弹性力学_第三章 应变
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第三章应变理论课件
Venant）1797年生于法国，
1886年逝世。1825年毕业于
巴黎桥梁公路学校，后从事
工程设计工作，1837年回该
校任教，1868年当选为法国
科学院院士。在弹性力学、
塑性力学、流体力学等方面
做出了贡献。他的力作用的
局部思想被称为“圣维南原 理”。
圣维南
（A.J.Saint-Venant）
§3-5 变形协调方程
§3-3 转动张量
如图4设过点 从物体中任意取出
一微元线段 。若令点 的坐标
为
，则点 的坐标为
变形后， 变成 的位移为
。令点 的位移为
于是
图4
, 则点
§3-3 转动张量
§3-3 转动张量
其中
若令
则
表示位移矢量 的旋度，
则分别表示物体
内微元体绕相应的坐标轴的旋转分量，而
则代
表微元体的刚性转角。
§3-3 转动张量
应变协调方程的物理意义： ➢ 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满
足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连 续体，其间将产生缝隙或出现相互嵌入现象。 ➢ 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一 定的关系。 注：应变协调方程是变形连续的必要和充分条件！
例题
例1. 设物体变形时产生的应变分量为
在略去二阶及更高阶的微量以后简化为 线段 的正应变是
（3）
§3-2 小应变张量（几何方程）
由于位移是微小的， 方向的位移所引起的线段 的伸缩，是更高一阶微小的，略去不计。同样线段
的正应变是 （4）
求出线段 与 之间的直角改变，也就是剪应 变 ，用位移分量来表示。
§3-2 小应变张量（几何方程）
弹性力学-第三章-应变状态
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几使何用方张程量给符出号的，应几变何通方常程称可为以表工达程为应：变。ij
1 2
ui,j
uj,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。
设M点的坐标为（x，y，z）
与M点邻近的
位移（u，v，w）
N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
位移（u+du，v+dv，w+dw）
将几何方程
x
u, x
y
v y
,
z
w z
,
中的第 1，2，4 式：
xy
vu, x y
yz
wv, y z
zx
uw z x
作如下求偏导运算：
2 x
y 2
3u xy 2
2 y
x2
3v x2y
2 xy
xy
2 u
yx
y
v x
3u xy 2
3v x 2y
§3.3 应变协调5
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数
(
x
)l
1 2
xym
1 2
xzn
0
1 2
xyl
(
y
)m
1 2
弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学_第三章 应变
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
应变分析
第三章
应变分析
外力作用下，物体各点发生位移，但是某 点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它 与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相 对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学 中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设， 在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两 个。 第一节 第二节 位移与应变 应力与应变的关系
1 ∂v ∂u ε xy = + 2 ∂x ∂y
若记坐标变形前后的坐标x, y, z为Xi、xi， 位移为ui=Xi-xi,上式可以缩记为：
ε ij
1 = 2 ∂ui ∂u j + ∂X j ∂X i
一般称为Cauchy应变，保留的是一阶项，适 用于小应变的情况，在有限变形时，应变有多 种定义，常见的有： Green Almansi Euler
我们从物体中取出y方向 上长dy的线段PB，变形后为 P'B'，B'点y方向的位移为 ∂v v+ d y ∂y x方向上的位移为
∂u u+ d y ∂y
PB的正应变在小变形时是由y方向 的位移所引起的，因此PB正应变为
∂v ∂y
A
∂v 线段PA的转角是 α = ∂x
∂u 线段PB的转角是 β = ∂y
第三章 应变分析
第一节 位移与应变 在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，一般说来各点 的位移不同。
第三章 应变分析
第一节 位移与应变 如果各点的位移完 全相同，物体发生刚体 平移； 如果各点的位移不 同，但各点间的相对距 离保持不变，物体发生 刚体转动等刚体移动。
