数学物理方程_谷超豪_第二章答案

数学物理方程答案谷超豪

【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】

>第一章． 波动方程

1 方程的导出。定解条件

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为

t(x)??g(l?x)

且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为

?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)

其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角

又sin??tg??于是得运动方程

?u ?x.

?u?2u?u

??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g

?xx?x?t

利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得

?2u??u

?g[(l?x)]。

?x?x?t2

5. 验证u(x,y,t)?

1t2?x2?y2

在锥t?x?y0中都满足波动方程

222

?2u?2u?2u1222

证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?y

x,y,t有

二阶连续偏导数。且

2

3

2

?u

??(t2?x2?y2)?t

? ?

?t

35

??u

(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22

?t

?(t

2

?x2?y2)

?

32

?(2t2?x2?y2)

?u

?(t2?x2?y2)?x

?

32

?x

?2u?x

2

?t?x

?

22

352?2222?22?y?3t?x?yx

???

???52??u

同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?

数学物理方程答案

数学物理方程第二版答案

第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点

在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(txu

满足

方程





























xu

E

xtu

x

t

其中

为杆的密度，E

为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x

与xx

。现在计算这段杆

在时刻t

的相对伸长。在时刻t

这段杆两端的坐标分别为：

),();,(txxuxxtxux

其相对伸长等于 ),()],([)],([

txxu

xxtxuxtxxuxx

x





令0x

，取极限得在点x

的相对伸长为

xu

),(tx

。由虎克定律，张力),(txT

等于

),()(),(txuxEtxT

x

其中)(xE

是在点x

的杨氏模量。

设杆的横截面面积为),(xS

则作用在杆段),(xxx

两端的力分别为

xuxSxE)()(

xuxxSxxEtx)()();,(

).,(txx

于是得运动方程

ttuxxsx)()(

xESutx),(

xxxxxESuxx|)(|)(



利用微分中值定理，消去x

，再令0x

得

ttuxsx)()(

x



xESu(

)

若)(xs

常量，则得

22

)(

tu

x



=))((

xu

xE

x



即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试

分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

数学物理方程答案

解：(1)杆的两端被固定在lxx,0

两点则相应的边界条件为

.0),(,0),0(tlutu

(2)若lx

为自由端，则杆在lx的张力

xu

xEtlT



)(),(

|

lx等于零，因此相应

的边界条件为

xu



|

lx=0

同理，若0x

浙教版八年级下册数学第二章 一元二次方程含答案

一、单选题(共15题，共计45分)

1、设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（ ）

A.-4 B.8 C.6 D.0

2、在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2 这六个数中，随机取出一个数记为a ，那么使得关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+ 5= 0 无解，且使得关于 x 的方程

有整数解的所有a 的值之和为( )

A.2 B.1 C.0 D.-1

3、已知x1 ， x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

4、若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）

A.m＜1 B.m＜1且m≠0 C.m≤1 D.m≤1且m≠0

5、关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么

的取值范围是( ) A. B. 且 C. 且 D.

6、一元二次方程 的解是( ) A.x 1=1，x 2=2 B. C. D.x

1=0，x 2=2

7、一元二次方程2x2＋6x＋3= 0 经过配方后可变形为（ ） A. =6 B. =12 C. D.

8、经计算整式 与 的积为 ，则 的所有根为（ ）

A. B. C. D.

9、某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B.x（x+1）=1980 C.2x（x+1）=1980 D.x（x-1）=1980

10、一元二次方程x2﹣2x=0的解是（ ）

A.x 1=0，x 2=2 B.x 1=1，x 2=2 C.x 1=0，x 2=﹣2 D.x 1=1，x

第二章 热传导方程

§ 1 热传导方程及其定解问题的提

1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律

dQ k1(u u1 )dsdt

又假设杆的密度为 ，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。

解：引坐标系：以杆的对称轴为 x 轴，此时杆为温度 u u( x,t) 。记杆的截面面积 l 2

为 S 。

t 到 t t 内流入截面坐标为 x 到 x x 一小段细杆的热量为 4

由假设，在任意时刻

dQ u s t k u 2u s x t

k

x s t k

1 x x x x x 2 x

t 到 t t 在截面为 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻

x 到 x x 一小段中产生的热量为

4k1

dQ

2 k

1 u u l x t u u s x t

1 l 1

又在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 这一小段内由于温度变化所需的热量为

dQ c u x,t t u x,t s x c u s x t

由热量守恒原理得： 3 t t

c u s x t k 2u s x t 4k1 u u s x t

t t x2 x l 1

消去 s x t ，再令 x 0 ， t

2 u 0 得精确的关系：

c u k 4k1 u u

t x 2 l 1

u k 2u 4k a 2 2 u 4k

1、一个偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数称为这个偏微分方程的阶。

2、如果方程对未知函数及其各阶导数总体来说是线性的，则称这个方程是线性方程，否则称这个方程是非线性方程。

3、几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果（即假设其他原因不存在时，该原因所产生的效果）的累加。这个原理称为叠加原理。

