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锐角三角函数讲义

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教育学科教师辅导讲义

课

题

三角函数

教学内容

锐角三角函数

新知：

⑴三个比值与B点在的边AM上的位置无关；

⑵三个比值随的变化而变化，但（00﹤﹤900）确定时，三个比值随之确定；

比值ABBC，ABAC，ACBC都是锐角的函数

比值ABBC叫做 的正弦(sine)， sin=ABBC

比值ABAC叫做的余弦(cosine)，cos=ABAC

比值ACBC叫做的正切(tangent)，tan=ACBC

（3）注意点：sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写。

强化读法，写法；分清各三角函数的自变量和应变量。

1、三角函数的定义在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.则有

sinA＝斜边的对边A

cosA斜边的邻边A tanAAA的对边的邻边

明确：锐角的三角函数值的范围：0＜sin＜1，0＜cos＜1.

例1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,

（1） 求∠A的正弦、余弦和正切.

（2）求∠B的正弦、余弦和正切.

（明确：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1）

练一练：1、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，•根据勾股定理有公式a2+b2=c2，根据CBA三角函数的概念有sinA=ac，cosA=bc，sin2A+cos2A=2222222ababccc=1，sincosAA=ac÷bc=ab=tanA，•其中sin2A+cos2A=1，sincosAA=tanA可作为公式来用．例如，△ABC中，∠C=90°，sinA=45，求cosA，tanA的值．

解法一：∵sin2A+cos2A=1；

∴cos2A=1－sin2A=1－（45）2=925．

∴cosA=35，tanA=sincosAA=45÷35=43．

解法二：∵∠C=90°，sinA=45．

∴可设BC=4k，AB=5k．

由勾股定理，得AC=3k．

根据三角函数概念，得cosA=35，tanA=43．

运用上述方法解答下列问题：

（1）Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，求cosA，tanA的值；

（2）Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=255，求sinA，tanA的值；

（3）Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，求sinA，cosA的值；

（4）∠A是锐角，已知cosA=1517，求sin（90°－A）的值．

3．已知tan2α－（1+3）tanα+3=0，求锐角α的度数．

4．如图，已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．

（1）试说明：S△ABC=12absinC； （2）若a=30cm，b=36cm，∠C=30°，求△ABC的面积．

5．求下列各式的值：

（1）2sin30°－3cos60°+tan45°； （2）cos270°+cos45°·sin45°+sin270°；

（3）3tan30°－2tan45°+2cos30°； （4）2cos30°+5tan60°－2sin30°；

22cos60(5)2tan60;1sin60 sin301(6).1cos30tan30

6．已知2+3是方程x2－5xsinα+1=0的一个根，α为锐角，求tanα的值．

7．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB•的值． b A B C a

┌ c

有关三角函数的计算

小结：Sinα，tanα随着锐角α的增大而增大；

Cosα随着锐角α的增大而减小．

1．如图，已知直线AB与x轴，y轴分别交于A，B两点，它的解析式为y=－33x+33，角α的一边为OA，另一边OP⊥AB于P，求cosα的值．

2．如图，AB是直径，CD是弦，AD，BC相交于E，∠AEC=60°．

（1）若CD=2，求AB的长；（2）求△CDE与△ABE的面积比．

解直角三角形：(如图)

在⊿ABC中，∠C=900，

（1）.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B及C边)

（2）. 已知∠A，a.解直角三角形

（3）.已知∠A，b. 解直角三角形

（4） 已知∠A，c. 解直角三角形

四 解直角三角形（△ABC中，∠C＝90°，每小题6分，共24分）：

1．已知：c＝ 83，∠A＝60°，求∠B、a、b． 解：

2．已知：a＝36， ∠A＝30°，求∠B、b、c.

解：.

.

3．已知：c＝26，a＝3－1 ， 求∠A、∠B、 b.

解：

4．已知：a＝6，b＝23，求 ∠A、∠B、c.