如果各点(或部分点）间的相对距离 发生变化，则物体发生了变形。这种变 形一方面表现在微线段长度的变化，称 为线应变；一方面表现在微线段间夹角 的变化，称为切应变。
应变分析
外力作用下，物体各点发生位移，但是某 点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它 与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相 对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学 中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设， 在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两 个。 第一节 第二节 位移与应变 应力与应变的关系
1 ∂v ∂u ε xy = + 2 ∂x ∂y
若记坐标变形前后的坐标x, y, z为Xi、xi， 位移为ui=Xi-xi,上式可以缩记为：
ε ij
1 = 2 ∂ui ∂u j + ∂X j ∂X i
一般称为Cauchy应变，保留的是一阶项，适 用于小应变的情况，在有限变形时，应变有多 种定义，常见的有： Green Almansi Euler
我们从物体中取出y方向 上长dy的线段PB，变形后为 P'B'，B'点y方向的位移为 ∂v v+ d y ∂y x方向上的位移为
∂u u+ d y ∂y
PB的正应变在小变形时是由y方向 的位移所引起的，因此PB正应变为
∂v ∂y
A
∂v 线段PA的转角是 α = ∂x
∂u 线段PB的转角是 β = ∂y
第三章 应变分析
第一节 位移与应变 在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，一般说来各点 的位移不同。
第三章 应变分析
第一节 位移与应变 如果各点的位移完 全相同，物体发生刚体 平移； 如果各点的位移不 同，但各点间的相对距 离保持不变，物体发生 刚体转动等刚体移动。
如果各点(或部分点）间的相对距离 发生变化，则物体发生了变形。这种变 形一方面表现在微线段长度的变化，称 为线应变；一方面表现在微线段间夹角 的变化，称为切应变。
弹性力学3.
求应变分量
解：由于 n=0,任意方向 en e xl2 e ym2 xylm
45
x
e0
0°(l,m)=(1,0) , 45°(l,m)=(0.707,0.707), 90°(l,m)=(0,1)
e 45
则 e 0 e x 2.7 10 4
e90 e y 1105
e 45
1 2
e
x
1 2
e y' e xl22 e ym22 e zn22 xyl2m2 yzm2n2 zxn2l2
e z' e xl32 e ym32 e zn32 xyl3m3 yzm3n3 zxn3l3
代入(1)(2)展开得
x'y' 2 e xl1l2 e ym1m2 e zn1n2 xy (l1m2 l2m1) yz (n1m2 n2m1) zx (l1n2 l2n1)同理
2.主应变的确定 由对应替换关系和应力状态方程。可对应替换得
应变张量的第一不变量 第二不变量 第三不变量
主应变特征方程
J1
J2 J3
ex ey ez
e xe y e ze y
e
xe
ye
z
1 4
e xe z xy yz zx
1
4
2 yz
e x
2 yz
2 zx
e
2 xy
y
2 zx
e
z
数的几何方程不相矛盾；2) 变形 后各单元体能重新组合成连续体， 无缝隙或嵌入现象；3) 单连通域 弹性体, 可以通过几何方程求得单 值连续的位移分量；等应变分量
必须满足的关系。
3.位移边界条件
若边界处已知位移值
u, v, w则可写出
弹性力学_3-应变分析
相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况， 相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移， 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移； 相对位移； 相对位移张量一般为非对称张量。 相对位移张量一般为非对称张量。
二. 转动张量
设 PA = ds , PA1 = ds1 1 若为刚体位移， 若为刚体位移，则 ds = ds1
z A
r u′ r u
A1
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 = dxi dxi (ds1)2 = (dxi +δui )(dxi +δui ) ≈ dxi dxi + 2δuidxi
∴ δui dxi = 0 ⇒ dxui, j dxj = 0 i
展开
x O
P
P1 y
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体， 由正交三线元可构成一微元体， 考察变形前后微元体体积的变化。 考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
x P z
t dz
dy s
r
O
dx
y
1 1 ∂w ∂v ε23 = ε32 = γ yz = + 2 2 ∂y ∂z
∂w ε33 = εz = ∂z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 工程切应变是角应变分量的2 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述 几何方程可表示为
