雅礼中学初一数学答案

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数为无理数的是（）A．0.618B．C．D．2．（3分）下列点的坐标在第四象限的是（）A．（5，2）B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）3．（3分）若是关于x．y的方程2x﹣y+2a＝0的一个解，则常数a为（）A．1B．2C．3D．44．（3分）若m＞n＞0，下列不等式不成立的是（）A．m﹣2＞n﹣2B．2m+1＞2n+1C．D．5．（3分）下列调查方式合适的是（）A．为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式B．为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式C．调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式D．对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式6．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短7．（3分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE8．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，且外角∠ABD＝130°，则外角∠ACE的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°10．（3分）以关于x、y的方程组的解为横纵坐标的点P（x，y）在第一象限，那么m的取值范围在数轴上应表示为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在0，（﹣）2，﹣π，﹣2四个数中，最小的实数是．12．（3分）点P（﹣2，2）先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到点Q，则点Q 的坐标为．13．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．14．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝55°，∠A＝25°，则∠2的度数为．15．（3分）若三角形的两边长是a和b，且满足，则这个三角形的第三边c的取值范围是．16．（3分）如图，已知P（3，3），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA+OB＝．三．解答题（共9小题，第17～19题每题6分，第20～21题每题8分，第22～23题每题9分，第24～25题每题10分，共72分）17．（6分）计算：（﹣1）．18．（6分）解不等式组：，并在数轴上表示此不等式组的解集．19．（6分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB角平分线．请完成下列问题：（1）这种做法的依据是（填序号）．①ASA②SAS③AAS④SSS（2）请证明OC平分∠AOB．20．（8分）智能手机等高科技产品正越来越严重地伤害青少年的眼睛，保护视力，刻不容缓．长沙市某校为了解学生的视力状况，培养学生保护视力的意识，对该校部分学生做了一次主题为“保护视力爱眼护眼”的调查活动，根据近视程度的不同将学生分为A、B、C、D、E五类，其中A表示视力良好、B表示轻度近视（300度以下）、C表示中度近视（300度～600度）、D表示高度近视（600度～900度）、E表示超高度近视（900度以上）．学校根据调查情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：请你结合图中信息，解答下列问题：（1）参与本次调查活动的学生有人；（2）补全条形统计图；（3）求“视力良好”对应扇形的圆心角度数；（4）该校共有2900名学生，请你估计该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数．21．（8分）如图，△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的角平分线，AH是△ABC 的高．（1）若△ABD的面积为8，AH＝4，求BC的长；（2）若∠B＝30°，∠EAH＝20°，求∠C的度数．22．（9分）在一次高速铁路建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？23．（9分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，CE经过点D．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）BC和DE有何数量和位置关系？请说明理由；（3）若AC＝6，求四边形ABCD的面积．24．（10分）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”，例如：方程x﹣2＝2的解为x＝4，而不等式组的解集为3＜x＜5，不难发现x＝4在3＜x＜5的范围内，所以方程x﹣2＝2是不等式组的“美美与共方程”．（1）在一元一次方程①6x﹣7＝4x﹣5；②2x+5＝3（x﹣1）；③中，不等式组的“美美与共方程”是；（填序号）（2）若关于x的方程是不等式组的“美美与共方程”，求k 的取值范围；（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“美美与共方程”，且此时该不等式组有7个整数解，若M＝2m+3n﹣p，3m﹣n+p＝4，m+n+p＝6，求M的取值范围．25．（10分）如图，四边形ABCD在平面直角坐标系中，A（0，3），B（﹣2，0），D（3，0），AB⊥BC，AB＝BC，在x轴正半轴上有一点P，过点P作PQ⊥AP，交CD延长线于点Q．（1）求点C的坐标；（2）当CP⊥OD时，求证：PA＝PQ；（3）当点P在点D右侧时，连接BQ，在DA延长线上存在一点F，使得∠QBF＝45°，求QF、QC、AF之间的数量关系，并说明理由．2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．【解答】解：∵＝﹣3，∴0.618；；均为有理数，是无理数．故选：C．【点评】本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题．2．【分析】第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，据此即可求得答案．