数学人教版七年级下册三元一次方程组

人教版数学七年级下册8.4《三元一次方程组的解法》教学设计1一. 教材分析《三元一次方程组的解法》是人教版数学七年级下册第八章的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程组解法的基础上进行学习的。

通过这部分的学习，学生需要掌握三元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法、代入消元法和等价变换法等方法解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，已经掌握了二元一次方程组的解法，对于新的数学知识有一定的接受能力。

但是，由于三元一次方程组的解法比二元一次方程组解法更为复杂，学生可能会觉得有一定的难度，需要通过实例讲解和练习来加深理解。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解三元一次方程组的概念，掌握三元一次方程组的解法，能够运用解法解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例讲解和练习，学生能够掌握三元一次方程组的解法，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂学习，克服困难，增强对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.重点：学生能够掌握三元一次方程组的解法。

2.难点：学生能够灵活运用不同的解法解决实际问题。

五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的例子，讲解三元一次方程组的解法，让学生直观地理解和解法。

2.小组讨论：学生分小组进行讨论，共同解决问题，提高合作能力。

3.练习巩固：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.教案：教师事先准备详细的教学教案，明确每个环节的内容和时间安排。

2.教学PPT：制作精美的教学PPT，配合讲解和呈现教学内容。

3.练习题：准备一定数量的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二元一次方程组的解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现三元一次方程组的解法，结合具体例子进行讲解，让学生直观地理解和解法。

3.操练（10分钟）学生分组进行讨论，共同解决练习题，教师巡回指导，解答学生的问题。

五、强化训练
1、下列各方程组不是三元一次方程组的 是（ D ）
x y 3 x5 x y7 A. B. y z 4 z x 2 x yz6 B. x 3y z 1 x yz7 C. C. 2 x y z 3 D. xyz 1 3x y 2z 5 x 3y 4
二、学习目标
1
了解三元一次方程组的含义；
2
会用代入法或加减法解三元 一次方程组；
掌握解三元一次方程组过程中 化三元为二元或一元的思想.
ห้องสมุดไป่ตู้
3
三、研读课文
认真阅读课本第103至105页 的内容，完成下面练习并体 验知识点的形成过程。
• 二、讲解例题： • 例1、 解三元一次方程组 • 小结： 解三元一次方程组的基本思路是： 通过 或 法进行消元，把三元一次 方程组化为二元一次方程组. • 思考：你还有其他解法吗？试一试，并与 这种解法进行比较。
0.5 y=＿＿
3 z=＿＿
五、强化训练
a b 3, 4、解方程组 b c 2 , c a 7.
解：①－②得 a-c=5 ③＋④得 a=6 把a=6代入①、③得 b=-3, c=1 a=6 ∴方程组的解为 b=-3 c=1 ④,
Thank you!
三元一次方程组的解法（1）
课件制作：黄少林 番禺市桥东风中学
新课引入
展示目标
研读课文
归纳小结
强化训练
第八章
二元一次方程组
三元一次方程组解法（1）
课件制作：黄少林 番禺市桥东风中学
一、新课引入
代入 消元法和 加减 _消元法是二元一次
方程组的两种解法。它们都是通过 消元 ____ 使方程组转化为 一元一次 ___ 方程，只是消元的 方法 __不同，做题时应 根据方程组的具体情况选择适合它的解 法。

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程体系。它在解决多个未知数的实际问题中起着重要作用。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过代入法和加减消元法求解。
然而，我也注意到，有些同学在小组讨论中参与度不高，可能是因为他们对这个话题还不够感兴趣，或者是对自己的数学能力缺乏信心。在未来的教学中，我需要更多地关注这部分学生，激发他们的学习兴趣，帮助他们建立信心。
此外，实践活动虽然能够让学生们动手操作，但在时间安排上可能有些紧张，导致部分学生没有足够的时间去深入思考和实践。我考虑在接下来的课程中，适当延长实践活动的时间，让学生们有更充分的操作和思考空间。
-难点三：将实际问题转化为三元一次方程组时，如何正确识别和设定未知数。
举例：在应用题中，学生可能难以确定三个人的总分、各科分数与方程组之间的关系，从而无法正确列出方程组。
-难点四：在解题过程中，如何进行有效的逻辑推理和数据分析，特别是当方程组较为复杂时。
举例：在处理多个方程和未知数时，学生可能会在推理过程中迷失方向，无法清晰地找出解题路径。
举例：在例1中，选择第一个方程的z变量代入第二个和第三个方程，学生可能会在代入和化简过程中出现计算错误。
-难点二：掌握加减消元法的运用，特别是在多个方程中选择合适的方程进行组合，以及如何处理消元后出现的分数。
举例：在例1中，将第一个方程与第二个方程相加，消去y，学生可能会在选择方程时犹豫不决，或者在消元过程中处理分数不当。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三元一次方程组的解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决几个问题的情况？”比如，分配任务时需要考虑每个人的能力和时间。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三元一次方程组的奥秘。