∂u3 ∂u1 ∂u2 dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 +( + )dx1dx2 + ( + )dx2dx3 + ( + )dx3dx1 = 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3
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第五章
线性弹性本构关系
不考虑热效应，克定律。 1、应变能密度和本构关系： ★格林公式 ij
W ，其中 W 是应变能，指外力在准静态过程中所做的功全部转化为由 ij
于变形而储存在弹性体内的能量。 2、广义胡克定律： ij Eijkl kl ，其中 Eijkl 为一个四阶张量，称为弹性系数或弹性模量张量。 4、各向同性弹性体：材料沿所有方向的弹性性质都是相同的，在数学上，即应力应变关系 的分量形式与坐标系无关。 令 C12 , C11 C12 / 2 ，称为 Lame（拉梅）系数
第八章 平面问题的极坐标解答
ui ui , 在S（位移边界）上 u
3、叠加原理：基本方程和边界条件都是线性的，叠加原理成立。对于大变形问题、材料非 线性问题和边界条件非线性的小变形问题，叠加原理不成立。 4、解的存在性和唯一性：逆解法和半逆解法。 5、★位移解法：以位移作为基本未知函数，在基本方程中消去应变张量和应力张量，可导 出仅用位移表示的方程组。 ,i 2ui fi 0 Lame Navier方程：
u v 1 u v ， y ， xy x y 2 y x
1 x x 1 y E1 1 物理方程： y y 1 x E1 1 1 xy xy E1
4
同济大学 弹性力学复习资料
1150899 陈力畅
第七章 平面问题的直角坐标解答
1、平面应变问题： u u x, y ，v v x, y ，w 0 等截面柱形物体；柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于 Oxy 平面，且它们的分 布沿 z 方向不变。 几何方程： x
第六章
弹性力学-第三章 应力张量 应变张量-1
上述方程为
的齐次线性方程组， 且常数项都为
零。因为：
，故
不能同时为零，
所以方程组的系数行列式应为零，即
将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为 应力张量 的特征方程。
式中
设特征方程的三个根为 展开后有
比较上两式，有
，则 （特征方程）
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。
应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。
静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。
对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45°）的 平面，
设
，最大剪应力为：
（2）两主应力相等，设 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。
应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。
用
表示。
式中：
问：是否存在一特定的斜截面，其上应力矢量T与截 面法线同向。即T为该截面上的正应力 ，
而剪应力为零。
设斜截面法线方向余弦为： 应力矢量T在坐标轴上的投影为：
由斜面应力(Cauchy)公式
故 或 将上式展开
当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应 力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正 应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向） 称为主方向。
弹性力学课件Chapter3
y 1
2 zy
1 2
xz
1 2
yz
z
且 (ij ) 为一二阶对称张量。
（3-2）
5
应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
3-3、应变分量与位移分量之间的微分关系—几何方程:
应变是与位移有关的。物体中各质点相对位置的改变，则产生 变形。因此要分析物体的变形，就要研究各点的位置的变化。
v
xy
yx
v x
u y
x （3-5）
v(x, y) b
d
dy
yo
p
x
a
dx
p yx
a
v v(x dx, y)
u
dx u u
z u(x, y)
dx u
11
应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
x
y
z
v' v( x, y, z) v dx v dy v dz
x
y
z
w' w( x, y, z) w dx w dy w dz
x
y
z
14
应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
为了表示成应变分量的关系，对 u, v, w 作如下改写：
x
v v(x, y, z) v' v(x dx, y dy, z dz)
