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七年级数学（下）第八章《三元一次方程组的解法》练习题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程组中是三元一次方程组的是A．212x yy zxz⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B．111216yxzyxz⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩C．123a b c da cb d+++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩D．1812m nn tt m+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D2．解方程组3423126①②③x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩时，第一次消去未知数的最佳方法是A．加减法消去x，将①-③×3与②-③×2 B．加减法消去y，将①+③与①×3+②C．加减法消去z，将①+②与③+②D．代人法消去x，y，z中的任何一个【答案】C【解析】观察所给方程组，可以发现z的系数最简单，故可通过加减法消去z，故选C．3．已知方程组2334823x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③，若消去z，得二元一次方程组不正确的为A．531153x yx y+=⎧⎨-=⎩B．53115+719x yx y+=⎧⎨=⎩C．535+719x yx y-=⎧⎨=⎩D．5+35+719x yx y=⎧⎨=⎩【答案】D【解析】在方程组2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③中，①+②得5311x y +=④，①×2+③得53x y -=⑤，②×2-③得5719x y +=⑥，所以由④与⑤可以组成A ，由④与⑥可以组成B ，由⑤与⑥可以组成C ，故选D ．4．三元一次方程组32522x y x y z z -⎧=++==⎪⎨⎪⎩的解是A ．112x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩B ．112x y z ⎧==-=⎪⎨⎪⎩C ．112x y z ⎧=-==⎪⎨⎪⎩D ．112x y z ⎧=-=-=⎪⎨⎪⎩【答案】B【解析】32522①②x y x y z z -=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，把z =2代入②得：x +y =0③，①+③×2得：5x =5，即x =1，把x =1代入③得：y =-1，则方程组的解为112x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故选B ．5．已知方程组35223x y k x y k +=+⎧⎨+=⎩，x 与y 的值之和等于2，则k 的值为A ．4B ．4-C ．3D ．3-【答案】A【解析】35223x y k x y k +=+⎧⎨+=⎩①②，①×2-②×3得：y =2（k +2）-3k =-k +4，把y =-k +4代入②得：x =2k -6，又x 与y 的值之和等于2，所以x +y =-k +4+2k -6=2，解得k =4，故选A ．6．三元一次方程组64210x y x z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩的解的个数为A ．无数多个B ．1C ．2D ．0【答案】A【解析】在方程组64210x y x z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩①②③中，③-②得6x y -=④，即①与④相同，所以方程组有无数个解．故选A．7．学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，则篮球的个数为A．21 B．12 C．8 D．35【答案】A【解析】设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，根据题得232341y xz yx y z-=⎧⎪=⎨⎪++=⎩∶∶，解得21128xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以篮球有21个．故选A．8．今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有A．2种B．3种C．4种D．5种【答案】B9．已知方程组35204522x yx y zax by z-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩与方程组85234ax by zx y z cx y-+=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩有相同的解，则a、b、c的值为A．231abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩B．231abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩C．231abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩D．231abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩【答案】D【解析】解方程组3520234x yx y zx y-=⎧⎪+-=⎨⎪+=-⎩，解得12xyz=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，代入可得方程组41022281a ba bc-=-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得231abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，故选D．二、填空题：请将答案填在题中横线上． 10．若x ＋y ＋z ≠0且222y z x y z xk x z y+++===，则k =__________． 【答案】3 【解析】∵222y z x y z x k x z y+++===，∴2y z kx +=，2x y kz +=，2z x ky +=，∴2y z ++2x +2y z x kx ky kz ++=++，即3()()x y z k x y z ++=++，又∵0x y z ++≠，∴3k =，故答案为：3．11．在等式y =ax 2＋bx ＋c 中，当x =1时，y =-2；当x =-1时，y =20；当32x =与13x =时，y 的值相等，则a =__________，b =__________，c =__________． 【答案】6；-11；3【解析】根据题意，可得方程组29311429320①②③a b c a b c a b c a b c ++=-⎧⎪⎪++=++⎨⎪⎪-+=⎩，由②得11a ＋6b =0④，③-①得-2b =22，解得b =-11，将b =-11代入④得a =6，再将a =6，b =-11代入①得c =3．故原方程组的解为6113a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为：6；-11；3．12．已知方程组237x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则x +y +z =__________．【答案】6【解析】将三个方程相加，得2x +2y +2z =12，所以x +y +z =6，故答案为：6．13．如图，表中各行、各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a +b +c +d +e +f 值是__________ ．【答案】21【解析】由题意得4-1+a =d +3+a ，解得d =0，∵4+b +0=b +3+c ，解得c =1，又∵4-1+a =a +1+f ，解得f =2，∴a =6，b =5，e =7，则a +b +c +d +e +f =6+5+1+0+7+2=21．故答案为：21． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．解方程组2923103243①②③x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=-⎩．所以原三元一次方程组的解为322x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．15．有三个数，第一个数的3倍比第二个数的5倍小90，而第一个数的4倍与第二个数的6倍之差等于第三个数的20倍的相反数，同时，第三个数比4大1．求这三个数． 【解析】设第一个数为x ，第二个数为y ，第三个数为z ，由题意得：3590462041x y x y z z -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得20305x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 答：这三个数依次是20，30，5．16．已知方程组734521x y x y m +=⎧⎨-=-⎩的解能使等式437x y -=成立．（1）求原方程组的解；（2）求代数式221m m -+的值．【解析】（1）根据题意得，734521x y x y m +=⎧⎨-=-⎩①②，+①②，得1111x =，解得1x =，把1x =代入①得，1y =-，∴原方程组的解为11x y =⎧⎨=-⎩．（2）将1x =，1y =-代入521x y m -=-，得8m =， 将8m =代入2221828149m m -+=-⨯+=． ∴代数式221m m -+的值为49．17．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？【解析】设种植水稻x 公顷，棉花y 公顷，蔬菜为z 公顷，由题意得26748530051x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：152016x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．。
