几何概型

几何概型1.几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型.2.几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比.3.借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率. 概念方法微思考1.古典概型与几何概型有什么区别？提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？ 提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )题组二 教材改编2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B ).4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.题组三 易错自纠5.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.故m ＝3.6.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________. 答案 23解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2).由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12. 在数轴上表示，如图所示.由几何概型概率计算公式，得所求概率为812＝23.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰Rt △ABC 中，直角顶点为C . (1)在斜边AB 上任取一点M ，求|AM |<|AC |的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM |<|AC |的概率.解 (1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使|AC ′|＝|AC |，连接CC ′.由题意，知|AB |＝2|AC |.由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB . 所以P (|AM |<|AC |)＝|AC ′||AB |＝|AC |2|AC |＝22. (2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝∠ACC ′∠ACB＝π－π42π2＝34.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).跟踪训练1 (1)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为____________. 答案 23解析 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与面积有关的几何概型的计算例2 (1)(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.(2)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3|21＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.命题点2 随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________. 答案 0.4解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820＝0.4.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.跟踪训练2 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn，∴π＝4mn，故选C.(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.答案2e 2解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.题型三 与体积有关的几何概型例4 已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为________.答案2764解析 当四棱锥O －ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2， 所以PE P A ＝34，所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD ＝⎝⎛⎭⎫PE P A 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π 答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π， 则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.1.已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－3,3]，在定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率是( ) A.13 B.23 C.12 D.16 答案 C解析 由f (x 0)≤0，可得－1≤x 0≤2，所以D ＝3－(－3)＝6，d ＝2－(－1)＝3，故由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝d D ＝12，故选C.2.在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为12，则实数m 为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 区间[－1,3]的区间长度为4. 不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，当1<m ≤3时，由题意得m ＋14＝12，解得m ＝1(舍)，当0<m ≤1时，由2m 4＝12，则m ＝1.故m ＝1.3.若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( ) A.132 B.78 C.38 D.18 答案 D解析 设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为216＝18，故选D.4.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A.2－33πB.4－63πC.－13－32πD.23答案 B解析 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B.5.如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为ππππ44(sin cos )d (cos sin )|x x x x x ⎰－＝－－＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.6.(2018·郑州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图所示是赵爽的弦图.弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A.866B.500C.300D.134答案 D解析 设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为(3－1)24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝⎛⎭⎫1－32×1 000≈134. 7.记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________. 答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3].如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.8.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________. 答案33解析 因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度.设BC ＝a ，则所求概率P ＝33a a ＝33.9.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______.答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V =－－＝13AA 1×S △ABD＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体， 故所求概率为11.6A A BD V V =－长方体10.正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示.若将一个质点随机投入到正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是______.答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－⎝⎛⎭⎫－23＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.11.已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个. 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为 Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}.满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}. 画出图像如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出， 当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上， 即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}.A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部. 所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.13.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为________.答案 34解析 设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件所占的面积为 1.记这两点之间的距离小于12为事件A ，则A ＝{(x ，y )||x －y |<12，0≤x ≤1,0≤y ≤1}，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2×12×12×12＝14，所以所求两点之间的距离小于12的概率P (A )＝1－141＝34.14.向圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________. 答案 16－34π解析 如图所示，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以∠ACB ＝60°，所以S 圆C ＝π×22＝4π，所以S 弓形ADB ＝60°×π×22360°－12×2×3＝2π3－3，所以向圆C 内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝2π3－34π＝16－34π.15.在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥13”的概率，p 2为事件“|x －y |≤13”的概率，p 3为事件“xy ≤13”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥13”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，事件“|x －y |≤13”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤13”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率.解 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整个图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以P ＝2π.。

几何概型计算公式一、几何概型的定义。

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

1. 一维（长度型）几何概型。

- 设试验的全部结果所构成的区域长度为L(Ω)，构成事件A的区域长度为L(A)，那么事件A发生的概率P(A)=(L(A))/(L(Ω))。

- 例如：在区间[a,b]上随机取一个数x，若A={xc≤slant x≤slant d}，其中a≤slant c≤slant d≤slant b，则L(Ω)=b - a，L(A)=d - c，P(A)=(d - c)/(b - a)。

2. 二维（面积型）几何概型。

- 设试验的全部结果所构成的区域面积为S(Ω)，构成事件A的区域面积为S(A)，那么事件A发生的概率P(A)=(S(A))/(S(Ω))。

- 例如：在边长为1的正方形内随机取一点M，若A=“点M到正方形某一边的距离小于(1)/(4)”，则S(Ω)=1×1 = 1，S(A)=1×(1)/(2)= (1)/(2)（这里是通过计算符合条件的区域面积得到的），P(A)=(S(A))/(S(Ω))=(1)/(2)。

