贝特朗概率悖论的解释

贝特朗奇论2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆内随机取一条弦,弦 长超过3(单位圆内 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。

解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上,另一端B 任意(图1)。

对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 ,P = CD 弧长圆周长 = 13 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = CD EF = 12 。

解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。

若 A B 的中 点落在此圆内 , 则 AB> 3 , 故 P =小圆面积大圆面积= 14 。

2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。

解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 , 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆 内的落点处处等可能。

三种答案对于各自的假定都是正确的。

这样的解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。

其实弊病出在概率定义本身。

我们先看看有关概率的三个定义: 概率的统计定义: 在条件相同的n 次试验中事件 A 出现m 次, 如果加大n 时, A 的频率mn逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。

概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的试验，成为古典试验。

对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)= mn，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。

m表示事件A包含的试验基本结果数。

这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω内的某一点,且出现于每一点的可能性相等,又区域A包含于区域Ω中,那么试验结果出现于区域A的概率,即事件A R 的概率P( A ) =区域A的测度/区域Ω的测度。

贝特朗悖论在第一次世界大战时，意大利军队里流行着一种反常的现象：意大利士兵受伤后不去医院治疗，而是要求服用大量的止痛片。

这使人费解，军方将领也莫衷一是。

英国海军少将贝特朗认为，这种看似矛盾的现象有它合理的一面。

因为他发现，如果不进行必要的止痛治疗，很多士兵都会在作战中牺牲。

从20世纪开始，对于贝特朗悖论产生了各种不同的观点和解释。

1909年，爱尔兰数学家波利亚最先提出，士兵因为怕被俘，宁愿死于敌手，也不愿治疗疾病。

这被称为“假死说”。

但是，美国医生杜南和拉斯马丁，为寻找原因，深入研究，终于揭开了这个奥秘：原来，当士兵受伤后，生命特征就已经消失了。

如果去治疗，那么生命活动仅存于人体的某些器官，就不能在行军或作战中发挥积极作用了。

为此，医生们便采取了“假死说”的治疗方法，让士兵不用去接受手术等治疗，可以保存下更多的体力。

1910年，德国医生冯·贝克曼德尔首先向公众宣布了这个奥秘。

这种假死说在医学上被称为“灵魂出壳说”。

这个学说的前提是，人受伤以后，其实就是“灵魂”离开身体。

这种灵魂虽然没有肉体，却仍然具有思维，并且对自己的行为负责任。

由于灵魂与肉体不在一起，当伤愈之后，对自己所造成的伤害，则难以恢复。

为此，在重伤初愈后，我们必须对伤口进行必要的处理。

1912年，英国医生洛伍德正式向公众宣布了这个奥秘，他称之为“拟态说”。

他认为，人体内每一个器官、每一根神经都相当于一个独立的人，每一个器官都有一个生命，即具有特殊性质的“灵魂”。

因此，身体各部位不应该互换，医生只能对受伤的器官进行抢救，而不能移动“灵魂”。

1916年，法国外科医生皮纳尔提出，人体有两种系统在控制人体的正常功能。

一种是靠内部神经来指挥的。

另一种则是依靠来自外界刺激来指挥的。

这两种系统既独立又相互联系，同时也相互转化。

他把这种相互转化叫做“拟态”。

他把人体分成两个不同的部分，即“身体”和“灵魂”。

灵魂处于一种休息状态，通过“拟态”来适应环境，接受指令。

一个几何概型试题的题源探究《中学教研》2010年第09期 第38页 《福建中学数学》2010年第05期 第23页1 题目点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .（2009年福建省数学高考文科试题）解：如图1，另一端点B 只能在优弧上运动，因此所求概率为1223B B P ==优弧长圆周长.2 题源2.1 源于历史名题初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？”从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：解法1 如图2，满足条件得弦为AP .不失一般性，先固定其中一点A 于圆周上，则另一端点P 只能在弧BC 上运动，因此所求概率1=3BC P =圆周长.2BB1BBB BB B 图1AC图2AB PPPP解法2 如图3，应用对称性.可预先固定直径AB ，点,C D 为AB 的四等分点.作垂直于直径AB的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长>12≤，即弦的中点须在线段CD 上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为12CD P AB ==.解法3 如图4所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长2>，于是弦心距12≤，即弦中点必须在以O 为圆心、半径为12的圆内或圆上，故所求概率21()124P ππ==. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.同一问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。