七年级数学-三元一次方程组的解法练习含解析一．选择题（共3小题）1．若2x+5y+4z＝0,3x+y﹣7z＝0,则x+y﹣z的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．不能求出2．若（2x﹣4）2+（x+y）2+|4z﹣y|＝0,则x+y+z等于（）A．﹣B．C．2 D．﹣23．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支,练习本8本,圆珠笔2支共需4.2元,那么,购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元二．填空题（共15小题）4．已知：,则x+y+z＝．5．三元一次方程组的解是．6．如果x,y互为相反数,且满足|a﹣2y﹣3|+（5x+9）2＝0,那么a＝．7．三元一次方程组的解是．8．已知x＝﹣1时,3ax5﹣2bx3+cx2﹣2＝10,其中a：b：c＝2：3：6,那么＝．9．如果方程组的解是方程2x﹣3y+a＝5的解,那么a的值是．10．若关于x的方程组的解满足x＝y,则k＝．11．已知y＝ax2+bx+c,且当x＝1时,y＝5；当x＝﹣2时,y＝14；当x＝﹣3时,y＝25,则a ＝,b＝,c＝．当x＝4时,y＝．12．有甲、乙、丙三种货物,若购买甲3件、乙7件、丙1件,共315元；若购买甲4件、乙10件、丙1件,共420元,现在购买甲、乙、丙各1件,共需元．13．如图,长方形ABCD被分成8块,图中的数字是其中5块的面积数,则图中阴影部分的面积为．14．有甲、乙、丙3种商品,某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元,则此人购甲、乙、丙各一件共需元．15．7公斤桃子的价钱等于1公斤苹果和2公斤梨的价钱；7公斤苹果的价钱等于10公斤梨和1公斤桃子的价钱,则购买12公斤苹果所需的钱可以购买梨公斤．16．现有甲、乙、丙三种东西,若购买甲3件、乙5件、丙1件共需32元；若购买甲4件、乙7件、丙1件共需40元,则要购买甲、乙、丙各1件共需元．17．某公司董事会拨出总额为40万元款项作为奖励金,全部用于奖励本年度做出突出贡献的一、二、三等奖的职工．原来设定：一等奖每人5万元,二等奖每人3万元,三等奖每人2万元；后因考虑到一等奖的职工科技创新已给公司带来巨大的经济效益,现在改为：一等奖每人15万元,二等奖每人4方元,三等奖每人1万元,那么该公司本年度获得一、二、三等奖的职工共人．18．有A、B、C三种不同型号的电池,它们的价格各不相同．有一笔钱可买A型4只,B型18只,C型16只；或A型2只,B型15只,C型24只；或A型6只,B型12只,C型20只．如果将这笔钱全部用来购买C型号的电池,则能买只．三．解答题（共14小题）19．二元一次方程组的解x,y的值相等,求k．20．在y＝ax2+bx+c中,当x＝0时,y＝﹣7；x＝1时,y＝﹣9；x＝﹣1时,y＝﹣3,求a、b、c 的值．21．已知关于x,y的方程组的解满足3x+2y＝19,求m的值．22．已知关于x,y的二元一次方程组的解x与y的值互为相反数,试求m的值．23．已知：4x﹣3y﹣6z＝0,x+2y﹣7z＝0（xyz≠0）,求的值．24．解方程组．25．已知方程组的解x、y的和为12,求n的值．26．自习课上,数学老师为了检验小明同学对方程组这部分内容的掌握情况,给他出了这样一道练习：“当m为何值时,方程组的解x、y互为相反数．”这下可把平时学习不认真的小明给难住了,聪明的同学,你能帮小明求出m的值吗？27．若关于x、y的二元一次方程租的解x、y互为相反数,求m的值．28．m为何值时,方程组的解x,y满足x﹣y＝2,并求出此方程组的解．29．解三元一次方程组：．30．某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元已知该农场计划在设备投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工有工作,而且投入的资金正好够用？31．为确保信息安全,在传输时往往需加密,发送方发出一组密码a,b,c时,则接收方对应收到的密码为A,B,C．双方约定：A＝2a﹣b,B＝2b,C＝b+c,例如发出1,2,3,则收到0,4,5 （1）当发送方发出一组密码为2,3,5时,则接收方收到的密码是多少？（2）当接收方收到一组密码2,8,11时,则发送方发出的密码是多少？32．把数字1,2,3,…,9分别填入右图的9个圈内,要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数位之和等于18．（1）给出符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．人教新版七年级下学期《8.4 三元一次方程组的解法》2020年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．若2x+5y+4z＝0,3x+y﹣7z＝0,则x+y﹣z的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．不能求出【分析】理解清楚题意,运用三元一次方程组的知识,把x,y用z表示出来,代入代数式求值．【解答】解：根据题意得：,把（2）变形为：y＝7z﹣3x,代入（1）得：x＝3z,代入（2）得：y＝﹣2z,则x+y﹣z＝3z﹣2z﹣z＝0．故选：A．【点评】本题的实质是解三元一次方程组,用加减法或代入法来解答．2．若（2x﹣4）2+（x+y）2+|4z﹣y|＝0,则x+y+z等于（）A．﹣B．C．2 D．﹣2【分析】利用非负数的性质列出关于x,y及z的方程组,求出方程组的解即可得到x,y,z的值,确定出x+y+z的值．【解答】解：∵（2x﹣4）2+（x+y）2+|4z﹣y|＝0,∴,解得：,则x+y+z＝2﹣2﹣＝﹣．故选：A．