33初中数学七年级下册 三元一次方程组(基础) 知识讲

七年级数学下册三元一次方程组解法一、概述三元一次方程组是指同时包含三个未知数的一次方程组。

解决这类问题需要运用代数知识和线性方程组的解法，对于初学者来说可能会比较复杂。

在七年级数学下册中，我们将学习如何解决三元一次方程组，下面将逐步介绍三元一次方程组的解法。

二、基本概念1. 三元一次方程组的一般形式三元一次方程组的一般形式为：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃其中，a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃为已知系数。

2. 三元一次方程组的解三元一次方程组的解即为满足所有方程的一组有序数对 (x, y, z)，使得代入各方程均成立。

三、解法步骤1. 方法一：代入法对于三元一次方程组，我们可以先通过其中两个方程解出其中两个未知数的值，然后代入第三个方程中，求解出第三个未知数的值。

2. 方法二：化为二元方程组求解将三元一次方程组中的一个方程化为关于一个未知数的表达式，然后代入其他方程中，将其化为二元方程组，通过解二元方程组得到两个未知数的值，最后代入原方程组求解出第三个未知数的值。

3. 方法三：矩阵法将三元一次方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵，通过行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，从而求解出未知数的值。

四、实例分析举例来说明三元一次方程组的解法：已知方程组：2x + 3y + 4z = 203x - y + z = 10x + 2y - 3z = 3我们可以通过代入法、化为二元方程组求解或者矩阵法来解决这个实例，依次列出解法步骤和计算过程。

五、总结通过上述例子的分析和解法步骤的介绍，我们可以发现解决三元一次方程组需要熟练掌握代数知识和解方程的方法，尤其需要注意运用代入法、化为二元方程组求解和矩阵法中的细节。

对于特殊情况的处理也需要谨慎对待。

希望同学们在学习过程中能够多加练习，提高解决三元一次方程组的能力。

三元一次方程组是由三个未知数和三个方程组成的方程组。

我们可以通过解方程组来求得未知数的值。

接下来我将详细介绍三元一次方程组的概念、解法和相关应用。

一、概念三元一次方程组是指由三个未知数和三个方程组成的方程组。

在方程组中，每个方程都是一次方程（即未知数的最高次数为1）。

二、解法要解决三元一次方程组，常用的方法有代入法、消元法和向上或向下求解法。

1.代入法代入法是最基本的解方程组的方法。

首先，我们可以通过其中一个方程解出其中一个未知数，然后将其代入另外两个方程，从而将方程组转化为两个含有两个未知数的方程。

然后再次使用代入法解这两个方程，最后得到另外两个未知数的值，从而获得整个方程组的解。

例如，我们考虑以下三元一次方程组：方程1：2x+3y-z=7方程2：3x-y+2z=8方程3：x-2y+z=-5我们可以通过方程3解出x的值，得到x=-5+2y-z。