七年级数学下册三元一次方程组解法一、概述三元一次方程组是指同时包含三个未知数的一次方程组。

解决这类问题需要运用代数知识和线性方程组的解法，对于初学者来说可能会比较复杂。

在七年级数学下册中，我们将学习如何解决三元一次方程组，下面将逐步介绍三元一次方程组的解法。

二、基本概念1. 三元一次方程组的一般形式三元一次方程组的一般形式为：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃其中，a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃为已知系数。

2. 三元一次方程组的解三元一次方程组的解即为满足所有方程的一组有序数对 (x, y, z)，使得代入各方程均成立。

三、解法步骤1. 方法一：代入法对于三元一次方程组，我们可以先通过其中两个方程解出其中两个未知数的值，然后代入第三个方程中，求解出第三个未知数的值。

2. 方法二：化为二元方程组求解将三元一次方程组中的一个方程化为关于一个未知数的表达式，然后代入其他方程中，将其化为二元方程组，通过解二元方程组得到两个未知数的值，最后代入原方程组求解出第三个未知数的值。

3. 方法三：矩阵法将三元一次方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵，通过行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，从而求解出未知数的值。

四、实例分析举例来说明三元一次方程组的解法：已知方程组：2x + 3y + 4z = 203x - y + z = 10x + 2y - 3z = 3我们可以通过代入法、化为二元方程组求解或者矩阵法来解决这个实例，依次列出解法步骤和计算过程。

五、总结通过上述例子的分析和解法步骤的介绍，我们可以发现解决三元一次方程组需要熟练掌握代数知识和解方程的方法，尤其需要注意运用代入法、化为二元方程组求解和矩阵法中的细节。

对于特殊情况的处理也需要谨慎对待。

希望同学们在学习过程中能够多加练习，提高解决三元一次方程组的能力。

= . ③
探究新知
用代入消元法解
+ + = ，
将③代入①，②，得ቊ
+ + = .
+ = ，
= ，
即ቊ
解得ቊ
代入①得出x＝8.
+ = ，
ቐ = ，
探究新知
消元思想
解三元一次方程组的基本思路：
2.七彩作业.
例3：若|a－b－1|＋(－2＋) ＋2|c－b|＝0，求a，b，
c的值.
解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须
使每个非负数都为0.
探究新知
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
− − = ，
= −，
可得方程组ቐ − + = ，解得ቐ = −，
求1元、2元和5元的纸币各多少张？
设1元、2元、5元的纸币分别
为x张、y张、z张
x＋y＋z＝12

x＋2 y＋5 z＝22

x＝4 y

这样的方程组我们叫它什么呢，该怎样解呢？
探究新知
学生活动一【一起探究】
+ + = ，
三元一次方程组ቐ + + = ，
= .
3.在知识的学习过程中，感受事物之间的相互联系.
学习重难点
学习重点：解三元一次方程组的基本思路，会解
三元一次方程组.
学习难点：会选择适当的方法消元并熟练解三元
一次方程组.
回顾复习
问题1：二元一次方程组的概念？
方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项
的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程

