2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第3次月考数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】对复数进行化简变形11iz i i-==-+，11z i +=-即可得解. 由题：()11i z i +=-，()()()()11121112i i i i z i i i i ----====-++-，112z i +=-=.故选：A此题考查复数的基本运算，涉及乘法运算和除法运算，求复数的模长. 2．下列命题中，真命题是（ ） A ．00,0x x R e∃∈≤B ．0a b +=的充要条件是0a b ==C ．若,0x R x ∀∈>D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1 【答案】D【解析】试题分析：00,x e >∴Q A 假；0,,a b a b +=∴=-∴Q C 假；无意义，C 假，故选D. 【考点】命题的真假．3．已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数单调性，结合中间值1,0进行比较. 由题：22log 0.8log 10a =<=，0.80221b =>=，2000.80.81c <=<=，所以a c b <<. 故选：C此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和对数函数的性质，根据单调性结合特殊值进行比较.4．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c c a a >.其中正确的式子的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】根据图形关系分析1212,a a c c >>，1122a c PF a c -==-，辨析为1221a c a c +=+平方处理，结合2212b b >即可得到离心率的关系.由图可知：1212,a a c c >>所以1122a c a c +>+，所以①不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得：11a c PF -=，椭圆轨道Ⅱ中可得：22PF a c =-， 所以1122a c a c -=-，所以②正确；1221a c a c +=+，同时平方得：22221212212122a c a c a c a c ++=++，所以22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，由图可得：2212b b >，所以122122a c a c <，2121c c a a <，所以③错误，④正确. 故选：D此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a ，b ，c 的基本关系，涉及等价变形处理离心率关系.5．函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数解析式得函数为偶函数，计算()221s 202in 1e ef -=⋅<+即可得出选项. ()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e ----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A此题考查根据函数解析式选择函数图象，涉及奇偶性与特殊值的辨析，此类图象问题常用排除法求解.6．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．168B ．98C ．108D ．88【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案．由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4， 底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16， ∴几何体的表面积S ＝2×12×6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88． 故选：D ．本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.7．在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．-2 B ．-1C ．23-D ．83-【答案】B【解析】根据平面向量线性关系表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，23BE AC AB =-u u u r u u u r u u u r，结合数量积的运算量即可求解.边长为2的正ABC ∆中，22cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=u u u r u u u r设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r23BE AE AB AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BE ⋅=u u u r u u u r ()1223AB AC AC AB ⎛⎫+- ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 22121233AB AC AB AC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 1824233⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1=-故选：B此题考查平面向量的基本运算，涉及线性运算和数量积运算，关键在于根据运算法则准确计算求解，此类问题常用一组基底表示其余向量求解.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin C A =，则（ ）A ．a b =B ．a b <C ．a b >D ．a 与b 的大小关系不能确定【答案】C【解析】根据120C =︒，sin C A =求出sin A A ==<=30A ︒>，则30B ︒<，结合正弦定理即可得解.由题：在ABC ∆中，120C =︒，A为锐角，sin C A =，A =，sin A A ==<=所以30A ︒>，则30B ︒<， 所以,sin sin A B A B >>， 根据正弦定理a b >. 故选：C此题考查根据三角形三内角和的关系求解三角函数值并根据三角函数值比较角的大小，结合正弦定理比较边的大小关系.9．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】求出6个数字表示的信息一共64个，该信息恰有3个0共20种情况，即可得到概率.用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1， 可以表示的信息一共6264=个，该信息恰有3个0：共有3620C =个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是2056416=. 故选：A此题考查求古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和恰有3个0包含的基本事件个数，其本质考查基本计数原理，组合的知识.10．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①④说法正确，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望发生改变，调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法；根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，根据正态分布密度曲线特征则()10.682640.15872P X ->==，所以④正确. 故选：B此题考查回归分析，抽样方法，期望方差的性质，正态分布的特点，需要熟练掌握，统计相关概念及结论辨析和基本计算.11．关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．