然后将其代入方程1和方程2中，分别得到2(-5+2y-z)+3y-z=7和3(-5+2y-z)-y+2z=8、然后我们可以得到两个只含有y和z的方程。

继续使用代入法解这两个方程，最后我们得到y和z的值。

将这些值代入x=-5+2y-z，我们最终得到了整个方程组的解。

2.消元法消元法通过逐步将未知数的系数化为0来解方程组。

首先，我们要使用其中一个方程将其中一个未知数的系数化为1或-1，然后将其代入另外两个方程，从而将方程组转化为两个只含有两个未知数的方程。

接着我们继续使用消元法处理这两个方程，最终得到未知数的值。

3.向上或向下求解法向上或向下求解法是适用于特殊情况下的解方程组的方法。

在这些方法中，我们通过将其中一个方程平移或缩放来得到两个只含有两个未知数的方程。

然后我们可以使用代入法或消元法解这两个方程，最终得到未知数的值。

三、相关应用三元一次方程组在日常生活中有很多应用。

例如，在生产领域中，我们可以通过解三元一次方程组来确定不同产品的生产量，从而最大化销售利润。

*8.4 三元一次方程组的解法教学目标1．理解三元一次方程(组)的概念；2．能解简单的三元一次方程组． 教学过程一、情境导入《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究探究点一：三元一次方程组的概念下列方程组中，是三元一次方程组的是( )A.⎩⎨⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6C.⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3D.⎩⎨⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A 选项中，方程x 2－y ＝1与xz ＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．探究点二：三元一次方程组的解法解下列三元一次方程组：(1)⎩⎨⎧z＝y＋x，①2x－3y＋2z＝5，②x＋2y＋z＝13；③(2)⎩⎨⎧2x＋3y＋z＝11，①x＋y＋z＝0，②3x－y－z＝－2.③解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．解：(1)将①代入②、③，消去z，得⎩⎨⎧4x－y＝5，2x＋3y＝13.解得⎩⎨⎧x＝2，y＝3.把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为⎩⎨⎧x＝2，y＝3，z＝5；(2)①－②，得x＋2y＝11.④①＋③，得5x＋2y＝9.⑤④与⑤组成方程组⎩⎨⎧x＋2y＝11，5x＋2y＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234.把x＝－12，y＝234代入②，得z＝－214.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234，z＝－214.方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．探究点三：三元一次方程组的应用【类型一】三元一次方程组在非负数中的应用若|a －b －1|＋(b －2a ＋c )2＋|2c －b |＝0，求a ，b ，c 的值．解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组⎩⎨⎧a －b －1＝0，b －2a ＋c ＝0，2c －b ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－4，c ＝－2.方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．【类型二】利用三元一次方程组求数字问题一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x ，y ，z ，则原三位数可表示为100x ＋10y ＋z .解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x 、y 、z .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34z ，x ＋y ＝z ＋1，100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝6，z ＝8.答：原三位数是368.方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a ，个位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为10a ＋b .如果一个三位数的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，那么这个三位数可表示为100a ＋10b ＋c ，依此类推．【类型三】列三元一次方程组解决实际问题某汽车在相距70km 的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h ，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km 、20km 、40km ，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？解析：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km ，y km 和z km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3.解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4.答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是54km ，下坡路是4km. 方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．三、板书设计 三元一次方程组⎩⎨⎧三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用教学反思通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯。

七年级下册数学三元一次方程组及其解法一、方程组的概念和特点1.什么是方程组？数学中的方程组是由两个或多个方程组成的一组联立方程。

通常用来描述多个未知数之间的关系。

2.三元一次方程组的特点？三元一次方程组是由三个未知数和三个一次方程联立组成的方程组。

每个方程中的未知数的最高次数都是1。

解三元一次方程组的方法有多种，下面将逐一介绍。

二、三元一次方程组的解法1.三元一次方程组的解法一：代入法通过代入法将一组方程中的一个未知数表示出来，然后代入另外两个方程中解得其他未知数的值。

举例说明：已知方程组：2x + y - z = 6x - 3y + z = 83x + 2y + 2z = 17第一步：从第一个方程中解出x，得到x = 6 - y + z第二步：将x的值代入第二个和第三个方程中，得到两个关于y 和z的方程x - 3y + z = 8 => 6 - y + z - 3y + z = 8，整理得到-4y + 2z = 23x + 2y + 2z = 17 => 18 - 3y + 3z + 2y + 2z = 17，整理得到y + 5z = -1第三步：解决两个关于y和z的方程，最终得到y和z的值解得y = -7，z = 1最后代入x = 6 - y + z，求得x的值x = 6 - (-7) + 1 = 14因此，方程组的解为x = 14, y = -7, z = 12.三元一次方程组的解法二：消元法通过适当的加减消去未知数，将三个方程联立的问题化成二元一次方程组，并使用二元一次方程组的解法解出未知数的值。

举例说明：已知方程组：2x + y - z = 6x - 3y + z = 83x + 2y + 2z = 17第一步：通过第一个和第二个方程，消去z，得到关于x和y的方程2x + y - z = 6x - 3y + z = 8相减得：x + 4y = -2第二步：再通过第二个和第三个方程，消去z，得到关于x和y的另一个方程x - 3y + z = 83x + 2y + 2z = 17相减得：-5x - 5y = -9第三步：解决得到的两个二元一次方程，求得x和y的值解得x = 14，y = -7最后代入任意一个原方程，求得z的值2*14 - 7 - z = 6，解得z = 1因此，方程组的解为x = 14, y = -7, z = 1三、总结通过上面的介绍，我们了解到了三元一次方程组的解法：代入法和消元法。