【点评】此题考查了解三元一次方程组,利用了消元的思想,熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支,练习本8本,圆珠笔2支共需4.2元,那么,购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元【分析】设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要x,y,z元,建立三元一次方程组,两个方程相减,即可求得x+y+z的值．【解答】解：设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要x,y,z元,根据题意得,②﹣①得x+y+z＝1.05（元）．故选：B．【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组,同时还要有整体思想．二．填空题（共15小题）4．已知：,则x+y+z＝ 6 ．【分析】三个式子左右两边分别相加即可求解．【解答】解：三个式子相加得：2（x+y+z）＝12,则x+y+z＝6．故答案是：6．【点评】本题考查了三元一次方程组的解法,理解三个方程的左边相加所得结果与x+y+z的关系是关键．5．三元一次方程组的解是．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：,①+②得：x﹣z＝2④,③+④得：2x＝8,即x＝4,把x＝4代入④得：z＝2,把z＝2代入②得：y＝3,则方程组的解为,故答案为：【点评】此题考查了解三元一次方程组,利用了消元的思想,熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．如果x,y互为相反数,且满足|a﹣2y﹣3|+（5x+9）2＝0,那么a＝．【分析】根据非负数的性质可得出两个关于x、y的方程,再联立x＝﹣y组成方程组,可求得a的值．【解答】解：根据题意得,解得．即a＝．【点评】初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．7．三元一次方程组的解是．【分析】用代入法或加减消元法求出方程组的解即可．【解答】解：（1）+（2）得3a+2b＝15,（1）﹣（3）得b＝5,代入3a+2b＝15得a＝,把a＝,b＝5代入（1）,得c＝．故本题答案为：．【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组,叫三元一次方程组．通过解方程组,了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点,认准易消的未知数,消去未知数,组成元该未知数的二元一次方程组．8．已知x＝﹣1时,3ax5﹣2bx3+cx2﹣2＝10,其中a：b：c＝2：3：6,那么＝．【分析】先将x＝﹣1代入3ax5﹣2bx3+cx2﹣2＝10,得到一个关于a、b、c的方程,然后设a ＝2y,则b＝3y,c＝6y,代入即可求出y的值,继而求出a、b、c的值,最后代入即可求出答案．【解答】解：将x＝﹣1代入3ax5﹣2bx3+cx2﹣2＝10,得﹣3a+2b+c＝12,设a＝2y,则b＝3y,c＝6y,代入可得y＝2,即a＝4,b＝6,c＝12,代入＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三元一次方程组解法,解题的关键是弄清题意,分别用y来表示a、b、c 的值．9．如果方程组的解是方程2x﹣3y+a＝5的解,那么a的值是﹣10 ．【分析】本题实际上是一道关于三元一次方程组的题目,将题目中的二元一次方程组和三元一次方程列为三元一次方程组来解答即可．【解答】解：由题意得把（1）代入（2）得：2（y+5）﹣y＝5,（4）解得y＝﹣5；（5）将（5）代入（1）,解得x＝0；（6）把（5）（6）代入（3）,解得a＝﹣10．【点评】理解清楚题意,运用三元一次方程组的知识,解出a的数值．10．若关于x的方程组的解满足x＝y,则k＝．【分析】理解清楚题意,运用三元一次方程组的知识,列出三元一次方程组,先用k表示出x 的值,再代入原方程,求得k的值．【解答】解：由题意得,把③代入②得x＝,代入①得k＝﹣．故本题答案为：．【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组,叫三元一次方程组．通过解方程组,了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点,认准易消的未知数,消去未知数,组成元该未知数的二元一次方程组．11．已知y＝ax2+bx+c,且当x＝1时,y＝5；当x＝﹣2时,y＝14；当x＝﹣3时,y＝25,则a＝2 ,b＝﹣1 ,c＝ 4 ．当x＝4时,y＝32 ．【分析】根据题意,把x,y的值代入y＝ax2+bx+c中,得到关于a、b、c的三元一次方程组,即可求得a、b、c的值．【解答】解：据题意得,解得,∴当x＝4时,y＝32．故本题答案为：4；32．【点评】本题实质考查了三元一次方程组的建立和解法．此题提高了学生的计算能力．12．有甲、乙、丙三种货物,若购买甲3件、乙7件、丙1件,共315元；若购买甲4件、乙10件、丙1件,共420元,现在购买甲、乙、丙各1件,共需105 元．【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别需要x,y,z元,列出方程组,消去z后,得到x+3y的值,再代入①,即可求得x+y+z的值,也即购买甲、乙、丙各一件的共需钱数．【解答】解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要x,y,z元,由题意得,②﹣①得x+3y＝105,代入①得x+y+2（x+3y）+z＝315,即x+y+z+2×105＝315,∴x+y+z＝315﹣210＝105．