①②D ．①③【答案】C【解析】根据()f x -判断奇偶性，结合复合函数单调性判断②，利用反证法排除③④.()()()sin cos cos sin f x x x =+，()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x -=-+-=+- ()()()sin cos cos sin x x f x =+=，所以()f x 为偶函数，①正确；()()0,,sin 0,1,cos 0,12x x x π⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭，0,,sin 2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，cos x 单调递减，()0,1,sin t t ∈单调递增，cos t 单调递减，根据复合函数单调性判断法则，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos ,cos sin y x y x ==均为减函数，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以②正确；假设()f x 的周期是π，必有()()0ff π=()()()0sin cos0cos sin0sin111f =+=+>， ()()()sin cos cos sin sin1cos11f πππ=+=-+<，所以()()0ff π≠，所以()f x 的周期不可能是π，所以③错误；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()()sin cos 1,cos sin 1a a ==， 则cos 2,2a k k Z ππ=+∈与[]cos 1,1a ∈-矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C此题考查三角函数相关性质的辨析，涉及奇偶性单调性周期性的综合应用，以及利用反证法推翻命题.12．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．0y ±=C ．)10x y ±=D ．)10x y ±=【答案】C【解析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解.由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=， 整理得22220b ab a --=.解得1ba=所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±+.故选：C此题考查双曲线的几何特征，结合直线与圆的位置关系和余弦定理解题，求渐近线方程或离心率常用到构造齐次式解题.二、填空题13．根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.【答案】33【解析】根据算法语句得出分段函数关系即可求值. 由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值， 当50x ≤时，0.5y x =，当50x >，()150.650y x =+-，所以当输入x 为80时，输出()150.6805033y =+-=. 故答案为：33此题考查根据算法语句输入数值，求输出的值，关键在于读懂算法语句表达的意思. 14．已知()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______. 【答案】4【解析】根据二项式定理求出系数，结合等差数列关系即可得解. 由题：()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，由二项式定理可得：012012,,n n n a C a C a C ===，()*2,n N n ∈≥02a ，1a ，2a 成等差数列，所以10222a a a =+，即10222n n n C C C =+，()1222n n n -=+， 2540n n -+=解得：4n =或1n =（舍去）， 所以4n =. 故答案为：4此题考查二项式定理，根据定理求出系数，根据某几项系数成等差数列关系列方程求解. 15．已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______. 【答案】512【解析】根据非负实数a ，b 满足2a b +≤，可得有序数对(),a b 表示的区域面积，根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，结合定积分求出面积即可得解. 记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为12312001115112326S x dx x=+⨯⨯=+=⎰， 因此21512S p S ==. 故答案为：512此题考查几何概型，属于面积型，关键在于根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，利用定积分准确计算面积.16．在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______.【解析】以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设未知数表示出锥体体积根据函数单调性求体积最值即可.根据该锥体的几何特征，考虑平面ABC 与平面BCD 绕BC 旋转而成的几何体， 其体积等价于考虑平面ABD 与平面ACD 绕AD 旋转而成的几何体， 以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设,04BC x x =<<，取BC 中点E ，连接,AE DE ，有,AE BC DE BC ⊥⊥，244x AE DE ==-根据面面垂直的性质，AE ⊥平面BCD ， 所以锥体体积()222311444164464241132A BCD x x x x x x x V -⎛⎫--=-=-+ ⎪⎝⎭=⨯ 考虑函数()()3116,0424f x x x x =-+<< ()()()()21131643432424f x x x x '=-+=+，43x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x ¢>，函数单调递增，434x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，()0f x ¢<，函数单调递减，所以()3max4314343163163243327f x f ⎛⎛⎛ ==-+⋅= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭163. 故答案为：327此题考查求几何体体积，涉及变量问题考虑函数结合单调性处理.三、解答题17．已知正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*11n n a a S S n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<L ． 【答案】（1）()*2nn a n N =∈；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >⇒12a =；当2n ≥时()122n n n n a S S a -=-=--()122n a --⇒12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列⇒()*2n n a n N =∈；（2）令12231232222n n n nT b b b L L =+++=++++，利用错位相减法求得()12222nn T n ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭．试题解析： （1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列，故()*2n n a n N =∈．