初一下册数学知识点：三元一次方程组的解法知识点三元一次方程组的解法.解法的技巧.重点难点分析：1.三元一次方程的概念三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程.2.三元一次方程组的概念一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.例如，等都是三元一次方程组.三元一次方程组的一般形式是：3.三元一次方程组的解法(1)解三元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.(2)怎样解三元一次方程组?解三元一次方程组例题法一：代入法分析：仿照前面学过的代入法，将(2)变形后代入(1)、(3)中消元，再求解.解：由(2)，得 x=y+1. (4)将(4)分别代入(1)、(3)得解这个方程组，得把y=9代入(4)，得x=10.因此，方程组的解是法二：加减法解：(3)-(1)，得 x-2y=-8 (4)由(2)，(4)组成方程组解这个方程组，得把x=10，y=9代入(1)中，得 z=7.因此，方程组的解是法三：技巧法分析：发现(1)+(2)所得的方程中x与z的系数与方程(3)中x与z的系数分别对应相等，因此可由(1)+(2)-(3)直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组解：由(1)+(2)-(3)，得 y=9.把y=9代入(2)，得 x=10.因此，方程组的解是注意：(1)解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出.(2)从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确求解方程组.2.解方程组分析：在这个方程组中，方程(1)只含有两个未知数x、z，所以只要由(2)(3)消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程组.解：(2)×3+(3)，得11x+7z=29，(4)把方程(1)，(4)组成方程组解这个方程组，得，把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y=因此，方程组的解是分析：用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数.解：(1)+(3)，得 5x+5y=25.(4)(2)+(3)×2，得 5x+7y=31.(5)由(4)与(5)组成方程组解这个方程组，得把x=2，y=3代入(1)，得3×2+2×3+z=13，所以 z=1.因此，方程组的解是4.解方程组分析：题目中的y:x=3:2,即y=法一：代入法解：由(2)得x=y (4)由(3)得z=将(4)，(5)代入(1)，得+y+y=111所以 y=45.把y=45分别代入(4)、(5)，得x=30，z=36.因此，方程组的解是法二：技巧法分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12.因此，可设x=10k，y=15k，z=12k.将它们一起代入(1)中求出k值，从而求出x、y、z的值.解：由(2)，得x∶y=2∶3，即x∶y=10∶15.由(3)，得y∶z=5∶4，即y∶z=15∶12.所以x∶y∶z=10∶15∶12.设x=10k，y=15k，z=12k，代入(1)中得10k+15k+12k=111，所以 k=3.故x=30，y=45，z=36.因此，方程组的解是分析：1) 观察原方程组，我们准备先消去哪一个未知数?2) 为什么要先消去z?注意到三个方程中都含有三个未知数，而在方程(3)中z一项的系数是-1，所以未知数z易消.3) 怎样在(1)和(2)中消去z?4) 解这个关于x、y的方程组，求x和y的值是多少?5) 怎样去求z的值?能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z?解：(1)+(3)×4 得17x+5y=85 (4)(3)×3-(2) 得7x-y=35 (5)(4)、(5)组成方程组解得把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18,所以z=-3, 所以总结：解三元一次方程组的一般步骤：1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值;3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程;4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值;5.将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起，即可.三元一次方程组的解法知识点就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友情提醒，理解最重要哦!!!。

第15讲三元一次方程组解法（1）代入消元法（2）加减消元法三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。