4、I【22222//0utaux

0:(),/()tuxutx】

初值问题I 的解为(,)[()()]/2(1/2)()xatxatuxtxatxatad此公式称为达朗贝尔公式

5、依赖区间（x-at,x+at）

第一章课后题2.8求解

222200{//sin|0,/|sin}ttutuxtxuutx

解：()0()11(,)sinsinsin22xtxttxtxtuxtddtx

sin(1,2,...)kkCxkl为常微分方程()()0XxXx满足边界条件(0)0,()0XXl的固有函数（或特征函数）而222kl称为相应的固有值。2222200:(),()0,:0uuatxutuxxtxxlu

初值问题，的解是(,)cossinsinkkkakakauxtAtBtxlll

又可以写成(,)cos()sinkkkkkuxtNtxl

其中222222,,cossinKKKKKkKkKkKkAKaNABlABBAB

KN称为波的振幅，K称为圆频率，k称为波的初位相。

弦上位于mlxk（m=0,1,..k）处的点在振动过程中保持不动，称为节点。。

弦所能发出的最低音所对应的圆频率就是其最低固有频率1al，这个音称为弦的基音，其余的圆频率是1的整数倍，称为泛音。

1 线性边界条件 浅谈数理

方程中线性边界条件的分

类

导读：就爱阅读网友为您分享以下“浅谈数理方程中线性边界条件的分类”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持! 浅谈数理方程中线性边界条件的分类 摘要： 数学物理方程中有定解离不开初始条件和边界条件，其反映了具体问题所处的 环境和背景。本文针对线性边界条件的分类进行归纳。 关键词： 数学物理方程 线性边界条件 分类 一、 引言 物理课程中所研究论述的物理规律是物理量在空间和时间中变化的规律。物理规律用数学表达是：物理量u 在各个地

2 点和各个时刻所取值之间的联系。通过这种联系，我们就可以由边界条件和初始条件推算出物理量在任意地点和任意时刻的u(x,y,z,t)。同时它也是解决问题的依据。为了解算具体问题，应该考虑到所研究的区域所处的环境。边界条件和初始条件就是反映具体问题所处的环境和背景。 二、 线性边界条件的分类 物理规律反映的是物理量在时间和空间上的联系，与特定的周围环境和历史有关。物理中的联系总是要通过中介，周围环境的影响是通过边界传给其研究对象，所以，周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。而不同的物理过程，因其具体的条件不同，结果也不一样。下面，将对线性边界条件进行简单的归纳。 1、第一类边界条件 这类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。 U?x,y,z,t?边界x0,y0,z0=f?t,x0,y0,z0,?，又称狄利克雷?Dirichlet?边界条件。首先以弦振动为例：取一根长为L的弦，把它的两端X?0和X?L固定起来，然后让它振动。边界条件X?0和X?L既然是固定的，那位移U当然始终为零。 U?x,t?x?0?0

3 1 U?x,t?U?x,t? ux?x,t?x?0x?t?N0?N0?0,u?0f??,?,z,t?x?ax?lU?x,t?x?t?0 u边界x0,y0,z0?f?t,x0,y0,z0??nkUnx?a?0对于细杆导热问题，如果杆的某一端点x=a的温度U按已知的规律f (t)变化，则该点的边界条件是：U?x,t?x?a?f?t? x?a特别是如果该端点恒温u0 ,则边界条件成为U?x,t??f?u0? 再如，半导体扩散工艺的“恒定表面浓度扩散”中，硅片周围环境是携带着充足杂质的氮气，杂质通过硅片表面向内部扩散，而硅片表面的杂质浓度保持一定。硅片的边界就是它的表面X?0和X?L，边界上的物理则是杂质浓度U保持为常数N0， U?x,t?U?x,t?x?0x?t?N0?N0 例1：设有一半径为a高为h的圆柱体，其底面和侧面保持恒温u0,而顶端温度按已知规律f??,?,t?变化，试写出其导热问题的边界条件。 解：设杆的温度为f??,?,z,t?，则其边界条件为 uz?0?u0,uz?h,?,t?,u??a?u0 例2:考虑长为L的均匀杆的导热问题 若（1）杆的两端温度保持零度 （2）杆的两端均绝热 （3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热；试写出该导热