（2）令12231232222n n n n T b b b L L =+++=++++， 则234111*********n n n n nT +-=+++++L ， 两式相减得23111111222222n n n nT +=++++-L ，所以()231111111222222222nn n n n T n -⎛⎫=+++++-=-+< ⎪⎝⎭L 【考点】1、数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、错位相减法. 18．如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，6PD =（1）求证：平面PAB⊥平面DAB；（2）求二面角B AP D--的余弦值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】试题分析：（1）P作PH AB⊥于点H，连HD，由勾股定理及三角形全等得PH HD⊥，根据线面垂直的判定定理得PH⊥平面ABD，进而可得结果；（2）以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APD与平面的APB一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：（1）在PAB∆中，过P作PH AB⊥于点H，连HD．由Rt APB Rt ADB∆≅∆可知DH AB⊥，且3,1PH DH AH===，又222336PH HD PD+=+==，∴PH HD⊥．又AB HD H⋂=，∴PH⊥平面ABD，又PH⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABD．（2）由（1）可知,,HB HD HP两两垂直，故以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，可知()()()()1,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3A B D P-．设平面APD的法向量为(),,m x y z=r，则·0·0m ADm AP⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rru u u rr，即()()()(,,3,00,,30x y zx y z⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴3030xx z⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令3x=1y z==，∴()3,1,1m=-，又平面APB 的法向量()0,1,0n r=， ∴·cos ,m n m n m n 〈〉===r r r r r r， 而二面角B AP D --与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D --的余弦值为【方法点晴】本题主要考查利用面面垂直的判定定理以及空间向量求法向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19．已知函数()sin 1f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明.【答案】（1）10x y --=（2）()f x 在()0,π内有且仅有两个零点，证明见解析 【解析】（1）求出导函数，根据在某点处的切线方程即可得解； （2）结合函数的单调性和取值范围依据根的存在性定理讨论零点个数. （1）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（2）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<，1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一的零点1x .②当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022f f ππα⎛⎫>=->⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .此题考查导数的综合应用，涉及导数的几何意义，求在某点处的切线，根据导函数讨论函数单调性处理零点个数问题，综合性比较强.20．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量. (I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.【答案】（Ⅰ）Z 的分布列见解析，()9708E Z =；（Ⅱ）0．973．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,{?20,0,? 0.x y W x y x y x y +≤+≤-≥≥≥（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,?0),?(2.4,?4.8),?(6,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当 2.4,?4.8x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(7.5,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当3,?6x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(6,?4),?(9,?0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为，当6,4x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利y 的分布列为y8160 10200 10800 Z0．30．50．2因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=【考点】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布．21．已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （1）求1C ，2C 的方程；（2）设过点F 的动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥； （ii ）求AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】（1）1C 的方程为22134x y +=，2C 的方程为24x y =（2）（i ）证明见解析（ii ）7【解析】（1）根据几何特征列方程即可求解曲线方程；（2）联立直线与曲线方程，结合韦达定理处理，（i ）证明斜率之积为-1，（ii ）化简代数式根据基本不等式求解最值.（1）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=. 故1C 的方程为22134x y +=，()0,1F 为抛物线的焦点，设其方程22x py =，1,22pp == 易知2C 的方程为24x y =.（2）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k =-+，代入22134x y +=得()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF FB FD CF =+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()123411114422y y y y =+++-⋅-()()()()1234122444kx kx y y =+++--()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t-=-=>，故()f t 在[)3,+∞单调递增， 因此139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=u u u r u u u r ， 当且仅当3t =即0k =等号成立. 故AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值为7.