初三锐角三角函数复习讲义

锐角三角函数：

知识点一：锐角三角函数的定义：

一、 锐角三角函数定义：

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，

则∠A的正弦可表示为：sinA

∠A的余弦可表示为：cosA

∠A的正切可表示为：tanA，它们称为∠A的锐角三角函数

①斜边)(sinA＝______， ②斜边)(cosA＝______， ③的邻边AA)(tan＝______，

【特别提醒：1、sinA、cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些

比值只与 有关，与直角三角形的 无关。

2、取值范围

例1. 锐角三角函数求值：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，

sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

典型例题：

类型一：利用直角三角形求值

1．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．

求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC

求：AB及OC的长．

类型二. 利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．

DE∶AE＝1∶2．

求：sinB、cosB、tanB．

2． 如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y

轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（ ）

A．1

2 B．3

2 C．3

5 D．4

5

5.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为3

2，2AC，则

sinB的值是（ ）

A．2

3 B．3

2 C．3

4 D．4

3

6. 如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为 ( )

Ａ．3

4 Ｂ．4

3 Ｃ．3

5 Ｄ．4

5 A D

E

C B F

7. 如图6，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点，若1tan5DBA ，则AD的长为( )

A．2 B．2

C．1 D．22

DC

BA

Oy

x

第8题图

类型三. 化斜三角形为直角三角形 1. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．

2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，

求△ABC的周长．（结果保留根号）

3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是 （ ）

A.23 cm2 B.43 cm2

C.63 cm2 D.12 cm2

类型四：利用网格构造直角三角形 1.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）

A．1

2 B．5

5 C．10

10 D．25

5

2．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

3．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到

''BAC，则'tanB的值为 （ ）

A.41 B. 31 C.21 D. 1

4．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tanAOB∠的值是（ ）

A．5 5 B. 25 5 C.12 D. 2 C

BAA

B O

知识点二：特殊角的三角函数值

当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而

例1．求下列各式的值．

1.计算：30cos245sin60tan2 2.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°

3．计算：030tan2345sin60cos221 4．计算： tan45sin30

1cos60



例2．求适合下列条件的锐角． (1)21cos (2)33tan (3)222sin (4)33)16cos(6

（）已知为锐角，且3)30tan(0，求tan的值





（）在ABC中，0)22(sin21cos2BA，BA，都是锐角，求C的度数







例3. 三角函数的增减性

1．已知∠A为锐角，且sin A < 21，那么∠A的取值范围是

A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°

2. 已知A为锐角，且030sincosA，则 （ ）

A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 锐角 30° 45° 60°

sin

cos

tan

类型五：三角函数在几何中的应用

1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，1312sinA

求此菱形的周长．

2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3BCAC，作∠DAC

＝30°，AD交CB于D点，求：

(1)∠BAD；

(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

3. 已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，31tanB，求：sin∠CAD、cos

∠CAD、tan∠CAD．

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，53sinB，点D在BC边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD

的值．

5.（本小题5分）如图，△ABC中，∠A=30°，3tan2B，

43AC．求AB的长.

DCBA

AC

B

知识点三：解直角三角形：

1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，

①三边之间的等量关系：________________________________．

②两锐角之间的关系：__________________________________．

③边与角之间的关系： BAcossin______；BAsincos_______；

BAtan1tan_____；BAtantan1______．

④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．

CD2＝_________；AC2＝_________；

BC2＝_________；AC·BC＝_________．

例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．

(1)已知：32a，2b，求∠A、∠B，c； (2)已知：32sinA，6c，求a、b；

（3）．已知：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

类型六：解直角三角形的实际应用

仰角与俯角

1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处

的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）

A． 200米 B． 200米 C． 220米 D． 100（）米

2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去

测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A处观测到

河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿

河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45的方向

上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参

考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）

图13

A

BCD45° 30°

3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.

A

BC

D

E

4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的

仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°．求树高．(结果精

确到0.1米．参考数据：21.414，31.732)

5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的

知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆

小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．

（1）求B、C两点的距离；

（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？

（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，

3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）