理学院School of Science课程设计报告学生姓名：李凡学生学号：200701121所在班级：07数学1所在专业：数学与应用数学指导教师：樊嵘实习场所：青岛理工大学实习时间：第六学期课程设计成绩总评学习态度报告质量使用SAS统计模拟方法解决Bertrand’s paradoxBertand’s paradox 是法国数学家Bertrand于1889提出的一个概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内内接正三角形边长的概率是多少？他在提出问题之后，给出了三种不同的解法，得到了三个不同的结果，是为悖论。

第一种解法如下：由于弦交圆于两点。

我们先固定弦的一个端点。

以此端点作一个等边三角形(如图)。

显然，只有穿过此三角形内的弦才符合要求。

而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。

并且，不论固定的那1/3。

第二种解法如下：由于弦长只和圆心到它的距离有关。

所以固定圆内一条半径。

当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。

并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。

所以结果为1/2。

第三种解法如下；弦被其中点唯一确定（除了圆心）。

当且仅当其中点在半径为1/2的圆内时才满足条件。

此小圆面积为大圆的1/4。

所以结果为1/4。

三种看似都有道理的解法却得到了不同的答案，所以被称为悖论。

在以前对这问题的分析中，倾向于认为得到三种结果的原因是因为采用了不同的等可能性假定。

解法一假定端点在圆上均匀分布。

解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。

解法三假定弦的中点在圆内均匀分布。

先不论他们的假设是否合理，从这个问题的提法来看，问题考察的是圆内的随机弦问题。

我们应该从弦的本质定义出发，即圆上任意两点的连线为弦。

从这个思路，我们可以使用SAS进行统计模拟，确定问题的答案。

具体思路如下：1.先进行1000次试验，每次试验进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离，记录d 1000个数据，数据集为cs，其中的变量只有一个x。

解释伯特兰德悖论-回复伯特兰德悖论是概率论中的一项重要悖论，它涉及到概率的计算和选择的常见难题。

所谓伯特兰德悖论，是指当我们试图从一个有限而无序的集合中选择一个元素时，我们并不能均匀、随机地做出选择，而是受到选择方式的影响，进而导致了悖论的出现。

下面，我将逐步解释伯特兰德悖论的原理和相关概念，希望能对读者有所启发。

首先，为了更好地理解伯特兰德悖论，我们需要了解概率的基本概念。

概率是描述事件发生可能性的一种方式，通常使用一个介于0和1之间的数值来表示。

比如，当我们抛硬币时，正面朝上的概率是0.5，而反面朝上的概率也是0.5。

在伯特兰德悖论中，我们关注的是一个圆内切一个正方形的情景。

假设圆的直径等于正方形的边长，且圆心位于正方形的中心。

那么，如果我们从正方形中随机选择一个点，求这个点落在圆内的概率是多少呢？直观上来看，我们可能认为这个概率是1/4，因为圆面积占据了正方形面积的四分之一。

然而，这个直觉是错误的。

实际上，这个概率并不固定，而是依赖于具体的选择方式。

下面，我们来一步一步解释这个悖论的原理。

第一步，我们需要选择一种方式来随机选择正方形内的点。

例如，我们可以随机选择一个正方形内的点，或者随机选择一个正方形内的边，再选择该边上的一个点。

这两种方式在原理上是等效的，但在伯特兰德悖论中，它们却会导致不同的结果。

第二步，我们需要对于每种选择方式，确定一个点在正方形中的位置。

在悖论中，我们选择以边上两个点为基准，观察另外一个边上的点。

假设我们在正方形的边AB上选择了点C，那么有以下几种可能的情况：C 在AB边上（包括端点A和B）、C在AB边内部（不包括端点A和B）以及C在AB边外部。

第三步，对于每种可能的情况，我们需要确定圆内的点的位置。

具体来说，如果C在AB边的上（下）方，那么圆内的点就是从C向上（下）走出圆形内的点。

如果C在AB边上，那么圆内的点就是圆内的任意一点。

如果C在AB边内部，那么圆内的点就是从C向两个方向都能够走出圆形内的点。

伯特兰德悖论通常指的是一种有关决策和选择的悖论，最初由法国数学家约瑟夫·贝尔特兰德（Joseph Bertrand）提出。

这个悖论涉及到如何定义一个随机过程的概率。

悖论的情境通常是这样的：考虑一个圆上有一个固定点O，随机地在圆内选择一个点P。

问题是，如果一条线段的两个端点分别是O和P，那么这条线段的长度的期望是多少？
Bertrand 悖论的核心是存在多种方式来定义这条线段的长度，每种方式都可能导致不同的期望值。

