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贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下来，大家可以自己看：百度百科词条解释虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。
概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。
而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在能分布于以O为圆心，半径为1/2的圆中，而该圆的面积占据大圆的1/4，故概率为1/4.学夫子自己的看法来说，这种解法最牵强，他将弦的分布划归为其中点在圆中的分布，认为“一个中点M只对应于一条弦”，显然这是错误的，因为圆心O所对应的弦有无数条，而对于非圆心的点M，以M为中点的弦只有一条。
所以这本身就不是等可能的，这种解法就是错误，他就跟前两种解法不一样，加上条件就是对的，这种解法无论加什么条件都是错的，因为不是条件缺与不缺的问题，而是犯了概率论中最基本的前提错误——等可能分布。
不过网络上更倾向于第二种方法的答案作为这道题的“标准答案”，因为任意给一条弦，他应该由圆周上的两点决定。
文章。
贝特朗悖论在第一次世界大战时，意大利军队里流行着一种反常的现象：意大利士兵受伤后不去医院治疗，而是要求服用大量的止痛片。
这使人费解，军方将领也莫衷一是。
英国海军少将贝特朗认为，这种看似矛盾的现象有它合理的一面。
因为他发现，如果不进行必要的止痛治疗，很多士兵都会在作战中牺牲。
从20世纪开始，对于贝特朗悖论产生了各种不同的观点和解释。
1909年，爱尔兰数学家波利亚最先提出，士兵因为怕被俘，宁愿死于敌手，也不愿治疗疾病。
这被称为“假死说”。
但是，美国医生杜南和拉斯马丁，为寻找原因，深入研究，终于揭开了这个奥秘：原来，当士兵受伤后，生命特征就已经消失了。
如果去治疗，那么生命活动仅存于人体的某些器官，就不能在行军或作战中发挥积极作用了。
为此，医生们便采取了“假死说”的治疗方法，让士兵不用去接受手术等治疗，可以保存下更多的体力。
1910年，德国医生冯·贝克曼德尔首先向公众宣布了这个奥秘。
这种假死说在医学上被称为“灵魂出壳说”。
这个学说的前提是，人受伤以后，其实就是“灵魂”离开身体。
这种灵魂虽然没有肉体，却仍然具有思维，并且对自己的行为负责任。
由于灵魂与肉体不在一起，当伤愈之后，对自己所造成的伤害，则难以恢复。
为此，在重伤初愈后，我们必须对伤口进行必要的处理。
1912年，英国医生洛伍德正式向公众宣布了这个奥秘，他称之为“拟态说”。
他认为，人体内每一个器官、每一根神经都相当于一个独立的人，每一个器官都有一个生命，即具有特殊性质的“灵魂”。
因此，身体各部位不应该互换，医生只能对受伤的器官进行抢救，而不能移动“灵魂”。
1916年，法国外科医生皮纳尔提出，人体有两种系统在控制人体的正常功能。
一种是靠内部神经来指挥的。
另一种则是依靠来自外界刺激来指挥的。
这两种系统既独立又相互联系，同时也相互转化。
他把这种相互转化叫做“拟态”。
他把人体分成两个不同的部分，即“身体”和“灵魂”。
灵魂处于一种休息状态，通过“拟态”来适应环境，接受指令。
贝特朗悖论著名的数学家弗朗西斯·贝特朗曾提出一个有趣的悖论：如果我们在相同的时间内穿越不同的维度，那么我们将永远也无法到达目的地。
也就是说，我们只能前进而不能后退，既然这样，我们为什么还要向着终点努力呢？其实这个悖论很好理解。
我们先假设现在有两个你，和一个你存在于过去。
如果你进入了过去的某一个时间点，那么这就意味着你来到了另一个你的时空。
而这样的事件在平行宇宙中可能会发生，但几率非常小。
所以说，你只能往前走而无法后退。
然而，这个悖论的前提是在一个四维时空中同时存在两个你。
如果你有三维空间的思想，就会觉得难以接受。
在三维世界中，一切物体都具有长、宽、高三种特性，然而到了第四维世界中，一切物体均具有了时间和速度，因此没有任何运动可言。
物体之间的关系也只能是“瞬间”或者“过去”或者“未来”，没有任何其他联系。
正如网上流传的一句话“时间是最小的距离”，从另一个角度看，“时间就是物体”，当物体消失在另一个空间时，它同时也消失在另一个世界里。
一方面，你希望能够走到更远处；另一方面，你又不能后退。
