κ1n A F d d υμ=dnd v μτ±=n v d /d τμ=2．质量力为F 。

：F = m ·am = m (f xi+f yj+f zk)am = F /m = f xi+f yj+f zk 为单位质量力，在数值上就等于加速度实例：重力场中的流体只受到地球引力的作用，取z 轴铅垂向上，xoy 为水平面，则单位质量力在x 、y 、 z 轴上的分量为fx = 0 , fy = 0 , fz = -mg /m = -g式中负号表示重力加速度g 与坐标轴z 方向相反3流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的连续函数。

即：p = p (x ,y ,z )，由此得静压强的全微分为:4．欧拉平衡微分方程式单位质量流体的力平衡方程为：5．压强差公式（欧拉平衡微分方程式综合形式）6．质量力的势函数7．重力场中平衡流体的质量力势函数z z p y y p x x p p d d d d ∂∂∂∂∂∂++=d d d d d d 0x p f x y z x y z x∂∂-=ρd d d d d d 0y p f x y z x y z y ∂∂-=ρd d d d d d 0z p f x y z x y z z∂∂-=ρ01=∂∂-x p f x ρ10y p f y ∂∂-=ρ01=∂∂-z p f z ρz z p y y p x x p z f y f x f z y x d d d )d d d (∂∂+∂∂+∂∂=++ρ)d d d (d z f y f x f p z y x ++=ρd (d d d )x y z p f x f y f z dU ρ=++=ρd d d d x y z U U U U x y z =f dx f dy f dz x y z gdz ∂∂∂∂∂∂=++++=-积分得：U = -gz + c*注：旋势判断：有旋无势流函数是否满足拉普拉斯方程：22220x y ψψ∂∂+=∂∂8．等压面微分方程式 .fx d x + fy d y + fz d z = 09．流体静力学基本方程对于不可压缩流体，ρ = 常数。

第六章 液体力学6-1 有一个长方体形的水库，长200 m ，宽150 m ，水深10 m ，求水对水库底面和侧面的压力。

解：水对水库底面的压力为：()()391 1.0109.810150200 2.910F ghS N ρ==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯侧面的压力应如下求得：在侧面上建立如图所示的坐标系，在y 处取侧面窄条dy ，此侧面窄条所受的压力为：dF glydy ρ=整个侧面所受的压力可以表示为：2012hF glydy glh ρρ==⎰对于10h m =、200l m =的侧面：()2721'9.8102F glh N ρ==⨯ 对于10h m =、150l m =的侧面：()2721''7.4102F glh N ρ==⨯侧面的总压力为：()82222'2'' 3.410F F F N =+=⨯6-2 有三个底面积相同但形状各异的容器，分别盛上高度相同的水，如题图所示，根据静止流体压强的概念，三个容器底面的压强是相同的，所以每个容器底面所受的水的压力也是相同的，水对底面压力是由水的重量引起的，但是三个容器中所盛的水的重量显然不等，请对这个似乎矛盾的结果作出解释。

答：三个容器底面的压强是相同的，但流体对容器内壁的压强并不是容器对其支撑面的压强，容器对其支撑面的压力等于水与容器本身重量之和。

因此，容器对其支撑面的压强是不同的。

如蓝球内壁的压强要比蓝球对支撑面的压强要大得多。

6-3 在35.010s ⨯的时间内通过管子截面的二氧化碳气体(看作为理想流体)的质量为0.51 kg 。

已知该气体的密度为37.5kg m -⋅ ，管子的直径为2.0 cm ，求二氧化碳气体在管子里的平均流速。

解： 单位时间内流过管子截面的二氧化碳气体的体积，即流量为：53130.511.36107.5 5.010V m Q m s t ρ--===⨯⋅⨯⨯平均流速为：()521221.3610 4.3103.14 1.010V Q v m s S ----⨯===⨯⋅⨯⨯ 6-4 当水从水笼头缓慢流出而自由下落时，水流随位置的下降而变细，何故？如果水笼头管口的内直径为d ，水流出的速率为0v ，求在水笼头出口以下h 处水流的直径。

