1-2数列极限的概念

A3 , A4 , An ,
S
极限的概念
二、数列 及其极限
1.数列的概念 整标函数： 定义域为全体正整数的函数 y f (n) 称为整标函数。 f (1) x1 , f (2) x2 , f (3) x3 , 数列： 按照自然数的顺序排列的一列数 x1 , x2 , xn , 简记为{ xn }, 其中xn称为数列 { xn }的通项 或者一般项.
1 1 1 1 1 (1). , , , , n ,; 2 4 8 16 2
(1)n1 1 (2)1, 0, 1, 0,, ; 2
(3) 1, 2, 3,n,
1 1 1 1 1 解：(1). x1 , x2 , x3 ,, xn n ,. { xn } { n } 2 4 8 2 2
y y 1 x
1
y x2 1
o
x
解
观察可知:
x0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1
x0
左极限
x 0
lim f ( x ) lim ( x 2 1) 1
x 0
x 0 x 0
右极限
因为 lim f ( x ) lim f ( x ) 1
极限的概念
3.2. 唯一性
性质2 每个收敛的数列只有一个极限.
3.3. 保号性
x n A, 且 A 0 ( A 0), 则N 0, 性质3 如果 lim n
当n N , 有xn 0 ( xn 0).
推论 如果数列 xn 从某项起有 xn 0 ( xn 0),

xn f (n)
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n1 （n 1,2,3， ） 例如 (1) 、x n n 3 4 n1 ,} { xn } {2, , ,, 2 3 n

k
若 lim an a, 则
n
lim an 1 a, lim an k a, lim a2 n 1 a, lim a2 n a
讨论
n
n n n
1. 数列的子数列如果发散,原数列是否发散? 2. 数列的两个子数列收敛,但其极限不同,原数列的 收敛性如何? 3. 发散的数列的子数列都发散吗？
设在数列{ xn }中，第一次抽取 xn ，
1
第二次在 xn 后抽取 xn , 第三次在 xn 后抽取 xn , 这样无休止地抽取下去 ，得到一个数列 x n , x n , , x n , ,
1 2 2 3
1 2 k
这个数列{ xn } 就是数列{ xn } 的一个子数列 .
k
注意：在子数列{xnk } 一般项 xnk 是第k项,而 中， 显然 nk k 在原数列{xn } 中却是第 nk项。
x1 x2
x n f (n)
A的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内
A
xn
A
x3
0
1
2
3
N
N+1
N+2
n
.
数列的极限
lim x n A
n
当 x = n, 则 f(n)
A A
A
A
x n f (n)
A的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内
散
数列的极限
lim x n A
n
当 x = n, 则 f(n)
A
x1 x2
x n f (n)
A的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内

§2. 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
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1
一、数列极限的定义 1、概念的引入
（1）割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则
与圆周合体而无所
失矣” ——刘徽
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2
正 6=3×2 边形的面积 A1
正12 3 2 2 边形的面积 A2
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26
例6 证明
证明 lim n a 1,( a 0). n 当a =1时为常数列，结论显然成立.
a 1, 令 n a 1 n , ( n 0), 则 若 a (1 n )n 1 n n nn 1 n n ,
a a
故 lim x n a .
n
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
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25
n 2 3n 1 例5 证明 lim 2 . n 2n 3n 4 2 证明： 0, 3n 4 7n 7 n 2 3n 1 n2 3n3n 41 3n 4n , 解不等式 2 2 2 2 , 2 2 2 3) n 4n 2n 3n 4 22 2(nn 4 3n2 4) 2( 2n2(n n 4) n 32 7 n 2 3n 1 若要 2 , 只要 , 4n 2n 3n 4 2 n 2 3n 1 7 7 7 . 解得n , 取N [ ], 当n N , 2 2n 3n 4 2 4 n 4 4 n 2 3n 1 lim 2 . n 2n 3n 4 2 思考：N的取法是否唯一？不等式放大(适当放大)过 程中是否还可以作其他形式的放大？

x1 x2x3 x4x5
xn
A
M
注: 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调增加的 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列
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பைடு நூலகம்
例8 已知 x0 = 1, xn1 = 3 3 2 xn . 证明 lim xn 存在.
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n
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例2 计算 lim 4n 1 . n 2n 1
4n 1 1 = lim (2 ) 解1 lim n 2n 1 n 2n 1 1 = lim 2 lim n n 2n 1 = 20 = 2 1 1 4 lim (4 ) 4n 1 40 n n n = lim = 解2 lim = =2 1 1 n 2n 1 n 2 lim (2 ) 2 0 n n n
8
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三、极限的四则运算法则
极限的四则运算法则 设有数列{xn}和{yn} 如果 那么
n
n
lim xn = A lim yn = B
n
(1) lim (xn yn ) = A B ; (2) lim (xn yn ) = A B ;
xn A = (3)当 yn 0 (n=1 2 )且 B0 时 lim n yn B
数列的极限
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质 三、极限的四则运算法则 四、极限存在准则
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一、数列极限的定义