具体而言，悖论的解释包括以下三种方式：
1. **边长为圆直径的等腰三角形的长度：**
- 这时线段长度的期望是圆的半径的一半。

2. **以圆心为中心，线段两端分别在圆上的弦的长度：**
- 这时线段长度的期望是圆的半径的四分之一。

3. **以圆上一点为端点，以圆心为中心的半径为另一边的线段长度：**
- 这时线段长度的期望是圆的半径的三分之一。

这个悖论揭示了在定义问题时需要准确定义随机过程的概率，否则会导致不同的结果。

这种情境对于概率论和统计学的讨论非常有趣，突显了在处理概率问题时需要明确定义事件和样本空间。

=1i 第２次讨论 内容之一: 贝特朗悖论问题内容之二: 概率空间定义的理解(1) 为什么三种解答的结论不同？请分析其原因.在贝特朗悖论中，对＂同一问题＂计算几何概率，得到不同结果的原因在于作弦的规定不够具体和统一，不同的“等可能性假设”产生不同的样本空间，具体如下：解法一，假设弦的中点在大圆内等可能分布，大圆内的点组成的样本空间为Ω1。

解法二，假设弦的中点在圆周上等可能分布，圆周上的点组成的样本空间为Ω2。

解法三，假设弦的中点在直径上等可能分布，直径上的点组成的样本空间为Ω3。

由此可见，贝特朗悖论中的三个解答分别针对三个不同的样本空间，所 以三种解答的结论不同，但是它们在各自的样本空间下都是正确的。

(2)结合概率空间的建立过程你能联想产生什么想法?众所周知，随机事件E 的所有基本结果组成的集合为E 的样本空间，即为所有可能结果的集合，且结果具有不可在分性。

贝特朗悖论让人们注意在定义概率时要先确定明确样本空间。

那么，如何确定样本空间呢？这时就需要定义一个样本空间子集的集合的一个子集为事件，即把可以计算概率的事件集合取出来，定义为“好事件”，好事件的集合成为σ-代数，用表示。

满足三个性质：①Ω∈；②若A ∈,则接着，为了描述一次随机试验中被包含在 中的所有事件的可能性，定义是在上的函数，称其为概率测度。

它有三个特性1. ；2. ；3.如果是互斥事件,那么。

除了比多第一个特性，与各个性质几乎完全相对应。

至此，概率空间(Ω, F, P)就建立起来了，概率的严格定义也基于此概念。

那么，试验条件、试验目的等对概率空间中三元素有什么影响呢？首先它们会影响Ω中的子集的选取，进而影响σ-代数中子集的数量和选取条件，及概率测度的关系设置。

(3)回顾古典概率、几何概率的定义，思考：对随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每一个子集(事件)都能确定概率?不能。

根据古典概率、集合概率的定义，若样本空间是像实数集这样的不可数集，就不可能对每个样本空间的子集定义概率并满足性质。

betrand 猜想贝特朗猜想是数学中的一个问题，它涉及到随机事件的概率分布。

贝特朗猜想的提出者是法国数学家贝特朗·拉塞尔（Joseph Bertrand），他在1889年的一篇论文中首次提出了这个猜想。

贝特朗猜想的内容是：如果在一条长度为1的线段上随机选择一个点，然后随机选择另外两个点作为这个点的两个端点，那么这个线段将会是等边三角形的概率是多少？为了解决这个问题，我们首先需要明确等边三角形的定义。