营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位 的维生素，得方程组
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程 的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
x y z 23, ①
x
y
1,
②
2x y z 20.③
能不能像以前一样“消元”， 把“三元”化成“二元”呢？
探究新知
考点 1 三元一次方程组的解法
解三元一次方程组
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
y=8,z=6. 把y=8代入④，得x=9.
x=9, 所以原方程组的解是 y=8,
z=6.
探究新知
考点 2 三元一次方程组求字母的值 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当
x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
巩固练习
x 1
已知
y
2
z 3
是方程组
ax by 2 by cz 3 cx az 7
的解,则a+b+c的值是___3_________.
探究新知
考点 3 利用三元一次方程组解答实际问题 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35 单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根
探究新知 知识点 1 三元一次方程组的概念
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、 2元、5元的纸币各多少张？

人教版数学七年级下册8.4《三元一次方程组的解法》教学设计3一. 教材分析《三元一次方程组的解法》是人教版数学七年级下册第八章的内容，这部分教材主要是让学生掌握三元一次方程组的解法，并能够应用解法解决实际问题。

在教学设计中，我们需要分析教材的结构，把握教材的重难点，以便进行有效的教学。

二. 学情分析在教学《三元一次方程组的解法》之前，学生已经学习了二元一次方程组的解法，对解方程组有一定的理解。

但面对三元一次方程组，学生在理解上可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行重点讲解。

三. 教学目标通过本节课的学习，学生需要达到以下目标：1.理解三元一次方程组的概念；2.掌握三元一次方程组的解法；3.能够应用解法解决实际问题。

四. 教学重难点1.重点：三元一次方程组的解法；2.难点：理解三元一次方程组的解法在实际问题中的应用。

五. 教学方法在教学过程中，我们采用以下方法：1.问题驱动法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣；2.案例分析法：通过分析实际问题，让学生理解三元一次方程组的解法；3.小组讨论法：学生分组讨论，培养学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例，用于讲解三元一次方程组的解法；2.准备教学课件，辅助讲解；3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾二元一次方程组的解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示三元一次方程组的解法，引导学生理解并掌握解法。

在此过程中，重点讲解方程组的表示方法、解的定义以及解法的基本步骤。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，分析并解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，检查学生对知识的掌握情况。

对学生在解题过程中出现的问题进行讲解和指导。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何将三元一次方程组的解法应用于实际问题中？让学生举例说明，进一步巩固所学知识。

-通过典型题目，演示代入法、消元法的操作过程，强调关键步骤和注意事项。
-结合生活情境，设计实际问题，指导学生如何构建三元一次方程组并求解。
2.教学难点
-理解并运用代入法、消元法时，对于系数的变换和方程的转换可能会产生困惑。
-在实际问题中，如何将问题描述转化为三元一次方程组是学生容易感到困难的地方。
-对于解法的逻辑推理过程，学生可能难以把握整体思路，导致解题过程中出现混乱。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三元一次方程组的基本概念、解法及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些解法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例解释：
-在讲解代入法时，强调如何选择合适的方程和未知数进行代入，以及如何简化计算过程。
-在讲解消元法时，详细解释如何通过加减乘除运算来消去一个未知数，并说明每一步的目的。
-对于实际问题的转化，通过具体案例，指导学生如何从问题中提取信息，建立方程组。
-通过图示、表格等多种形式，帮助学生理解决策过程中每一步的逻辑关系，从而更好地理解解法。
8.4三元一次方程组的解法（教案）-2022-2023学年七年级数学下册同步备课系列（人教版）
一、教学内容
本节课选自人教版七年级数学下册第8章第4节“三元一次方程组的解法”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解三元一次方程组的概念，能够识别方程组中的各个方程及未知数。
2.学习并掌握三元一次方程组的解法，包括代入法、消元法等。

所以x=2，y=4，z=10.
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1

2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.

