行列式及运算

推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0
4. 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，
则可以把该行列式拆成两个行列式之和。
如 a a
b b a
b a
b
c d cd c d
5. 把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k
后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式
sin cos
主对角线元素之积减去副对角线元素之积 ——对角线法则
●三 阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12 a13
a11a22a33a44
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11(a22a33 a23a32 ) a21(a12a33 a13a32 ) a31(a12a23 a13a22 )
a21 a22
a23
a31 a32 a33
例 根据定义计算行列式的值
514 3 2 1 2 0 2
对角线 法则
522 1(1)(2) 430
4 2 (2) 132 5 (1) 0 32
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
3 1 1 2 3 1 3 1
1020 （2） D 1 4 3 6
0 2 5 3 3110
2、设有行列式 2 1 3 2 3322
D 0340 3 1 3 1
A11、A12、A13、A14分别是D的 第一行元素的代数余子式，试求 3A11-A12+3A13-A14的值。
解答 1、（1）

a11

a22 a32
a23 a33
a21
a12 a32
a13 a33
a31
a12 a22
a13 a23
a11 A11 a21 A21 a31 A31
三阶行列式等于 第一列所有元素与其代数余子式乘积之和
●定理
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
1 0 2
0 1 2
132 5
下三角形行列式
逐次按第一行 展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11a22a33a44
下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积
特别
a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44
a 减去前一行的 1 倍
行列式的计算方法：一般是先利用性质，用 小 消法变换将行列式中某一行（或列）的元素
尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不 结 为零，然后按该行（或列）展开，使行列式
降阶，最终化为二阶行列式，而得解。
作业：P251 2（1） 3（4）、6（2，3）、7 预习第三节、第四节
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的值不变。
Baidu Nhomakorabea
a1 a2 a3
a1
a2
a3
即 b1 b2 b3 b1 ka1 b2 ka2 b3 ka3
c1 c2 c3
c1
c2
c3
1、转置变换 2、换法变换 3、倍法变换 4、消法变换
换法变换 倍法变换
消法变换
行与列对调 交换i, j两行
ri ci
ri rj
数K乘第 i 行
数K乘第 j 行后 加到第 i 行上 去
（2） a b d c bad c
111
bacd
2、证明：Vandermonde行列式
11
a1 a2
a12
a22
1
an
课 堂
an2
(xj xi )
练
n ji1
习
a a n1
n 1
1
2
a n 1 n
答 1、（1） 3 13
（2） 0
案 2、提示：用数学归纳法，后一行
1 5 3 4 0 2 1 1
1 5 3 3
5 1 3 3
r2 r1
r4 5r1
1 3 1 2 0 8 4 2 0 2 1 1 0 16 2 7
r2 r3
1 3 1 2 r3 4r2
0 2 1 1
0 8 4 2 r4 8r2
0 16 2 7
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 10 15
a13
a21 a31
a22 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
元素 a12 的余子式 元素 a12 的代数余子式
a21 a31
a23 a33
M12
(1)12 M12 A12
●余子式
k ri ri krj
交换i, j两列
ci c j
数K乘第 i 列 k ci
数K乘第 j 列 后加到第 i 列 上去
ci kc j
等值 变号 翻倍 等值
变号 翻倍 等值
利用行列式的性质计算行列式的值
3 1 1 2
1 3 1 2
5 1 3 4 c1 c2
2 0 1 1
2、将代数式还原成 行列式，得
3A11 A12 3A13 A14
3 1 3 1 3322 0340 3 1 3 1
按第二列展开 31 (1)32 1 2 1 13
0
3 (13 2) 45
1、计算下列行列式
111
ab c d
（1） 1 1 1 111
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 (1)11 0 0 1 3 (1)31 0 1 0
1 0 2
1 0 2
134 11
第 二 节 行列式的性质及计算
学习重点
行列式的性质 行列式的按行按列展开定理
●行列式的几种变换
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a11 A11 a12 A12 a1n A1n
n
a1 j A1 j j 1
按第一行展开
例 根据定义计算行列式的值
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13 (a21a32 a22a31)

a11

a22 a32
a23 a33
a12

a21 a31
a23 a33
小结 行列式按行展开得D，串行展开得零。
ai1 Ak1 ai2 Ak 2
ain Akn

D 0
(i k) (i k)
D ( j s) a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0 ( j s)
例题 1、计算行列式的值
2 1 3 2 （1） D 3 3 3 2
1. 行列式转置后，其值不变。
对等的，行具 有的性质，列
2. 互换行列式的两行（列），行列式变号。 也具有
推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0
3.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数K，等于用数 K 乘此行列式 。
推论1:行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式
符号的外面。 推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0
b2 a11
a22 a12
D1 D
a21 a22
x2
a11 a21 a11 a21
b1 b2 a12 a22
D2 D
●二阶行列式 定义
determinant
ab ad bc
cd
a
b
c
d
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6(3) 2(5) 8
5 3
cos sin cos2 (sin2 ) 1
元素 aij 的余子式 M ij 就是在行列式中划掉元素 aij
所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构 成的行列式
●代数余子式 Aij
Aij (1)i j Mij
三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各 自的代数余子式的乘积之和
●n 阶行列式的定义（P222定义1）
a11 a12
a1n
a11 A11 a21 A21 an1 An1
n
ai1 Ai1 i 1
按第一列展开
上三角形行列式
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
逐次按第一列 展开
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
例 计算行列式的值
1、转置变换
a11 a12
a1n
Transpose D a21 a22
a2n
行、列对掉
an1 an2
annn
ri ci
a11 a21 D a12 a22
an1
an2
或记作 DT
a1n a2n
ann
称 DT 为行列式 D 的转置行列式
2、换法变换 3、倍法变换 4、消法变换
换法变换 倍法变换 消法变换

b1 b2
当 a11a22 a12a21 0 时
方程组有唯一解
x1

b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2

b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
如果规定
a11
a21
则有
a12 a22
a11a22 a12a21 D
b1 a12
x1
1 2 3 2
1 2 3 2
原式
C1 C2 3
3
3
2
1 3 1 2
1 3 3 1
r2 3r1 0
rr43


rr11
0 0
3 6 4 1 4 0 1 0 3
3 6
按第一列展开
(1) (1)11 1 4
4 0
c2 4c1 3 18 4 100
交换i, j两行 数K乘第 i 行 数K乘第 j 行后 加到第 i 行上去 交换i, j两列 数K乘第 i 列
ri rj k ri ri krj ci c j k ci
数K乘第 j 列后 加到第 i 列上去
ci kc j
行变 row
列变换 column
●行列式的性质
表明行与列是
n
ain Ain aij Aij j 1
a1 j A1 j a2 j A2 j
n
anj Anj aij Aij i 1
(i 1, 2, ( j 1, 2,
, n） , n）
推论 行列式中某一行（或列）的元素与另一行 （或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。
第六章 行 列 式 与 矩 阵
n阶行列式的概念
行列式的性质与计算 Cramer法则 矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩 分块矩阵 矩阵的初等变换
第 一 节 n 阶行列式
学习重点
余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念
●行列式的引入
引例：用加减消元法求解
二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12x2 a22 x2
1 0 3
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
解答 1、（2）
原式 r2 2r3
1020 1 0 13 0 0 2 5 3 3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
1 28 25 2
200
r4

5 4
r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 0 25
2
●行列式的展开与计算
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的的代数余子式乘积之和。
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
ai1 Ai1 ai2 Ai2