【解答】解：∵第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，∴A，B，C均不符合题意，D符合题意，故选：D．【点评】本题考查各象限内点的坐标特征，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．【分析】将x＝﹣1，y＝2代入方程中计算，即可求出a的值．【解答】解：将x＝﹣1，y＝2代入方程2x﹣y+2a＝0得：﹣2﹣2+2a＝0，解得：a＝2．故选：B．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．4．【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，故A不符合题意；B、∵m＞n，∴2m＞2n，∴2m+1＞2n+1，故B不符合题意；C、∵m＞n，∴﹣＜﹣，故C符合题意；D、∵m＞n＞0，∴＞，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，实数大小比较．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．5．【分析】普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、为了解全国中学生的视力状况，适合采用抽样调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；B、为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；C、调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式，本选项说法合适，符合题意；D、对“天问一号”火星探测器零部件的检查，适合采用全面调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．故选：A．【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．7．【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．8．【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．9．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACB的度数，再由平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵，∠A＝90°，∠ABD＝130°，∴∠ACB＝130°﹣90°＝40°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣40°＝140°．故选：D．【点评】本题考查的是三角形外角的性质即直角三角形的性质，熟知角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．10．【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，根据x＞0，y＞0求出m的范围，表示在数轴上即可．【解答】解：，①×2﹣②得：3x＝3m+6，即x＝m+2，把x＝m+2代入②得：y＝3﹣m，由x＞0，y＞0，得到，解得﹣2＜m＜3，表示在数轴上，如图所示：，故选：D．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】先计算，然后根据实数的大小比较法则比较各个实数即可得出最小的实数．【解答】解：，∵，即，∴最小的实数是﹣π，故答案为：﹣π．【点评】本题考查了实数的大小比较．熟知：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．12．【分析】根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标．【解答】解：点P（﹣2，2）先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为（﹣2﹣3，2﹣3），即（﹣5，﹣1）．故答案为：（﹣5，﹣1）．【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．13．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．14．【分析】先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠ACB＝∠1＝55°，∵∠A＝25°，∴∠2＝∠A+∠ACB＝25°+55°＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．15．【分析】解方程组求出a、b的值，由三角形的三边关系定理即可得到答案．【解答】解：解方程组，得：，∴这个三角形的第三边c的取值范围是4﹣3＜c＜4+3，∴1＜c＜7．故答案为：1＜c＜7．【点评】本题考查三角形的三边关系，二元一次方程组的解，关键是掌握三角形的三边关系定理，二元一次方程组的解法．16．【分析】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，得出四边形PMON是正方形，推出OM ＝OM＝ON＝PN＝3，证△APM≌△BPN，推出AM＝BN，求出OA+OB＝ON+OM，代入求出即可．【解答】解：过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，∵P（3，3），∴PN＝PM＝3，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，则四边形MONP是正方形，∴OM＝ON＝PN＝PM＝3，∵∠APB＝90°，∴∠APB＝∠MON，∴∠MPA＝90°﹣∠APN，∠BPN＝90°﹣∠APN，∴∠APM＝∠BPN，在△APM和△BPN中∴△APM≌△BPN（ASA），∴AM＝BN，∴OA+OB＝OA+0N+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝3+3＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，关键是推出AM＝BN和推出OA+OB＝OM+ON．三．解答题（共9小题，第17～19题每题6分，第20～21题每题8分，第22～23题每题9分，第24～25题每题10分，共72分）17．【分析】先计算二次根式、乘方、立方根和绝对值，再计算加减．【解答】解：（﹣1）＝﹣1+（﹣2）+5+2﹣＝4﹣．