换做是我们，谁会选择停留在原地，而不前进呢？这个悖论也表明了，在我们面对多维空间时，每个人都会做出不同的选择。
既然生活在三维空间中的我们是如此不自由，那么我们还有必要坚持继续向前吗？1、请思考一下，如果你现在站在广场上，在你面前有两条路，一条通往死亡，一条通往毁灭。
你作何选择？请在其中选择一条通道！假设，我们已经用尽了人生全部的积蓄，并打算把仅剩的钱买一张彩票。
如果买了一张中奖了，就能够改变你的命运，这次冒险是否值得？2、很久以前，我们的太阳系统治了整个银河系，但是今天，银河系却威胁到了太阳系的生存。
为了保护我们自己，我们需要拥有足够的战斗能力。
你愿意做一名军人，还是坐在火山口上悠闲地晒太阳？3、如果你得到了500万美元，会怎么分配？如果继续保留这笔钱，你的钱会随着时间的推移而贬值；如果进行投资，可能你的回报会翻倍；甚至更多……钱还可以购买到不同的商品，带来丰富的收益，这样的机会难道不珍贵吗？。
贝特朗悖论
1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，使我们对概率的定义有了更深的认识。
同一个问题，得出了三种答案，所以该问题一经提出就被人称为“悖论”。
其实，该问题的答案已经被人们证明有无数多个。
现在我们要考虑，同一个问题，为什么答案会有这么多?
之所以被人称之为“悖论”，并不是因为这个问题错了，也不是解答错误，每种答案都对。
但是结果不一样，这是因为人们忽略了概率中的一个定义。
样本空间定义
一个随机试验可能出现不同的结果，这些结果称之为样本点，样本点的全体所构成的集合称之为样本空间Ω，事件A定义为样本空间Ω的一个子集，它包含了若干的样本点。
所以我们要求概率，首先考虑这个试验的样本空间是什么，选择不同的样本空间，会得出不同的答案，我们针对上面三种解法考虑其样本空间：
上面三种解法得出不同答案的实质是因为求解概率的样本空间不同，换句话说就是弦是怎么做出来的，不同的作弦方式会得到不同的样本空间。
该问题之所以称之为悖论，仅仅是因为该问题中并没有阐述圆中的弦是怎么做出来的。
而我们知道，做弦的方式有无数多种，所以贝特朗提出的这个问题有无数种答案。
以下用两题对比来体会样本空间这一概念：
两个题目做出线段CM的方式不同：。
概率论发展的转折点：贝特朗悖论和所有的数学分支类似，概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。
其中的一个转折点就是贝特朗悖论。
1 古典派古典派也就是高中时候学的概率论。
它的核心哲学思想是：不充分理由原则。
1.1 不充分理由原则雅各布·伯努利（1654－1705）：提出，如果因为无知，使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现，那么应该给予它们相同的概率。
比如：•硬币：由于不清楚硬币哪一面更容易出现，那么应该给予正面、反面相同的概率，即为•骰子：我们不清楚骰子哪一面更容易出现，那么应该给予每一面相同的概率，即为此称为不充分理由原则（Insufficient Reason Principle）。
1.2 古典概率以不充分理由原则为基础，经由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（1749－1827）：之手，确立了古典概率的定义，即：未知的概率都为等概率整个19世纪的人们都广泛接受这个定义，并发展出了一系列的定义和定理。
2 贝特朗悖论法国数学家贝特朗（也翻译为“伯特兰”）于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到了这个悖论：原始的悖论比较复杂，下面我们给出一个等价的形式。
2.1 锯木厂的木头问：有一家锯木厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在尺之间随机浮动：那么根据古典概率，该锯木厂生产出来的正方形边长在尺之间的概率为多少？解：根据不充分理由原则，因为不知道哪一种边长更容易出现，那么就应该给予它们相同的概率，也就是说之间每一种长度都是等可能的。
