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直面经济世界的不确定性——专访2013年诺贝尔经济学奖获得者拉尔斯·彼得·汉森◎ 中国经济报告 吴 思一、学会与不确定性共存中国经济报告：您最近的研究集中在不确定性方面，为什么您认为不确定性是一个需要关注的重要问题？从经济学研究的角度看，不确定性给人们带来了哪些挑战？拉尔斯·彼得·汉森：很多人对不确定性的态度是“唯恐避之不及”。
这是因为他们认为不确定性会带来一些挑战并需要采取应对措施。
但事实上，不确定性仅仅意味着我们对结果不确定。
当一件事情十分确定时，但也可能出现坏的结果；而当一件事情存在不确定性时，也可能依然会出现好的结果。
我想强调的是，不确定性是一直存在的，无法避免。
因此，我们所面临的挑战是让不确定性在某种意义上不那么令人痛苦，我们要学会与不确定性共存。
我们最好正视它，并找出合理的应对之策。
2013年诺贝尔经济学奖获得者拉尔斯·汉森不确定性增加了经济分析的难度，当我们试图更好地理解市场以及寻找对重要政策问题的定量答案时，不确定性尤为重要。
经济学研究的一个组成部分就是评估我们知道哪些，还有哪些是我们所不知道的，以及如何面对我们所不知道的。
例如宏观经济增长存在很多不确定性，经济学家常常争论全球经济是否进入长期停滞期或者技术进步是否具有特殊的潜力。
在我看来，我们除了需要考虑经济增长的不确定程度，还应该考虑这种不确定性对经济主体行为的影响。
从私人部门角度来看，为了弄清楚当前是否是投资新项目或融资的好时机，投资者会预测宏观经济未来走势。
他们面对不确定性的反应会直接影响其在金融市场的行为。
关于决策者如何应对不确定性，现在在模型方面已经有了一些进展。
但是，大多数经济分析关于不确定性的假定是，人们知晓未来事件的概率，但不知道结果。
而我更倾向于从更广泛的角度来考察不确定性，即人们既不知道结果，也很难确定这些结果可能发生的概率。
我一直在研究如何将上述对不确定性的定性描述转化为定量方法。
数学中的数学技术数学被广泛认为是一门严谨而抽象的学科，而数学技术则是在数学应用中所衍生出的方法和工具。
这些数学技术在各个领域中发挥着重要的作用，不仅帮助我们解决实际问题，也推动了科学的发展。
本文将探讨数学中的一些重要技术，包括概率论、统计学、线性代数和微积分等。
一、概率论概率论是研究随机事件发生的规律性和不确定性的数学分支。
它利用概率模型来描述各种随机现象，并通过统计方法对这些模型进行分析。
概率论在各个领域中都有广泛的应用，例如在金融领域中，我们可以利用概率论来研究投资风险和收益的关系；在工程领域中，我们可以利用概率论来评估产品的可靠性；在医学领域中，我们可以利用概率论来研究疾病的传播规律。
概率论为我们提供了一种量化不确定性的工具，帮助我们更好地理解和预测现实世界中的情况。
二、统计学统计学是研究数据收集、分析、解释和推断的学科。
它通过收集样本数据，并运用统计方法对这些数据进行分析，以得出总体特征的推断。
统计学在各个领域中都有广泛应用，在社会科学领域中，我们可以利用统计学来研究人口统计数据、社会调查数据等；在自然科学领域中，我们可以利用统计学来分析实验数据、观测数据等。
统计学能够通过数据的分析和解释，使我们对真实世界有更深入的了解，并帮助我们做出科学决策。
三、线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的学科。
它研究线性方程组、矩阵和线性变换等概念，提供了对这些对象进行操作和求解的方法。
线性代数在许多领域中都有重要的应用，例如在计算机图形学中，我们可以利用线性代数来描述和操作三维空间的图形；在经济学中，我们可以利用线性代数来描述和解决经济模型；在物理学中，我们可以利用线性代数来描述和求解物理系统的状态。
线性代数为我们处理和分析线性关系提供了有效的工具，广泛应用于各个领域。
四、微积分微积分是研究变化和积分的数学分支。