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x≤1，解不等式②，得：x＜﹣1，则不等式组的解集为x＜﹣1，在数轴上表示：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】（1）根据全等三角形的判定即可作答；（2）由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC，再根据全等三角形对应角相等即可证明OC平分∠AOB．【解答】（1）解：这种做法的依据是SSS．故答案为：④；（2）证明：由题意可得：OM＝ON，CM＝CN．在△OCM和△OCN中，，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠COM＝∠CON，即OC平分∠AOB．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．20．【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图由B类别的人数和所占比即可求出总人数；（2）用总人数乘以C类别的所占比即可得出C类别的人数，补全条形统计图即可；（3）直接用360°乘以等级为“良好”所占的比例；（4）用我校共有学生数乘以“高度近视”和“超高度近视”占比即可得到答案．【解答】解：（1）由题可知：参与本次调查活动的学生有280÷35%＝800（人），故答案为：800；（2）C类学生的人数为：800×25%＝200（人），补全条形统计图如下：（3）360°×＝72°，答：“视力良好”对应扇形的圆心角度数为72°．（4）4200×＝840（人）．答：该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数约为840人．【点评】本题考查条形统计图，掌握用样本估计总体的方法是解题关键．21．【分析】（1）由三角形面积公式求出BD长，由三角形中线的定义即可得到BC＝2BD；（2）由直角三角形的性质求出∠AEH的度数，由三角形外角的性质求出∠BAE的度数，由角平分线定义得到∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数．＝BD•AH，【解答】解：（1）∵S△ABD∴8＝BD•4，∴BD＝4，∵AD为△ABC的中线，∴BC＝2BD＝8；（2）∵AH是△ABC的高，∴∠AHE＝90°，∵∠EAH＝20°，∴∠AEH＝90°﹣∠EAH＝70°，∵∠AEH＝∠BAE+∠B，∠B＝30°，∴∠BAE＝40°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠EAB＝80°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝70°．【点评】本题考查三角形角平分线、中线，高线，直角三角形的性质，三角形的面积，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质求出∠BAC＝80°．22．【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；（2）设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为a辆、（20﹣a）辆，根据题意可以列出不等式组，求出从a的取值范围，从而可以求得有几种方案．【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨，由题意得：，解得：，答：一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；（2）设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为a辆、（20﹣a）辆，由题意可得：，解得：16≤a≤18，故有三种派车方案，第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．答：有三种派车方案，第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．【分析】（1）求出∠BAC＝∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE即可；（2）由△ABC≌△ADE，得BC＝DE，∠ACB＝∠E，证明∠BCE＝90°，即可解决问题；（3）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积＝三角形ACE的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）解：BC＝DE，BC⊥DE，理由如下：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∠ACB＝∠E，∵∠CAE＝90°，∴∠E+∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCE＝90°，∴BC⊥DE；（3）解：∵△ABC≌△ADE，＝S△ADE，∴S△ABC＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC2＝＝18．∴S四边形ABCD【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键．24．【分析】（1）先分别求出3个一元一次方程的解以及不等式组的解集，再根据“美美与共方程”的定义即可判断；（2）解方程得x＝2k+1，解不等式组得﹣＜x≤，根据“美美与共方程”的定义得出﹣＜2k+1≤，即可求出k的取值范围；（3）由“美美与共方程”的定义以及该不等式组有7个整数解得出3≤m≤4；再解方程组，得出，即可求出19≤M≤26．【解答】解：（1）①6x﹣7＝4x﹣5，解得x＝1，②2x+5＝3（x﹣1），解得x＝8，③，解得x＝，解不等式组，得﹣＜x≤4，由题：①③是不等式组的“美美与共方程”．故答案为：①③；（2）解关于x的方程，得x＝2k+1，解不等式组，得﹣＜x≤，由题意得：﹣＜2k+1≤，解得：﹣＜k≤．故k的取值范围是﹣＜k≤；（3）解方程，得x＝2m﹣1，解不等式组，得，由题意得：①，且②，解不等式①得：，解不等式②得：3≤m＜5，∴3≤m≤4；，解得，∴，解得：19≤M≤26．故M的取值范围是19≤M≤26．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解三元一次方程组，以及新定义，理解新定义并掌握解不等式组以及解方程组的一般步骤是解题的关键．25．【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于点H，证明△AOB≌△BHC，进一步得出结果；（2）在OA上截取OG＝OP，连接PG，证明△AGP≌△PDQ，进一步得出结论；（3）在CQ上截取CFT＝AF，连接BT，可证明△BAF≌△BAT，从而得出BF＝BT，∠ABF＝∠CBT，可证得∠FBT＝90°，结合∠FBQ＝45°得出∠QBT＝∠FBFT﹣∠QBF ＝45°，进而得出∠QBF＝∠QBFT，△QBF≌△QBFT，从而QF＝QT，进一步得出结果．