而包含了一半的可能长度：所以，正方形边长在尺之间的概率为：2.2 悖论的产生刚才的问题还可以转为面积来解答，尺边长的正方形面积为平方尺，尺边长的正方形面积为平方尺：同样，根据不充分理由原则，平方尺之间的正方面面积是等可能的，那么正方形面积在平方尺之间的概率为：选择对“长度”还是对“面积”运用不充分理由原则，同一个问题会得到了不同的概率：那么哪个是对的？3 现代概率论3.1 反思19世纪不少人相信只要找到适当的等概率，就可以得到问题的唯一解。
从贝特朗悖论谈现代数学的迷失几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识.在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答.然而，1899年，法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指一些数学基本概念.贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出的批评，促使概率论向公理化方向发展.然而，人类也因此再一次错失了一次纠偏的大好时机！在半径为1的圆内的所有弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率.解法一：由于对称性，可预先固定弦的一端.仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求.所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 .解法二：由于对称性，可预先指定弦的方向.作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长.所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 .解法三：弦被其中点位置唯一确定.只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求.中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4.三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为paradox.其实，这些结果都是对的.因为它们采用了不同的等可能性假定：解法一假定端点在圆上均匀分布；解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布；解法三假定弦的中点在圆内均匀分布.这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的.现在，如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布.那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了.它们的分布情况如下：解法一的弦中点分布：解法一的弦分布：解法二的弦中点分布：解法二的弦分布：解法三的弦中点分布：解法三的弦分布：从贝特朗的这个悖论，我们可以清醒地看到数学家们对点的分布状态影响问题的结果是有认识的！事实上，贝特朗悖论告诉了我们一个很浅显的道理：我们在解决一个问题之前，就应该设定点的分布状态.然而，遗憾的是数学家们不去反省由此悖论反应出来的数学基础是否牢固，而总是弄出一大堆理论来试图亡羊补牢.说句不好听的话，数学的公理化是什么？就是如果你说的一大堆谬论没有自相矛盾，那么恭喜你，你创造了一套理论.现在问题来了！数学中我们经常所说的“点”究竟是什么？平面或者空间中点的分布状态到底是怎么样的？我们一般倾向于假设点在平面或者空间是均匀分布的，但是“均匀”这个词并不能表达所有，是在每个方向上是均匀的吗？在每条直线上的密度是一样的吗？我们能建立直角坐标系吗？如果我们建立了直角坐标平面xOy，那么就等于宣布了平面上的点在x轴和y轴方向上都是均匀的，而且在x轴和y轴上的“密度”是相同的！我们在向自己的学生讲授函数知识的时候，总是说单调函数是从定义域A到值域B上的一一对应.果真是这样吗？下面我也仿照贝特朗悖论，提出下面一个悖论：首先我们假设平面内的点在x轴和y轴上都是均匀分布的，这个大家没有意见吧？！给定一个分段函数：当0<=x<=1时，y=x；当1<=x<=2时，y=2x-1.这是一个单调函数，按照数学家们的说法，按照这个对应法则，从定义域[0，2]到值域[0，3]建立了一个一一对应关系.