锐角三角函数--讲义资料
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-- 锐角三角函数 讲义
一、基础知识点:
1.定义:
如图在△ABC中，∠C为直角,
我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；caAsin
把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA;cbAcos
把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA;baAtan
2、三角函数值
(1）特殊角的三角函数值
角度
三角函数 0° 30° ４5° ６０°
90°
sｉｎA 0 12 22 32 １
cosA １ 32 22 12 0
ｔanA 0 33 1 3 不存在
(２）锐角三角函数值的变化：（1)当为锐角时，各三角函数值均为正数,且0
（3）当0°<<45°时,ｓin__＿＿_cｏs;当45°＜<90°时,ｓin______cｏs.
3、 同角、互余角的三角函数关系:
(1)同角三角函数关系：1cossin22AA.； AAAcossintan；
(２)互余锐角的三角函数关系:)90cos(cossinABA，)90sin(sincosABA。
1、 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边),求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三--
-- 角形的基本类型如下表：
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边ｃ和
锐角Ａ 290,sin,cos,sincosBAacAbcAScAA
直角边a和
锐角A 90,,,tansinaaBAbcAA
两条边 两条直角
边a和b 22cab,1,90,2ABASab
直角边ａ和
斜边c 22,sin,,90abcaAABAc
备注:a、ｂ、c为三角形的三边;A、B、C为三角形的三个内角、S为三角形的面积
三、典型例题：
1． 锐角三角函数的相关概念
例1、如图１，在RT△AＢＣ中，∠C=９0°,siｎA＝53,则tanB的值为（ﻩ）
A．34ﻩ B.54 ﻩC．45 ﻩﻩD．43
例5
例2、如图,⊙O是△AＢC的外接圆,AＤ是⊙Ｏ的直径,若⊙O的半径是23，AC=２,则ｓinB的值是（ )
Ａ.32ﻩﻩ B.23ﻩﻩﻩC．43 ﻩﻩD．34ﻩ
例3：已知在RtABC△中,∠C为直角，AＣ = ４cm，ＢＣ = 3cm，sin∠A ＝ ．
例4：在RtABC△中,90C°，abc，，分别是ABC，，的对边，若2ba，则tanA ．
例5:如图,在Rt△ABC中,∠C＝9０°,ＡB=5,AC＝２，则cosＡ的值是( )
A.错误! B.错误! C.错误! D．错误!
A
C B
图1 A
B C
D O
例2 --
-- A C B
A
C
B
D
B A
C D E 例6：如图2,在△ABC中,∠C=９0°，ＡB=1０cm,sinA=54，则BＣ的长为 __＿cｍ．
例6
例７:正方形网格中，AOB∠如图3放置，则cosAOB∠的值为（ ）
A.55ﻩ
Ｂ．255ﻩ C.12ﻩﻩD.2
典型例题题型一：求锐角三角函数的值
例1 在Ｒt△ＡＢC中,∠C＝90°，sinＢ=35,点D在ＢＣ边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠ＢAD的正切值.
变式训练1 如图,在ABC△中,90ACB，CDAB于D,若23AC,32AB,则tanBCD的值为（ )
A.2 B．22 C．63ﻩ D．33
变式训练2如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,
且∠ＡDE=6０°,BD=4,CE=43，则△ABC的面积为( )
A.83 B.１5ﻩ C.93ﻩ D.123
题型三:化简计算
例1(1））计算：20113015(1)()(cos68)338sin602.
A
B O
例7
变式1图 变式2图 --
-- 变式:已知α是锐角，且sｉn(α+15°）＝32。计算10184cos(3.14)tan3。
特殊角的三角函数值
例１菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOCOC°，，则点B的坐标为( )
A.(21)， B．(12)， C．(211)， Ｄ.(121)，
变式训练2. 如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点Ｏ (0,０)，B是y轴右侧⊙Ａ优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ).