【解答】（1）解：如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，∴∠BHC＝90°，∴∠CBH+∠BCH＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，∵∠AOB＝∠BHC＝90°，AB＝AC，∴△AOB≌△BHC（AAS）∴AO＝BH＝3，BO＝CH＝2，∴OH＝1，∴C（1，﹣2）；（2）证明：如图2，在OA上截取OG＝OP，连接PG，∴∠PGO＝∠OPG＝45°，∴∠AGP＝135°，由（1）知：OA＝OD＝3，∠CDP＝45°，∴∠PDQ＝135°，AG＝PD，∴∠PDQ＝∠AGP，∵∠APQ＝90°，∴∠DPQ+∠APO＝90°，∵∠AOP＝90°，∴∠APO+∠PAO＝90°，∴∠DPO＝∠PAO，∴△AGP≌△PDQ（ASA），∴PA＝PQ；（3）如图3，QC＝QF+AF，理由如下：在CQ上截取CFT＝AF，连接BT，由上可知：∠ADO＝45°，∠CDO＝45°，∵∠ADC＝∠ODA+∠ODC＝45°+45°＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝180°，又∵∠BAD+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝∠C，∵AB＝AC，∴△BAF≌△BAT（SAS），∴BF＝BT，∠ABF＝∠CBT，∴∠ABF+∠ABT＝∠CBT+∠ABT＝∠ABC＝90°，∴∠FBT＝90°，∵∠FBQ＝45°，∴∠QBT＝∠FBT﹣∠QBF＝45°，∴∠QBF＝∠QBT，∵BQ＝BQ，∴△QBF≌△QBFT（SAS），∴QF＝QT，∴QC＝QF+CT＝QF+AF．【点评】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形。

湖南省长沙市雅礼中学2025届七年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，60,:1:4,AOD AOB BOC OD ︒∠=∠∠=平分BOC ∠，则AOC ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒2．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）① ② ③A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是( )A ．四棱锥B ．四棱柱C ．三棱锥D ．三棱柱4．我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过310m ，则按每立方米1.5元收费；若每月用水量超过310m ，则超过部分按每立方米3元收费.如果某居民在某月缴纳了45元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（ ）A ．310mB ．315mC ．320mD ．325m5．若数据151******** 1.43210n =⨯个，则n 的值是（ ）A ．15B ．14C ．12D ．116．如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，C 点将线段MB 分成:1:2MC CB =，则线段AC 的长度为（ ）A ．2cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm7．下列结论正确．．的是（ ） A ．单项式237mn 的系数是37 B ．单项式313xy 的次数是3C ．多项式xy y -+的次数是3D ．多项式759xy x +-是三次二项式 8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，若∠AOC ＝120°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70° 9．如果23(2)0m n -++=，那么mn 的值为（ ）A ．6-B ．6C ．1D ．910．如图，点C 在线段AB 上，点D 是AC 的中点，如果CD ＝4，AB ＝14，那么BC 长度为( )A ．4B ．5C ．6D ．6.511．下列调查适合做抽样调查的是（ ）A ．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件B ．对某社区的卫生死角进行调查C ．对某班学生进行6月5日式“世界环境日”知晓情况的调查D ．对中学生目前的睡眠情况进行调查12．下列方程中，解为1x =的是（ ）A ．26x =B ．23x +=C ．210x -=D ．56x -=二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是________g ．∠14．如图，射线OA的方向是北偏东20︒，射线OB的方向是北偏西40︒，OD是OB的反方向延长线，若OC是AOD ∠=____________．的平分线，则BOC15．多项式2a3b+3b﹣1是_____次_____项式，其中常数项为_____．16．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2019次输出的结果为_____．17．如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中-，2，那么金安桥站表示的数是___________．以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是4三、解答题（本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（5分）计算或化简：（1）；（2）；（3）．19．（5分）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，已知甲工程队铺设每天需支付工程费2000元，乙工程队铺设每天需支付工程费1500元.（1）甲、乙两队合作施工多少天能完成该管线的铺设？（2）由两队合作完成该管线铺设工程共需支付工程费多少元？（3）根据实际情况，若该工程要求10天完成，从节约资金的角度应怎样安排施工？20．（8分）数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，若规定m c a c b =---，n c a c b =-+- （1）当3a =-，4b =，2c =时，则m =______，n =______．（2）当3a =-，4b =，3m =，7n =时，则c =______．