通过微积分，我们可以研究函数的极限、导数和积分等概念，并应用这些概念解决实际问题。
微积分在科学和工程领域中有广泛的应用，例如在物理学中，我们可以利用微积分来描述和解决运动问题；在经济学中，我们可以利用微积分来分析和求解最优化问题。
随口一说却被放在心上的文案
1.“人生犹如茶，不会苦一辈子，但也不会甜一辈子。
”
2.“世界上没有完美的人，只有我们能够看到别人的不完美，并依然选择爱他们。
”
3.“别放弃你所想要的，因为你无法确定你还能不能再次拥有。
”
4.“生活就像是一本书，无法预测结局，但你可以翻阅每一页。
”
5.“不要害怕失败，害怕的是永远不曾尝试。
”
6.“生活并不总是公平的，但你可以选择如何面对它。
”
7.“不要用别人的标准来衡量自己的价值。
”
8.“永远相信你自己，因为你比你所想象的更加强大。
”
9."梦想不会主动找到你，你必须去追逐它们。
”
10.“生活的美妙之处在于每一天都带来了新的机会。
”
11.“每个人的故事都值得被听到和分享。
”
12.“不能控制外界的事物，但可以控制自己的态度。
”
13.“人生没有捷径，只有勇往直前的道路。
”
14.“人生最珍贵的财富就是自己经历过的种种。
”
15.“笑容是最好的梦想实现剂。
”。
名言面对不确定的世界全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：面对不确定的世界，我们常常感到迷茫和无助。
但是正如许多名人所说，面对这种不确定性，我们需要保持乐观和坚持，寻找解决问题的方法。
下面就让我们一起来看看关于面对不确定的世界的名言吧。
1. 爱因斯坦说过：“生活是不确定的，你就要接受它，把握现在。
”这句话告诉我们，我们无法控制未来，但是我们可以控制现在。
我们要珍惜每一天，活在当下，不要让不确定性影响我们的生活。
2. 约翰·F·肯尼迪曾经说过：“变革产生不确定性，但也会带来机遇。
”在面对不确定的世界时，我们要学会适应变革，寻找机遇，并勇敢地面对挑战。
3. 卡耐基说：“当生活给你柠檬时，你就要学会做柠檬水。
”这句话告诉我们，在面对困难和不确定时，我们要学会转变思维，寻找解决问题的方法，而不是沉溺于自怜和消极情绪中。
4. 德国哲学家康德曾说：“生活是一场旅程，而不是一种目的地。
”这句话告诉我们，人生的旅程充满了不确定性和挑战，我们要学会享受这个过程，不要把目光只放在终点上。
5. 美国总统富兰克林·罗斯福曾说：“唯一害怕的是害怕本身。
”在面对不确定的世界时，我们不能被恐惧所控制，要勇敢地面对未知，相信自己的能力，坚定地走下去。
6. 英国作家乔治·毛姆曾说：“生活的艺术就是学会承受不确定性。
”在面对不确定性时，我们要学会承受，保持心态平和，寻找解决问题的方法，不要被困扰和焦虑所困扰。
7. 中国哲学家孔子说：“知之为知之，不知为不知，是知也。
”在面对不确定的世界时，我们要有清醒的认识，知道自己不知道的地方，才能不被虚假的希望和幻想所迷惑。
8. 威廉·莎士比亚曾说：“世界就像一个舞台，人生是一场戏。
”在不确定的世界里，我们要学会扮演好自己的角色，勇敢面对挑战，不畏艰难，不怕失败。
9. 马云曾说：“巨大的波浪，才是上游的信号。
”在面对不确定的世界时，我们要学会观察和洞察迹象，及时做出调整，控制风险，把握机遇。
第一章思维和决策思维：针对并不存在于即时环境中的事物所创造出的心理表征。
1.思维过程的两种基本类型：1）自动的（automatic ）：最简形式是单纯联结（pure association ），例如某个想法激起了另一个想法或记忆、人们开车时的思维过程。
2）控制性的（controlled ）：指人们有意识地假设一些事情或经历，并基于这些假设的术语来看待我们的经历（“如果……那么……”）。
例如科学推理。
2.自动思维和控制性思维的关系：1）所有伟大的智力成果都是两者的结合体。
3）在判断和选择时，人们常常使用自动思维，但这样可能会做出一些比较差的判断和选择。
3）某些心理学规则能用于描述这些自动的思维过程。