下面我要问：当x在[0，2]内变化时，x∈[0,1]的概率是多少？如果在x轴上看，概率当然是1/2；又因为通过这个函数可以得到x∈[0,1]<=>y∈[0,1]，x∈[0,2]<=>y∈[0,3]，这就是说，如果通过这个函数转移到y轴上去看,概率变成了1/3.问题出在哪儿？如果大家看了我前面写的博文《数学超级谬论：部分可以等于整体》就会很明白了：如果假设平面内的点在x轴和y轴上都是均匀分布的，那么上述函数并没有真正建立从区间[0，2]到区间[0，3]的一一对应关系！在这个对应关系中，y的值在区间[0,3]上并不是均匀分布的！可是事先，我们假定平面内的点在x轴和y轴上都是均匀分布的啊！看来，我们经常采用建立直角坐标系研究函数的做法，本身基础就是有问题的！现代数学继续迷失在深不可测的“无穷”里！数学超级谬论：部分可以等于整体一天，三个乞丐在路上捡到了三个苹果，他们决定把苹果分掉.乞丐A提出了分配方案：“ 我拿两个苹果，你们两个人平分一个苹果.”另外两个乞丐不同意：“为什么要这样分？”A 回答说：“两个苹果和半个苹果是相等的.”两个乞丐感到不公平，认为A在扯蛋！于是，他们吵了起来.最后，两个乞丐联合起来，把乞丐A打得半死，他们两个人平分了三个苹果.又有一天，三个数学家在路上捡到了三个苹果，他们决定把苹果分掉.数学家B提出了分配方案：“我拿两个苹果，你们两个人平分一个苹果.”另外两个数学家不同意：“为什么要这样分？”.B回答说：“两个苹果所含的点和半个苹果所含的点是相等的啊.”两个数学家一想：对哦！我们得到的点与他得到的点是一样多，没有吃亏嘛！最后两个数学家高高兴兴的分了一个苹果.把一个苹果切成两块，原来的整个苹果当然大于切开后的任何一块.整体大于部分，这是一条古老而又令人感到无可置疑的，连乞丐都知道的真理！而数学家们却自作聪明，搞出一套理论来，竟然说部分可以等于整体.这套理论是19世纪后期，德国“疯子”——康托尔创立的，名曰集合论.他认为：部分可以和整体之间建立一一对应关系，也就是说：部分可以等于整体.说康托尔是疯子，一点也不为过.当初他提出集合论的时候，因为很多结论是违背常理而超出现实的，许多著名的数学家都不认同他的理论.最后，康托尔本人进了疯人院.有人说他是因为饱受人们的冷嘲热讽与挫败孤独而进的疯人院，我猜测，他进入疯人院的真正原因可能还是因为他自己都觉得他的理论太过荒谬.创立这个理论的人都因为这个理论而疯了，而到现在我们还把这些疯狂的谬论当做真理！其实，在17世纪，伽利略就发现所有的正整数可以与所有的正偶数之间可以建立“一一对应”关系：1，2，3，4，5，6……↓↓↓↓↓↓2，4，6，8，10，12……这可以说明正整数和正偶数一样多吗？不能！如果从1 数到100，那么就有100个正整数，如果从1 数到2n，那么就有2n个正整数，而其中只有n个正偶数.数到2n的时候，正整数与正偶数的比值永远是2，那么当2n→+∞时，正整数与正偶数的比值不仍然是2吗？可是为什么数学家会觉得正偶数和正整数的个数相等呢？其实，是因为数学家没有把无穷当成一个确定的数对待，而是把无穷当成一个变化过程，一个无休无止，永远无法完成的过程在对待.在上述对应过程中，本来正整数的“能力”只有一个无穷大，为了找到n的对应项2n，我们把它的“能力”扩大到了两个无穷大.就象一个人现在只有100万，为了替中国的高房价买单，他向银行又贷款100万一样.这是在透支未来！从另个一个例子，我们可以更清楚地发现问题出在哪儿.听说康托尔是从一个平面几何模型研究入手的.在一个三角形中，从一顶点引一射线交对边及其中位线于两个互相对应的点.不难发现，只要射线与对边有交点，则与中位线有交点，并且两个点一一对应，那么中位线与对边上的点的个数应该相等.但是，中位线与对边的长度不相等.如果中位线的长度为1，那么对边的长度就是2，这就是说长度为1的线段上的点与长度为2的线段上的点是一样多的！康托进而进行类推，得到许多不可思议甚至是“荒唐”的结论.好，我们来分析一下这个例子.我们在研究问题的时候，总要把前提条件和研究问题的环境固定下来吧，譬如说，空间中点的分布状态.在康托尔的三角形模型中，如果我们在那个顶点处放一个点光源，那么它发出的光线就相当于我们刚才所做的射线，最后那条中位线和对边都被照亮了.但是，你只要稍微有点物理知识，你就会发现：中位线上的光的亮度肯定强一些，而对边上光的亮度弱一些，准确地说，对边上光的亮度正好是中位线上光的亮度的一半！为什么会这样？这说明什么问题？