（3）当3a =-，4b =，且2n m =，求c 的值．（4）若点A 、B 、C 为数轴上任意三点，p a b =-，化简：2m p p n m n ---+-21．（10分）如图，平面上有三个点A ，O ，B ．(1)根据下列语句顺次画图．①画射线OA ，OB ；②连接线段AB ；③过点A 画直线AM OB ⊥，垂足为M ；(2)请回答：图形中点A 到直线OB 的距离是线段_____________．22．（10分）已知，直线AB 与直线CD 相交于O ，OB 平分∠DOF .(1)如图，若∠BOF =40°，求∠AOC 的度数；(2)作射线OE ，使得∠COE =60°，若∠BOF=x °(090x <<)，求∠AOE 的度数(用含x 的代数式表示).23．（12分）（1）计算：()13564734-++-（2）计算：()320201342-⨯+÷-（3）x22x1146+--=参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、C【分析】由题意设∠AOB为x，则∠BOC为4x，再根据角的平分线的性质得出∠BOD12=∠BOC=2x，于是得x+2x=60°，求得x，再求∠AOC的度数即可．【详解】∵∠AOB：∠BOC=1：4，∴设∠AOB为x，则∠BOC为4x．∵OD平分∠BOC，∴∠BOD12=∠BOC=2x．∵∠AOD=60°，∴x+2x=60°，∴x=20°，4x=80°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=20°+80°=100°．故选：C．【点睛】本题考查了角的计算以及角的平分线的性质．关键是得出∠BOD12=∠BOC=2x．2、A【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．【详解】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故选：A．【点睛】本题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．3、A【解析】试题分析：根据四棱锥的侧面展开图得出答案.试题解析：如图所示：这个几何体是四棱锥.故选A.考点：几何体的展开图.4、C【分析】由于1.5×2=15＜45，所以这户居民这个月的实际用水量超过2m 1，根据等量关系：2m 1的用水量交费+超过2m 1的用水量交费=总缴费，列出方程，求出解即可．【详解】解：设这户居民这个月实际用水xm 1．∵1.5×2=15＜16，∴x ＞2．由题意，有1.5×2+1（x-2）=45，解得：x=3．故选：C ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答是解题的关键．5、C【分析】根据151.43210⨯，得到原数小数点向左移动了15位，而151.43210⨯的小数点后包含3位数字，因此用15-12即可获得正确答案．【详解】∵将原数用科学记数法表示为151.43210⨯∴原数小数点向左移动了15位∵151.43210⨯的小数点后包含3位数字∴15312n =-=故答案为C ．【点睛】本题考查了科学记数法，对于10n a ⨯，a 的取值范围110a ≤<．6、D【分析】由已知条件知AM ＝BM ＝12AB ，根据MC ：CB ＝1：2，得出MC ，CB 的长，故AC ＝AM ＋MC 可求． 【详解】∵长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，∴AM ＝BM ＝6，∵C 点将线段MB 分成MC ：CB ＝1：2，∴MC ＝2，CB ＝4，∴AC ＝6＋2＝8，故选：D ．【点睛】本题的关键是根据图形弄清线段的关系，求出AC 的长．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．7、A【分析】分别利用单项式以及多项式的定义以及其次数与系数的确定方法分析得出答案．【详解】A 、单项式237mn 的系数是37，正确，该选项符合题意； B 、单项式313xy 的次数是4，错误，该选项不符合题意；C 、多项式xy y -+的次数是2，错误，该选项不符合题意；D 、多项式759xy x +-是二次三项式，错误，该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】此题主要考查了单项式以及多项式，正确把握多项式的次数与系数确定方法是解题关键．8、C【解析】由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC ，∠BOC+∠BOD=∠COD ，依此角之间的和差关系，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠AOC+∠DOB＝∠AOB+∠BOC+∠DOB＝∠AOB+∠COD＝90°+90° ＝180°，∵∠AOC ＝120°，∴∠BOD ＝60°，故选C ．【点睛】本题考查了余角和补角的定义；找出∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠DOB 是解题的关键．9、A【分析】根据非负数的性质列式求出m，n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：由题意得，m-3=1，n+2=1，解得，m=3，n=-2，所以，mn=3×(-2)=-6，故选A．【点睛】本题考查了非负数的性质，注意：几个非负数和和为1，则这几个非负数都为1．10、C【解析】由线段中点的定义可求AC的长，利用线段的和差关系可求BC的长度．【详解】解：∵点D是AC的中点，如果CD＝4，∴AC＝2CD＝8∵AB＝14∴BC＝AB﹣AC＝6故选：C．【点睛】考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练运用线段的和差求线段的长度是本题的关键．11、D【分析】卫生死角、审核书稿中的错别字、八名同学的身高情况应该全面调查，而中学生人数较多，对其睡眠情况的调查应该是抽样调查．【详解】A、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件非常重要，必须全面调查，故此选项错误；B、对某社区的卫生死角进行调查工作量比较小，适合全面调查，故此选项错误；C、对某班学生进行6月5日式“世界环境日”知晓情况的调查工作量比较小，适合全面调查，故此选项错误；D、对中学生目前的睡眠情况进行调查工作量比较大，适合抽样调查，故此选项正确．故选D．【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查，统计调查的方法有全面调查(即普查)和抽样调查两种，一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．12、Bx 逐一代入各方程，判断方程左右两边是否相等，即可作出判断．