3.1.2 思维：自动思维和控制性思维认知科学（cognitive science ）在心里计算模型上提出的假设：通过把大脑的活动描述成对符号的操纵，人们能认识思维的本质。
1.符号加工的过程：1）信息通过眼睛（或其他感官）进入大脑；2）信息被转换成一些内部的符号代码，在转换过程中保留了数字的核心信息；3）进行一些心理操作（包括信息的比较、操纵、转换），并将外部问题的信息与在学校所学的关于数学和算法的知识融合起来；4）当认为自己已达到思考问题前设定的目标时，人们就会得到答案。
2.认知心理学研究者的基本任务：通过科学方法确定发生在我们头脑中的“看不见”的思维过程。
3.1.3 心理的计算模型精神分析理论：1）最关注无意识（或“潜意识”）需求和欲望，即使是防御机制。
2）防御机制：通过防御机制，人们将无意识冲动转换成被社会所接受的行为或者神经质行为。
3）对纳粹主义的解释：a ）纳粹领导人具有该理论提出的某种病态；b ）这些病态与儿童时期的病理和精神创伤（根据精神分析理论，一个人成年后表现出异常，关键在于其童年期所受的精神创伤）有关。
1.行为主义学派：认为行为之后出现的强化（奖励或惩罚）决定了这一行为是否会成为习惯。
概率论中的随机变量与概率密度函数在我们生活的这个充满不确定性的世界里，概率论就像是一盏明灯，帮助我们理解和预测各种随机现象。
而在概率论中，随机变量和概率密度函数是两个极其重要的概念，它们为我们描述和分析随机事件提供了有力的工具。
那什么是随机变量呢？简单来说，随机变量就是把随机试验的结果用数值来表示。
比如说，抛一枚硬币，结果可能是正面或者反面，我们可以规定正面为 1，反面为 0，这样就把抛硬币这个随机试验的结果用数字表示出来了，这个数字就是一个随机变量。
再比如，一个班级学生的考试成绩，也是一个随机变量，因为每个学生的成绩都是不确定的，具有随机性。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的，像上面抛硬币的例子，取值只有 0 和 1 。
而连续型随机变量的取值则是充满某个区间的，比如一个人的身高，它可以在一个范围内取任意的实数值。
了解了随机变量，接下来我们再看看概率密度函数。
概率密度函数主要是针对连续型随机变量的。
它反映了随机变量在某个取值附近的概率分布的密集程度。
想象一下，我们有一条数轴，连续型随机变量 X 可以在上面取任意值。
而概率密度函数 f(x) 就像是给这个数轴上的每个点都赋予了一个“权重”，表示 X 取值在这个点附近的可能性大小。
但要注意的是，概率密度函数的值本身并不是概率。
概率是通过对概率密度函数在某个区间上进行积分得到的。
比如说，要计算 X 在区间 a, b 内取值的概率，就是对概率密度函数 f(x) 在这个区间上进行积分。
为了更直观地理解，我们来看一个简单的例子。
假设我们有一个连续型随机变量 X ，它的概率密度函数是 f(x) ＝ 2x ，其中 0 ＜＝ x ＜＝1 ，其他地方为 0 。
那么 X 在区间 05, 07 内取值的概率是多少呢？我们需要对 2x 在这个区间上进行积分。
积分的结果就是这个区间上的概率。
概率密度函数具有一些重要的性质。
在不确定的世界中寻找确定在这个瞬息万变的世界里，我们常常感到无所适从，对未知的恐惧和不确定性困扰着我们。
然而，正是这些变化和不确定性，也为我们提供了无限的可能性和机遇。
因此，我们需要学会拥抱变化，在不确定的世界中寻找确定。
拥抱变化，首先要认识到变化是不可避免的。
无论是个人还是企业，我们都需要面对环境、政策、市场需求等各方面的变化。
这些变化可能会带来挑战，但同时也孕育着机遇。
如果我们能够积极应对变化，把握机遇，就有可能实现突破和成长。
其次，我们要以开放的心态迎接变化。
不要害怕未知，不要抵制新事物，而是要以积极的态度去尝试和接受。
只有这样，我们才能不断拓展自己的视野和认知，增强适应能力，更好地应对各种变化。
同时，我们还要学会在变化中寻找规律和趋势。