创新的快乐从哪里来 阅读附答案

创新的快乐从哪里来邓中翰①我国着名数学家谷超豪院士，曾将自

己的三大研究领域微分几何、偏微分方程和数学物理，亲昵地称为金三角，

并告诉别人：别看它们表面上枯燥，其实只要深入进去，就会发现其中奥妙

无穷，充满快乐。而正是这快乐给予了我无穷的动力。谷先生的数学人生启

示我们，科研工作者要在创新之路上不断前行，不可缺少那种发自心底而又

融入生活的创新的快乐，否则就缺少了动力。可是，在很多人眼里，科研创

新是艰深、枯燥、乏味的苦差事，又如何成为快乐的源泉呢？其实快乐就来

源于创新的各个环节：从源头到过程再到结果。②创新的快乐，基于对科研

的热爱。许多从事基础创新科研的学者，对自己所研究的学问怀有真诚的喜

爱、极大的兴趣、澎湃的激情与乐道的情怀，把治学作为人生最高价值来追

求。科学巨匠们都有这样的心得：搞科研要有对科研的热爱。【甲】有了这种

热爱，学者们才会对艰辛的研究工作甘之如饴，兴味盎然，产生创新的恒久

动力，在创新之路上越走越远。③创新的过程虽然充满着艰难曲折，但其中

却有着无限的乐趣。从谷超豪到邓稼先、孙家栋，科学家们或埋头于复杂的

数字演算，或跋涉在人迹罕至的荒漠，或坚守在偏僻孤寂的实验室，虽有艰

辛，但乐趣无穷。【乙】为了科技攻关，科学家们战胜了无数的挑战，攀登了

无数的险峰。正是在这样的过程中，他们享受着因不断畅想、发现、创造、

超越而带来的种种乐趣。④创新的快乐，还在于对创新成果的分享。爱迪生

用电灯给人类增添光明，袁隆平用杂交水稻为人类解决温饱，高锟用光纤使

人类加强交流一直以来，全球的科学家都有一个共同的梦想：让全人类共享

科技进步的成果。【丙】用创新成果为大众创造美好生活，是科研工作者最大

的快乐。⑤科技创新事业，因其兴趣的基础、挑战的过程和共享的目的而充

数学物理方程讲义姜礼尚答案

11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社

这些书应该够了，其他书不一一列举。从中选择一本当作课本就可以了。

外国数学分析教材：

11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著

数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。买书不建议看价格，而要看书好不好。一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。

12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著

上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。

13《数学分析》卓立奇

观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。

14《数学分析简明教程》辛钦

课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。

15《数学分析讲义》阿黑波夫等著

莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。 16《数学分析八讲》辛钦

大师就是大师，强烈推荐。

17《数学分析原理》rudin

中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。不过这本美国的书还是值得一看的。写的简单明了，

可以自己试着把上面的定理推导一遍。 18《微积分与分析引论》库朗

又一本美国的经典数学分析书。有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。

19《流形上的微积分》斯皮瓦克

分析的进一步。中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。

20《在南开大学的演讲》陈省身

从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。

21华罗庚《高等数学引论》科学出版社

数学分析习题集

不做题就如同没有学过一样。希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。

分离变量法在解初边值问题中的应用

摘要：分离变量法在解波动方程及热传导方程的初边值问题是很常用的方法，通过把所求方程的解分离成若干分别只含有一个自变量的待定函数之积，再将这些特解做适当的线性组合，就可得初边值问题的解。