形象地说，为了能让中位线上的点能与对边上的点一一对应，康托尔不仅把中位线“地面上”的点用完了，还“掘地三尺”，把地底下的点也用完了.正是对无穷的认识不足，人们才可以无休无止地从无穷中去“榨取”更多的数.“专业一点”地说，是在康托尔的一一对应模型中，中位线上的点的“密度”比对边上的点的“密度”大一倍！如果用函数的知识来说，那么函数y=2x，x∈[0,1]的定义域上的点就比值域y∈[0,2]上的点密度要大一倍.把定义域和值域放在x,y轴上，那么x轴上的点就是y轴上的点的2倍.如果再换一个函数y=3x呢？那么又得到x轴上的点就是y轴上的点的3倍.为什么我们在研究问题的时候不规定好点的分布状态呢？为什么我们在研究同一个问题的时候，不规定平行直线上的点的密度是一样的呢？我们在建立直角坐标系的时候，x轴和y轴上的点的密度是一样的吗？数学家们不是没有意识到点的分布状态对数学问题的影响啊！概率问题的贝特朗悖论不就是的这样吗？走笔至此，突然想起佛教《中论》卷四〈观四谛品〉云（大正30·33a）中的一段话：“第一义皆因言说，言说是世俗，是故若不依世俗，第一义则不可说.若不得第一义，云何得至涅盘，是故诸法虽无生而有二谛.”是数学家们觉得“无故不可说”？还是“甚深故不可说”？亦或“能引无义故不可说”？还是“法相法尔之所安立故不可说”？。
贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下来，大家可以自己看：百度百科词条解释虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。
概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。
而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在PQ上的，而NM=1/2PQ，所以此时概率为1/2.这个解法其实有一个重要前提，那就是弦与PQ的交点在PQ 上是均匀分布的。
正正是题目中所缺乏的条件，因为圆中任意的弦，这到底怎么个做法？是像这种解法所说的，使其与PQ交点在PQ上均匀分布么？还是使弦与圆周的交点是任意分布？如果满足后者，就不可能满足前者，满足前者，就不可能满足后者。
一个比较明显的说法就是：做几条平行弦，使其在PQ上均匀分布，也就是相互之间的距离相等，我们可以看见，这些弦之间的弧长并不相等，也就是说，在PQ上均匀分布，一定不会在圆周上均匀分布。
原题中没有给出这样的条件，解法1加了这么一个条件，显然就有不一样的结果了。
再看解法2.解法2的思路是，链接OA，在OA两边做弦AM和AN，使其和AO的夹角为30°。
关于“贝特朗悖论”的总结齐尽欢高等研究院2014级理工创新实验班指导教师王雄博士摘要：简要分析人们现普遍认同的三种对“贝特朗悖论”的理解方法；介绍关于引入“密度”概念的贝特朗解法；探索解析几何概率问题中出现多解的原因；运用程序验证前两种假设。
关键词：贝特朗悖论、等概率事件、随机事件的定界。
一、“贝特朗悖论”的概述贝特朗悖论的内容如下：考虑一个内接于圆的等边三角形。
若随机选方圆上的一条弦，则此弦的长度比三角形的边较长的概率为何？常见的分析有如下三种：如图a：由于对称性，可预先指定弦的方向。
作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。
此时假定弦的中心在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1。
如图b：由于对称性，可预先固定弦的一端。
仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。
所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。
此时假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2。
如图c：弦被其中点位置唯一确定。
只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。
中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。
此时假定弦长被其中心唯一确定，弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。