虽然变化是无穷的，但它们并不是毫无规律的。
通过观察和分析，我们可以发现一些规律和趋势，从而更好地预测和应对未来的变化。
这需要我们具备敏锐的洞察力和判断力，不断积累经验和知识。
在拥抱变化的过程中，我们还要注重自我成长和学习。
变化的世界要求我们必须不断更新自己的知识和技能，以适应新的环境和挑战。
我们要持续学习、不断进步，提升自己的竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。
此外，我们还要善于利用资源，建立良好的人际关系网络。
在变化的世界里，资源与人脉是至关重要的。
通过与他人合作、交流，我们可以获得更多的资源和支持，更好地应对各种变化和挑战。
最后，我们要坚信自己的能力和价值。
无论面对何种变化和挑战，我们都要相信自己能够应对和克服。
这种自信不仅来自于过去的经验，也来自于对未来的信念和期望。
只有坚信自己能够战胜困难、实现目标，我们才能在不确定的世界中坚定前行。
总之，拥抱变化是我们在不确定世界中寻找确定的重要途径。
通过认识变化、开放心态、寻找规律、自我成长、利用资源、坚信自己，我们可以更好地应对各种挑战和机遇，实现个人和社会的共同进步和发展。
让我们勇敢地拥抱变化，创造一个更加美好的未来！。
概率论学习心得【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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在确定性和不确定性的世界中成长作文在这个世界上，有很多人都是在确定性和不确定性中成长起来的。
确定性就像是我们的安全感，让我们知道我们的生活是有规律的，我们可以预测未来。
而不确定性则像是我们的挑战，让我们不断地去探索、去尝试、去成长。
我记得小时候，我总是喜欢在家里的花园里玩耍。
那时候，我对这个世界充满了好奇心和想象力。
我总是想象着花园里的每一棵树、每一片叶子都有自己的故事。
有时候，我会在花园里找到一只小虫子，我会把它捧在手心里，仔细地观察它。
那时候，我觉得这个世界是那么的美好和充满奇迹。
随着我慢慢地长大，我开始意识到这个世界并不是那么简单和美好的。
我开始面临各种各样的挑战和困难。
比如说，我曾经在考试中得了一个很低的分数，让我感到非常沮丧和失落。
那时候，我觉得自己的未来一片黑暗，我不知道该怎么办才好。
但是，正是这些不确定性和挑战让我变得更加坚强和勇敢。
我开始学会面对困难，学会从失败中吸取教训。
我开始明白，生活并不是一帆风顺的，我们需要不断地去适应和改变。
只有这样，我们才能在这个不确定的世界中茁壮成长。
现在，我已经长大成人了。
我知道这个世界上还有很多不确定的因素等待着我去面对和解决。
但是，我不再害怕了。
因为我知道，只要我有信心和勇气去迎接挑战，我就一定能够战胜它们。
在确定性和不确定性的世界中成长是我们每个人都要经历的过程。
虽然这个过程可能会让我们感到恐惧和不安，但是只有通过这样的历练，我们才能够真正地成为一个成熟、坚强和有智慧的人。
所以，让我们勇敢地去面对生活中的一切挑战吧！。
世界是不确定的，还好，我们有概率论
阅读本文需要耐心（数学好到一定程度的除外），不妨准备一套纸币。
如果让你产生想重学概率论的冲动怎么办？去学呀！“概率”这两个字，除了课本以外，最常出现的地方也许就是天气预报中的“降水概率”，也就是未来几天下雨的可能性有多大。
在数学中，概率论是专门研究“可能性”的一门分支。
它涉及的问题非常广泛，内容远远超出了中学课本里那些刻板的习题。
一切随机或者不确定的事件，都是概率论研究的范畴。
上至气象下至金融，甚至连“磁铁的磁性怎么来的”这种物理问题，都可以用概率的方法来研究。
但这门学科的诞生却有些“不太光彩”。
来自赌博的问题在1654年的一天早上，法国数学家布莱兹·帕斯卡收到了他的朋友贡博的一封来信。
这位朋友自称“来自梅雷的骑士”，也算是一位业余数学家。
他向帕斯卡提出了类似如下的问题：两位贵族A与B正在进行一场赌局，赌注是每人500