关键词：分离变量法；叠加原理；sturm-liouville问题；特征函数；特征值

中图分类号：tn248.4 文献标识码：a 文章编号：1007-9599

（2012） 17-0000-02

1 sturm-liouville问题

对问题

假设：

（1） 和 在 上连续，

（2） 在 上连续且 或 在 内连续，在区间端点处有一阶奇性

（3） 在 上连续且

则：（1）存在无穷多个特征值

当 时，

对应这些特征值有无穷多个特征函数 ……

（2）设 是特征值 所对应的特征函数，那么所有的 组成一个正交函数系

（3）若函数 在 有一阶连续导数及分段连续的二阶导数且满足所给的边界条件，则 在 内按特征函数展开为绝对且一致收敛的级

数

其中

2 分离变量法

（1）定义：利用具有变量分离形式的特解来构造初边值问题的解的方法称为分离变量法。

（2）下面以齐次波动方程的初边值问题为例来具体介绍分离变量法

我们求（1）的可以分离变量的不恒等于零的特解：

并要求它满足齐次边界条件（3）（4）。

将（5）代入方程（1）得到

将上式分离变量，有 （6）

由于在（6）式中，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能，记为 ，就得到

（7）

（8）

这样方程（6）就被分离为两个常微分方程，求解这两个方程来得到（1）的特解，为使此解是满足齐次边界条件的非平凡解，就必须找方程（8）满足边界条件的非平凡解。

2019年第08期学术专业人文茶趣

收稿日期：2019年6月15日。本文介绍310330xxxyyyxyuuuuu++--=的三种解法以及这三种方法的比较。

1三种解法

1.1行波解法：当线性齐次偏微分方程的各项阶数一样，即同阶时，方程解的形式为()ufkxy=+，例如450xxxyyyuuu++=，将()ufkxy=+代入方程，得到通解为1(-)()4ufxygxy=++-+.

当线性齐次偏微分方程的各项阶数不一样时，方程解的形式为()mxuefkxy=+，例如450xxxyyyxyuuuuu++++=，将()ufkxy=+代入方程，得到通解为141(-)()4ufxyegxy-=++-+.

现在设310330xxxyyyxyuuuuu++--=解的形式为()mxuefkxy=+，

代入方程得223631010mxmxmxmxmxmfemkfekfemfekfe¢¢¢¢¢¢++++3330mxmxmxmxfemefkfefe¢¢¢¢+---=，即22(33)(61031)(3103)0mxmxmxmmfemkmkfekkfe¢¢¢-++--+++=，

要使上式恒成立，则2

233061031031030mmmkmkkkì-=ï+--=íï++=î，

解得013mk=ìï

í=-ïî或13mk=ìí=-î，

因此，

方程的通解为

1()(3)3xuf

xyegx

y

=-++-+，

1.2特征线法：

对于二阶线性偏微分方程xxxyyyx

yAuBuCuDu

Eu

FuG+++++=，方程的特征方程为()0AyByC¢¢-+=,

特征线为21224242BBACxyCABBACxyCAì+--=ïïí--ï

-=ïî,

作特征线代换2

24242BBACxyABBACxyAx

hì+-=-ïïí--ï=-ïî,

代入方程就可以求出方程的通解.310330xxxyyyxyuuuuu++--=方程的特征方程为3()1030yy¢¢-+=，

则特征线为1

2313xyC

谷超豪：从不停步的探索者

谭生

【期刊名称】《今日科技》

【年(卷),期】2010(000)002

【摘 要】谷超豪,1926年生,浙江温州人。1948年毕业于浙江大学数学系,1953年起在复旦大学任教,1957年赴前苏联莫斯科大学进修,获科学博士学位。历任复旦大学副校长、中国科技大学校长。1980年当选为中国科学院数学物理学部委员,专长偏微分方程、微分几何和数学物理,撰有《数学物理方程》等专著。研究成果"规范场数学结构"、"非线性双曲型方程组和混合型偏微分方程的研究"、"经典规范场"分别获全国科学大会奖,国家自然科学二等奖、三等奖,2009年度国家最高科技奖。

【总页数】3页(P24-26)

【作 者】谭生

【作者单位】

【正文语种】中 文

【相关文献】

1.摩擦学领域的探索者——记中原学者、河南科技大学教授张永振摩擦学领域的探索者——记中原学者、河南科技大学张永振教授 [J], 韩卫红;段笑蓉

2.为什么花蕾从不呻吟——读严谅诗集《从不呻吟的花蕾》 [J], 周文英;

3.做一名合格的幼教探索者

——读《我们都是探索者》有感 [J], 徐亚玲 4.做一名合格的幼教探索者——读《我们都是探索者》有感 [J], 徐亚玲

5.这里，植物从不干渴，空气从不混浊 [J],

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数学分析第五版答案

【篇一：数学分析学习方法档】

>从数学分析开始讲起：

数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分

数学分析书：

初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。

中国人自己写的：

1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）

应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。

2《数学分析》华东师范大学数学系著

师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。 3《数学分析》陈纪修等著

以上三本是考研用的最多的三本书。

4《数学分析》李成章，黄玉民

是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。

5《数学分析讲义》刘玉链

1 《数理方程》教学大纲

一、课程的基本信息

课程名称：《数理方程》

英文名称：Mathematics and Physical Equation

课程性质：专业方向选修课

课程编号：1623303002

周 学 时：3学时

总 学 时：48学时

学 分：3学分

适用专业：

适用于信息与计算科学专业

预备知识：数学分析、高等代数、常微分方程、复变函数

课程教材：

姜礼尚，陈亚浙主编，《数学物理方程讲义》（第二版），高等教育出版社出版、1996年9月

参考书目：

[1] 谷超豪主编，《数学物理方程》（第二版），高等教育出版社、2002年．

[2] 南京工学院数学教研组主编，《数学物理方法》(第五版)，高等教育出版社、1982年.