位移分量是坐标的函数 w w(x, y, z) w' w(x dx, y dy, z dz)
2 zy
1 2
xz
1 2
yz
z
且 (ij ) 为一二阶对称张量。
（3-2）
5
应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
3-3、应变分量与位移分量之间的微分关系—几何方程:
应变是与位移有关的。物体中各质点相对位置的改变，则产生 变形。因此要分析物体的变形，就要研究各点的位置的变化。
v
xy
yx
v x
u y
x （3-5）
v(x, y) b
d
dy
yo
p
x
a
dx
p yx
a
v v(x dx, y)
u
dx u u
z u(x, y)
dx u
11
应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
x
y
z
v' v( x, y, z) v dx v dy v dz
x
y
z
w' w( x, y, z) w dx w dy w dz
x
y
z
14
应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
为了表示成应变分量的关系，对 u, v, w 作如下改写：
x
v v(x, y, z) v' v(x dx, y dy, z dz)
位移分量是坐标的函数 w w(x, y, z) w' w(x dx, y dy, z dz)
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的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
直，相应的应变称为主应变 。
剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变
主应变和应变张量不变量
qNi li
ij ij l j 0
主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。
ij ij 0
展开得关于 的一元三次方程：
主应变特征方程
3
(
x
y
z
)
2
[
x
y
y z
z
x
(
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
31
1 2
(
3
1
)
max
பைடு நூலகம்
1 2
(1
3
)
应变张量分解和应变偏量不变量
（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量
x m ij yx
zx
xy y m
zy
z
xz yz
m
m
0
0
0
2 xy
2 yz
2 zx
)]
x y z
2 xy yz zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
0
该方程一定存在三个根，设为1， 2， 3称为该点主应变:
( 1)( 2 )( 3 ) 0
主应变和应变张量不变量
再次展开关于 的一元三次方程：
3 (1 2 3 ) 2 (1 2 23 31 ) 1 23 0
m 0 0
mij
0
m
0
0 0 m
x
m
eij yx
zx
xy y m
zy
xz
yz
z m
应变球张量
应变偏张量
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
应变张量分解和应变偏量不变量
用主应变表示应变偏量：
斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
qN qN
1 2
11 21
12 22
13 23
l1 l2
qN 3 31 32 33 l3
如果应变矢量 qN 正在平面法线N 方向上，则在这一方向上剪 应变为零，则该法线方向即为主方向（或应变主轴）。其含义
为：在这些方向上，运动前是彼此垂直的，其运动后仍保持垂
yx zy xz
变形的度量——应变
正（线）应变
x
x
σx
σx
dx
dx
u
u +du
物体内一点 P（x,y,z）在 N (l, m, n)
方向上的线应变
N
lim r
r0 r
r ：变形前在P点处沿 N 方向所取
的微线段
r ：变形后Δr的增量
x
d d
u x
N
r r
P(x,y,z)
变形的度量——应变
少的角应变取正，反之取负。
应变分量与位移分量的关系
ABCD ABCD，求线素
A点在X方向的位移分量为u，
dy
v
AB、AD的正应变 x、 y ：
y
u u dy y
C'
v
v y
dy
D" D'
D
C
A' u
B'
v v dx
B" x
B点在X方向的位移：
u u u u dx x
线素AB的正应变为：
3 J1 2 J2 J3 0
在一定的应变状态下，物体内任一点的主应变不会随坐标系 的改变而改变，因而，特征方程中的系数 J1，J2，J3 必为常 数，称为应变不变量。
主应变和应变张量不变量
第一应变不变量
J1 x y z 1 2 3 kk
体积应变
第二应变不变量
J2
x y
0
e31 e32 e33 0 0 0 0 0 e33
0 e12 0 0 0 e13 0 0 0
e21
0
0
0
0
0
0
0
e23
0 0 0 e31 0 0 0 e32 0
都表示纯剪切变形，因此eij 只与单元的剪切变形有关
应变张量分解和应变偏量不变量