等边三角形是指所有边长相等的三角形。

在一条长度为1的线段上，等边三角形的特点是三个顶点之间的距离都相等，且等于线段的长度。

为了求解这个概率问题，我们可以采用几何概率的方法。

假设线段的两个端点分别为A和B，我们需要在这个线段上随机选择一个点C作为等边三角形的第三个顶点。

我们可以将线段AB分成三个等长的部分，记为a、b和c。

根据贝特朗猜想的定义，等边三角形的三个顶点之间的距离应该相等，且等于线段AB的长度1。

对于点C来说，它到点A的距离应该等于a，到点B的距离应该等于b，到线段AB的距离应该等于c。

根据几何知识，我们可以得出以下结论：如果点C在线段AB的中点上，那么AC和BC的距离都等于0.5，即a=b=c=0.5。

此时，线段ABC是一个等边三角形。

如果点C在线段AB的两个端点之一上，不妨设为点A，那么AC 的距离为0，BC的距离为1，c=1。

此时，线段ABC不是一个等边三角形。

如果点C在线段AB的两个端点之外，我们可以将线段AB分成两段，其中一段的长度小于0.5，另一段的长度大于0.5。

不妨设其中一段的长度为a，另一段的长度为b。

根据三角形的性质，我们可以得出以下结论：如果点C在线段AB 的两个端点之外，并且满足AC=BC，那么a和b的长度应该满足以下关系：a+b=1，且a=b。

解这个方程组，我们可以得到a=b=0.5，此时c=0。

也就是说，线段ABC不是一个等边三角形。

根据贝特朗猜想，线段ABC是一个等边三角形的概率应该是1/3。

一个几何概型试题的题源探究《中学教研》2010年第09期 第38页 《福建中学数学》2010年第05期 第23页1 题目点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .（2009年福建省数学高考文科试题）解：如图1，另一端点B 只能在优弧上运动，因此所求概率为1223B B P ==优弧长圆周长.2 题源2.1 源于历史名题初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？”从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：解法1 如图2，满足条件得弦为AP .不失一般性，先固定其中一点A 于圆周上，则另一端点P 只能在弧BC 上运动，因此所求概率1=3BC P =圆周长.2BB1BBB BB B 图1AC图2AB PPPP解法2 如图3，应用对称性.可预先固定直径AB ，点,C D 为AB 的四等分点.作垂直于直径AB的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长>12≤，即弦的中点须在线段CD 上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为12CD P AB ==.解法3 如图4所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长2>，于是弦心距12≤，即弦中点必须在以O 为圆心、半径为12的圆内或圆上，故所求概率21()124P ππ==. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.同一问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。

几何概率在现代概率概念的发展中起到了非常重大的作用。

曾经的一篇博客 用概率来计算∏（德布封的针问题） 就是一个例子。

在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答。

然而Joseph Bertrand 在1888年提出的一个问题改变了人们的想法。

在半径为1的圆内随机取一条弦，问其长度超过该圆内接等边三角形变长(根号3)的概率是多少？【解法1】由于弦交圆于两点。

我们先固定弦的一个端点。

以此端点做一个等边三角形(如图)。

显然，只有穿过此三角形内的弦才符合要求。

而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。

并且，不论固定的那个端点在圆上的哪个位置，情况都是一样的。

所以结果为1/3。

【解法2】由于弦长只和圆心到它的距离有关。

所以固定圆内一条半径。

当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。

并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。

所以结果为1/2。

【解法3】弦被其中点唯一确定。

当且仅当其中点在半径为1/2的圆内时才满足条件。

此小圆面积为大圆的1/4。

所以结果为1/4。

——————————————————————三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为paradox 。

其实，这些结果都是对的。

因为它们采用了不同的等可能性假定。

解法一假定端点在圆上均匀分布。

解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。

解法三假定弦的中点在圆内均匀分布。

这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的。

现在，如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布。

那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了。

它们的分布情况如下： 解法1的弦中点分布：Posted by Charlesgao ---> 概率统计(Prob&Stat)贝特朗奇论(Bertrand ’s paradox)解法1的弦分布：解法2的弦中点分布：解法2的弦分布：解法3的弦中点分布：解法3的弦分布：贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出的批评大大推动了概率论向公理化方向的发展。

从贝特朗悖论谈现代数学的迷失几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。

在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答。

然而，1899年，法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指一些数学基本概念。

贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出的批评，促使概率论向公理化方向发展。

然而，人类也因此再一次错失了一次纠偏的大好时机！在半径为1的圆内的所有弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。

解法一：由于对称性，可预先固定弦的一端。

仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。

所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。

解法二：由于对称性，可预先指定弦的方向。

作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。

所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

解法三：弦被其中点位置唯一确定。

只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。

中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为paradox。

其实，这些结果都是对的。

因为它们采用了不同的等可能性假定：解法一假定端点在圆上均匀分布；解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布；解法三假定弦的中点在圆内均匀分布。

这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的。

现在，如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布。

那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了。

它们的分布情况如下：解法一的弦中点分布：解法一的弦分布：解法二的弦中点分布：解法二的弦分布：解法三的弦中点分布：解法三的弦分布：从贝特朗的这个悖论，我们可以清醒地看到数学家们对点的分布状态影响问题的结果是有认识的！事实上，贝特朗悖论告诉了我们一个很浅显的道理：我们在解决一个问题之前，就应该设定点的分布状态。