三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设情境，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。例如，设计一道与购物、旅游等生活场景相关的问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入三元一次方程组。
2.故事情境：通过讲述一个有趣的故事，引发学生的兴趣，使他们能够主动参与到学习中。例如，讲述一个侦探破案的故事，引导学生思考并解决问题，从而引入三元一次方程组的概念和解法。
2.鼓励学生互相倾听和尊重对方的意见，培养他们的团队合作能力。例如，在小组活动中，可以设置一个环节，让每个小组成员分享自己的解题思路和方法，并进行讨论和评价。
（四）总结归纳
1.对本节课的主要内容和知识点进行总结归纳，让学生能够梳理和巩固所学知识。例如，总结三元一次方程组的定义、解法和解的情况的判断方法等。
在教学过程中，我注重引导学生运用已知知识解决未知问题，培养他们的逻辑思维能力和创新意识。同时，我通过设计丰富的教学活动，激发学生的学习兴趣，使他们能积极主动地参与课堂讨论，提高课堂效果。此外，我还注重对学生的个性化指导，针对不同学生的学习情况，给予他们有针对性的帮助，使他们在课堂上都能有所收获。
二、教学目标
3.小组合作：本节课通过组织学生进行小组合作学习，促进了学生之间的交流和合作。例如，设计一个小组活动，让学生分组讨论并解决一个复杂的三元一次方程组问题。在合作过程中，学生能够互相倾听和尊重对方的意见，培养他们的团队合作能力。小组合作的方式不仅能够提高学生的学习效果，还能够培养他们的沟通能力、协作能力和团队意识。
2.通过提问引导学生思考问题的本质，引发学生的思考和探究。例如，提出一个问题：“如果有一个房间，里面有三个开关，对应着另一个房间里的三盏灯，你如何通过只进房间一次，找出哪盏灯对应哪个开关？”让学生思考并解决这个问题。

三元一次方程组（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B ．111216y xz y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．【答案与解析】 解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④；③﹣①，得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得，把代入①，得c=﹣5． 因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大.【高清课堂：三元一次方程组 409145 例1】举一反三： 【变式】解方程组： 【答案】解：①+②得：5311x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【高清课堂：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】 解法一：原方程可化为：253520x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③ 由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤ 2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯= 所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y z t ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解．举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣2D ．4【答案】B ． 解：，①+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a 的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．。

2.明确任务：给出讨论题目，让学生在小组内进行讨论；
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师要进行巡回指导，解答学生的问题，帮助学生突破思维障碍。
（四）总结归纳
1.让学生总结：让学生分别代表小组进行总结，阐述三元一次方程组的解法及其应用；
2.教师补充：对学生的总结进行点评，补充讲解其中的重点和难点；
3.强调注意事项：让学生注意三元一次方程组解法在实际问题中的应用，避免常见错误。
七年级数学下册人教版8.4三元一次方程组的解法优秀教学案例
一、案例背景
在七年级数学下册人教版8.4三元一次方程组的解法这一章节中，学生需要掌握三元一次方程组的解法及应用。此章节内容是学生对一元一次方程和二元一次方程组知识的拓展和延伸，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
在实际教学中，我发现许多学生在学习三元一次方程组时，往往因为无法将其与实际问题相联系而感到困惑。针对这一问题，我设计了一份优秀教学案例，旨在帮助学生深刻理解三元一次方程组的知识，提高他们解决问题的能力。
1.引导学生自主发现三元一次方程组的解法：通过实际问题的探究，让学生自主发现三元一次方程组的解法；
2.讲解解法的基本原理：详细讲解高斯消元法、代入法等解法的原理，让学生理解并掌握解法；
3.运用数形结合思想：通过图形演示，让学生直观地理解三元一次方程组的解法。
（三）学生小组讨论
1.合理分组：根据学生的学习特点和能力，合理划分学习小组，保证小组讨论的效果；
在教学实践中，我发现通过本节课的学习，学生们不仅掌握了三元一次方程组的解法，而且在解决实际问题时，能够灵活运用所学知识。他们在探究过程中，培养了合作意识，提高了自己的数学素养。此外，学生们在面对困难时，展现了积极向上的精神，增强了自信心，激发了他们对数学学习的热情。

三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
新知探究
x x
yz 2y
12， ① 5z 22，②
x 4 y.
③
解：将③代入①②，得
4 4
y y
y z 12， 2 y 5z 22．
即56yy
z 12， 5z 22．
解这个方程组，得
y 2，
z
2．
新知探究
x x
yz 2y
解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数 知识点2：解三元一次方程组
答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张． 所以 x+y+z=8. 将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程
系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的 解三元一次方程组的步骤：
x＋2y＋3z＝23 3．已知方程组y－z＝5 ②，
①， 由②，得 y＝z_＋__5_④；
x＋2z＝10 ③，
由③，得 x＝__1_0_－__2_z__⑤；将④⑤代入①，得 z＝__1__．
4．三元一次方程组y2＝x＝2z3，y，
xy＝＝46 的解是____z_＝__2____．
x＋2y＋z＝16
5．解下列方程组：
(1)3xx＋＋y＋2y＋z＝z＝101，4， 2x＋3y－z＝1；
解：xy＝＝21 z＝7
(2)xy＋＋zy＝＝03，， x＋z＝－1；
解：xy＝＝21 z＝－2
2x＋3y－z＝9，① (3)x＋y＋z＝15，② 答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张． 5x－4y－z＝0.③ (5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起.
12， ① 5z 22，②