法郎，两人轮流掷硬币，得到正面则A得一分，反面则B得一分，每一局两人得分的机会相等，谁先得到6分谁就得到1000法郎。
两人激战正酣，比分达到2比4之际，B突然有事需要终止赌局。
赌注应该如何分配才最公平。
这一类问题被称为点数分配问题，早在16世纪就被研究过，但数学家当时的答案并不令人满意，在一些极端情况下会给出非常不
合理的分配方案。
也许这位“梅雷骑士”也见识过现实中这种赌局引起的矛盾，他希望帕斯卡能够解决这个问题。
帕斯卡对这个问题也很感兴趣。
他向另一位业余数学家皮埃尔·德·费马发去一封信讨论这个问题。
作为“业余数学家之王”，费马很快就给出了一个答案。
他认为，不能单靠赌局停止时的比分或者各自获胜需要的分数来决定赌注的分配，而是应该考虑所有比赛的可能性中，双方获胜的比例。
但列举所有的可能性的计算量非常大，帕斯卡继而提出了一个简化算法，完美地解决了点数分配问题。
实际上，他们的解答相当于计算两位玩家胜利概率的大小。
在研究中，帕斯卡提出了“数学期望”的概念和著名的“帕斯卡三角形”（杨辉三角）。
某个结果为实数的随机事件的数学期望，也就是所有结果按照发生概率加权之后的平均值。
数学期望这个概念，掀开了概率论研究的序幕。
什么是概率？很多概率问题有着特别的结构。
对于某个非常简单的随机事件，比如说掷硬币，我们知道每种结果出现可能性的大小，这样的事件被称为“基本事件”。
我们可以多次重复这些基本事件，假定它们发生的可能性不会改变，而且这些重复没有相互影响。
如果我们将这些基本事件以合适的形式组合起来，就能得到一个更为复杂而有趣的系统。
许多概率问题实际上就是对这些随机系统的各种性质的研究。
比如说，在点数分配问题中，基本事件就是硬币的投掷，而系统则是赌局的具体规则，最
后我们希望知道的则是每一方胜利的可能性大小。
在概率论发展的早期，数学家研究的问题大多比较简单，基本事件只有有限几种结果，组合的方式也相对简单。
这样构成的随机系统又叫古典概型。
随着数学的发展，数学家开始考虑更复杂的模型。
18世纪的法国数学家布丰提出了这样一个问题：在数条间隔相等的平行线之间，随机投下长度与间距相等的一根针，它与这些平行线相交的概率是多少？在这里，因为角度与距离都是连续的值，基本事件有无数不同的结果，这样的随机系统被称为几何概型。
早在19世纪，概率论已经成为了一门枝繁叶茂的数学分支。
有趣的是，“概率”这个概念的严格定义要等到20世纪才出现。
对于古典概型，因为结果数量有限，概率的定义并没有含糊之处，但几何概型的情况更为复杂。
考虑这样的一个问题：圆中的一条随机的弦，它的长度比圆内接正三角形的边长更长的概率是多少？这个问题又叫贝特朗悖论，它奇怪的地方在于，对于不同的选取“随机的弦”的方法，得到的概率也不相同，到底谁是谁非？要等到1933年，俄国数学家柯尔莫哥洛夫为概率论建立公理体系之后，这个问题的解答才变得昭然若揭。
柯尔莫哥洛夫将概率模型建立在某一类所谓的“σ代数上的测度”上，这样的测度可以有很多种，不同的测度对应着不同的“随机”。
而在贝特朗悖论中，选取随机弦的方法实际上对应着不同测度的选取，也就是不同的“随机”概念，那自
然会得到不同的结果。
而到了现在，概率模型的种类越来越多也越来越复杂，系统可以包含无限个基本事件，而具体的组织方式也更复杂更有趣。
随机图、渗流模型、自回避行走，这些概率模型早已不能用古典概型和几何概型来概括。
也正因为有了这些复杂的模型，我们才能用概率论解决现实世界的种种难题。
无处不在的分布如果让数学家评选概率论中最重要的定理，桂冠可能非中心极限定理莫属。
它不仅是概率论中许多重要结果的基石，在别的学科中，尤其是计算机科学，它也有重要的应用，而在现实生活中，它是整整一个行业赖以生存的理论基础。
中心极限定理其实不止一个，可以说它是一连串定理的总称。
它可以看作所谓“大数定理”的细化与推广。
假设我们有一枚硬币，它掷出正反面的概率相等。
那么，如果我们连续抛掷这枚硬币一万次，常识告诉我们其中大概有五千次是正面。
