连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系
对于连续限带（B ）的时间信号x (t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率f s =1/T s = 2B'>2B ），其样点为x n =x (nT s )。可以由样点序列进行内插来恢复原始信号x (t)：
()()()sin 2')s
n
x t x nT
c B t n =
-∑ (1)
证明：
抽样采用理想冲击脉冲串：()()s
T s
t t nT δδ=
-∑
()()()s s T x t x t t δ=
()()s
s
n
x nT t nT δ=
-∑ (2)
其中2B'=1/T s 。由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号x s (t)的傅里叶变换为：
1()()s k
s
s k X f X f f T T δ⎛⎫
=*
-
⎪⎝⎭
∑ (3) 其中*表示连续的卷积运算。于是得到
()1s
k
s
s k X f X f T T ⎛⎫=
- ⎪⎝
⎭∑
s k s k f X f T ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭∑ (4)
即理想抽样信号在频域是原信号x (t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周
期为1/T s 。其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（《信号与系统》）/樊昌信先生（《通信原理》）/周炯盘先生（《通信原理》）。本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽样定理不再赘述。
在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B 。理想低通滤波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=(
)2'
f B ∏，它对应的时域单位冲激响应函数
h(t)=2B'sinc(2B't)为内插函数。其中内插函数sinc 函数的定义为：
()()
sin sin x c x x
ππ=
(5)
于是有
()()1()s
s
X f X f H f f =
(6)
对上式作傅立叶反变换，利用变换的卷积性质，以及h (t)的定义，得
()()()s s x t T x t h t =* (7)
把T s h(t)作为新的h'(t)，即h'(t)=2B'T s sinc(2B't)= sinc(2B't)，则
()()()'s x t x t h t =* (7')
代入x s (t)的表达式(2)，以及h'(t)的表达式，到(7)中，得
()()()'()s s n x t h t x nT t nT δ⎡⎤
=*-⎢⎥⎣⎦
∑
()()()2'sinc 2B 't *s s n B T x nT t nT δ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
∑
()s
n
x nT =
∑()()sin 2's
c B t nT -
()
()s i n 2's n
x n T c B t n =-∑ （8） ()'()
s s n
x nT h t nT =-∑ (8’) （8）式即为内插公式。同（1）。证毕。
对（8’）式进行傅里叶变换，得
()2()'()j ft s s n
X
f x nT h t nT e dt π∞
--∞⎡⎤=-⎢⎥⎣
⎦
∑⎰
2()'()j ft
s s n
x nT h t nT e
dt π∞--∞
=
-∑⎰
2'()()j ft
s s
n
x nT h t nT e
dt
π∞--∞
-=
⎰
∑
n 21
2'2'()
s j fT s n
f B B T e x n π-⎛⎫ ⎪⎝⎭
=
∏∑
（时延性质）
n 221(),2
s
j T s s fTs
n
s
f x nT e
f f πωπ-==
≤
∑
(9)
(
)
1(),2
j j n
s n s
X e
f x n e
f f ω
ω-=
≤
∑
(10)
而（10）式中的后面的和项就是离散序列x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT ）。其中2,[,]s fT ωπωππ=∈-。
而在用快速傅里叶变换FFT 算法计算时，计算的是()j X e ω，所以算出结果来之后根据(10)要除以f s 。于是在[-fs/2, fs/2]这个范围内，得到的便是X(f)的频谱密度
所在的范围。