课程讲授
2 三元一次方程组的简单应用
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎 样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职 工有工作，而且投入的资金正好够用?
课程讲授
2 三元一次方程组的简单应用
解:设种植水稻x公顷、棉花y公顷、蔬菜z公顷.
由题意，得
x y 2z 67, 4x 8y 5z 300, x y z 51,
解得
x
y
15, 20,
z 16.
答:应种植水稻15公顷、棉花20公顷、蔬菜为16
公顷.
随堂练习
x-y=2 1.如果方程组 y-z=3 的解也是方程3x+2y+mz=0的解,
z+x=-1 那么m的值是（ D ）
A.-0.5
B.0.5
C.-2
D.2
随堂练习
2.解方程组
3x y z 4,
（2）胖丁的体重-1=杰尼龟的体重
x-1=y.
（3）2×胖丁的体重+妙蛙种子的体重=杰尼龟的体重+18
2x+z=y+18.
课程讲授
1 三元一次方程组及其解法
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
x+y+z=26. 2x+z=y+18.
x-1=y.
含三个未知数 未知数的次数都是1
三元一次方程
z 1.
x 9, （2） y 1,
z 6.
x 33, （3） y 14,
z 4.
x 2, （4） y 1,
z 1.
随堂练习
3．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1， 甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．

（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置一些相关的练习题，让学生回家后进行练习。同时，我会提醒学生要注意解题的步骤和技巧，并鼓励他们积极思考和解决问题。通过作业小结，学生能够巩固所学的知识，提高解题能力。
整个教学内容与过程的设计，旨在帮助学生掌握三元一次方程组的解法，并培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。通过导入新课、讲授新知、学生小组讨论、总结归纳和作业小结等环节的有机结合，学生能够在实践中学习、思考和解决问题，从而提高他们的数学素养和综合能力。
人教版七年级数学下册8.4三元一次方程组的解法优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版七年级数学下册8.4三元一次方程组的解法为主题，旨在通过具体的教学实践，帮助学生掌握三元一次方程组的解法，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
在教学案例中，我选择了三个年级知识深度适宜的方程组作为教学内容，分别是：
（四）反思与评价
在本章节的教学中，我将引导学生进行反思和评价，帮助他们总结经验，提高解题能力。我会让学生回顾自己的解题过程，思考自己在解题中的优点和不足之处。同时，我还会组织学生进行同伴评价，让他们相互评价对方的解题方法和思路。通过反思和评价，学生能够更好地认识自己的学习情况，发现自己的问题，从而不断提高自己的解题能力。
3.小组合作学习：组织学生进行小组合作学习，让学生共同解一个三元一次方程组的问题。通过小组合作，学生能够相互学习、相互帮助，提高他们的团队合作能力和解决问题的能力。同时，小组合作还能够培养学生的沟通能力和团队合作精神。
4.反思与评价：引导学生进行反思和评价，帮助他们总结经验，提高解题能力。通过回顾自己的解题过程，学生能够发现自己的优点和不足之处，从而不断提高自己的解题能力。同时，通过同伴评价，学生能够相互借鉴和学习，进一步提高解题能力。

