追及与相遇问题.ppt

(2)第 1 s 内与前 6 s 内的位移之比 x1∶x6＝12∶62 故前 6 s 内小球的位移 x6＝36x1＝18 m
(3)第 1 s 内与第 6 s 内的位移之比 xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)，故第 6 s 内的位移 xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m
答案 (1)6 m/s
(2)18 m (3)5.5 m
∵△x=x1－x2=v自t － at2/2 （位移关系） ∴ △x=6t －3t2/2 由二次函数求极值条件知
t= －b/2a = 6/3s = 2s时， △x最大 ∴ △xm=6t － 3t2/2= 6×2 － 3 ×22 /2=6 m
解法三 用相对运动求解更简捷 选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距 最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：
因为 x 人<x 车＋x0 故人追不上车． 人和车的最小距离 Δx＝x0＋x 车－x 人＝10 m＋4 m－8 m＝6 m
在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲 车在乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的 匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使： （1）两车不相遇； （2）两车只相遇一次； （3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）
[要点提炼] 初速度为 0 的匀加速直线运动， 以 T 为时间单位下列比 例式成立： (1)T 末、2T 末、3T 末、„、nT 末的瞬时速度之比为：
1∶2∶3∶„∶n v1∶v2∶v3∶„∶vn＝__________________
(2)1T 内、2T 内、3T 内、„、nT 内的位移之比为 x1∶x2∶x3∶„∶xn＝12∶22∶32∶„∶n2
2
v1 at v2
1 2 v1t at v2t x0 2
(2)开始阶段，v 汽<v 自，两者距离逐渐变大．后来 v 汽>v 自，两者 距离又逐渐减小．所以当 v 汽＝v 自时，两者距离最大． 设经过时间 t1，汽车速度等于自行车速度 at1＝v 自， 代入得 t1＝2 s 此时 x 自＝v 自 t1＝6 m/s× 2 s＝12 m 1 2 1 x 汽＝ at1＝ × 3× 22 m＝6 m 2 2 最大距离 Δx＝x 自－x 汽＝6 m
解题思路
分析两物体 运动过程 画运动 示意图 找两物体 的关系式 列方程 求解
1.在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”， 即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关 系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。
2.分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关 键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚 好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临 界状态，满足相应的临界条件。
3.图象法：将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画 出，然后利用图象求解。
4.相对运动法：巧妙地选取参照系，然后找两物体的 运动关系。
(1)速度小者追速度大者
类型 匀加速追 匀速 匀速追匀 减速 匀加速追 匀减速 图象 说明
①t=t0以前,后面物体与前面 物体间距离增大 ②t=t0即速度相等时,两物体 相距最远为x0+x ③t=t0以后，后面物体与前 面物体间距离减小 ④能追及且只能相遇一次
（2）经过多长时间甲乙两车相遇？ （3）试通过计算说明到达终点前甲车能否超过乙车？
(2)速度大者追速度小者
类型 图象 说明
匀减速 追 匀速
匀速追 匀 加速
匀减速 追 匀加速
开始追及时，后面物体与前面物体间 的距离 在减小，当两物体速度相等时，即 t=t0时刻： ①若x=x0，则恰能追及，两物体只 能相遇一次，这也是避免相撞的临界 条件 ②若x<x0，则不能追及，此时两物 体最小距离为x0-x ③若x>x0，则相遇两次，设t1时刻 x1=x0，两物体第一次相遇，则t2时 刻两物体第二次相遇
练一练、甲.乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车 前方L1＝11 m处，乙车速度v乙＝60 m/s，甲车速度v甲＝50 m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600 m，如图所示.若甲车加 速运动，加速度a＝2 m/s2，乙车速度不变，不计车长.求：
（1）经过多长时间甲.乙两车间距离最大，最大距离是多少？
例3
一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，
解：
汽车:
v汽 at 3t
1 2 3 2 x汽 at t 2 2
例3 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆 以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边 通过．
(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时 间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？ (2)当v汽<v自时，两者距离如何变化？ 当v汽>v自时，两者距离如何变化？ 汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的 距离是多大？