二、关于方法三的新思考在黄晶晶《关于贝特朗悖论的新思考》一文中提到了关于方法三的质疑，创新性联想到“点的密度”的概念，并结合积分的方式，得到与传统理解答案不同的结论。
但关于其结果与积分过程，个人不完全认同。
我们知道弦被其中点位置唯一确定。
所以只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。
但问题出在“弦的中点在大圆内分布均匀”这里，也就是中点在圆内位置都是等可能的。
实际上，圆内的点是均匀分布的,但所有直径都要通过圆心O。
这样圆心O是无穷多条弦(即直径)的中点, 所以点O作为弦的中点的密度最大，为+∞。
而除O点之外，⊙O内其它任一点M ,以M为中点的弦有并且只有一条,这只要连接0M，再过点M作直线SS′垂直于OM且交⊙O于S，S′，易证0M是SS′的中点(存在性得证)。
另外，若还有一条弦 HH′以M为中点，则由垂径定理知HH′⊥OM。
这样，在平面上过M就会有两条直线与OM垂直，矛盾。
所以，弦的中点在圆内的分布，在O 点是无穷多条弦（直径）的中点在这里迭加，密度为+∞；而圆内其它点都只是圆内某一条弦的中点。
个人认为简言之，圆内的所有点分布均匀，但圆内所有弦的中点构成了另一个与圆内点的不同的集合，可以类似于为圆内不同点加了不同的权重。
所以，接下来下面说明⊙O的所有弦的中点在圆内的分布是不均匀的。
对于圆周上的任一点P来说，可以这样规定，它是弦PP的中点。
这样弦的中点可以覆盖整个闭圆面。
如图，我们先作两个圆⊙O(r), ⊙O(r/2)，再任作⊙O(s＊)。
圆周上任取两点 P、Q，连接OP，OQ交⊙O（r/2）于P0、Q0，交⊙O(s＊)于 P＊、Q＊。
这样，我们可以建立从⊙O(r)到⊙O（r/2）的点的对应，P对应P0,Q对应Q0。
这种对应是可逆的，故我们可以认为⊙O(r)上的点与⊙O（r/2）上的点是一样多的。
但是⊙O(r)的周长2πr，而⊙O（r/2）的周长是πr。
所以⊙O(r/2)的密度是⊙O(r)的2倍。
对于同心圆⊙O(s＊)来说（P＊为OP上之动点，0 ≤s＊≤r)，s＊越小，⊙O(s＊)上的密度越大。
至此, 关于圆的弦的中点的分布可以得出这样的结论：弦的中点(所有)覆盖整个闭圆面。
其密度随它越靠近圆心O密度越大, 设该点为P＊，它离圆心的距离为O＊=s＊，与圆心O距离相同的点，其密度是相同的。
一个点 P＊的密度与它至O的距离s＊成反比。
故⊙O(s＊)上P＊点的密度可设为 k/s＊(k为密度常数)。
只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆⊙O（r/2）内时，其弦长才合乎要求。
设弦的中点为P，PO =s，则P点的密度为k/s(k为密度常数)0 ≤s ≤r。
A表示事件:在已知⊙O(r)内任作一弦，其长大于3r。
P(A)表示事件A的概率。
P A=2πs∙ksrds2πs∙ksdsr=dsr2dsr=r2=1我认为在笔者的意图是将“密度”定义为一个类似单位长度内中点个数的概念。
从而使用积分的方法求得符合题目中条件的点的“数量”与圆内所有点的“数量”作比，求得概率。
但s的取值范围并不准确，事实上s取0值极为s是圆心点，而在计算中s 取0时周长2πs为0、密度k/s则在分母为0是无意义。
所以与其说圆内做任意一弦大于3r的概率为1/2，不如说“圆内做任意一弦（除直径外）大于3r的概率为1/2”更令人信服。
三、用计算机模拟上述过程（此处添加玮玮代码吧，然后玮玮来讲编程吧，吼吼吼，个人觉得C会low一点，不过也可以作为语句对比，也可以哈）#include "afx.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#include "time.h"int main()//随机生成一点，如果该点在圆内，总量total+1，然后验证是否对应弦大于根号三{int i = 0;float x, y;float count = 0;float total = 0;srand(time(NULL));for (; i < 10000; i++){x = (rand() % 201) / 100.0 - 1.0;y = (rand() % 201) / 100.0 - 1.0;if (sqrt(pow(x, 