解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元方程应用题：考点1、三元一次方程的解法例1、在解三元一次方程组中，比较简单的方法是消去（）A．未知数B．未知数y C．未知数z D．常数例2、将三元一次方程组，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（）A．B．C．D．例3、写一个三元一次方程，使它的解有一组为x=1，y=1，z=1，这个三元一次方程为．例4例5、解下列三元一次方程组：（1）（2）（3）（4）．1、已知，则x+y+z的值是（）A．80 B．40 C．30 D．不能确定2、下列方程组：①；②；③；④，是三元一次方程组的是（填序号）3、已知三元一次方程2a+3b-4c=6，用含b、c的式子表示a为．4、当x=0、1、-1时，二次三项式ax2+bx+c的值分别为5、6、10，则a= ，5、解方程组：考点2、三元一次方程应用求解例1、已知|x－z+4|+|z－2y+1|+|x+y－z+1|=0，则x+y+z=（）A．9 B．10 C．5 D．3例2、已知方程组，x与y的值之和等于2，则k的值为．例3、如果方程组的解使代数式kx+2y-z的值为10，那么k= ．例4、已知x、y、z都不为零，且．求x：y：z．例5、对于有理数x，y定义新运算x*y=ax+by+c．其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1*2=9，（-3）*3=6，0*1=2，求（-2）*5的值．1、若方程组的解x与y的和为O，则m等于（）A．－2 B．－1 C．1 D．22、已知，则x：y：z=______．34、如果方程组，的解也是方程3x+my+2z=0的解，求m的值．5、已知3x-4y-z=0，2x+y-8z=0，求的值．考点3、三元一次方程应用题例1、有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（）A．50 B．100 C．150 D．200例2、一件工作，甲乙合做8小时完成，甲丙合做6小时完成，乙丙合做4.8小时完成，若甲乙丙三人合做，小时完成．例3、已知，甲乙丙三个数的和为26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．例4、某工厂每天生产甲种零件120个，或乙种零件100个，或丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天？例5、在第29届北京奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌100枚，令国人振奋，世界瞩目，下面是两位同学的对话：小明：太厉害了，我们在金牌榜上居第一位，金牌比银牌的2倍还多9块！小华：是呀，我们的银牌也不少啊，只比铜牌少7块！你知道我们共获得金牌、银牌、铜牌各多少块吗？1、有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件，乙7件，丙1件，共需63元，若购甲4件，乙10件，丙1件共需84元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需（）元．A．21 B．23 C．25 D．272、甲乙丙三数之和为36，而甲乙二数之和与乙丙二数之和与甲丙二数的和之比为2：3：4，则甲乙丙三数分别为．3、已知△ABC的周长为25cm，三边a、b、c中，a=b，c：b=1：2，则边长a= ．4、王明在超市用74元钱买了苹果、梨、香蕉三种水果共15.5/kg，苹果比梨多2kg，已知苹果5元/kg，梨5.5元/kg，香蕉4元/kg．王明买了苹果、梨、香蕉各多少/kg？5、某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树植树多少株？6、已知△ABC的周长为48cm，最长边与最短边之差为14cm，另一边与最短边之和为25cm，求△ABC各边的长．1、解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是（）A．加减法消去x，将①-③×3与②-③×2B．加减法消去y，将①+③与①×3+②C．加减法消去z，将①+②与③+②D．代人法消去x，y，z中的任何一个2、若2x+3y-z=0且x-2y+z=0，则x：z=（）A．1：3 B．－1：1 C．1：2 D．－1：7 3、若2x+5y-3z=2，3x+8z=3，则x+y+z的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．无法求出4、关于关于x、y的方程组的解也是二元一次方程x+3y+7m=20的解，则m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．0.55、某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7．若由外校转入1人加入乙队，则后来乙与丙的人数比为（）A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：76、买20枝铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元；买39枝铅笔，5块橡皮擦、3本日记本需58元；则买5枝铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需（）A．20元B．25元C．30元D．35元7、若方程组中x和y值相等，则k= ．8、已知单项式-8a3x+y-z b12c x+y+z与2a4b2x-y•3z c69、解下列方程组：（1）（2）10、已知方程组的解x、y的和为12，求n的值．11、若，求x，y，z的值．12、已知：△ABC的周长为18cm，且a+b=2c，，求三边a、b、c的长．13、一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数．1、已知3a-c=a+b+c=4a+2b-c，那么3a：2b：c等于（）A．4：（－2）：5 B．12：4：5C．12：（－4）：5 D．不能确定2、若，且3x+2y+z=32，则（y-z）x= ．3、已知=k，则k= ．4、有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需315元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需420元．问购甲、乙、丙各5件共需多少元？5、根据下面的等式，求出妈妈买回来的鱼、鸡、菜各花了多少钱？鸡+鸭+鱼+菜=35.4元鸡+鱼+菜=20.4元鸭+鱼+菜=21.4元鸭+菜=17元．1、解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取（）A．先消去B．先消去yC．先消去z D．以上说法都不对2、已知是方程组的解，则a+b+c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对3、甲、乙、丙三数之和为98，甲：乙=2：3，乙：丙=5：8，则乙=（）A．50 B．45 C．40 D．304、三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．5、小华到学校超市买铅笔11支，作业本5个，笔芯2支，共花12.5元；小刚在这家超市买同样的铅笔10支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花10元钱．若买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需（）元．A．3元B．2.5元C．2元D．无法求出6、若方程组的解是3a+nb=8的一个解，则n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．47、为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（）A．11支B．9支C．7支D．4支8、如果x－y=－5，z－y=11，则z－x= ．9、当K= 时，关于x、y的方程的解的和为200．10、有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱．11、解方程组（1）（2）（3）12、在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0；当x=2时，y=4；当x=3时，y=10．当x=4时y的值是多少？13、解方程组：．14、琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．15、a为何值时，方程组的解x、y的值互为相反数，求出a的值，并求出方程组的解．第15讲三元一次方程组解法考点1、三元一次方程的解法例1、C例2、A例3、例4、例5、1、B2、3、4、5、考点2、三元一次方程应用求解例1、A例2、例3、例4、例5、1、D2、3、4、5、考点3、三元一次方程应用题例1、C例2、例3、例4、例5、1、A2、3、4、5、6、1、C2、D3、B4、C5、A6、C7、8、9、10、11、12、13、1、2、3、4、5、1、B2、C3、D4、C6、B7、D 8、9、10、11、13、．14、15、人教版七年级数学下册第八章《三元一次方程组解法（选学）》知识梳理、考点精讲精练、课堂小测、课后作业第15讲（有答案）21 / 21。