解：

五 在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．

解：

三 计算题（每小题6分，共18分）：

1．tan30°cot60°＋cos230°－sin245°tan45°

解：

2．sin266°－tan54°tan36°＋sin224°；

解：；

3．50cos40sin0cos45cot30cos330sin145tan41222．

解：

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锐角三角函数超经典讲义

锐角三角函数超经典讲义

锐角三角函数

知识点一：锐角三角函数

1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin。

3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos。

4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan。

sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。

考点一：锐角三角函数的定义

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=54，则AC：BC：AB=（ ）

A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：4

2、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。

3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB= = ______。

4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于_______。

5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（ ）

A、ncosB B、1ncosB C、cosnB D、不变

考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形

例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE。

（1）求证：ABE△DFA≌△；

（2）如果10ADAB，=6，求sinEDF的值。

6、如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。

注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三7、如图（1），∠的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一个点P（3，4），则sin=______

锐角三角函数 讲义

锐角三角函数 讲义

一、什么叫正切

如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定，那么∠A的对边BC与邻边AC的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=的临边的对边AA

tanA的值越大，梯子越陡。

例1、 如图甲乙两个扶梯，边长已经给出，求出他们的正切，并说明哪个比较陡？

68 5 13

甲 乙

一起来看几个练习吧：

练习1、在Rt△ABC中，90C， A的对边是 ，A的临边是 ，

A

C B A的正切tanA= 。

B

A C

练习2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，求∠A、∠B的正切值。

练习3、正方形网格中，AOB∠如图放置，tanAOB∠则的值为（ ）

Ａ．55 Ｂ．255 Ｃ．12 Ｄ．2

二、坡度与坡角

h

l

我们把_________与_________的比叫坡度i（•也叫坡比）•。坡面与水平面的夹角叫做_________，用表示，坡度就是坡角的正切值，记作tan=hl． A

B O

记不住吗？没关系，看几个例题理解下：

例1、如图，一个小球由地面沿着坡度i=2：5的坡面向上滚动了29米，此时小球距离地面的高度为多少米？

一定要练习哟：

练习1、如图1，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）

A．5m B．6m C．7m D．8m

著名机构初中数学培优讲义锐角三角函数性质.第01讲(A级).教师版

著名机构初中数学培优讲义锐角三角函数性质.第01讲(A级).教师版

内容 基本要求 略高要求 较高要求

锐角三角函数

了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题

1． 掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值；

2． 知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律；

3． 同角三角函数、互余角三角函数之间的关系；

4． 将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．

“正弦”的由来

公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表． 课前预习 重难点 中考要求 锐角三角函数

托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．

模块一 三角函数基础

一、锐角三角函数的定义

如图所示，在RtABC△中，a、b、c分别为A、B、C的对边．

（1）正弦：RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinaAc．

锐角三角函数讲义

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锐⾓三⾓函数讲义

锐⾓三⾓函数讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

锐⾓三⾓函数

第⼀课时:三⾓函数定义与特殊三⾓函数值

知识点⼀：锐⾓三⾓函数的定义： ⼀、 锐⾓三⾓函数定义：

在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，

则∠A 的正弦可表⽰为：sinA= ， ∠A 的余弦可表⽰为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐⾓三⾓函数

例1．如图所⽰，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．

①斜边

)(

sin =A ＝______，

斜边)

(sin =

B ＝______；

②斜边

)

(

cos =A ＝______， 斜边

)

(cos =

B ＝

______；

③的邻边

A A ∠=)

(

tan ＝______，

)

(tan 的对边

B B ∠=＝______．

例2. 锐⾓三⾓函数求值：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，

sin A＝______，cos A＝______，tan A＝______，

sin B＝______，cos B＝______，tan B＝______．

例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R点，TN＝4，MN＝3．

求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

对应练习:1、在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．

2、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．

25

24

7C B

A

3、 已知α是锐⾓，且cos α=34

，求sin α、tan α的值．4、在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ．

5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=5

3，那么tanA 的值等于

（ ）.A ．35

B. 45

C. 34

D. 43

6、 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA＝4