故答案为：105．【点评】本题考查了三元一次方程组的实际应用,解答此题的关键是首先根据题意列出方程组,再整体求解．13．如图,长方形ABCD被分成8块,图中的数字是其中5块的面积数,则图中阴影部分的面积为85 ．【分析】设未知的三块面积分别为x,y,z（如图）．根据S△BCF＝S△ABF+S△CDF与S△ABE＝S△ADE+S△BCE 列出三元一次方程组,再利用加减消元法即可求得y的值．【解答】解：设未知的三块面积分别为x,y,z（如图）则,即由①+②解得y＝85故答案为85【点评】解决本题的关键是理清三角形与矩形间的面积关系,列出三元一次方程组,再根据方程组中系数特点,通过加减,得到y值,即为所求．14．有甲、乙、丙3种商品,某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元,则此人购甲、乙、丙各一件共需 6 元．【分析】设甲、乙、丙3种商品的单价分别是x元、y元、z元．由题意列方程组得：,然后求得x+y+z的值．【解答】解：设甲、乙、丙3种商品的单价分别是x元、y元、z元．由题意列方程组得由①×3﹣②×2得x+y+z＝6故答案为6．【点评】根据系数特点,通过加减,得到一个整体,然后整体求解．15．7公斤桃子的价钱等于1公斤苹果和2公斤梨的价钱；7公斤苹果的价钱等于10公斤梨和1公斤桃子的价钱,则购买12公斤苹果所需的钱可以购买梨18 公斤．【分析】设苹果的价格为每千克x元,梨的价格为每千克y元,桃子的价格为每千克z元,建立方程组,求得x,y的关系即可．【解答】解：设苹果的价格为每千克x元,梨的价格为每千克y元,桃子的价格为每千克z 元．则根据题意列方程组,解方程组得12x＝18y．∴买12千克苹果的钱可买18千克梨．故本题答案为：18．【点评】此题无法直接解出来,但通过关系式12x＝18y可以轻松得出结论．16．现有甲、乙、丙三种东西,若购买甲3件、乙5件、丙1件共需32元；若购买甲4件、乙7件、丙1件共需40元,则要购买甲、乙、丙各1件共需16 元．【分析】设甲、乙、丙每件单价为x、y、z元,建立方程组,整体求得x+y+z的值．【解答】解：设甲、乙、丙每件单价为x、y、z元,根据题意列方程组得,②﹣①得：x+2y＝8③,②+①得：7x+12y+2z＝72④,④﹣③×5得：2x+2y+2z＝32,∴x+y+z＝16．故本题答案为：16．【点评】未知数共有三个,方程只有两个,无法直接解答,通过加减,将x+y+z看做一个整体来解．17．某公司董事会拨出总额为40万元款项作为奖励金,全部用于奖励本年度做出突出贡献的一、二、三等奖的职工．原来设定：一等奖每人5万元,二等奖每人3万元,三等奖每人2万元；后因考虑到一等奖的职工科技创新已给公司带来巨大的经济效益,现在改为：一等奖每人15万元,二等奖每人4方元,三等奖每人1万元,那么该公司本年度获得一、二、三等奖的职工共17 人．【分析】根据题中给出的条件列出两个三元一次方程,再根据X、Y、Z均为正整数,便可解得X+Y+Z的值．【解答】解：设该公司本年底获得一、二、三等奖的职工分别是X,Y,Z人．5X+3Y+2Z＝40 （1）15X+4Y+Z＝40 （2）（2）*2﹣（1）得5X+Y＝8,由于X,Y,Z为正整数,0＜5X＜8,X＝1,Y＝3,从而得出Z＝13．X+Y+Z＝17该公司本年底获得一、二、三等奖的职工共17人．故答案为：17．【点评】本题主要考查了三元一次方程的实际应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键,属于中档题．18．有A、B、C三种不同型号的电池,它们的价格各不相同．有一笔钱可买A型4只,B型18只,C型16只；或A型2只,B型15只,C型24只；或A型6只,B型12只,C型20只．如果将这笔钱全部用来购买C型号的电池,则能买48 只．【分析】先设买一只A型的价格是x元,买一只B型的价格是y元,买一只C型的价格是z 元,能买C型W只根据题意列出方程组,求出方程组的解即可．【解答】解：设买一只A型的价格是x元,买一只B型的价格是y元,买一只C型的价格是z 元,能买C型W只,根据题意得：,解得：代入4x+18y+16z＝Wz得：W＝48．故答案为：48．【点评】本题主要考查了三元一次方程组的应用问题,解答此题的关键是列出方程组,用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．三．解答题（共14小题）19．二元一次方程组的解x,y的值相等,求k．【分析】由于x＝y,故把x＝y代入第一个方程中,求得x的值,再代入第二个方程即可求得k的值．【解答】解：由题意可知x＝y,∴4x+3y＝7可化为4x+3x＝7,∴x＝1,y＝1．将x＝1,y＝1代入kx+（k﹣1）y＝3中得：k+k﹣1＝3,∴k＝2【点评】由两个未知数的特殊关系,可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替,化“二元”为“一元”,从而求得两未知数的值．20．在y＝ax2+bx+c中,当x＝0时,y＝﹣7；x＝1时,y＝﹣9；x＝﹣1时,y＝﹣3,求a、b、c 的值．【分析】将x、y的值分别代入y＝ax2+bx+c,转化为关于a、b、c的方程,再根据解三元一次方程组的步骤,即可求出a、b、c的值．【解答】解：由题意得：,把c＝0代入②、③得：,解得：a＝1,b＝﹣3,则a＝1,b＝﹣3,c＝﹣7．【点评】此题考查了三元一次方程组的解,掌握解三元一次方程组的步骤是本题的关键,主要渗透了待定系数法求函数解析式的思想．21．已知关于x,y的方程组的解满足3x+2y＝19,求m的值．