[3] 陈恕行主编，《数学物理方程》，复旦大学出版社、2003年.

考核方式：考试

制定时间：2013年10月制定

二、课程的目的与任务

《数理方程》是高等院校信息与计算科学专业的专业选修课之一。数学物理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过数理方程

2 的教学，使学生了解和掌握数理方程这一学科的基本概念、理论，培养学生的理论思维能力，为从事信息与计算科学学科的教学和研究打下一定的理论基础。

通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三个典型方程定解问题的解法，为后继课程进一步扩大数学知识面提供了必要的数学基础。

三、课程内容及学时分配

第一章 方程的导出和定解条件（10学时）

一、本章基本要求

1．掌握典型方程和定解条件的表达形式；

2．了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题；

3．掌握偏微分方程的基本概念。

二、教学内容

1．守恒律

2．变分原理

3．定解问题的适定性

第二章 波动方程（14学时）

一、本章基本要求

1．了解波动方程的导出方法，领会定解条件及意义；

2．掌握初边值问题的分离变量法；

课程号：20101140

课程名称：偏微分方程

开课学期：秋季

总学时：68

学分：4

先修课程：数学分析，常微分方程，实变函数，复变函数，泛函分析。

基本目的：讲解偏微分方程的基本方法和基本理论，使选课的同学对偏微分方程的最基本的问题和方法有一定的了解。

第一章: 方程的导出和定解条件。

1. 基本内容：通过弦振动、热传导、流体运动以及膜平衡、极小曲面等物理和几何的例子，说明如何从守恒律和变分原理出发导出我们常见的一些偏微分方程

2. 基本要求：要求掌握守恒律与变分原理等物理规律的应用以及每个方程的物理背景。

3. 建议课时安排：12学时

第二章：波动方程

1. 基本内容：主要介绍波动方程的基本理论和基本方法。首先介绍特征线法、球平均法和降维法，利用这些方法求解出一维、二维和三维波动方程初值问题的表达式。同时，我们将介绍波动方程最重要的概念――特征线（特征锥），推导波动方程的最基本的先验估计――能量不等式，利用分离变量法来求解出一维波动方程混合问题解的表达式，然后推导波动方程混合问题的能量不等式。

2. 2. 基本要求：重点掌握双曲方程的特征理论、能量积分与分离变量法。

3. 3. 建议课时安排：20学时

第三章：热传导方程

1. 基本内容：主要介绍热方程的基本理论和基本方法，重点介绍Fourier变换方法和分离变量法。利用Fourier变换方法求出热方程的基本解。利用分离变量法来求解出热方程混合问题解的表达式。然后介绍关于热方程的混合问题和初值问题的各种极值原理和最大模估计。

2. 基本要求：掌握基本解的概念与物理意义，了解广义函数的概念。重点掌握 Fourier变换，抛物方程的 Green函数与极值原理。

3. 建议课时安排：18学时

第四章：位势方程

1. 1. 基本内容：主要介绍位势方程的基本理论和基本方法。重点介绍n维欧式空间上的调和函数及其性质。并介绍位势方程的基本解和如何基本解来构造位势方程边值问题的Green函数，进而得到位势方程边值问题解的表达式。然后再介绍位势方程的极值原理以及边值问题的最大模估计和变分法。