三元一次方程组及其解法学习目标：了解三元一次方程组的概念，理解解三元一次方程组的基本思路，会用代入法、加减法解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤。

学习重点、难点：三元一次方程组的解法。

学习要点：1、什么叫做三元一次方程组方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.如1325x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩就是一个三元一次方程组.提示：三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数.2、解三元一次方程组基本思路解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种,通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程。

提示:三元一次方程组求解方法与二元一次方程组的求解方法类似,可通过对比来理解三元一次方程组的解题思想。

3、解三元一次方程组的一般步骤观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组;解二元一次方程组，求到两个未知数的值；将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程,求到第三个位置的值；5．写出三元一次方程组的解。

提示：对于有的三元一次方程组可直接消元,得到一元一次方程。

4、实地体验例 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=++③.72②,3423①,223y x z y x z y x分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z,而①,②中的未知数z 的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z ，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解。

解: ①×2+②，得5x+8y=7，④,解③，④组成的方程组⎩⎨⎧=+=-785,72y x y x ，得⎩⎨⎧-==1,3y x 把x=3，y=-1代入①，得z=1，所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧=-==.1,1,3z y x尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

初一下册数学三元一次方程数学是一门非常重要的学科，而在初中阶段，学习数学更是为了培养学生的逻辑思维和数学思维能力。

在初一下册中，我们学习了三元一次方程这个重要概念。

接下来，我就来为大家详细讲解一下三元一次方程。

一、三元一次方程的基本概念三元一次方程，是指三个未知数之间的一次方程，其中每个未知数的指数均为1，即三元变量的次数相等，这种方程称为三元一次方程。

三元一次方程的一般形式为：ax+by+cz=d，其中a,b,c,d为实常数，x,y,z为未知数。

当然，在实际应用中，我们可能会遇到比较复杂的三元方程，不过只要将其进行运算转化，最终都能化为三元一次方程的形式。

二、三元一次方程的解法1. 消元法消元法是解三元一次方程最常用的方法。

消元法的基本思想是，从某个未知数的两个方程中消去该未知数，然后用另外两个未知数构成的方程继续进行消元，最终得到方程的解。

（1）将三元方程化为标准形式；（2）选择两个方程，通过消元得到一个只包含两个未知数的二元方程；（3）再将第二步得到的方程结合第三个方程，通过消元得到一个一元方程；（4）求出一元方程的解；（5）将一元方程的解带入到二元方程中，求出另一个未知数的值；（6）最后求出另一个未知数的值。

