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得： f (φ)IcosφKsin φ。
将 u ρ ,uφ 代入第三式，
1 ρ
u ρ φ
uρ φ
uρ φ
γρφ
0,
分开变量，两边均应等于同一常量F,
f1
ρ
ρ
d
f1ρ
dρ
d
f φ
dφ
f
φdφ
F
,
由两个常微分方程，
f1
(
ρ)
ρ
d
f1 d
( ρ) ρ
F
,
f1(ρ) Hρ F;
d
f (φ) dφ
f
(φ)dφ F ,
d2 f (φ) d φ2 f (φ) 0,
应力公式为：
σ
ρ
1 ρ
dΦ dρ
,
σφ
d2Φ d ρ2
,
0.
(a)
（1）相容方程
d2 (d ρ2
1 ρ
d dρ
)
d2 d ρ2
1 ρ
d dρ
0,
展开并两边同乘 4 得：
4
d4 d ρ4
2 3
d3 d ρ3
2
d2 d ρ2
d dρ
0,
Φ的通解
这是一个典型的欧拉方程，引入变量
，et 则 t 。ln
y
ρ ρ φ
ρ ρ φ
二阶导数
二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导 出。例如
2 x2
Φ
x(
Φ x
)
(cosφρ
sinφ ρ
φ
)(cosφΦρ
sinφ ρ
Φ φ
).
展开即得：
二阶导数
(f)
拉普拉斯算子的变换：由式（f）得
2 2 2 ( 2 1 1 2 )。 (g)
x2 y2 2 2 2
3、可以用前面得到的求一点应力状态的公 式推出。
N l 2 x m2 y 2lm xy N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy . 4、也可以用应力坐标变换公式得到
x yx
xy y
cos sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
起弹性力学基本方程的区别。
对于圆形，弧形，扇形及由径向线和 环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极 坐标表示边界简单，使边界条件简化。
§4－1 极坐标中的平衡微分方程
在A内任一点（ ，）取出一个微分
体，考虑其平衡条件。 微分体--由夹角为 dφ的两径向线和距离
为 d ρ的两环向线围成。
注意：
两 面不平行，夹角为 dφ；
d Φt d dt t et
dρ
dt d
d2 Φt d ρ2
e2t e2t
d3 Φt d ρ3
2e3t 3e3t e3t
d4 Φt d ρ4
e4t
6 11 6 4
则原方程变为
d4 Φt
dt4
4
d3 Φt
dt3
4
d2 Φt
dt2
0
此方程解的形式为t et
σx σρ cos2φσφsin 2φ2τρφcosφsin φ,
而
σ
x
2Φ y 2
2Φ ρ2
sin
2
φ(
1 ρ
Φ ρ
1 ρ2
2Φ ρ2
)cos
2
φ
2[ ( 1 Φ )]cosφsin φ, ρ ρ
比较两式的 cos2 φ,sin 2 φ,cosφsinφ 的系数，便 得出 σ ρ,σφ,τ ρφ 的公式。
sin
cos
T
cos
sin
sin
cos
x
1 2
yx
cos
1 2
1 2
cos sin
sin
cos
几何方程
由此可得 x cos2 sin 2 sin cos
比较可知
u
,
1
u
u
,
u
1
x cos, sin , sin , cos
x
y
x
y
注意：u u cos u sin
可求得
x
u x
cos2
u
sin 2
1
u
u
sin cos
1
u
u
u
根据张量的坐标变换公式
ij k'mlkilmj , T TT , T T T
ij yxx zx
直角坐标(x,y)与极坐标 比(较,)：
相同:两者都是正交坐标系。
区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有
固定的方向, x 和y 的量纲均为L。
极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标 线（ =常数）在不同点有不同的方向;
应用
坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引
cos sin
sin x
cos
yx
xy cos
y
sin
sin
cos
轴对称应力问题
§4－5 轴对称应力和相应的位移
轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的 任何面均为对称面。
轴对称应力问题：
应力数值轴对称-- 仅为 ρ的函数，
应力方向轴对称-- τ ρφ τφρ 0.
相应的应力函数 Φ ，Φ所ρ以
x cos, ysin; (a)
反之
2 x2 y2, arctan y。 (b)
x
函数的变换：将式(a) 或(b) 代入，
Φ(x, y) Φ(ρ,φ).
坐标变换
矢量的变换：位移 d (u, v) (uρ ,uφ ),
u u cos u sin , v u sin u cos。 (c)
E
2
,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程
1
f
0
1
2
f
0
4 1
u
,
1
u
u
,
u
1
u
u
。
4 2
1 E
(
),
1 E
(
),
两面面积不等，分别为ρdφ ，ρd ρdφ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向
转动为正。
平衡条件
平衡条件：
考虑通过微分体形心 C 的 , 向及矩的平
衡，列出3个平衡条件:
F 0, F 0,
M c 0。
注意： cos d 1, sin d d .
2
22
MC -0-通过形心C的力矩为0，当
同理，由
F
0,
得
( y x ) cos sin xy (cos2 sin2 ). (b)
类似地取出包含x 面,y 面和 面φ的三角形
微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条
件， F 0, 得
x sin2 y cos2 2 xy cos sin. (c)
x cos2 y sin 2 2 xy sin cos x sin 2 y cos2 2 xy sin cos (4 7) ( y x ) sin cos xy (cos2 sin 2 )
相容方程应力公式
2.极坐标中的相容方程
4Φ 22Φ 0
(4 6)
2
2 x2
2 y2
2
( 2
1
1
2
2
2 )
3.极坐标中应力用应力函数 Φ( ρ表,φ示)
可考虑几种导出方法：
(1) 从平衡微分方程直接导出（类似于 直角坐标系中方法）。
应力公式
(2) 应用特殊关系式，即当x轴转动到与 ρ
轴重合时，有:
u
u
。
4 2
物理方程
极坐标中的物理方程
直角坐标中的物理方程是代数方程，且 x 与 y 为正交，
极坐标中的物理方程也是代数方程,且
ρ 与φ为正交，
故物理方程形式相似。
物理方程
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，只须作如下同样变
换，
E
1
极坐标下的平衡微分方程：
1
f
0
1
2
f
0
4 1
§4－2 几何方程及物理方程
几何方程--表示微分线段上形变和位移
之间的几何关系式 。
极坐标系中的几何方程可以通过微元变
形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方
法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐
标与极坐标之间的关系，有
xy y zy
xz yz z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1
2 1
2
xz yz
z
l11 l12 l13
l21
l22
l23
l31 l32 l33
对平面问题： ij
x yx
xy y
x
1 2
yx
1 2
xy
y
cos sin
或
u u cos vsin , u u sin v cos。 (d)
坐标变换
导数的变换：
将对 x, y的导数，变换为对 ρ,φ的导数：
Φ(x, y) 可看成是 Φ Φ(ρ,φ)，而ρ,φ又 是 x, y的函数，即 Φ是通过中间变量 ρ,φ，