这就是大数定理：对于某个基本事件独立地重复多次的话，某个可能性发生的次数占总数的比例会趋近于这个可能性发生的概率。
与大数定理不同的是，中心极限定理处理的是那些结果是实数的随机基本事件。
它告诉我们，如果将许多相同而又独立的基本事件的结果取平均的话，这个平均值会趋向某个概率分布。
根据大数定理，这个分布的数学期望就是基本事件的数学期望。
而中心极限定理额外告诉我们的，就是这个概率分布必定是一个所谓的“正态分布”，而它的方差，也就是概率分布的“分
散”程度，是基本事件的方差除以事件数目的平方根。
也就是说，基本事件越多，平均值的不确定性就越小。
将这个正态分布画成曲线的话，它就像一个大钟，中间高，但两头呈指数衰减，这也为它赢得了“钟形曲线”这个形象的名字。
中心极限定理可以推广到取值范围是高维空间中一点的情况，“相同的基本事件”这个要求也可以被更弱的条件代替，只需要基本事件满足某些要求，而不需要完全相同。
正态分布在自然界中随处可见，比如说人的身高和智力都服从正态分布。
这是因为自然界中的很多现象都由各种因素千丝万缕的联系而决定，其中没有特别突出的因素。
比如说人的身高，除了由许多不同的基因调控以外，后天的营养、环境、健康，甚至偶然的意外，都有着各自的影响。
在这种情况下，如果将每个因素看成一个基本事件，并且假定这些因素各自的影响都差不多，将这些因素综合考虑，根据中心极限定理，得到的结果就非常接近正态分布。
中心极限定理也是保险这一整个行业的基础。
每个人都会遇到各种各样的风险，比如事故、疾病等等，这些风险发生的概率都很低，但一旦发生，后果非常严重，并非每个人都能承受。
而保险业，实际上就是通过保费与保险赔付的方式，将上千万人连结起来，每人付出相对小的代价，在万一不幸袭来时，就能获得一定的保障。
由中心极限定理，这样由数量庞大的个案相加而成的保险业务，由于偶然因素导致无法赔付的概率非常小，而且参
与的人数越多，风险就越小。
为了确定保费与赔付，保险公司要做的就是根据大量统计数据精确地确定意外发生的概率，然后根据意外概率与收益确定保费与赔付的金额。
这也是为什么现代的保险公司越来越重视概率与统计。
理解复杂世界除了与不确定性相关的问题之外，概率论也与物理息息相关。
法国物理学家皮埃尔·居里在攻读博士学位时，就发现了磁铁的一个有趣的性质：无论磁力多强的铁制磁铁，在加热到770摄氏度时，都会突然失去磁性。
这个温度后来被称为铁的居里点。
为什么磁铁会突然失去磁性？通过概率论与统计物理，我们现在明白，这种现象与冰雪消融、开水沸腾相似，都属于相变的范畴。
我们可以将磁铁里的铁原子想象成一个一个的小磁针。
在磁铁还有磁性时，这些小磁针齐刷刷地指向同一个方向，但因为分子热运动的关系，每个小磁针都会时不时地动一下，但很快会被旁边的小磁针重新同化。
物理学家将这个场景抽象成所谓的伊辛模型，通过对伊辛模型的研究，概率学家发现，当温度达到某个临界值时，整个体系就会由于热运动而不能保持统一的指向，也就是失去磁性。
这个临界值就是居里点，而这样的对伊辛模型的研究也部分揭示了磁铁的一些微观结构的成因。
（图片很大，请耐心等待）相变不仅仅局限于物理现象。
流言的传播，传染病的爆发，还有微博的转发，都是一种相变过程，都存在某种临界值。
比如说传染病，在适当的模型下，
如果每个病人传染人数的平均值低于某个临界值，那么疾病就能被控制；如果高于临界值，就很可能导致疫病的全面爆发。
对于疾病传播的研究，属于流行病学研究的范畴，而在概率论被引入流行病学研究之后，我们对如何防止与控制疫病爆发有了更深入的了解，这是能挽救成千上万人的知识。
概率论的应用远远不止这些，大至飞机失事搜救，小至垃圾邮件过滤，都能在其中找到概率论的身影。
这个复杂的世界充满了不确定性，有些无伤大雅，有些却能致命。
要驾驭这些不确定性，就要从了解它们开始。
这就是概率论的意义。
概率论不能为我们带来一个没有风险的世界，但它却能教会我们如何与风险和平共处。
它带来的仅仅是关于不确定性的知识。
但知识，往往就是力量。