此题考查求曲线轨迹方程，直线与曲线的综合问题，将几何关系转化成代数关系，利用韦达定理处理与根有关的问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221x y +=；直线l 的直角坐标方程为30x y -+=（2）12+ 【解析】（1）根据参数方程与普通方程的转化关系，极坐标方程与直角坐标方程的转化关系求解；（2）结合圆的参数方程设点的坐标和点到直线距离公式求解最值.（1）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==1≤. 等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即P ⎝⎭. 因此点P 到直线l1+. 此题考查坐标系与参数方程相关知识，涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程解决点到直线距离问题. 23．（1）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （2）解关于x 不等式：2323x x x x <-<. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据柯西不等式处理()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭即可得证； （2）根据不等式形式分析出0x <，再去绝对值解不等式. （1）a ，b ，c 均为正数，由柯西不等式有()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）（2）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.即22123231x x x x ⎧>-⎪⎨->-⎪⎩，2221032031x x x x -+>--<⎧⎪⎨⎪⎩， 23210x x -+>恒成立，只需解23210x x --<且0x <解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.此题考查不等式的证明和解不等式，考查对柯西不等式的应用，也可对乘积拆开用基本不等式求解，解含绝对值不等式，先结合题意分析绝对值内部符号，避免分类讨论.。
雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,4,6,8,10,12U =，{}4,6,8M =，{}8,10N =，则集合{}2,12=（）A. M N ⋃B. M N ⋂C. ()U C M N ⋃D. ()U C M N2. 下列命题正确的是（ ）A. “ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件B. 命题：0,ln 1x x x ∀>≤-的否定是：0000,ln 1x x x ∃>≥-C. 5πsin cos 2x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D. 函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数 3. 若复数z 满足|2i ||2i |8z z ++-=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是（ ） A 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 线段4. 已知D 是ABC 所在平面内一点，3255AD AB AC =+，则（ ）A. 25BD BC =B. 35BD BC = C. 32BD BC =D. 23BD BC =5. 我们把由0和1组成的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{}()12211,n n n n F F F F F F ++===+中的奇数换成0，偶数换成1可得到01-数列{}n a ，记.数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（ ） A. 32B. 33C. 34D. 356. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（ ）12.2≈）A. 34πB. 27πC. 20πD. 18π7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值是A.12B.C.D.328. 求值：2cos40cos80sin80+=（ ）A.B.C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（ ）A. 日认购量与日期正相关B. 日成交量的中位数是26C. 日成交量超过日平均成交量的有2天D. 10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量10. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C x y =上两个不同的点，以()()1122,,,A x y B x y 为切点的切线交于P 点.若弦AB 过点()0,1F ，则下列说法正确的有（ ） A. 124x x =-B. 若12x =，则A 点处的切线方程为10x y --=C. 存在点P ，使得0PA PB ⋅>D. PAB 面积的最小值为411. 已知函数()()()1e 1xf x x x =+--，则下列说法正确的有A. ()f x 有唯一零点B. ()f x 无最大值C. ()f x 在区间()1,+∞上单调递增D. 0x =为()f x 的一个极小值点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有__________种13. 已知圆221:(2)1C x y +-=与圆222:(2)(1)4C x y -+-=相交于,A B 两点，则()1211C C C A C B =⋅+__________.的14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代标志的ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT 对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示： 服务业就业人数的ChatGPT 应 用的广泛性减少 增加 合计广泛应用 60 10 70 没广泛应用 40 20 60 合计 10030130（1）根据小概率值0.01α=独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X 人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X 的分布列和均值.的的附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α 0.10.05 0.01x α 2.706 3841 6.63516. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,,120ABCD PA AB BC AD CD ABC ∠===== .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD；（2）若点M 为PB 的中点，线段PC 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为.若存在，求PN PC 的值；若不存在，请说明理由.17. 如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．18. 已知函数()()2ln 3f x x x ax x a =--∈R ..（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值； （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <， ①求实数a 的取值范围；②若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围.19. 对于无穷数列{}n c ，若对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，存在*k ∈N ，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”.