【分析】先解关于x,y二元一次方程组,求得用m表示的x,y的值后,再代入3x+2y＝19,建立关于m的方程,解出m的数值．【解答】解：,①+②得x＝7m,①﹣②得y＝﹣m,依题意得3×7m+2×（﹣m）＝19,∴m＝1．【点评】本题实质是解二元一次方程组,先用m表示的x,y的值后,再求解关于m的方程,解方程组关键是消元．22．已知关于x,y的二元一次方程组的解x与y的值互为相反数,试求m的值．【分析】根据三元一次方程组解的概念,列出三元一次方程组解出x,y的值代入含有m的式子即求出m的值．【解答】解：由题意得,由③得：x＝﹣y,④把④代入①得,y＝﹣m﹣3,把④代入②得：x＝,∴﹣m﹣3+＝0,解得m＝﹣10．【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组,了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．23．已知：4x﹣3y﹣6z＝0,x+2y﹣7z＝0（xyz≠0）,求的值．【分析】先由题意列出方程组,先用z表示出x,y的值,再代入所求代数式求值即可．【解答】解：由题意得,①﹣②×4得：﹣11y+22z＝0,解得：y＝2z,将y＝2z代入①得：x＝3z,即,代入得：原式＝＝．【点评】将x、y都转化为关于z的代数式,即可将z消去,得原式的值．24．解方程组．【分析】利用加减法消掉一个未知数,将三元一次方程组转化为二元一次方程组,再进行解答．【解答】解：③+①得,3x+5y＝11④,③×2+②得,3x+3y＝9⑤,④﹣⑤得2y＝2,y＝1,将y＝1代入⑤得,3x＝6,x＝2,将x＝2,y＝1代入①得,z＝6﹣2×2﹣3×1＝﹣1,∴方程组的解为．【点评】本题考查了解三元一次方程组,需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组,叫三元一次方程组．通过解方程组,了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点,认准易消的未知数,消去未知数,得到由另外两个未知数组成的二元一次方程组．25．已知方程组的解x、y的和为12,求n的值．【分析】由题意列出方程组求解,用n表示出x,y的值代入x+y＝12,求得n的值．【解答】解：由题意可得,解得,代入x+y＝12,得n＝14．【点评】本题的实质是解三元一次方程组,用加减法或代入法来解答．26．自习课上,数学老师为了检验小明同学对方程组这部分内容的掌握情况,给他出了这样一道练习：“当m为何值时,方程组的解x、y互为相反数．”这下可把平时学习不认真的小明给难住了,聪明的同学,你能帮小明求出m的值吗？【分析】理解清楚题意,运用三元一次方程组的知识,解出m的数值．【解答】解：因为x、y互为相反数,所以方程组可变形为：,解得：．故m＝2．【点评】解答此题关键是根据题列出方程组,再用代入法或加减消元法求解．27．若关于x、y的二元一次方程租的解x、y互为相反数,求m的值．【分析】利用x,y的关系代入方程组消元,从而求得m的值．【解答】解：将x＝﹣y代入二元一次方程租可得关于y,m的二元一次方程组,解得m＝23．【点评】考查了解二元一次方程的能力和对方程解的概念的理解．28．m为何值时,方程组的解x,y满足x﹣y＝2,并求出此方程组的解．【分析】先用含m的代数式表示x,y,即解关于x,y的方程组,再代入x﹣y＝2中可得m的值,进而求出方程组的解．【解答】解：解方程组得,∵x﹣y＝2,∴﹣（﹣）＝2,解得：m＝1,∴方程组的解是．【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组,叫三元一次方程组．通过解方程组,了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点,认准易消的未知数,消去未知数,组成元该未知数的二元一次方程组．29．解三元一次方程组：．【分析】因为三个方程中z的系数相同或互为相反数,应用加减法来解．【解答】解：①+②得5x+2y＝16④,③+②得3x+4y＝18⑤,得方程组,解得,代入③得,2+3+z＝6,∴z＝1．∴方程组的解为．【点评】解三元一次方程组要注意以下几点：方程组有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组,叫三元一次方程组．通过解方程组,了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点,认准易消的未知数,消去未知数,组成元该未知数的二元一次方程组．30．某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元已知该农场计划在设备投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工有工作,而且投入的资金正好够用？【分析】首先种植水稻x公顷,棉花y公顷,蔬菜为z公顷,根据题意可得等量关系：①三种农作物的投入资金＝67万元；②三种农作物所需要的人力＝300名职工；③三种农作物的公顷数＝51公顷,根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设种植水稻x公顷,棉花y公顷,蔬菜为z公顷,由题意得：,解得：,答：种植水稻15公顷,棉花20公顷,蔬菜为16公顷．【点评】此题主要考查了三元一次方程组的应用,关键是弄懂题意,抓住题目中的关键语句,找出等量关系,设出未知数,列出方程组．31．为确保信息安全,在传输时往往需加密,发送方发出一组密码a,b,c时,则接收方对应收到的密码为A,B,C．