3. 三维（体积型）几何概型。

- 设试验的全部结果所构成的区域体积为V(Ω)，构成事件A的区域体积为V(A)，那么事件A发生的概率P(A)=(V(A))/(V(Ω))。

- 例如：在棱长为1的正方体容器内随机取一点N，若A=“点N到正方体某一个面的距离小于(1)/(3)”，则V(Ω)=1×1×1 = 1，V(A)=1×1×(1)/(3)=(1)/(3)，P(A)=(V(A))/(V(Ω))=(1)/(3)。

3.3几何概型3.3.1几何概型【知识提炼】1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( 面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2.几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个 .(2)每个基本事件出现的可能性相等 .3.几何概型的概率公式P(A)=________________________________________【即时小测】1.思考下列问题：(1)几何概型的概率计算一定与构成事件的区域形状有关?提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关.(2)在射击中，运动员击中靶心的概率是在(0，1)内吗?提示：不是.根据几何概型的概率公式，一个点的面积为0，所以概率为0.2.如图所示，在地面上放置着一个等分为8份的塑料圆盘，若将一粒玻璃球丢在该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是()A. B. C. D.1【解析】选A.玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机的，并且落在该圆盘内的任何位置是等可能的，因此该问题是几何概型.由于A区域占整个圆形区域面积的，所以玻璃球落入A区域的概率为.3.在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是.【解析】由几何概型知，P=.答案：4.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1<0”发生的概率为.【解析】由题意，得0<a<，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a-1<0”发生的概率为.答案：5.在{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}中，满足y>x的事件的概率为.【解析】由0≤x≤1且0≤y≤1得到的正方形面积为S=1，而y=x恰把其面积二等分，故P= .答案：【知识探究】知识点几何概型的概念及公式观察图形，回答下列问题：问题1：几何概型与古典概型有何区别?问题2：如何求得几何概型中事件A发生的概率?【总结提升】几何概型与古典概型的异同点类型古典概型几何概型异同一次试验的所有可能不同点(基本一次试验的所有可能出现的结果出现的结果(基本事件事件的个数) (基本事件)有无限多个)有有限个类型古典概型几何概型异同相同点(基本事件每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等发生的等可能性)【题型探究】类型一与长度有关的几何概型【典例】1.取一根长为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率为 ()A. B. C. D.2.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=()A. B. C. D.【解题探究】1.典例1中，剪得两段的长都不小于2m，应将绳子几等分?提示：五等分2.典例2中如何确定点P的位置?提示：在矩形ABCD中，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧交CD分别于E，F，点P在线段EF上时满足题意.【解析】1.选D.如图所示.记“剪得两段绳长都不小于2m”为事件A.把绳子五等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的，所以事件A发生的概率P(A)= .2.选D.如图，在矩形ABCD中，分别以B，A为圆心，以AB长为半径作弧交CD分别于点E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E，F为CD的四等分点，设AB=4，则DF=3，AF=AB=4，在直角三角形ADF中，所以【方法技巧】求解与长度有关的几何概型的步骤(1)找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，(2)找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.(3)利用几何概型概率的计算公式P=计算.【变式训练】平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.【解析】设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r<|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r，a].所以答案：类型二与面积有关的几何概型【典例】1.(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()2.(2015·蚌埠高一检测)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.【解题探究】1.典例1中要求质点落在以AB为直径的半圆内的概率，需要先求什么?提示：需要求长方形ABCD的面积及以AB为直径的半圆的面积. 2.典例2中，如何求阴影部分的面积?提示：利用“割补法”.【解析】1.选B.由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S ＝2×1＝2，以AB为直径的半圆的面积故质点落在以AB为直径的半圆内的概率2.如图所示，设OA＝OB＝r，则两个以为半径的半圆的公共部分面积为两个半圆外部的阴影部分面积为所以所求概率为答案：【方法技巧】处理面积型几何概型的策略设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上的概率为【变式训练】（2015·福建高考）如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）【解题指南】求出点C和点D的坐标，转化成面积型几何概型的概率计算.【解析】选B.因为四边形ABCD为矩形，B(1,0)且点C和点D分别在直线y=x+1和形的面积上，所以C(1,2)和D(-2,2)，所以阴影部分三角S矩形=3×2=6，故此点取自阴影部分的概率【补偿训练】(2015·衡水调研)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PAB的面积不大于的概率是_________.【解析】如图，作PE⊥AB，设矩形的边长AB＝a，BC＝b，PE＝h，由题意得，所以由几何概型的概率计算公式得所求概率答案：类型三与体积有关的几何概型【典例】1.(2015·成都高一检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1.称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()2.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为.【解题探究】1.典例1中，满足题意的区域是什么?提示：满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.2.典例2中，求解与体积有关的几何概型关键是什么?提示：解与体积有关的几何概型关键是确定基本事件构成的体积与所求基本事件构成的体积.【解析】1.选C.依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1，所以满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为2.先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：故点P到点O的距离大于1的概率为：答案：【延伸探究】1.（改变问法）若典例1中条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于的概率．【解析】到A点的距离小于的点，在以A为球心，半径为的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为所以2.（变换条件）若典例2中的条件变为在棱长为2的正方体ABCD-- A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，结果如何？【解析】与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，半球体积为：“点P与点O距离大于1”事件对应的区域体积为则点P与点O距离大于1的概率是【方法技巧】1.与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为2.解决与体积有关的几何概型的关键点解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.【补偿训练】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率为________.【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h，则又S＝1，四边形ABCD所以h＝若体积小于则h<即点M在正方体的下半部分，所以答案：【补偿训练】（2015·临沂高一检测）如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()【解析】选C.如图所示，要使弦的长度小于或等于半径长度，只要点A′在劣弧A′1A′2上.AA′1=AA2′=R，所以∠AOA1′=∠AOA2′=故由几何概型的概率公式得。