贝特朗数学悖论在一个圆内随机地画一条弦。

它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？算法1：由于对称性，可将弦的方向固定，考虑它与垂直于它的直径的交点。

当这个焦点是半径的中点时，长度小于内接等边三角形边长的弦达到最大长度。

因此所求概率是1/2。

算法2：考虑弦的中点。

对于长度大于内接等边三角形边长的弦，这个中点必定落在一个半径为原来一半的同心圆内。

这个新圆的面积只有原来那个院的1/4，因此所求的概率为1/4。

算法3：由于对称性，可从弦的一个交点以及弦与此点切线的夹角着手。

这条弦必定位于三个60°角的一个角内。

因此这概率必为1/3。

算法4：让我们设想把所有能作为弦的线段放在一起，它的长度从0到d(即圆的直径长度)。

那些符合要求的弦其长度将落在(√3)d/2与d之间。

因此概率是(2-√3)/2。

贝特郎（Joseph Bertrand, 1822-1900, 法国数学家）在1889年提出了这个问题，用以批评连续型概率，并提出了第三种算法。

R. J. Denichou博士提出了第四种算法。

事实上，这道题的答案不是唯一的，除非明确规定了随机变量。

本题中并没有这样做。

几中算法对应于几种不同的随机变量：(1) 弦到圆心的距离；(2) 弦的中心位置；(3) 弦与切线的夹角；(4) 弦的长度。

《世界报》的一位读者证明，如果死抱着导致这种悖论的诡辩推理不放，那么可以使这个概率在0到1之间连续变化。

令ABC为一等边三角形，ON为垂直于OA的半径。

S是OA所在直线上位于O点上方的一点。

SN交AC于C'，交圆在A点的切线于N'。

由于对称性，可仅考虑左半圆。

经过A的一条弦相应于SN上的一个点，因此弦的长度大于这个等边三角形边长的概率是SC'/SN'。

但是S的位置是可以随意变化的，于是这个概率可以取0（S趋于O时）与1（S无限上升时）之间任何值。

概率论公理化的历史进程英才学院计算机科学与技术专业班级：1240004班姓名：马恒钊学号：7120310417引言：概率论是从赌博问题的研究中诞生的，经历了比较漫长的公理化进程，从这之后概率论才变成了一门真正的科学。

因此公理化在概率论的发展史中有着重要的地位。

关键字：贝特朗悖论公理化柯尔莫戈洛夫、产生与挑战一一贝特朗悖论概率论在17世纪中叶由研究赌博问题而诞生。

到了 19世纪，由于获得新的 研究动机以及分析方法的引入，使得概率论获得了重要进展。

可是在发展过程中 概率论没能演绎成一门逻辑上完美的数学学科，它的基础存在着缺陷。

这是因为 19世纪的分析本身就没有严格化，以它为研究工具的概率论的严格化就可想而 知了。

虽然，后来分析的基础严密了，但概率论公理化所必须的测度论还未发明 故不严密是难以避免的。

在这种情况下，出现了“贝特朗悖论”等问题，对概率 论的基础提出了挑战。

贝特朗（Bertrand ）悖论是概率论中的一个著名问题,其问题是：在圆内任作 一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率（如图1）。

此问题可以有三种不同 的解答：1）作一条铅直的直径，再作垂直于此直径的弦。

弦长可以由它与直径的交点 唯一确定。

当弦交直径于1 /4点与3 /4点之间，其长才大于内接正三角形边长 （如图2）。

设交点落在直径上哪一点是等可能的，贝U 所求概率为1 /22）固定弦的一端到正三角形的一个顶点 ，弦长可以由弦的另一端点的位置 唯一确定。

当弦的另一端点落在圆弧上 AB 之间时,其长才合乎要求（如图3）。

设 弦的另一端落在圆周上哪一点是等可能的，则所求概率为1/3。

3）弦可以由中点唯一确定。

当弦的中点落在半径为大圆半径一半的同心圆内 时，其长才合乎要求（如图4）。

设中点位于圆内哪一点是等可能的，贝U 所求概 率为1/4。

此问题从三个不同的角度来考虑，做出三种不同的答案。

这严重违背了常理 这就是贝特朗悖论。

二、问题的源头——人们对概率的各种解释为了解决上述问题，历史上出现了对概率的各种认识，既有实体概率一一概率局限* /于实在的物质世界，也有主观概率一一反映了人们对某些事物的一种信任程度，是对事物的不确定性的一种主观判断［3］。