双方约定：A＝2a﹣b,B＝2b,C＝b+c,例如发出1,2,3,则收到0,4,5 （1）当发送方发出一组密码为2,3,5时,则接收方收到的密码是多少？（2）当接收方收到一组密码2,8,11时,则发送方发出的密码是多少？【分析】（1）根据题意可得方程组,再解方程组即可．（2）根据题意可得方程组,再解方程组即可．【解答】解：（1）由题意得：,解得：A＝1,B＝6,C＝8,答：接收方收到的密码是1、6、8；（2）由题意得：,解得：a＝3,b＝4,c＝7,答：发送方发出的密码是3、4、7．【点评】此题主要考查了方程组的应用,关键是正确理解题意,根据密文与明文之间的关系列出方程组．32．把数字1,2,3,…,9分别填入右图的9个圈内,要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数位之和等于18．（1）给出符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．【分析】（1）先确定D、E、F三处的数字之和应该是24,再进一步分析其它的数字；（2）把填入A,B,C三处圈内的三个数之和记为x；D,E,F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z．结合图形和已知条件得到方程组,进而求得y＝24,再进一步分析即可．【解答】解：（1）右图给出了一个符合要求的填法；（2）共有6种不同填法把填入A,B,C三处圈内的三个数之和记为x；D,E,F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z．显然有x+y+z＝1+2+…+9＝45①,图中六条边,每条边上三个圈中之数的和为18,所以有z+3y+2x＝6×18＝108②,②﹣①,得x+2y＝108﹣45＝63③,把AB,BC,CA每一边上三个圈中的数的和相加,则可得2x+y＝3×18＝54④,联立③,④,解得x＝15,y＝24,继而解之z＝6．在1,2,3,…,9中三个数之和为24的仅为7,8,9,所以在D,E,F三处圈内,只能填7,8,9三个数,共有6种不同填法．显然,当这三个圈中的数一旦确定,根据题目要求,其余六个圈内的数也随之确定,从而得结论,共有6种不同的填法．【点评】此题中要特别注意三角形的顶点的数字的重复使用,能够根据各边的数字之和列方程组求解．2020。
专题2.21 解三元一次方程组100题（专项练习）三元一次方程组及其解法的重要性容易不被引起重视，从而影响到了初三学习二次函数求解析式的有效性和正确性，因此巩固此内容相当重要，希望本专题的练习，为后期学习打下扎实基础！一、解答题1．解方程组2．解方程组：．3．解方程组：．4．已知多项式，当时，它的值是，当时，它的值是，试求的值．5．解方程组：6．设线段x、y、z满足，求x、y、z的值．7．解方程组：8．已知y=ax2+bx+c．当x=3时，y=0；当x=-1时，y=0；当x=0，y=3；求a、b、c的值9．10．解方程组：．11．解方程组12．13．在等式中，当时，；当时，：当时，．(1) 求，，的值；(2) 求当时，的值．14．解方程组：15．解方程组：16．解三元一次方程组：17．解三元一次方程组．18．用代入法解三元一次方程组．19．解方程组：20．解方程组．21．解方程组22．解方程：23．解方程组：．24．解方程组：．25．解方程组：．26．解方程组：．27．解方程组：．28．解方程组：．29．解方程组．30．解方程组：．31．解方程组：．32．解方程组：．33．解方程组：34．解下列三元一次方程组：35．解方程组：．36．解方程组：．37．解方程组：．38．解方程组：．39．解方程组：40．解方程组：41．解下列方程组：（1）（2）42．解方程组：43．解方程组44．解下列方程组：（1）；（2）．45．解下列三元一次方程组：（1）；（2）．46．在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等．求，，的值．47．解下列三元一次方程组：（1）；（2）．48．解三元一次方程组49．解方程组．50．在等式中，当时，；当时，；当时，．求，，的值．51．解下列三元一次方程组：（1）；（2）．52．解三元一次方程组：53．解方程组：54．在等式中，当时，；当时，；时，．求、、的值．55．已知等式y＝ax2＋bx＋c，且当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝6；当x＝0时，y＝3，求a，b，c的值．56．已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．（1）求a，b，c的值；（2）当x＝﹣3时，求y的值．57．已知．当时，；当时，；当时，．（1）求、、的值；（2）求时，的值．58．59．在等式y＝ax3+bx+c中．当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝9；当x＝3时，y＝16．求a，b，c的值．60．解方程组：61．解方程组：62．解方程组：63．解方程组64．解方程组：．65．解方程组：．66．在等式中，当时，；当时，；当时，，求这个等式中、、的值．67．在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=6；当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=12，当x=4时，y的值是多少．68．解方程组：．69．解方程组:70．71．72．73．解三元一次方程组74．解方程组：．75．