流体力学的连续性方程流体力学是研究流体在运动过程中的力学性质的学科。

其中，连续性方程是流体力学中的重要基本方程之一，描述了流体质点在运动过程中的连续性特征。

本文将介绍流体力学的连续性方程，并探讨其在流体力学研究中的应用。

一、连续性方程的基本原理连续性方程是基于流体质点的质量守恒定律推导而来的。

它描述了在稳态条件下，流体在运动中的连续性特征。

连续性方程的基本原理可以通过以下推导得到：考虑一个质量元dV，在任意时刻t处于速度场中，流体通过其两个相对面的质量流量之差与时间t的导数成正比，即：∂(ρdV)/∂t = -(∂(ρu)dA)/∂x其中，ρ是流体的密度，dA是质量元dV的表面积，u是流体的速度。

由于流体的质量守恒定律，可以得到∂(ρdV)/∂t = -∂(ρu)dA/∂x将上式中dA展开，得到：∂(ρdV)/∂t = -∂(ρux)dA/∂x - (ρudy)dA/∂y - (ρudz)dA/∂z根据偏导数的定义，上式可以变形为：∂(ρdV)/∂t = -(∂(ρux)dV)/∂x - (∂(ρuy)dV)/∂y - (∂(ρuz)dV)/∂z再次对上式进行变形，得到：∂ρ/∂t + (∂(ρu)/∂x)dV/∂x + (∂(ρv)/∂y)dV/∂y + (∂(ρw)/∂z)dV/∂z = 0由于密度ρ是一个常量，上式可以继续简化为：∂ρ/∂t + u(∂ρ/∂x) + v(∂ρ/∂y) + w(∂ρ/∂z) = 0这就是流体力学中的连续性方程。

二、连续性方程的应用连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。

下面我们将介绍其中的几个重要应用。

1. 流体的运动学特性连续性方程可以描述流体质点在运动中的连续性特征。

通过解连续性方程，可以获得流体的速度场分布，进而推导出流体的压力、密度等物理量的变化规律。

2. 流量计算连续性方程可以用于计算流体通过管道、沟渠等通道的流量。

通过将连续性方程应用到通道的不同截面上，可以获得截面处流速与流量之间的关系，从而实现流量的计算与预测。

《流体力学》Ⅰ主要公式及方程式流体力学是研究流动的力学学科，它使用了一系列的公式和方程式来描述和解释流体的运动和性质。

以下是流体力学中的一些主要公式和方程式：1.连续性方程式：连续性方程式描述了质量守恒定律，即在一个封闭的流体系统中，质量的流入量等于流出量。

连续性方程式的公式如下：∇·(ρV)=0其中，∇表示向量的散度操作符，ρ表示流体的密度，V表示流体的速度矢量。

2.动量方程式：动量方程式描述了物体所受到的力和加速度之间的关系。

对于流体力学，动量方程式可以分为欧拉方程和纳维尔-斯托克斯方程两种形式。

欧拉方程描述了无粘性流体的动量方程，其公式如下：∂V/∂t+(V·∇)V=-(1/ρ)∇p+F其中，∂V/∂t表示速度V对时间t的偏导数，·表示向量点乘，p表示压力，F表示外力。

纳维尔-斯托克斯方程描述了粘性流体的动量方程，其公式如下：∂V/∂t+(V·∇)V=-(1/ρ)∇p+μ∇²V+F其中，μ表示流体的动力黏度，∇²表示向量的拉普拉斯算子。

3.质量守恒方程：质量守恒方程描述了流体的质量守恒定律，其公式如下：∂ρ/∂t+∇·(ρV)=0其中，ρ表示流体的密度，V表示流体的速度矢量。

4.能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体的能量守恒定律，其公式如下：∂(ρe)/∂t+∇·(ρeV)=∇·(k∇T)+Q其中，e表示流体的单位质量内部能量，T表示流体的温度，k表示热传导系数，Q表示热源。

5.状态方程：状态方程描述了流体的状态，在流体力学中常用的状态方程有理想气体状态方程和液体状态方程。

理想气体状态方程公式如下：p=ρRT其中，p表示压力，ρ表示密度，R表示气体常数，T表示温度。

以上是流体力学中的一些主要公式和方程式。

这些方程式通过数学描述和解析，可以帮助我们理解和预测流体的运动和行为，对于各种工程和科学应用都具有重要的意义。