应变张量的性质： （1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有线 应变（主应变）而无切应变。主应变张量为
§3-1 变形与应变概念
刚体平移
刚体位移
*物体内各点之间不产生相对位移
刚体转动
位移
变形位移
线变形 *物体内各点之间产生相对位移
角变形
§3-1 变形与应变概念
由于外部因素 —— 载荷或温度变化 位移 —— 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对
位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各
个点的相对位置。
§3-1 变形与应变概念
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。
刚体位移包括平行移动和转动位移
§3-1 变形与应变概念
变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各 个点的相对位置。即物体的形状发生改变。
的切应变。
MN 1
2
为变形后
M
、N
两垂直方向
间角度的变化量
则 xy ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的
变化量。
γ=α+β
直角改变量
N
2 1
P(x, y, z) M
变形的度量——应变
剪（切）应变——两正交线素夹角的减少
，
剪应变以直角变
，
小时为正，变大
时为负，与剪应
力的正负号规定
相对应。
正（线）应变——线素的相对伸长或缩短
x
dx dx dx
y
dy dy dy
z
dz dz dz
正应变以伸长时为正，缩短时为负， 与正应力的正负号规定相对应。
变形的度量——应变
剪（切）应变
τ
α
τ
β
物体内一点 P(x，y，z)的两垂直 方向M 和 N 方向之间的角度变化量，称之为 M 和 N 方向
ij
1 ( ui 2 x j
uj ) xi
1 2 (ui, j
uj,i )
ij yxx
xy y
xz yz
1 2
x yx
1 2
xy
y
zx
zy
z
1 2
zx
1 2
zy
1 2 1 2
xz yz
z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）
xy
yx
2
yz
zy
2
zx
xz
2
变形的度量——应变
线应变
①、涉及受力物体内某一点； ②、涉及该点的某一方向； ③、是一个无量纲的物理量； ④、表征某点某方向伸长变形的线应变取
正，反之取负；
角应变
①、涉及受力物体内某一点； ②、涉及过该点的某两相垂直方向； ③、是一个有单位，无量纲的物理量。 ④、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
z
w z
，
yz
v z
w y
，
zx
w x
u z
应变分量与位移分量的关系
x
u x
；
y
v y
；
z
w z
；
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
e
x
eij 0
0 ey
0
0
e1
0
0 e2
0
0
ez
0
0
21 2 3
3
0
0
2 2 1 3
3
0
注意，纯剪应变状态
的条件与纯剪应力状
0 态的条件相同，即纯
0
剪应变的必要充分条
件是kk =0 ，因此，eij
e3
为纯剪状态，并且ij
和eij 有相同主轴。
0
0
2 3
1
2
C'
点在Y方向的位移分量：
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
直，相应的应变称为主应变 。
剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变
主应变和应变张量不变量
qNi li
ij ij l j 0
主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。
ij ij 0
展开得关于 的一元三次方程：
主应变特征方程
3
(
x
y
z
)
2
[
x
y
y z
z
x
(
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
31
1 2
(
3
1
)
max
பைடு நூலகம்
1 2
(1
3
)
应变张量分解和应变偏量不变量
（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量
x m ij yx
zx
xy y m
zy
z
xz yz
m
m
0
0
0
2 xy
2 yz
2 zx
)]
x y z
2 xy yz zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
0
该方程一定存在三个根，设为1， 2， 3称为该点主应变:
( 1)( 2 )( 3 ) 0
主应变和应变张量不变量
再次展开关于 的一元三次方程：
3 (1 2 3 ) 2 (1 2 23 31 ) 1 23 0
m 0 0
mij
0
m
0
0 0 m
x
m
eij yx
zx
xy y m
zy
xz
yz
z m
应变球张量
应变偏张量
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
应变张量分解和应变偏量不变量
用主应变表示应变偏量：
斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
