§1.5 行列式的性质

行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。

它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。

一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。

行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。

3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。

行列式的定义及其性质证明(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--行列式的定义及其性质证明摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。

关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数1 基本定理与性质的证明引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。

证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。

定理1 n阶行列式也可定义为证明由定义1和引理即可证得。

性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。

(根据性质1知对行成立的性质对列也成立)性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。

性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。

证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即(mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这2行对应元素相等，根据二阶行列式的定义可知D i=0，所以M i+s=0，因此D=0，证毕。

性质4 行列式的某行(列)的每个元素与另一行(或列)的对应元素的代数余子式乘积之和为零。

§1.4行列式的性质1、转置行列式：记 22212221212111212222111211,a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D n n n n T nnn n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。

2、性质1 ：行列式与它的转置行列式相等 利用定义即可证明3、性质2： 互换行列式的两行（列），行列式反号nk i n k i nnj kj ij j j j j j j j j nnn n kn k k ini i n a a a a a a a a a a a a a a a a11211)(21212111211)1(τ∑-=将第i 行与第k 行交换，则ni k n i k nnj ij kj j j j j j j j j nnn n ini i kn k k na a a a a a a a a a a a a a a a11211)(21212111211)1(τ∑-=其中列标进行了一次对换，所以添加了一个负号，即可证明 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零 证 把这两行互换，有D D -=，故0=D4、性质3 ：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。

可用定义证明推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论2： 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

5、性质4： 若行列式中某一行（列）的元素ij a 都可以分解为两个数ij b 和ij c 之和，即)2,1,(n j i c b a ij ij ij ⋅⋅⋅=+=，则此行列式也可以分解为两个行列式的和 利用定义证明6、性质5： 把行列式的某一行（列）的个元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

可由性质4与性质3的推论证得例1： 计算3331110243152113-----=D解：4072160648011202131721601120648021313315112043512131321412215=-----==------==-------==↔+-↔r r r r r r c c D§1.5 行列式按行（列）展开先引进余子式和代数余子式的概念1、定义： 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，剩下的元素按原来顺序不变构成的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ；记ij ij j i ij A M A ,)1(+-=为元素ij a 的代数余子式。

安徽建筑工业学院继续教育学院自学周历及作业安排课程名称：线性代数注：作业面授时交批作业:1、计算下列各行列式:(1)265232112131412-; (2)dc b a 10110011001---.2、证明(1)y x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++ (2)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 3. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)x a aa x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; (2)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111124. 用克莱姆法则解下列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;5. λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？6.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .7. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 8. 设A , B 为n 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明B T AB 也是对称矩阵. 9．求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 10. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 11. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.12. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.13.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .14. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B .15. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 16.已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A 且ABA -1=BA -1+3E ,求B .17. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.18. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .19. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A ,求X .21. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 22.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 23. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x24. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x . 25. λ取何值时, 非齐次线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?26. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.27. 已知向量组：A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T ,证明：B 组能由A 组线性表示,但A 组不能由B 组线性表示. 28. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.29. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; 30. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 31. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 32. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125;33. 设向量组：(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为2, 求a ,b .34. 求下列齐次线性方程组的基础解系:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;35. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时 (1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.36. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛633312321; 37. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 38. 设A 2-3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2. 39. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 40. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 41.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似,求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.42. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 43. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .44.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=340430241A ,求A 100.45. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;编者：赵林。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载线性代数北京理工大学出版社习题解答地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第一章行列式学习要求1. 理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2. 理解级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3. 理解阶行列式的概念和阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的阶行列式；4. 掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；5. 理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；6. 掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.§1.1 二阶与三阶行列式1. 计算二阶行列式：(5)2．计算三阶行列式：(2)3．求解方程解故原方程的解为4．用行列式解下列方程组：(1) (2)解(1)故所求的方程组有唯一解：(2)，，故所求的方程组有唯一解：6. 当取何值时，解解得§1.3 阶行列式的定义1. 写出四阶行列式中含有因子的项.解利用阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为和.又因为，，所以四阶行列式中含有因子的项为和，即和.3. 已知，用行列式的定义求的系数.解的展开式中含的项只有一项：，故的系数为.4. 利用行列式的定义计算下列行列式:(2);解析由阶行列式的定义可知:行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和.因为第1行只有一个非零元素1，先取，则第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取，则第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取，则第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取，那么行列式的结果为;补充练习1. 由行列式的定义写出的展开式中包含和的项.解的展开式中含的项只有一项，而含的项有两项和，从而展开式中含的项为：.§1.4 行列式的性质1. 利用行列式的性质计算下列行列式：(2)(3) 由于每一行(或列)的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.(4)2. 证明下列等式：（2）;（3）; .证明(2) 把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.;(3) 由性质4，将的第1列拆开，得,将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取，得，将第1个行列式第2、3列提取，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，;3. 计算下列阶行列式.(1); (2);解 (1)把第列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子，提取公因子之后，再给第1行乘以加到第行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.;(2) 把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得;4. 求方程的根.解第1行乘以加到第行，得如下行列式:再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.即可求出根:.补充练习2. 已知行列式，求行列式的值.解=.§1.5 行列式按行（列）展开1. 求行列式中元素5与2的代数余子式.解元素5的代数余子式为元素2的代数余子式为2. 已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.解由行列式按行（列）展开定理，得3. 求下列行列式的值（2）（3）所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得4. 讨论当为何值时，行列式.解所以，当，且，且时，.5. 计算阶行列式(3)按第1列展开，得上式右端的行列式再按第一行展开，得移项，得，递推，得从而得把上面个等式相加，得7．设四阶行列式试求的值，其中（）为行列式的第4列第行的元素的代数余子式. 解根据行列式按行（列）展开定理的推论，有即§1.6 行列式的应用1. 用克莱姆法则解线性方程组（3）解：所以方程组有唯一解. 又所以方程组的解为，，， .2．满足什么条件时，线性方程组有唯一解？解由克莱姆法则知，当系数行列式，线性方程组有唯一解，当时，，即当时，题设的线性方程组有唯一解.3．当为何值时，齐次线性方程组有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，由得：，.4．和为何值时，齐次线性方程组有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，由得：或.即当或时，方程组有非零解.5．求二次多项式，使得，，.解由，，，得要求二次多项式需要求出系数，即要求出上述非齐次线性方程组的解.由其系数行列式所以可用克莱姆法则求解.由于从而，，.即所求的二次多项式为.补充练习2．系数满足什么条件时，四个平面相交于一点（）？解把平面方程写成如下形式，（，），于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组有一非零解（）.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式，即四个平面相交于一点的条件为3．设平面曲线通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），求系数.解由平面曲线通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），得我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数.，又，，，从而，，，.第二章矩阵学习要求1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幂与方阵的多项式的性质；3. 理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。

数学与统计学学院中期报告学院:专业:年级:题目:学生姓名: 学号:指导教师姓名职称:年月日目录1 引言 (1)2行列式性质 (2)3行列式计算方法 (6)3.1定义法 (6)3.2递推法 (9)3.3化三角法 (9)3.4拆元法 (11)3 .4加边法 (12)3.6数学归结法 (13)3.7降价法 (15)3.8利用普拉斯定理 (16)3.9利用范德蒙行列式参考文献......................................................................................................... 错误!未定义书签。

8行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。

关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式The concept and application of determinant Summary:This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。