（1）若数列{}n b 的通项公式为2n b n =，试判断数列{}n b 是否为“G 数列”，并说明理由； （2）已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且21a a >，求2a 所有可能的取值；②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,4,6,8,10,12U =，{}4,6,8M =，{}8,10N =，则集合{}2,12=（）A. M N ⋃B. M N ⋂C. ()U C M N ⋃D. ()U C M N【答案】C 【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义分别计算各选项对应的集合，从而可得正确的选项. 【详解】{}4,6,810M N = ，而{}8M N = ， 故(){}U 2,12M N =U ð，(){}U 2,4,6,10,12M N = ð， 故选：C.2. 下列命题正确的是（ ）A. “ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件B. 命题：0,ln 1x x x ∀>≤-的否定是：0000,ln 1x x x ∃>≥-C. 5πsin cos 2x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D. 函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数 【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B ，利用诱导公式判断C ，利用特殊值判断D.【详解】对于A ：由函数ln y x =为定义在()0,∞+上单调递增函数，因为ln ln m n <，可得0m n <<，又因为函数e x y =为单调递增函数，可得e e m n <，即充分性成立；反之：由e e m n <，可得m n <，当,m n 小于0时，此时ln ,ln m n 没意义，即必要性不成立， 所以“ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题：0,ln 1x x x ∀>≤-的否定是：0000,ln 1x x x ∃>>-，故B 不正确； 对于C ：5ππsin sin cos 22x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 不正确； 对于D ：当2x =-时0y =，当0x =时2y =，但20-<，可得02<， 所以函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上不是减函数，故D 不正确； 故选：A.3. 若复数z 满足|2i ||2i |8z z ++-=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线C. 圆D. 线段【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用复数的几何意义，以及椭圆的定义，即可求解. 【详解】设()()()12,,0,2,0,2P x y F F -，复数z 对应点P ， 因为复数z 满足|2i ||2i |8z z ++-=，由复数的几何意义，可得21128242PF PF a F F c +==>==，的所以复数z 对应的点满足椭圆的定义，复数z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆. 故选：A.4. 已知D 是ABC 所在平面内一点，3255AD AB AC =+，则（ ）A. 25BD BC =B. 35BD BC = C. 32BD BC =D. 23BD BC =【答案】A 【解析】【分析】由平面向量线性运算可得.【详解】由3255AD AB AC =+ ，得3255AB BD AB AC +=+得2255BD AB AC =-+，得()2255BD AB AC BC =-+= ， 故选：A5. 我们把由0和1组成的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{}()12211,n n n n F F F F F F ++===+中的奇数换成0，偶数换成1可得到01-数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（ ） A. 32 B. 33C. 34D. 35【答案】B 【解析】【分析】根据题意求得数列的前9项，通过观察找到规律，继而可求. 【详解】因为12211,n n n F F F F F ++===+，所以34567892,3,5,8,13,21,34,F F F F F F F ======= ， 所以数列{}n a 的前若干项为：1231567890,1,0,0,1,0,0,1,a a a a a a a a a ========= ，则1234567891a a a a a a a a a ++=++=++== ，所以100331033S =⨯+=. 故选:B.6. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（ ）12.2≈）A. 34πB. 27πC. 20πD. 18π【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合圆台的侧面积公式分析求解. 【详解】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为,R r ，由题意可知： 4.2, 1.4R r ==，则圆台的母线长l ==所以其侧面积为()()π 4.2 1.4π 4.2 1.44 1.2227π⨯+⨯≈⨯+⨯⨯≈. 故选：B.7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值是A.12B.C.D.32【答案】C 【解析】 【分析】设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ，设1PF s =，2PF t =，运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ， 设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在12PF F ∆中，123F PF π∠=，可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即为222224()()()()3c a m a m a m a m a m =++--+-=+，即有222234a m c c+=，即为2221314e e +=，由221213e e +≥，可得12e e ⋅≥，当且仅当21e =， 故选C ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8. 求值：2cos40cos80sin80+=（ ）A.B.C.D. 【答案】A 【解析】【分析】易知()cos40=cos 12080-，再利用两角差的余弦公式计算可得结果.【详解】()2cos 12080cos802cos40cos80sin80sin80-++=()2cos120cos80sin120sin80cos80sin80++===故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（ ）A. 日认购量与日期正相关B. 日成交量的中位数是26C. 日成交量超过日平均成交量的有2天D. 10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量 【答案】BD 【解析】【分析】根据正相关的定义结合图象即可判断A ；根据中位数的定义结合图象即可判断B ；根据图中数据进行计算即可求得平均数，即可判断C ；根据图中数据进行计算即可判断D . 【详解】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以A 错； 将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以B 对； 日平均成交量为1383216263816642.77++++++≈，超过42.7的只有一天，所以C 错；10月7日认购量的增量为276112164-=， 成交量的增量为16638128-=，所以D 对， 故选:BD.10. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C x y =上两个不同的点，以()()1122,,,A x y B x y 为切点的切线交于P 点.若弦AB 过点()0,1F ，则下列说法正确的有（ ） A. 124x x =-B. 若12x =，则A 点处的切线方程为10x y --=C. 存在点P ，使得0PA PB ⋅>D. PAB 面积的最小值为4 【答案】ABD 【解析】【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A 正确；求得12y x '=，得到切点坐标2111,4A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，得出切线方程2111124y x x x =-，进而可判定B 正确；由直线AP 的斜率为112x ，直线BP 的斜率为212x ，得到12114x x =-，可判定C 错误；由过点B 的切线方程为2221124y x x x =-，结合弦长公式，得到()32241ABP S k=+ ，可D 正确.【详解】对于A 中，设直线:1AB y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx --=， 再设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +=⋅=-，所以A 正确； 对于B 中，由抛物线24x y =.可得214y x =，则12y x '=， 则过点A 的切线斜率为112x ，且21114y x =，即2111,4A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则切线方程为：()21111142y x x x x -=-，即2111124y x x x =-， 若12x =时，则过点A 的切线方程为：10x y --=，所以B 正确；对于C 中，由选项B 可得：直线AP 的斜率为112x ，直线BP 的斜率为212x ， 因为12121111224x x x x ⋅==-，所以AP BP ⊥，即0PA PB ⋅= ，所以C 错误；对于D 中，由选项B 可知，过点B 的切线方程为2221124y x x x =-，联立直线,PA PB 的方程可得()12,1,,1,PF PF AB P k k k k PF AB k-=-⋅=-⊥，所以12ABP S AB PF =⋅ ，()2241AB x k =-===+，PF ===则()32241ABPSk=+ ，当0k =时，ABP S △有最小值为4，所以D 正确.故选：ABD.11. 已知函数()()()1e 1xf x x x =+--，则下列说法正确的有A. ()f x 有唯一零点B. ()f x 无最大值C. ()f x 在区间()1,+∞上单调递增D. 0x =为()f x 的一个极小值点 【答案】BCD 【解析】【分析】求出函数的零点判断A ；利用导数探讨函数()f x 在(2,)+∞上的取值情况判断B ；利用导数探讨单调性及极值情况判断CD.【详解】对于A ，依题意，()()100f f -==，即=1x -和0x =是函数()()()1e 1xf x x x =+--的零点，A 错误；对于B ，当0x >时，令()e 1xu x x =--，求导得()e 10xu x =->'，函数()u x 在()0,∞+上递增，当2x ≥时，()2e 31u x ≥->，而1y x =+在()0,∞+上递增，值域为()1,+∞，因此当2x ≥时，()1f x x >+，则()f x 无最大值，B 正确； 对于C ，()()2e 22xf x x x '=+--，令()()2e 22xg x x x =+--，求导得()()3e 2xg x x =+-'，当0x >时，令()()3e 2xh x x =+-，则()()4e 0xh x x '=+>，即()()g x h x '=在()0,∞+上递增，()()010g x g '='>>，则()()f x g x '=在()0,∞+上递增，()()00f x f ''>=，因此()f x 在()0,∞+上递增，即()f x 在()1,+∞上单调递增，C 正确； 对于D ，当10x -<<时，()22e 2xx x x ϕ+=-+， 求导得()22e (2)xx x ϕ=-+'，显然函数()x ϕ'在()1,0-上递增， 而()()11120,00e 2ϕϕ'-'=-<=>，则存在()01,0x ∈-，使得()00x ϕ'=， 当()0,0x x ∈时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在()0,0x 上单调递增，则()()00x ϕϕ<=， 即当()0,0x x ∈时，22e 2xx x +<+，则()()2e 220xf x x x '=+--<，又()00f '=， 因此0x =为()f x 的一个极小值点，D 正确. 故选：BCD【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种 【答案】240 【解析】【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有44A 24=种情况，的则有1024240⨯=种分配方案. 故答案为：240.13. 已知圆221:(2)1C x y +-=与圆222:(2)(1)4C x y -+-=相交于,A B 两点，则()1211C C C A C B =⋅+__________. 【答案】2 【解析】【分析】易知两圆公共弦AB 所在的直线方程为()()12210,0,2,2,1x y C C -+=，由点到直线距离公式可得向量1C A 在向量12C C 方向上的投影为d = 2.【详解】由题意可知两圆公共弦AB 所在的直线方程为()()12210,0,2,2,1x y C C -+=，如下图所示：所以点1C 到直线210x y -+=的距离为2d C ==，又易知12C C AB ⊥，所以向量1C A 在向量12C C 方向上的投影为d =所以1211C C C A ⋅== ，同理可得1211C C C B ⋅= ， 所以()12112C C C A C B ⋅+=.故答案为：214. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为___________.【答案】 ①.②. 234##5.75【解析】【分析】第一空，由正弦定理求得3sin 4ACB ∠=，可得cos ACB ∠=角形诱导公式推得sin cos PAC ACB ∠∠=，即得答案；第二空，设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出()4cos cos cos PA PB PC θαβ++=++，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为R ，则2R =， 由正弦定理，可知324sin sin AB R ACB ACB∠∠===，即3sin 4ACB ∠=，由于ACB ∠是锐角，故cos ACB ∠= 又由题意可知P 为三角形ABC 的垂心，即⊥AP BC ,故π2PAC ACB ∠∠=-，所以sin cos PAC ACB ∠∠==； 设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===， 则πππ,,222PAC PBA PAB ∠β∠θ∠α=-=-=-， 由于::6:5:4AC AB BC =，不妨假设6,5,4AC AB BC ===，由余弦定理知222222222654345614659cos ,cos ,cos 2654245824616θαβ+-+-+-======⨯⨯⨯⨯⨯⨯，设AD,CE,BF 为三角形的三条高，由于ππ,22ECB EBC PCD CPD ∠+∠=∠+∠= , 故EBC CPD ∠=∠ ,则得πππAPC CPD EBC ABC ∠∠∠=-∠=-=-，所以24ππsin sin sin sin 22PC PA AC ACR APC ABC∠∠βθ=====⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理可得24πsin sin sin 2PB AB ABR APB ACB∠∠α====⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()319234cos cos