【解析】将1【详解】解：A 、当1x =时，26x ≠，故1x =不是此方程的解；B 、当1x =时，23x +=，故1x =，是此方程的解；C 、当1x =时，210x -≠，故1x =不是此方程的解；D 、当1x =时，56x -≠，故1x =不是此方程的解；故选：B ．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、1【分析】由第一个图可知3块巧克力质量等于2个果冻质量，可设一块巧克力质量为x g ，则一个果冻质量为y g ，再根据第二个图列出关于x 、y 的方程求解即可．【详解】解：设一块巧克力质量为x g ，则一个果冻质量为y g ．根据图片信息可列出等式：3250x y x y =⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩∴一块巧克力质量为1g ；故答案为：1．【点睛】本题主要考查二元一次方程的实际应用，解此题的关键在于读懂题图巧克力与果冻的质量关系，设出未知数，列出方程求解．14、120°【分析】先求出∠AOB =60°,再求得∠AOD 的度数,由角平分线得出∠AOC 的度数,得出∠BOC 的度数.【详解】解：∵OB 的方向是北偏西40°,OA 的方向是北偏东20°,∴∠AOB =40°+20°=60°,∴∠AOD =180°- 60°=120°,∵OC 是∠AOD 的平分线,∴∠AOC =60°,∴∠BOC =60°+60°=120°,故答案为：120°.【点睛】本题主要考查了方向角的定义和角度计算,解决本题的关键是要熟练掌握方位角的定义和角度计算.15、四 三 ﹣1【分析】几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式，据此分析可得答案．【详解】解：多项式2a3b+3b﹣1是四次三项式，其中常数项为﹣1，故答案为：四；三；﹣1．【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式的相关定义．16、5【解析】把x＝625代入计算即可求出所求．【详解】解：当x＝625时，原式＝15×625＝125，当x＝125时，原式＝15×125＝25，当x＝25时，原式＝15×25＝5，当x＝5时，原式＝15×5＝1，当x＝1时，原式＝1＋4＝5，依此类推，以5，1循环，∵（2019−2）÷2＝1008…1，∴第2019次输出的结果为5，故答案为5【点睛】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17、1【分析】由桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，计算出两点之间的距离为6，求出一个单位长度表示的数是2，即可得到答案．【详解】∵桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，∴桥户营站与苹果园站的距离是2-（-4）=6，∵桥户营站与苹果园站之间共有三个单位长度，∴每个单位长度表示632÷=，∴金安桥表示的数是2-2=1，故答案为：1．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移规律，有理数的加减法计算，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．三、解答题 （本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18、（1）-38;（2）16;（3）【解析】（1）根据有理数减法及绝对值的运算法则计算即可；（2）根据有理数乘除法法则计算即可；（2）根据有理数混合运算法则计算即可.【详解】（1）原式=-55+17=-38.（2）原式=16.（3）原式===【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.19、（1）8天；（2）28000元；（3）甲、乙合干7天，剩下的乙再干3天完成任务【分析】（1）设甲、乙两队合作施工x 天能完成该管线的铺设，根据工作总量为1，列出方程解答即可； （2）由（1）的数据直接计算得出结果即可；（3）若该工程要求10天完成，乙工程队费用低，所以乙干满10天，剩下的让甲工程队干，算出天数即可．【详解】（1）设甲、乙两队合作施工x 天能完成该管线的铺设，由题意得11224x x +=，解得8x =． 答：甲、乙两队合作施工8天能完成该管线的铺设．（2）()20001500828000+⨯=（元）．答：两队合作完成该管线铺设工程共需支付工程费28000元．（3）若该工程要求10天完成，乙工程队费用低，所以设乙干满10天，剩下的让甲工程队干需要a 天，由题意得1012412a +=， 解得7a =，101073a -=-=.故甲、乙合干7天，剩下的乙再干3天完成任务．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作时间、工作总量、工作效率三者之间的关系是解决问题的关键．20、（1）3；7；（2）2或-1；（3）152或94或132-或54-；（4）22c b -或66b c -或66c a -或22a c -或22c a -或22b c -或66a c -或66c b -【分析】（1）根据a,b,c 的值计算出5,2c a c b -=-=-，然后代入即可计算出m,n 的值；（2）分4c ≥ ，3c ≤-， 34c -<<三种情况讨论，通过计算发现c 只能处于34c -<<这个范围内才符合题意，然后通过m 的值建立一个关于c 的方程，利用绝对值的意义即可求出c 的值；（3）同样分4c ≥ ，3c ≤-， 34c -<<三种情况讨论，分别进行讨论即可得出答案；（4）分,,,,,a b c a c b b a c b c a c a b c b a >>>>>>>>>>>> 六种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】（1）∵3a =-，4b =，2c =∴5,2c a c b -=-=- 52523m ∴=--=-=52527n =+-=+=（2）∵3a =-，4b =，若4c ≥，则()7m c a c b b a =---=-=若3c ≤-，则()7m a c c b a b =-+-=-=若34c -<<时，此时7,213n c a b c b a m c a c b c =-+-=-==-+-=-=∴213c -= 或213c -=-∴2c = 或1c =-（3）若4c ≥，则()7m c a c b b a =---=-=，221n c a c b c a b c =-+-=--=-∵2n m =∴2114n c =-= ∴152c = 若3c ≤-，则()7m a c c b a b =-+-=-=，212n a c b c a b c c =-+-=+-=--∵2n m =∴2114n c =--= ∴132c =- 若34c -<<时，此时7,21n c a b c b a m c a c b c =-+-=-==-+-=-∵2n m = ∴7212m c =-=∴7212c -= 或7212c -=- ∴94c = 或54c =- 综上所述，c 的值为152或132-或94或54- （4）①若a b c >>则p a b =-()m a c b c a b =---=-2n a c b c a b c =-+-=+- ∴0m p -=(2)22p n a b a b c b c -=--+-=-(2)22m n a b a b c b c -=--+-=-∴原式=0(22)2(22)22b c b c b c --+-=-②若a c b >>则p a b =-()2m a c c b a b c =---=+-n a c c b a b =-+-=-当20a b c +-≥时，2m a b c =+- ∴2()22m p a b c a b c b -=+---=-0p n -=(2)()22m n a b c a b c b -=+---=-∴原式=(22)02(22)66c b c b c b --+-=-当20a b c +-<时，(2)m a b c =-+- ∴(2)()22m p a b c a b a c -=-+---=-0p n -=(2)()22m n a b c a b a c -=-+---=-∴原式=(22)02(22)66a c a c a c --+-=-③若b a c >>则p b a =-()m a c b c b a =---=-2n a c b c a b c =-+-=+- ∴0m p -=(2)22p n b a a b c a c -=--+-=-(2)22m n b a a b c a c -=--+-=-∴原式=0(22)2(22)22a c a c a c --+-=-④若b c a >>则p b a =-()2m c a b c c a b =---=--n c a b c b a =-+-=-当20c a b --≥时，2m c a b =-- ∴2()22m p c a b b a b c -=----=-0p n -=(2)()22m n c a b b a b c -=----=-∴原式=(22)02(22)66b c b c b c --+-=-当20c a b --<时，2m a b c =+- ∴2()22m p a b c b a c a -=+---=-0p n -=(2)()22m n a b c b a c a -=+---=-∴原式=(22)02(22)66c a c a c a --+-=-⑤若c a b >>则p a b =-()m c a c b a b =---=-2n c a c b c a b =-+-=-- ∴0m p -=(2)22p n a b c a b c a -=----=-(2)22m n a b c a b c a -=----=-∴原式=0(22)2(22)22c a c a c a --+-=-⑥若c b a >>则p b a =-()m c a c b b a =---=-2n c a c b c a b =-+-=-- ∴0m p -=(2)22p n b a c a b c b -=----=-(2)22m n b a c a b c b -=----=-∴原式=0(22)2(22)22c b c b c b --+-=-【点睛】本题主要考查绝对值与合并同类项，掌握绝对值的性质是解题的关键．21、（1）见解析；（2）AM 的长度【分析】（1）利用题中几何语言画出几何图形；（2）利用点到直线的距离的定义得出答案．【详解】（1）如图，①射线OA 、OB 为所作；②线段AB 为所作；③线段AM 为所作；（2）图形中点A 到直线OB 的距离是线段AM 的长度，故答案为：AM 的长度．【点睛】本题考查了作图-复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22、 (1)40AOC =∠；(2)当00x <≤6时，AOE ∠为6060x x -+或；当6090x <<时，AOE ∠为6060x x -+或【分析】(1)根据 OB 平分∠DOF ，可知∠BOD =∠BOF =40°，可求∠AOC 的度数；(2)①060x <≤时分成两种情况：②6090x <<时也分成两种情况.画出图形可求解.【详解】解：(1)如图，∵OB 平分∠DOF∴∠BOD =∠BOF =40°又∵∠AOC 与∠BOD 互为对顶角∴∠AOC =∠BOD =40°∴∠AOC =40°(2)①060x <≤时分成两种情况：如上图情况：∠AOE =∠AOC +∠COE =x°+60°如上图情况：∠AOE =∠COE -∠AOC =60°-x° ②6090x <<时也分成两种情况：如上图情况：∠AOE =∠AOC -∠COE =x°-60°如上图情况：∠AOE =∠AOC +∠COE =x°+60° 综上所述：当060x <≤时，∠AOE 为60°-x °或60°+x ° 当6090x <<时，∠AOE 为x °-60°或60°+x ° 【点睛】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力．23、 (1)-30；(2)-3.5；(3)-4【分析】(1)根据加法结合律和交换律即可得到结果；(2)根据含乘方的有理数的混合运算即可得到结果；(3)根据解一元一次方程的步骤即可得到结果．【详解】解：(1)原式=13+47-（56+34）=60-90=-30；(2)原式=-1×3+4÷（-8）=-3-0.5=-3.5；(3)x22x11 46+--=()()3222112x x+--=364212x x+-+=4x-=4x=-【点睛】本题主要考查的是含乘方的有理数的混合运算以及解一元一次方程，掌握以上知识点是解题的关键．。

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售.据统计，截至2023年10月21日，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为()A. B. C. D.2.下列图形能折叠成圆锥的是()A. B. C. D.3.下面的计算正确的是()A. B.C. D.4.下列说法错误的是()A.是二次二项式B.0是单项式C.的系数是D.的次数是55.下列方程变形正确的是()A.由，得B.由，得C.由，得D.由，得6.下列图形中，由能判定的是()A. B.C. D.7.一份数学试卷共20道选择题，每道题都给出了4个选项，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣2分，已知小雅得了65分，设小雅选对了x道题，则下列所列方程正确的是()A. B.C. D.8.下列说法中正确的是()A.不相交的两条直线叫做平行线B.