2. 代入法代入法是通过一个未知数的解来代入到其他方程中，将其转化为一个二元方程进行求解。

代入法的流程如下：（1）选择一个方程中一个未知数的解；（2）将该未知数的解代入到另外两个方程中，构成二元方程；（3）解二元方程，得到另外两个未知数的值。

3. 相减法相减法是通过消去两个未知数，得到二元方程组，再通过解二元方程组求解出未知数的值。

（1）选择两个方程，将它们的某个未知数消去；（2）得到一个包含另外两个未知数的二元方程组；（3）解二元方程组，得到两个未知数的值。

三、三元一次方程的应用1. 距离和速度问题在空间中两点之间的距离可以用三元一次方程来求解，同时，当你知道两地之间的距离和速度时，也可以通过三元一次方程来求解两地之间的行驶时间。

七年级下册三元一次方程组一、三元一次方程组的概念。

1. 定义。

- 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。

例如x + y+z = 6，这里x、y、z是三个未知数，每个未知数的次数都是1，且方程是整式方程。

- 由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。

例如x + y+z = 6 2x - y+z = 3 x + 2y - z = 22. 方程组的解。

- 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。

例如对于方程组x + y+z = 1 x - y+z = 0 x + y - z = 2，x = 1，y = 1，z=-1就是这个方程组的解，因为把x = 1，y = 1，z =- 1代入方程组中的每一个方程，等式都成立。

二、三元一次方程组的解法。

1. 消元思想。

- 解三元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“三元”转化为“二元”，再把“二元”转化为“一元”，最后求出方程组的解。

- 例如在方程组x + y+z = 6 2x - y+z = 3 x + 2y - z = 2中，我们可以通过方程之间的相加或相减来消除其中一个未知数。

2. 代入消元法。

- 步骤：- 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另外两个未知数的代数式表示出来。

- 例如在方程组x+y + z=1 x - y+z = 0 x + y - z = 2中，由方程x + y+z = 1可得x=1 - y - z。

- 将变形后的方程代入另外两个方程，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。

- 把x = 1 - y - z代入x - y+z = 0和x + y - z = 2，得到cases((1 - y - z)-y + z = 01 - y - z)+y - z = 2)，化简后为1 - 2y=0 1 - 2z = 2。

- 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值。

初一数学知识点：三元一次方程组的解法知识点初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。

不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。

查字典数学网为大家提供了三元一次方程组的解法知识点，希望对大家有所帮助。

三元一次方程组的解法.解法的技巧.重点难点分析：1.三元一次方程的概念三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程.2.三元一次方程组的概念一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.例如，等都是三元一次方程组.三元一次方程组的一般形式是：3.三元一次方程组的解法(1)解三元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.(2)怎样解三元一次方程组?解三元一次方程组例题1.解方程组法一：代入法分析：仿照前面学过的代入法，将(2)变形后代入(1)、(3)中消元，再求解.解：由(2)，得x=y+1. (4)将(4)分别代入(1)、(3)得解这个方程组，得把y=9代入(4)，得x=10.因此，方程组的解是法二：加减法解：(3)-(1)，得x-2y=-8 (4)由(2)，(4)组成方程组解这个方程组，得把x=10，y=9代入(1)中，得z=7.因此，方程组的解是法三：技巧法分析：发现(1)+(2)所得的方程中x与z的系数与方程(3)中x 与z的系数分别对应相等，因此可由(1)+(2)-(3)直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组解：由(1)+(2)-(3)，得y=9.把y=9代入(2)，得x=10.把x=10，y=9代入(1)，得z=7.因此，方程组的解是注意：(1)解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出.(2)从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确求解方程组.2.解方程组分析：在这个方程组中，方程(1)只含有两个未知数x、z，所以只要由(2)(3)消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程组.解：(2)×3+(3)，得11x+7z=29，(4)把方程(1)，(4)组成方程组解这个方程组，得，把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y=因此，方程组的解是3.解方程组分析：用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数.解：(1)+(3)，得5x+5y=25.(4)(2)+(3)×2，得5x+7y=31.(5)由(4)与(5)组成方程组解这个方程组，得把x=2，y=3代入(1)，得3×2+2×3+z=13，所以z=1.因此，方程组的解是4.解方程组分析：题目中的y:x=3:2,即y=法一：代入法解：由(2)得x=y (4)由(3)得z=(5)将(4)，(5)代入(1)，得+y+y=111所以y=45.把y=45分别代入(4)、(5)，得x=30，z=36.因此，方程组的解是法二：技巧法分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12.因此，可设x=10k，y=15k，z=12k.将它们一起代入(1)中求出k值，从而求出x、y、z的值.解：由(2)，得x∶y=2∶3，即x∶y=10∶15.由(3)，得y∶z=5∶4，即y∶z=15∶12.所以x∶y∶z=10∶15∶12.设x=10k，y=15k，z=12k，代入(1)中得10k+15k+12k=111，所以k=3.故x=30，y=45，z=36.因此，方程组的解是5.解方程组分析：1) 观察原方程组，我们准备先消去哪一个未知数?2) 为什么要先消去z?注意到三个方程中都含有三个未知数，而在方程(3)中z一项的系数是-1，所以未知数z易消.3) 怎样在(1)和(2)中消去z?4) 解这个关于x、y的方程组，求x和y的值是多少?5) 怎样去求z的值?能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z? 解：(1)+(3)×4 得17x+5y=85 (4)(3)×3-(2) 得7x-y=35 (5)(4)、(5)组成方程组解得把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18,所以z=-3, 所以总结：解三元一次方程组的一般步骤：1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值;3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程;其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。