cos 448164PA PB PC θαβ⎛⎫++=++=++=⎪⎝⎭,；234 【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代标志的ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT 对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：服务业就业人数的ChatGPT 应 用的广泛性减少 增加 合计广泛应用601070没广泛应用 40 20 60 合计 10030130（1）根据小概率值0.01α=的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X 人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X 的分布列和均值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α 0.10.05 0.01x α 2.706 3.841 6.635【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题意求2χ，并与临界值对比判断；（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】零假设为0H ：ChatGPT 对服务业就业人数的增减无关.根据表中数据得220.01130(60204010) 6.603 6.635706010030x ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯χ，所以根据小概率值0.01α=的独立性检验， 没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为无关. 【小问2详解】由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中， 有6053100⨯=人认为人工智能会在服务业中广泛应用，有4052100⨯=人认为人工智能不会在服务业中广泛应用， 则X 的可能取值为1,2,3，又()()()1231332323335355C C C C C 3311,2,3C 10C 5C 10P X P X P X =========， 所以X 的分布列为X1 2 3P310 35 110所以()3319123105105E X =⨯+⨯+⨯= 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,,120ABCD PA AB BC AD CD ABC ∠===== .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若点M 为PB 的中点，线段PC 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为.若存在，求PN PC 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，14PN PC =或38PN PC = 【解析】【分析】（1）设AC 的中点为O ，根据题意证得BD AC ⊥和BD PA ⊥，证得BD ⊥平面PAC ，进而证得平面PAC ⊥平面PBD .（2）以,OCOD 所在的直线为x 轴和y轴，建立空间直角坐标系，设()01PN PC λλ=≤≤，分别求得平面PAC和1,122MN λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解..【小问1详解】设AC 的中点为O ，因为AB BC =，所以BO AC ⊥，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，所以,,B O D 三点共线，所以BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD . 【小问2详解】以,OC OD 所在的直线为x 轴和y 轴，过O 点作平行于AP 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则)()(),2,0,1,0CP B -，因为M 为PB的中点，所以1,12M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设()01PN PC λλ=≤≤，所以()22N λ--，所以1,122MN λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知BD ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()0,1,0n =， 设直线MN 与平面PAC 所成角为θ，则sin cos ,MN n MN n MN n θ⋅====，即当14PN PC =或38PN PC =时，直线MN 与平面PAC.17. 如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．【答案】（Ⅰ）()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）见解析【解析】【详解】分析：(1)设圆心坐标为()2,r ，根据3MN =.可由勾股定理求出r ，求得圆的方程． (2)讨论当斜率不存在时0ANM BNM ∠=∠= ；当斜率存在时，设出直线1y kx =+方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212246,1212k x x x x k k+=-=-++，表示出AN BN k k 、，即可判定ANM BNM ∠=∠．详解：(1)由题可知圆心的坐标为()2,.r ∵22232553,2,242MN r r ⎛⎫=∴=+== ⎪⎝⎭∴圆C 方程为:()22525224x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭ (2) 由圆C 方程可得()()0,1,0,4M N①当AB 斜率不存在时，0ANM BNM ∠=∠=②当AB 斜率存在时，设AB 直线方程为:1y kx =+. 设()()1122,,,A x y B x y()2222112460184y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ 1212246,1212k x x x x k k +=-=-++∴()22121212121226423234412120612AN BN k k kx x x x y y k k k k x x x x k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+--++⎝⎭⎝⎭+=+===-+∴0AN BN k k +=综上所述ANM BNM ∠=∠点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考点，属于难点．18. 已知函数()()2ln 3f x x x ax x a =--∈R .（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值； （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <， ①求实数a 的取值范围；②若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】18. 1-19. ①310,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，②[)1,+∞ 【解析】【分析】（1）对函数求导，依题意可得()10f '=，解得1a =-，经检验符合题意；（2）①将函数()f x 有两个极值点转化为方程ln 220x ax --=有两个不同的正数根，再由函数与方程的思想可知函数()ln 2x g x x-=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点，利用数形结合可得310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数()()ln 11ln 0F t t t t k t t =-+---<对任意的01t <<恒成立，利用导数并对实数k 的取值分类讨论即可求得[)1,k ∞∈+. 