把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间，线段最短C.射线AB与射线BA是同一条射线D.线段AB叫做A、B两点间的距离9.如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它的北偏东的方向上，观测到小岛B在它的南偏西的方向上，则的度数是()A.B.C.D.10.有理数a，b，c在数轴上的位置如图，则()A. B.0 C.2c D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.如果向东50米记作米，那么向西10米记作______米.12.若代数式与是同类项，那么______.13.已知，则代数式的值为______.14.已知，则补角是______.15.如图，，，则______度.16.定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，如，则______.三、解答题：本题共9小题，共72分。

2024下学期七年级数学学科素养与能力测试1答案一、填空题（每题4分，共12题，满分48分）1 23 4 56 2009 78098 20232024 27415 7 8 9 10 1112 219或251213600①③④1二、解答题（共8题，第13-16题每题8分，第15-20题每题10分，满分72分）13.【解答】原式＝50502501001=×+）（．———————————————————8分14.【解答】∵a +b ＝c +1，b +c ＝d +2，c +d ＝a +3，∴2b +c ＝6，c ＝6﹣2b ， 代入a +b ＝c +1得a ＝7﹣3b ， 代入b +c ＝d +2得d ＝4﹣b ，则a +b +c +d ＝17﹣5b ，————————————————————————6分 因为b ≥0，所以当b 取0时，a +b +c +d 的最大值为17．——————————8分15.【解答】设牧场原有草量为a ，每天生长的草量为b ，每头牛每天吃草量为c ，16头牛x 天吃完草．（1）由题意得：�aa +6bb =24×6cc①aa +8bb =21×8cc②aa +bbbb =16ccbb③由②﹣①得 b ＝12c ④由③﹣②得 （x ﹣8）b ＝（16x ﹣168）c ⑤将④代入⑤得 （x ﹣8）×12c ＝（16x ﹣168）c ，解得 x ＝18————————4分 （2）设至多放牧y 头牛，牧草才永远吃不完，则有cy ≤b ， 即每天吃的草不能多于生长的草，y ≤bbcc=12．————————————————8分 答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛． 16.【解答】证明：xx 1xx 2，xx 2xx 3，xx 3xx 4⋯xx nn xx 1不是1就是﹣1，设这n 个数中有a 个1，b 个﹣1，则a +b ＝n ，a ×1+b ×（﹣1）＝a ﹣b ＝0，所以得：n ＝2b ， 又因为（xx 1xx 2•xx 2xx 3⋯xx nn xx 1）＝1，即1a •（﹣1）b ＝1，由此得b 为偶数，17.【解答】（1）证明：2k （k 为正整数）可以分解成（k ﹣n ）+（k +n ）（n ＜k 且n 是非负整数）， ∵（k ﹣n ）（k +n ）＝k 2﹣n 2≥k 2，即当n ＝0时，∵（k ﹣n ）（k +n ）乘积最大， ∴k +k 是2k 的“最优分割”，所以F （2k ）＝1．——————————————4分 （2）∵十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和， ∴b ＝a +c ，∴m +2b ＝100a +10b +c +2b ＝100a +10b +（a ﹣b ）+2b ＝99a +13b ， ∵m +2b 能同时被3和7整除，∴b 一定是3的倍数，又∵0≤b ≤9， ∴b 可能取值是3，6，9，∴①当b ＝3时，m +2b ＝3（33a +13）（1≤a ≤3）；②当b ＝6时，m +2b ＝3（33a +26）（1≤a ≤6）；③当b ＝9时，m +2b ＝9（11a +13）（1≤a ≤9）； ∴33a +13，33a +26，11a +13分别是7的倍数， 经检验a ＝2，a ＝3，a ＝6，a ＝9时成立，所以满足条件的m 有297，990，660，330，————————————————7分 ∵990，660，330都是偶数，所以它们的F （m ）＝1， 148+147是297的“最优分割”，所以F （297）=147148． ∴所有满足条件的m 中F （m ）的最小值是147148．——————————————10分18.【解答】连接BR ，设△CDR 的面积为a ，△BRF 的面积为b ，∵BD ＝2DC ，AF ＝2FB ，∴△BDR 的面积为2a ，△ARF 的面积为2b ， ∵已知△ABC 面积为1，∴S △CDR +S △BDR +S △BRF =13，S △BDR +S △BRF +S △ARF =23∴�aa +2aa +bb =132aa +bb +2bb =23，解得�aa =121bb =421， ∴△CDR 的面积为121，————————————————————————5分1S△PQR＝S△BCE﹣（S△BCF﹣S△BFQ）﹣（S△ACD﹣S△APE﹣S△CDR）=23−13+S△BFQ−13+S△APE+S△CDR ＝S△BFQ+S△APE+S△CDR=121×3=17．————————————————10分19.【解答】（1）由题意可得，幻和＝6×3＝18，故答案为：18；——————2分（2）由（1）知幻和为18，∵b＝2，c＝5，∴第三行第二列的数字为：18﹣b﹣c＝18﹣2﹣5＝11，∴11+6+a＝18，∴a＝1；——————————————————————4分（3）①∵A＝a，B＝2a﹣1，C＝9a+7，∴幻和为：a+2a﹣1+9a+7＝12a+6，∴中心数E＝（12a+6）÷3＝4a+2，∵A＝a，E＝4a+2，∴I＝（12a+6）﹣a﹣（4a+2）＝7a+4，∵C＝9a+7，C+F+I＝12a+6，∴F＝（12a+6）﹣C﹣I＝12a+6﹣（9a+7）﹣（7a+4）＝﹣4a﹣5；————6分②存在k的值，使得三阶幻方中九个整式的和为定值，设E＝x，则幻和为3x，∵A＝2a+1，B＝a﹣2，∴C＝3x﹣（2a+1）﹣（a﹣2）＝3x﹣3a+1，∵C+E+G＝3x，∴G＝3x﹣C﹣E＝3x﹣（3x﹣3a+1）﹣x＝﹣x+3a﹣1，∵A+D+G＝3x，D＝﹣ka﹣1，∴（2a+1）+（﹣ka﹣1）+（﹣x+3a﹣1）＝3x，∴4x＝（﹣k+5）a﹣1，∴﹣k+5＝0，﹣1＝4x，∴k＝5，x=−14，——————————————————————8分∴当k＝5时，九个整式的和为9x=−94，∴存在k的值，使得三阶幻方中九个整式的和为定值，其中k＝5，定值为−94．——10分20.【解答】由图可知,甲有必胜的策略。