三元一次方程组（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B ．111216y xz y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2. (韶关)解方程组275322344y x x y z x z =-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩①②③【思路点拨】方程①是用未知数x 表示y 的式子，将①代入②可得二元一次方程组．【答案与解析】解：将①代入②得：5x+3(2x-7)+2z ＝2，整理得：11x+2z ＝23 ④由此可联立方程组34411223x z x z -=⎧⎨+=⎩③④， ③+④×2得：25x ＝50，x ＝2．把x ＝2分别代入①③可知：y ＝-3，12z =．所以方程组的解为2312x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩．【总结升华】解三元一次方程组的思想仍是消元，是用加减消元法，还是用代入消元法，要根据方程组的特征来确定，一定要选择较简便的方法．【高清课堂：三元一次方程组 409145 例1】举一反三： 【变式】解方程组：【答案】解：①+②得：5311x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【高清课堂：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】 解法一：原方程可化为：253520x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤ 将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯= 2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y z t ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解．举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣2D ．4【答案】B ． 解：， ①+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a 的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．。

苏教版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三元一次方程组（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x ，y ，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B ．111216y x z y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．【答案与解析】解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④；③﹣①，得4a+b=10 ⑤． ④与⑤组成二元一次方程组， 解这个方程组，得， 把代入①，得c=﹣5． 因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大.【三元一次方程组 409145 例1】举一反三： 【变式】解方程组： 【答案】解：①+②得：5311x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤ ④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③解法一：原方程可化为：253520x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤ 将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯= 所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y z t ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解．举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣2D ．4【答案】B ． 解：，①+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．。

三元一次方程组的解法及技巧解析初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。

不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。

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1.三元一次方程的概念三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程.2.三元一次方程组的概念一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.例如，等都是三元一次方程组.三元一次方程组的一般形式是：3.三元一次方程组的解法(1)解三元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.(2)怎样解三元一次方程组?解三元一次方程组例题解方程组法一：代入法分析：仿照前面学过的代入法，将(2)变形后代入(1)、(3)中消元，再求解.解：由(2)，得x=y+1.(4)将(4)分别代入(1)、(3)得解这个方程组，得把y=9代入(4)，得x=10.因此，方程组的解是法二：加减法解：(3)-(1)，得x-2y=-8(4)由(2)，(4)组成方程组解这个方程组，得把x=10，y=9代入(1)中，得z=7.因此，方程组的解是法三：技巧法分析：发现(1)+(2)所得的方程中x与z的系数与方程(3)中x与z的系数分别对应相等，因此可由(1)+(2)-(3)直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组解：由(1)+(2)-(3)，得y=9.把y=9代入(2)，得x=10.把x=10，y=9代入(1)，得z=7.因此，方程组的解是注意：(1)解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出.(2)从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确。