汽车: 乘客:
v汽 at 2t
v人 4m / s
2 x人 vt 4t
汽
开始阶段 v 人>v 车，人和车的距离逐渐减小，设经过时间 t， 4 人和车的速度相等，即 at＝v 人得 t＝ s＝2 s 2
此时人和车相距最近 此过程：x人＝vt＝4×2 m＝8 m
1 2 2 x汽 at t 4m 2
说明： ①表中的x是开始追及以后，后面物体因速度大而比 前面物体多运动的位移； ②x0是开始追及以前两物体之间的距离； ③t2-t0=t0-t1；
④v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度。
例 4
一辆汽车从静止开始以 2 m/s2 的加速度匀加速启
动，同时一乘客在车后 10 m 处以 4 m/s 的速度追车， 问人能否追上车？若能追上求追上的时间；若追不上 求人和车的最小距离． 1 2 2 解： x at t
t′=2t=4 s
v′ = 2v自=12 m/s
2．什么时候汽车追上自行车，此时汽车的 速度是多少？
解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）
则 vt′=at′2/2 6×t′= at′2/2， t′=4 s v′= at′= 3×4=12 m/s
思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那 么，前面的1、2两问如何？
解：
பைடு நூலகம்
汽车:
v汽 at 3t
v自 6m / s
乘客:
1 2 3 2 x汽 at t 2 2 x人 vt 6t
解析 (1)因为汽车做加速运动， 故汽车一定能追上自行车． 汽车 追上自行车时，两者位移相等，x 汽＝x 自， 1 2 即 at ＝v 自 t， 2 2v自 2× 6 得：t＝ a ＝ s＝ 4 s 3 v 汽＝at＝3× 4 m/s＝12 m/s
由于图线与横坐标轴所包围的面积表 示位移的大小，所以由图上可以看出
v′
V汽
6
0
V自
t/s
t t′ 在相遇之前，在t时刻两车速度相等时， 自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积） 之差（即斜线部分）达最大，所以
t=v自/a= 6 / 3=2 s
1 1 s v自t t v自 6 2 2 6 6m 2 2 2）由图可看出，在t时刻以后，由v自线与v汽线组成的三 角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相 等（即相遇）。所以由图得相遇时，
解法一 物理分析法
分析：汽车追上自行车之前， v汽<v自时 △x变大 v汽=v自时 △x最大 v汽>v自时 △x变小
两者速度相等时，两车相距最远。 （速度关系）
v汽=at=v自
∴ t= v自/a=6/3=2s
△ x=
v自t－ at2/2=6×2 － 3 ×22 /2=6m
解法二 用数学求极值方法来求解 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远
初速度 v0= v汽初－v自=0 － 6= －6 m/s 末速度 vt= v汽末－v自=6 － 6= 0 加速度 a= a汽－a自=3 － 0= 3 m/s2 vt2 － v02 － 62 ∴ 相距最远 x= = =－6m 2× 3 2a
解法四
用图象求解
如图 v/（ms-1）
1）自行车和汽车的v － t 图象
三、追及和相遇问题
例3 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆 以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边 通过． (1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时 间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？
(2)当v汽<v自时，两者距离如何变化？ 当v汽>v自时，两者距离如何变化？ 汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离 是多大？ (3)画出两车运动的v－t图象，并试着用图象法解上述两问题．
(3)画出两车运动的v－t图象，并试着用图象法解上述两问题．
(3) 两车运动的 v － t 图象如图所 示． ①由图知，若两车位移相等，即 v－ t 图线与时间轴所夹的 “面积 ” 相等． 由图中几何关系知， 相遇时间为 t′ ＝4 s，此时 v 汽＝2v 自＝12 m/s.
②由图象分析知， t＝2 s 前 v 汽<v 自， 两者距离逐渐增大， t＝2 s 后，v 汽>v 自，两者距离又减小，当 v 汽＝v 自时(t＝2 s 时)两车距离最大， 最大距离为图中三角形面积(阴影部 分 )． 1 Δx＝ × 6× 2 m＝6 m. 2
1、追及与相遇问题的实质： 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的
空间位置的问题。 2、理清三大关系： 时间关系、速度关系、位移关系。 3、巧用一个条件： 两者速度相等。它往往是物体间能否追上或 （两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析 判断的切入点。
解答追及、相遇问题常用的方法
1.物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位 置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中 建立起一幅物体运动关系的图景。 2.数学分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得 到关于t的方程（通常为一元二次方程），用判别式进行讨论， 若>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若=0，说明刚 好追上或相遇；若<0，说明追不上或不能相碰。