黑龙江科学HEILONGJIANG SCIENCE第12卷第7期2021年4月Vol. 12Apr. 2021数学物理方程课程教学改革与实践刘肖云(安阳工学院数学与信息科学学院，河南安阳455000)摘要：对数学物理方程课程教学改革与实践进行探究。数学物理方程教学中存在一些问题:理论性强，数学推导复杂，计算量大、 内容繁杂，学生知识储备不足，基础知识不够扎实，新旧知识衔接不畅，学生的主体地位没有得到体现。明确了数学物理方程课程 教学改革方向：融入课程思政，开展问题导向学习，开展自主性启发式教学。立足课程教学内容，教师可借助知识点及数学学习方 法等适时向学生渗透不急躁、刻苦钻研、求真务实的作风，运算过程的每一步都要有依据，在定理、讨论及证明中要实事求是。准备 过程中用到的物理学定律要求学生通过查资料自学,并制作幻灯片在全班讲解。课程中的部分内容要以选题的形式发布，写完论 文后，每个选题由一名学生在台前汇报，其他同学可就研究内容、研究方法、创新点、论文格式等进行提问。提出了具体的教学改革 方法，可采用翻转课堂和线上教学模式，改进课程考核模式，实现教学效果的最优化。关键词：数学物理方程课程;教学改革中图分类号：G642.0 文献标志码：B 文章编号：1674 -8646(2021)07 -0122 -02Teaching Reform and Practice of Mathematical Physical Equation CourseLiu Xiaoyun (School of Mathematics and Information Sciences, Anyang Institute of Technology, Anyang 455000, China)Abstract: The research explores the teaching reform and practice of mathematical physical equation course・ There are some problems in mathematical physical equation teaching, i・ e. mathematical derivation is complex, the calculation amount is large, the content is complex, the student knowledge storage is insufficient, the basic knowledge is not solid, the new and old knowledge don' t connect well, and the domain position of the students is not reflected・ The teaching reform of mathematical physical equation course is clarified, i・ e. to integrate course education, develop proble oriented learning, and develop independent heuristic education. According to the course teaching content, teachers can teach students not to be impatient, to study assiduously and to be realistic and pragmatic through teaching the students knowledge points and mathematics learning method・ During operation procedure, students should obey the basis, and seek truth from facts when operating theorem, discussion and certification. When preparing, teachers should require students to use physics law through data requiring by self-study, and explain to the whole class through making power points・ During class, teachers should distribute part contents through topics, make a student report each topic after writing papers, and make other students research the content, method, innovation and thesis format. Specific teaching reform methods are proposed, i・ e. to adopt flipped class and online teaching mode, reform course examination model, and achieve the optimization of teaching effect.Key words: Mathematical physical equation course ； Teaching refonn数学物理方程是数学类专业的一门重要专业课, 在自然科学及现代科学工程技术中有着广泛应用。该 课程要求学生掌握三类经典方程的导出、定解问题的 提法以及行波法、积分变换法、分离变量法、格林函数 法等常见解法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能 力、数学建模能力和科学计算能力门7。收稿日期:2020-08 -22基金项目：河南省科技攻关项目(212102310383) ；2019年度院博士科研启动基金(BSJ2019007)作者简介:刘肖云(1980 -)，女，博士，讲师。1数学物理方程教学中出现的问题数学物理方程这门课程的知识量较大，而学生知 识储备不足,基础不够扎实，造成新旧知识衔接不畅。 该课程理论性强,数学推导复杂,计算量大、内容繁杂, 不能激发学生的学习兴趣，学生的主体地位没有得到 体现,学生在学习过程中会感觉难以理解，枯燥乏味。2数学物理方程课程教学改革方向2. 1融入课程思政教师要对学生介绍数学物理方程这门课的特点,

1 求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧

1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法

下面两个公式是求特解的重要公式：

A、 p为单根时

tf

pD1

对应的特解为

dttfeeXptpt



,

即 

tfe

Detf

pDptpt



11

； （21）

B、p为s重根时

tf

pDs

)(1

对应的特解为spt

spt

sdttfeeX



,

即 

tfe

Detf

pDpt

spt

s



1

)(1

。 （22）

注：公式（21）也可以作为公式（22）在1s时的特例。

由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代

数方程根的问题)和求原方程的一个特解。我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。

例1：求下列非齐次微分方程的特解：

1)

tt

eexDD22

6

； 2）

txDsin12

；

3) 

22

1txDD； 4) t

e

exDD232。

解：设特解为X

1) 解1： 

tttttt

ee

Dee

Dee

DD222

2

21

51

31

51

61













dteeeedteeeetttttttt



222233

51

51

ttttttt

eteeteeee2222

251

51

61

51

151

251

101



 取tt

teeX2

51

61



 。 （注意，t

e2

251



将被合并在方程的通解之中）

解2：





dteeee

Dee

DDee

DDtttttttt









23322

2

21

31

21

61



tttttttttt

teedteeeedteeee

D2222233

51

61

51

21

21















tt

teeX2

51

61



 。

注：当 p时，有ttptptt