几何概型的概率公式
几何概率：
1、定义：
几何概率（Geometric Probability）是计算概率的概念，用来描述某一
状态前面发生的概率。

比如说，如果抛掷一个骰子4次，那么几何概
率就是描述得到4的情况发生的概率。

2、公式：
几何概率的公式是：Pr(X=k) = (1-p) ^ (k-1) * p，其中，k是几何概率的
参数，p是你需要研究的概率。

3、形式：
几何概率的形式为：Pr(X=k) = (1-p) ^ (k-1) * p，其中，X表示参数，k
表示发生的概率，p表示你需要研究的概率。

4、例子：
举一个简单的例子来说，假设抛掷一个六面骰子，让我们来计算出第
三次抛掷出现1的概率。

根据几何概率的公式，可以得到：Pr(X=3) = (1-1/6) ^ (3-1) * 1/6 = 1/36。

即第三次投掷出现1的概率是1/36。

5、应用：
几何概率被广泛应用于统计学，以及信息理论、语言学、数学等领域。

几何概率可用来估计特定事件的概率，对于金融市场中的风险测量也非常有用。

同时，几何概率也经常被用来分析一系列的观测事件的出现规律。

几何概型知识图谱几何概型知识精讲一．几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型几何概型，可以将每个基本事件看成从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会一样；这里区域可以是线段、平面图形、立体图形等．2．特点：（1）结果的无限性，即在一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）的个数可以是无限的，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）等可能性，每个基本事件的发生的可能性是均等的．二．几何概型的计算公式几何概型中，事件A的概率定义为：()AP A=构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）三点剖析一．方法点拨1.几何概型与古典概型的联系与区别在古典概型及几何概型中，基本事件的发生都是等可能的；在古典概型中基本事件的个数是有限的，而在几何概型中基本事件的个数是无限的.2．几何概型求解的一般步骤（1）首先要判断几何概型，尤其是判断等可能性，这方面比古典概型可能更难于判断；（2）把基本事件转化为与之对应的区域；（3）计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积、体积等）；（4）利用公式代入求解．3．几何概型的应用要把实际问题转化成几何概型，精读问题，注意适当选择观察角度，抓住关键词，把问题转化为数学问题，几何概型问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形，利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率．注意分辨清楚属于一维、二维或三维问题．尤其是二维问题一直是考试的重点．一维情形例题1、将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率为（）A.1 2B.15C.25D.35例题2、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45例题3、在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为_________．例题4、如图，在三角形AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，求△AOC为钝角三角形的概率．（）A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1随练1、某公交车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，那么一个乘客候车时间不超过6分钟的概率为____．随练2、平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（）A.1 4B.13C.12D.23随练3、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45二维情形例题1、如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.1-2πB.12-1πC.2πD.1π例题2、二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．例题3、设有-4×4正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点．求：（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率．例题4、小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是____（用数字作答）．随练1、分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（）A.7 10B.310C.35D.25随练2、设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于1的概率为____．随练3、小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．三维情形例题1、在500mL的水中有一个细菌，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是（）A.0.004B.0.002C.0.04D.0.02例题2、在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为（）A.12π B.1-12π C.6π D.1-6π随练1、1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（）A.0.01 B.0.19 C.0.1 D.0.2随练2、一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）A.18 B.116 C.127 D.38拓展1、在区间[﹣4，4]上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为34，则实数m 的值为________2、一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________．(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．3、在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S 的概率是（）A.13 B.12 C.34 D.144、在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与281cm 之间的概率为（）A.56 B.12 C.13 D.165、已知圆O ：x 2+y 2=4（O 为坐标原点），点P （1，0），现向圆O 内随机投一点A ，则点P 到直线OA 的距离小于12的概率为（）A.23 B.12 C.13 D.166、在区间[0，1]上随机取两个数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2n 有实根的概率．7、假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A.425 B.825 C.1625 D.24258、已知函数：f （x ）=x 2+bx+c ，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f （x ）满足条件：(2)12(1)3f f ≤⎧⎨-≤⎩的事件为A ，则事件A 发生的概率为（）A.58 B.516 C.38 D.129在棱长为a的正方体－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（）A.22B.22C.16D.16π。