【小问1详解】易知()ln 123ln 22f x x ax x ax =+--=--'，又1x =是函数()f x 的一个极值点，()10f ∴'=，即220,1a a --=∴=-.此时()ln 22f x x x +'=-，令()()1ln 22,20h x x x h x x+='=-+>， ()()f x h x ∴'=在()0,∞+上单调递增，且()10f '=，当()()0,1,0x f x ∈'<，当()()1,,0x f x '∈+∞>，()f x ∴在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点，即1a =-符合题意； 因此实数a 的值为1-. 【小问2详解】①因为()ln 22f x x ax -'=-，且()()2ln 3f x x x ax x a =--∈R 有两个极值点12,x x ，所以方程()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的根，即方程ln 220x ax --=有两个不同的正数根，将问题转化为函数()ln 2x g x x-=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点， 则()23ln x g x x -'=，令()23ln 0xg x x'-==，解得3e x =， 当3e x >时，()()0,g x g x '<单调递减，当30e x <<时，()()0,g x g x '>单调递增， 且当2e x >时，()()20,e0g x g >=，故作出()g x 的图象如下：由图象可得3120,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足题意，即310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 即实数a 的取值范围为310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ②由①知12,x x 是ln 220x ax --=的两个根，故11222ln 20,2ln 20x ax x ax -+-=-+-=，则1212ln ln 2x x a x x -=-，不妨设12x t x =，又120x x <<，所以()120,1x t x =∈可得21tx x =， 可得122212ln ln 2ln 0x x x x x x --+-=-，即122122ln2ln 0x x x x x x -+-=-，所以2ln ln 21tx t =+-； 故由122ln 31ax k x k +>+可得121212ln ln ln 31x x x k x k x x -+>+-，即2222ln ln 31t tx k x k tx x +>+-，所以2ln ln 311t tk x k t +>+-； 也即ln ln 23111t t t k k t t ⎛⎫++>+ ⎪--⎝⎭，化简得ln 11ln 11t t t t t k t t -+--⎛⎫> ⎪--⎝⎭， 由于01t <<，所以等价于()ln 11ln 0t t t k t t -+---<对任意的01t <<恒成立， 令()()ln 11ln F t t t t k t t =-+---，故()0F t <对任意01t <<恒成立，则()ln kF t t k t '=-+， 设()ln k m t t k t =-+，则()221k t km t t t t='-=-，（i ）当0k ≤时，()()()20,t km t m t F t t-=>'='单调递增，故()()()10,F t F F t '='<单调递减，故()()10F t F >=，不满足，舍去； （ii ）当1k ≥时，()()()20,t km t m t F t t -=<'='单调递减， 故()()()10,F t F F t '='>单调递增，故()()10F t F <=，故()0F t <恒成立，符合题意； （iii ）当01k <<时，令()20t km t t-'==，则t k =， 当1k t <<时，()()()0,m x m x F t >'='单调递增， 当0t k <<时，()()()0,m x m t F t <'='单调递减，又()10F '=，故1k t <<时，()()10F t F ''<=，此时()F t 单调递减，故()()10F t F >=，的因此当1k t <<时，()0F t >，不符合题意，舍去. 综上，实数k 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用两极值点关系可得1212ln ln 2x x a x x -=-，并通过构造函数将不等式问题转化为函数在指定区间上恒成立问题，利用导函数求出函数最值即可求得实数k 的取值范围. 19. 对于无穷数列{}n c ，若对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，存在*k ∈N ，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”.（1）若数列{}n b 的通项公式为2n b n =，试判断数列{}n b 是否为“G 数列”，并说明理由； （2）已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且21a a >，求2a 所有可能取值；②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”. 【答案】（1）是，理由见解析（2）①2a 的可能值为9,10,12,16.②证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，推得()222m n b b m n m n +=+=+，取k m n =+，得到m n k b b b +=，即可求解；（2）若{}n a 是“G 数列”，且为等差数列，得到()81n a n d =+-，进而得到存在*k ∈N ，使得m n k a a a +=，求得()18k m n d --+=，得到d 的值，进而求得2a 的可能值；②设数列{}n a 公差为d ，得到()3n a t n d =+-，求得()26m n a a t m n d +=++-，鸡儿推得k m n a a a =+，得到答案.【小问1详解】解：数列{}n b 的通项公式为2n b n =，对任意的*,,m n m n ∈≠N ，都有()2,2,222m n m n b m b n b b m n m n ==+=+=+， 取k m n =+，则m n k b b b +=，所以 {}n b 是“G 数列”.的【小问2详解】解：数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且*2121,0,a a d a a d >=->∈N ，则()81n a n d =+-，对任意的()()*,,,81,81m n m n m n a m d a n d ∈≠=+-=+-N ，()882m n a a m n d +=+++-，由题意存在*k ∈N ，使得m n k a a a +=，即()()88281m n d k d +++-=+-，显然k m n ≥+， 所以()()281m n d k d +-+=-，即()18k m n d --+=，*1k m n --+∈N .所以d 是8的正约数，即1,2,4,8d =，1d =时，29,7a k m n ==++； 2d =时2,10,3a k m n ==++；4d =时2,12,1a k m n ==++；8d =时2,16,a k m n ==+.综上，2a 的可能值为9,10,12,16.②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立， 所以存在*122,,3t t a a S a t ∈+==≥N ，设数列{}n a 公差为d ，则()()11121,2a d a t d a t d +=+-=-， 可得()()()213n a t d n d t n d =-+-=+-，对任意()()*,,,3,3m n m n m n a m d a n d ιι∈≠=+-=+-N ，则()26m n a a t m n d +=++-，取*3k t m n =++-∈N ，可得()()326k m n a t k d t m n d a a =-+=++-=+，所以数列{}n a 是“G 数列”.。