A．12
B. 34
Ｃ. 32 D.45
概念巩固练习
1.已知ABC中,AＣ＝4,BC=3,AB=5,则sinA（ ）
A． 35 B． 45 C. 53 D． 34
2.已知为锐角,且23)10sin(，则等于( ）
A.50 Ｂ.60 Ｃ.70 Ｄ．80
3.如图，已知直角三角形ABC的斜边AB长为m,40B,则直角边BC的长是( ）
Ａ.sin40mﻩﻩＢ.cos40mﻩC．tan40m D．tan40m
４.正方形网格中，AOB∠如图放置，则sinAOB∠=( ) A
B O
例1图
变式1图 第3图 第4图 --
-- Ａ．55
Ｂ.255
C．12 D．2
5.在△AＢC中,∠Ｃ＝90°，ｔａnA＝31，则sinB=(
）
Ａ.1010 B.32 Ｃ.43 Ｄ．10103
6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC△如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则tanCBE的值是( ）
A．247ﻩ B．73 C.724 D.13
7、如图,AＢ是⊙O的直径，Ｃ、D是圆上的两点(不与Ａ、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC=1,则AＢ＝__________.
2、锐角三角函数的应用性问题
(1)求线段长、面积、周长
例1如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°,D点测得∠AＤＢ＝60°,又CD=6０m,则河宽AB为 m(结果保留根号).
变式１如图，一个小球由地面沿着坡度ｉ＝1∶2的坡面向上前进了10 m,此时小球距离地面的高度为( )
A．５ m B.25m C.45ｍ D.310m
变式2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD
是水位线，CD∥ＡB，且ＣD ＝ ２4 m，OE⊥CD于点E．已测得sｉｎ∠DＯE = 1213.
（１）求半径OD；（2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干？
6 8 C
E
A B D
（第6题） ABCDOA O B
E C D 第7图 例1图 --
--
例2如图,菱形ABＣD的边长为1０cm，DＥ⊥ＡB，3sin5A,则这个菱形的面积＝
ｃｍ２．
（2）测量问题
例２、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹,同时对文宣塔的高度进行了测量,如图2,他们先在A处测得塔顶C的仰角为３0°;再向塔的方向直行80步到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°,请用以上数据计算塔高。(学生的身高忽略不计，1步＝0.８m,结果精确到1m）
（３）、航海问题
例3、如图3,灯塔A在港口0的北偏东55°的方向，且与港口的距离为８0海里，一艘船上午９时从港口0出发向正东方向航行，上午１1时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向,试求这艘船航行的速度（精确到０.０１海里/小时）(供选数据:ｓｉn55°＝0.81９２,cos55°＝０.5７36，taｎ５5°=1.428１）
四、巩固练习:
1. 如图，在RtABC△中，ACBRt，1BC,2AB,则下列结论正确的是( ）
A.3sin2A Ｂ.1tan2A C.3cos2B D.tan3B
B
C A
（第1题） A
B O 北
东 西
南 ) 55--
--
2. 如图,在坡屋顶的设计图中,AB=AC,屋顶的宽度l为１0米,坡角α为３5°,则坡屋顶的高度h为
米.（结果精确到0．1米)
3. △ABＣ中，∠C＝９0°，ＡB＝8，cosＡ=43，则AC的长是 ；
4.先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB为( ）
A. cos5 Ｂ. cos5 C． sin5 D. sin5
5.如图１0,已知Rｔ△ABＣ中,ＡC=3，ＢC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB,垂足为A１，再过A１作Ａ1C1⊥BC,垂足为C1,过C1作C1A2⊥ＡB,垂足为A２,再过Ａ２作A2Ｃ２⊥BC,垂足为Ｃ2,…,这样一直做下去,得到了一组线段CA1,A1C１,12CA，…，则CA1= ,
5554CAAC
第５题图 填空第１题图 填空第2题图
6.某人沿着有一定坡度的坡面前进了１0米,此时他与水平地面的垂直距离为52米,则这个破面的坡度为____＿＿＿＿＿_.
7.如图所示，小华同学在距离某建筑物６米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为５2°和35°，则广告牌的高度BC为_＿_____＿_____米(精确到０.1米).(sin35°≈０.５7,ｃｏs35°≈0.８2,tan35°≈0.70；ｓin52°≈0.７9，coｓ5２°≈0.6２，tａn52°≈1.2８)
8. 104cos30sin60(2)(20092008)＝_＿_＿__．
9. (１) 计算2(2)tan452cos60。。=
(2）计算：02cos602009π9°=
五、课后练习
1．如图，小颖利用有一个锐角是３0°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离ＢE为５m,AB为１．5m （即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是B A
E D C
30图A B
C
D 6米 52°
35°
(第7题图)