第八章二元一次方程（组）8.5 三元一次方程（组）（能力提升）【要点梳理】知识点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c ＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念例1.下列方程组不是三元一次方程组的是（）．A．12236x yy zy+=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩B．24013xy xxy z⎧-=⎪+=⎨⎪-=-⎩C．2231xyx z=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩D．1321y xx zy z-=-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【答案】B【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选B．【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断．类型二、三元一次方程组的解法例2. 若x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求的值．【思路点拨】根据x：y：z=2：7：5，设x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得出方程，求出方程的解，即可求出x、y、z的值，最后代入求出即可．【答案与解析】解：∵x：y：z=2：7：5，∴设x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得：2k﹣14k+15k=6，解得：k=2，∴x=4，y=14，z=10，∴==0.18．【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元．举一反三：【变式】解方程组:2:3,:4:5,2329x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③【答案】解：由①，得3x ＝2y ，即23x y =， ④ 由②，得5y ＝4z ，即54z y =，⑤ 把④、⑤代入③，得21522934y y y -+=． 解得y ＝12．⑥把⑥代入④，得x ＝8，把⑥代入⑤，得z ＝15．所以原方程组的解为8,12,15.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩例3.已知方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③的解使得代数式x-2y+3z 的值等于-10，求a 的值．【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a 是已知数，x 、y 、z 是未知数，先解方程组，求出x ，y ，z(含有a 的代数式)，然后把求得的x 、y 、z 代入等式x-2y+3z ＝-10，可得关于a 的一元一次方程，解这个方程，即可求得a 的值．【答案与解析】解法一： ②-①，得z-x ＝2a ④③+④，得2z ＝6a ，z ＝3a把z ＝3a 分别代入②和③，得y ＝2a ，x ＝a ．∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩．把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得a-2×2a+3×3a ＝-10． 解得53a =-． 解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a ．即x+y+z=6a ④④-①，得z ＝3a ，④-②，得x ＝a ，④-③，得y ＝2a ．∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得a-2×2a+3×3a ＝-10． 解得53a =-． 【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组．举一反三：【变式】若 303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩①② ，则x ：y ：z ＝ . 【答案】15:7:6类型三、三元一次方程组的应用例4.小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A ：月销售件数200件，月总收入2400元；营业员B ：月销售件数300件，月总收入2700元；假设营业员的月基本工资为x 元，销售每件服装奖励y 元．（1）求x 、y 的值；（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到x 、y 的值；（2）由题意可以列出相应的不等式，从而可以得到某营业员至少需要卖出服装的件数；（3）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案．【答案与解析】解：（1）由题意，得，解得即x的值为1800，y的值为3；（2）设某营业员当月卖服装m件，由题意得，1800+3m≥3100，解得，，∵m只能为正整数，∴m最小为434，即某营业员当月至少要卖434件；（3）设一件甲为a元，一件乙为b元，一件丙为c元，则，将两等式相加得，4a+4b+4c=720，则a+b+c=180，即购买一件甲、一件乙、一件丙共需180元．【总结升华】本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组或不等式．举一反三：【变式】有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元【答案】B．解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，②﹣①得x+y+z=1.05（元）．【巩固练习】一、选择题1. 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）.A ．2258232a b c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩B ．2222225810x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩C ．1141171110x y y z z x⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ D ．::3:4:524x y z x y z =⎧⎨++=⎩ 2. 已知方程370x y --=，231x y +=，9y kx =-有公共解，则k 的值为（ ）.A. 3B.4C.0D.-13. 若==，且a ﹣b+c=12，则2a ﹣3b+c 等于（ ）A ．B ．2C ．4D ．124．已知代数式2ax bx c ++，当x ＝-1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当x ＝2时，其值为25；则当x ＝3时，其值为 （ ）.A ．4B ．8C ．62D ．525．