（1）几何概型：几何概型知识点一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P(A)=_________（一般地，线段的测度为该线段的长度；平面多边形的测度为该图形的面积；立体图像的测度为其体积 ） （2）几何概型的基本特点：① ____________ ② _______________例题精选例1. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求<AM AC 的概率？ 【分析】点M 随机的落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ，当点M 位于如图的AC '内时<AM AC ，故线段 AC '即为区域d解: 在AB 上截取'=AC AC ，于是P AM AC P AM AC AC AB AC AB <=<===''()22)(【变式训练】如图，在等腰直角三角形ABC 中，在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求<AM AC 的概率？解：在∠ACB 内的射线是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，在AB 上截取'=AC AC ，则ACC '67.5∠=︒ ，故满足条件的概率为=67.5900.75例2. 如图，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ） Ａ．-π24 Ｂ．-π44Ｃ．-π22Ｄ．-π42【解析】设正方形的边长为2，则1片阴影部分的面积为⎝⎭⎪--⋅⨯=-⎛⎫ππ42111211222，所以阴影部分的面积⎝⎭⎪=-=-⎛⎫ππS A 24124，=-πP A 22)(，故选C.课堂练习与作业1．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是( ). A ．B ．C ．D ．2．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π ，－上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A ．31B ．π2C ．21D ．323．若在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ).A ．21B ．31C ．41D ．1614．如图，在边长为 3 的正方形内有区域 A （阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域 A 的面积．若每次在正方形内随机产生 10000 个点，并记录落在区域 A 内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个数的平均值为 6600 个，则区域 A 的面积约为 ( ) A. 5B. 6C. 7D. 85. 如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f (x )={x +1,x ≥0−12x +1,x <0 的图象上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ( )A. 16 B. 14C. 38D. 126. 如图，在半径为 2R ，弧长为 4π3R 的扇形 OAB 中，以 OA 为直径作一个半圆．若在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )51525354A. 38B. 58C. 34D. 787.某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( )A. 13B. 12C. 23D. 348．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).A ．61B ．31C ．21D ．329.在棱长为 2 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( )A. π12B. 1−π12C. π6D. 1−π610. 在区间 [−2,1] 上随机取一个实数 x ，则 x 使不等式 ∣x −1∣≤1 成立的概率为 ．11．已知函数f (x )＝log 2x ， x ∈，在区间上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为 ．参考答案1．解析：区域Ω为[-2，3]，子区域A 为(1，3]，而两个区间的长度分别为5，2．选B2．解析： 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－ ，上随机取一个数x ，即x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－ ，时，要使的值介于0到之间，需使－≤x ≤－或≤x ≤，两区间长度之和为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为＝．故选A.3．解析：所求概率为＝．故选D4.B 【解析】设区域 A 的面积约为 S ，根据题意有 660010000=S3×3， 所以，S =5 94，所以区域 A 的面积约为 6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，cos x 212π3π3π2π3πcos x 21π3π31224π1π⨯⨯ 1615. B 【解析】易知点 C 的坐标为 (1,2)，点 D 的坐标为 (−2,2)，所以矩形 ABCD 的面积为 6，阴影部分的面积为 32，故所求概率为 14．6.B 【解析】阴影部分的面积为 S 1=12×4π 3×2R −12R 2=5π6R 2，扇形 OAB 的面积为S 2=4π3R 2，所以在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率 P =S S==58．7. B 【解析】解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过 10 分钟，故所求概率为10 1040=12．解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过 10 分钟，7：50~8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过 10 分钟，故等车时间不超过 10 分钟的概率为 1−2040=12．8．解析：所求概率即为四棱锥O －ABCD 与正方体的体积之比．选A9.B 【解析】点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部．记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A ，则 P (A )=2 − ××12=1−π12．10.【解析】因为 ∣x −1∣≤1⇔−1≤x −1≤1⇔0≤x ≤2，所以在区间 [−2,1] 上使不等式 ∣x −1∣≤1 成立的 x 的范围为 x [0,1]，故所求概率 P =1−01−(−2)=13．11．解析：因为f (x )≥0，即log 2 x 0≥0，得x 0≥1，故使f (x )≥0的x 0的区域为[1，2]．答案：．32。