2) + pow(y, 2)) <= 1){total++;if (sqrt(pow(x, 2) + pow(y, 2)) <= 0.5)count++;}}printf("%f\n", count / total);return 0;}int main(){int i = 0;float ang1, ang2;float x1, y1;float x2, y2;float count = 0;int sign1, sign2;srand(time(NULL));for (; i < 10000; i++){ang1 = (rand() % 36001) / 100.0;ang2 = (rand() % 36001) / 100.0;x1 = cos(ang1) + 1.0;x2 = cos(ang2) + 1.0;y1 = sin(ang1);sign1 = rand() % 2;if (sign1 == 0) y1 = -y1;y2 = sin(ang2);sign2 = rand() % 2;if (sign2 == 0) y2 = -y2;if (sqrt(pow((((x1 + x2)) / 2) - 1, 2) + pow(((y1 + y2) / 2), 2)) <= 0.5)count++;}printf("%f\n", count / 10000);return 0;}四、随机试验的界定问题为什么我们在计算取到的弦大于3r的概率时会出现不同结论，而在计算类似从袋子里随机取一个红球的概率问题时往往都会得到明确的答案呢。
如文〔2〕中所提到的，人们混淆了两个只在表面形式上相同，但在实质上不同的问题。
即当一随机试验有无穷多个可能结果时, 有时很难客观地规定“等可能”这一概念。
所以在假设不同的条件为等可能的时候，就会出现不同的结果。
在一篇82年的论文〔3〕中，运用与先前提到的类似方法二（即概率为1/3）的思想，结合做外同心圆的方法，证明该悖论有无穷个连续解，1/2、1/3、1/4的结果仅是其中的特殊形式（想想他的证明结果都觉得内心是崩溃的）。
分析到这里，总有点想把贝特朗悖论评为一场盛大的“喜剧”。
对于时刻苛求唯一标准答案的我们，贝特朗含笑，以一切皆有可能答复世人。
就像是充斥在周遭中的各种问题，规则要求越多，可选用的解决办法就越有限，人们创造性得以发挥的空间就越少。
待一切行事规则都得到统一，那便是专制。
扯得有点远，不知道该怎么收场了…数学的魔性之处大概就在于每次深入的探索挖掘后，总能顺路带着思想兜兜风。
五、关于“贝特朗悖论”的解的个数的讨论在圆0的一个同心园(半径大于l)上任取一点A1，从A1向单位圆O作割线与之相交,单位圆O上这些弦的中点轨迹显然是以A1O为直径的圆周上的一段弧MN。
假定弦的中点等可能落在弧MN上。
对于固定点A1来说,过A1,作单位圆的切线A1M,令β=∠OA1M，则β是常数，A1M的弦心距t=A1O*sinβ；再设∠OA1B=α，其中A1B被圆O截得弦长AB=。
P（A1）=α/βOA1=R,(R≥1),因OM=1，易证OM1=1/2,由sinβ=1/R得β=arcsin(1/R)sinα=1/2R得α=arcsin（1/2R）故α/β=arcsin(1/2R)/arcsin(1/R),为R的函数。
当R取不同值，α/β的值也不相同。
当R为1时，α/β=1/3；当R趋近+∞时，α/β趋近1/2。
参考文献：〔1〕黄晶晶，黄世同.关于贝特朗悖论的新思考.昆明师范高等专科学校校报，2004，26（4）：10-12〔2〕谢琳，张晓庆.贝特朗奇论与随机试验的界定问题.辽宁师范大学数学学院.中国数学教育，2009(1-2)〔3〕潘泽彬.关于贝特朗奇论解的个数.四川师院学报（自然科学版），1982(4)：266-268 〔4〕苏同安.都是圆心惹的祸——“贝特朗悖论”新说.山东省桓台第一中学.中学数学，2010（1）：64〔5〕黄加流.也谈“贝特朗悖论”——驳“都是圆心惹的祸”.广东省珠海市第一中学. 中学数学，2011（11）：61-62〔6〕张敏，何小亚.贝特朗悖论之争的终结.华南师范大学数学科学学院.数学教育学报，2015，24（2）：51-54〔7〕贝特朗悖论_百度百科/link?url=kTGu6jgaBPHKT6n0KwnBO96h8A0HHuDnnxA7j5imyVHB5oLvco4dDGEyM-E0kQBqj6-OGAwW_oMSRSu9UiDwrq。