一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三间客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有（ ）A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) .A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支二、填空题7. 若12||(1)5210b a a x yz +--++=是一个三元一次方程，那么a ＝_______，b ＝________．8．已知2234x y y z x z +++===-，则x+2y+z ＝________． 9．若x 、y 的值满足3x ﹣y ﹣7=0，2x+3y=1，y=kx+7，则k 的值等于 ．10．已知303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，则x:y:z ＝________．11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱．12. 方程x+2y+3z＝14 (x＜y＜z)的正整数解是．三、解答题13．解方程组：．14.已知，xyz≠0，求的值．15.某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的2，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．3(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；2. 【答案】B；【解析】联立370x y --=，231x y +=，可得：2,1x y ==-，将其代入9y kx =-，得k 值．3.【答案】C ． 【解析】设===k ，则a=2k ，b=3k ，c=7k ，代入方程a ﹣b+c=12得：2k ﹣3k+7k=12， 解得：k=2，即a=4，b=6，c=14，则2a ﹣3b+c=2×4﹣3×6+14=4．4. 【答案】D ；【解析】由条件知484225a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得521a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．当x ＝3时，2252152ax bx c x x ++=++=．5. 【答案】B ；【解析】解：设宾馆有客房：二人间x 间、三人间y 间、四人间z 间，根据题意得：，解得：y+2z=8，y=8﹣2z ，∵x ，y ，z 是正整数，当z=1时，y=6，x=1；当z=2时，y=4，x=2；当z=3时，y=2，x=3；当z=4时，y=0，x=4；（不符合题意，舍去）∴租房方案有3种．故选：B ．6. 【答案】D ；【解析】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x 、y 、z 支，由题意，得4566034548x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② ①×4-②×5得x-z ＝0，所以x ＝z ，将z ＝x 代入①，得4x+5y+6x ＝60．即y+2x ＝12． ∵ y ＞0，∴ x ＜6，∴ x 为小于6的正整数，∴ 选D.二、填空题7. 【答案】-1，0；【解析】由题意得101121aba⎧-≠⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1ab=-⎧⎨=⎩.8.【答案】-10；9.【答案】﹣4．【解析】由题意可得，①×3+②得11x﹣22=0，解得x=2，代入①得y=﹣1，将x=2，y=﹣1代入③得，﹣1﹣2k+9=0，解得k=﹣4．10．【答案】15:7:6；【解析】原方程组化为3334x y zx y x-=-⎧⎨-=⎩①②②－①得2x＝5z，52x z=．故76y z=．∴57::::15:7:626x y z z z z==．11.【答案】150；【解析】设甲种商品的单价为x元，乙种商品的单价为y元，丙种商品的单价为z元，根据题意可得：32315,23285,x y zx y z++=⎧⎨++=⎩①②根据三元一次方程组中每一个三元一次方程中系数的特点和所求的结论可将方程①与方程②相加得：4(x+y+z)＝600，∴ x+y+z＝150．12. 【答案】123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩；【解析】解：x＜y＜z，所以2233x yx z<⎧⎨<⎩，62314x x y z<++=，所以123x <，同理可得：123z>，又因为均为正整数，经验证,满足条件的解只有一组，即答案．三、解答题13.【解析】解：①+②得：4x+y=16④，②×2+③得：3x+5y=29⑤，④⑤组成方程组解得将x=3，y=4代入③得：z=5，则方程组的解为．14.【解析】解：，整理得，解得x=，代入===．15.【解析】解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则111611*********x y y z x z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⨯⎪⎩，解得111011151130x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴ 101530x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．（2）设甲队做一天应付给a 元，乙队做一天应付给b 元，丙队做一天应付给c 元，则6()870010()80005()5500a b b c a c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得875575225a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．∵ 10a ＝8750（元），15b ＝8625（元）．答：由乙队单独完成此工程花钱最少．。

x+y+z=12
①
x+2y+5z=22 ②
x=4y
③
①×5-②，得4x+3y=38.④
4x+3y=38
x=2
③④组成方程组
解这个方程组，得
x=4y
y=2
把x=8，y=2代入①，得z=2.
x=8
因此，原方程组的解为 y=2
z=2
解三元一次方程组的基本思路：
三元一次 消元 二元一次 消元
方程组 “代入”或 方程组 “代入”或
2x-y+3z=3
2.解方程组 3x+y-2z=-1
x+y+z=5
-3y+z=-7
（1）若先消去x，得到关于y、z的方程组是____2_y_+_5_z_=_1_6____；
5x+z=2 （2）若先消去y，得到关于x、z的方程组是____3_x_+_4_z_=_8_____；
x+4y=12 （3）若先消去z，得到关于x、y的方程组是____5_x_+_3_y_=_9__.
（答案均不唯一）
3.解下列三元一次方程组：【选自教材P106 练习第1题】
x-2y=-9，
（1） y-z=3， 2z+x=47；
x=22
y = 31 2
z = 25 2
3x-y+z=4， （2） 2x+3y-z=12，
x+y+z=6.
x=2 y=3 z=1
例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时， y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.
知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，