qN qN
1 2
11 21
12 22
13 23
l1 l2
qN 3 31 32 33 l3
如果应变矢量 qN 正在平面法线N 方向上，则在这一方向上剪 应变为零，则该法线方向即为主方向（或应变主轴）。其含义
为：在这些方向上，运动前是彼此垂直的，其运动后仍保持垂
yx zy xz
变形的度量——应变
正（线）应变
x
x
σx
σx
dx
dx
u
u +du
物体内一点 P（x,y,z）在 N (l, m, n)
方向上的线应变
N
lim r
r0 r
r ：变形前在P点处沿 N 方向所取
的微线段
r ：变形后Δr的增量
x
d d
u x
N
r r
P(x,y,z)
变形的度量——应变
少的角应变取正，反之取负。
应变分量与位移分量的关系
ABCD ABCD，求线素
A点在X方向的位移分量为u，
dy
v
AB、AD的正应变 x、 y ：
y
u u dy y
C'
v
v y
dy
D" D'
D
C
A' u
B'
v v dx
B" x
B点在X方向的位移：
u u u u dx x
线素AB的正应变为：
3 J1 2 J2 J3 0
在一定的应变状态下，物体内任一点的主应变不会随坐标系 的改变而改变，因而，特征方程中的系数 J1，J2，J3 必为常 数，称为应变不变量。
主应变和应变张量不变量
第一应变不变量
J1 x y z 1 2 3 kk
体积应变
第二应变不变量
J2
x y
0
e31 e32 e33 0 0 0 0 0 e33
0 e12 0 0 0 e13 0 0 0
e21
0
0
0
0
0
0
0
e23
0 0 0 e31 0 0 0 e32 0
都表示纯剪切变形，因此eij 只与单元的剪切变形有关
应变张量分解和应变偏量不变量
应变张量的性质： （1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有线 应变（主应变）而无切应变。主应变张量为
§3-1 变形与应变概念
刚体平移
刚体位移
*物体内各点之间不产生相对位移
刚体转动
位移
变形位移
线变形 *物体内各点之间产生相对位移
角变形
§3-1 变形与应变概念
由于外部因素 —— 载荷或温度变化 位移 —— 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对
位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各
个点的相对位置。
§3-1 变形与应变概念
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。
刚体位移包括平行移动和转动位移
§3-1 变形与应变概念
变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各 个点的相对位置。即物体的形状发生改变。
的切应变。
MN 1
2
为变形后
M
、N
两垂直方向
间角度的变化量
则 xy ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的
变化量。
γ=α+β
直角改变量
N
2 1
P(x, y, z) M
变形的度量——应变
剪（切）应变——两正交线素夹角的减少
，
剪应变以直角变
，
小时为正，变大
时为负，与剪应
力的正负号规定
相对应。
正（线）应变——线素的相对伸长或缩短
x
dx dx dx
y
dy dy dy
z
dz dz dz
正应变以伸长时为正，缩短时为负， 与正应力的正负号规定相对应。
变形的度量——应变
剪（切）应变
τ
α
τ
β
物体内一点 P(x，y，z)的两垂直 方向M 和 N 方向之间的角度变化量，称之为 M 和 N 方向
ij
1 ( ui 2 x j
uj ) xi
1 2 (ui, j
uj,i )
ij yxx
xy y
xz yz
1 2
x yx
1 2
xy
y
zx
zy
z
1 2
zx
1 2
zy
1 2 1 2
xz yz
z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）
xy
yx
2
yz
zy
2
zx
xz
2
变形的度量——应变
线应变
①、涉及受力物体内某一点； ②、涉及该点的某一方向； ③、是一个无量纲的物理量； ④、表征某点某方向伸长变形的线应变取
正，反之取负；
角应变
①、涉及受力物体内某一点； ②、涉及过该点的某两相垂直方向； ③、是一个有单位，无量纲的物理量。 ④、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
z
w z
，
yz
v z
w y
，
zx
w x
u z
应变分量与位移分量的关系
x
u x
；
y
v y
；
z
w z
；
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
e
x
eij 0
0 ey
0
0
e1
0
0 e2
0
0
ez
0
0
21 2 3
3
0
0
2 2 1 3
3
0
注意，纯剪应变状态
的条件与纯剪应力状
0 态的条件相同，即纯
0
剪应变的必要充分条
件是kk =0 ，因此，eij
e3
为纯剪状态，并且ij
和eij 有相同主轴。
0
0
2 3
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2
C'
点在Y方向的位移分量：