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y ＝﹣10；求当x＝﹣2时，y的值．76．解方程组：.77．78．解三元一次方程组.79．若，且x+2y+z=36，分别求x、y、z的值．80．已知代数式，当时，；当时，；当时，；①求、、的值；②求时，的值.81．已知方程组其中c≠0，求的值．82．已知y=ax2+bx+c. 当x=1时，y=0；当x=2时，y=4；当x=3时，y=10.（1）求a、b、c的值；（2）求x=4时，y的值.83．阅读下列解方程组的过程：解方程组：由①+②+③，得2(x+y+z) ＝6，即x+y+z＝3．④由④-①，得z＝2；由④-②，得x＝1；由④-③，得y＝0．则原方程组的解为按上述方法解方程组：84．解方程组：85．解方程组86．解方程组：87．解方程组：（1）（2）88．解方程组：89．解方程（1）（2）90．解方程组：91．解三元一次方程组：92．解方程组：(1) ；(2) 93．解方程组94．解三元一次方程组95．解方程组．96．解方程组．97．解方程组：.98．已知，xyz≠0，则的值_____．99．解方程组100．解方程组：(1) ;(2) ;(3) ;(4) .参考答案1．2．【分析】先用加减消元法消去z，变为关于x、y的二元一次方程组，解三元一次方程组即可．解：，②①，得：，③②，得：，解方程组，得：，将代入①，得：，解得：，∴原方程组的解为：．【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用消元法把三元化为二元，再解二元一次方程组．2．【分析】根据加减消元法和代入消元法求解即可解：①②得，④，③④得，，解得，代入③得，，代入①得，，∴方程组的解为．【点拨】本题考查了三元一次方程组的求解，正确的计算是解决本题的关键．3．【分析】①②得：④，把③代入④求出x，把代入③求出y，再把，代入①求出z即可．解：，①②得：④，把③代入④得：，解得：，把代入③得：，把，代入①得：，解得：，原方程组的解为：．【点拨】此题考查了解三元一次方程组，正确掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．4．【分析】把与代入，分别使其值为0和1，列出两个关系式，相减即可求出的值．解：由题意得，②①，得，∴．【点拨】本题考查了代数式求值，以及解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．【分析】第一个与第三个方程相加解出x，第一个与第二个方程相加列出关于的方程组，再将x代入求出y，进而求出z的值，即可得到方程组的解．解：得：得：④把代入④得：把，代入①得：所以原方程组的解是：【点拨】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．6．．【分析】设＝＝＝k，从而可得x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，进而可得x+y+z＝k，然后根据x+y+z＝18，求出k的值，从而求出x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，最后进行计算即可解答．解：设＝＝＝k，∴x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，∴x+y+z+x+y+z＝9k，∴2x+2y+2z＝9k，∴x+y+z＝k，∵x+y+z＝18，∴k＝18，∴k＝4，∴x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，∴z＝10，y＝6，x＝2，∴原方程组的解为：．【点拨】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是令＝＝＝k，并求出k值．7．【分析】利用消元法先把三元一次方程组变形为二元一次方程组，再解二元一次方程组即可得解．解：，得，把和④组成方程组得，解此二元一次方程组得，把，代入②得2×2+5×1-2z=11，解得z=−1，∴原方程组得解为．【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，把三元一次方程组通过消元法化为二元一次方程组是解题的关键．8．，，．【分析】代入得出三元一次方程组，求出方程组的解即可．解：由题意得：将代入①，③中得：，由④⑤得：，解得：，将代入④中得：，解得：，即，，．【点拨】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能根据题意得出三元一次方程组，题目比较好，难度适中．9．【分析】由于未知数的系数均为1，可以用加减消元法解答．解：，①+②+③得，∴，④-③得y＝0，将y＝0代入①中得：x=2，将y＝0代入②中得：z=3故原方程组的解为：．【点拨】本题考查解三元一次方程组，用加减消元法来解答，要注意消元思想的应用．10．【分析】由②+③×3可得，再由由①-④可得，然后把分别代入①，②，即可求解．解：由②+③×3得：，由①-④得：，解得：，把代入①得：，把，代入②得：，所以原方程组的解为【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．11．【分析】由①得，由②得，利用代入消元法求解即可．解：，由①得④，由②得⑤，把④、⑤代入③得：，解得，把代入④得，把代入⑤得，∴．【点拨】本题考查解三元一次方程组，利用代入消元法求解是解题的关键．12．【分析】先用②+③求得x，然后代入②得：y＝x＋3z－4 ④，再将④代入①可求得z，然后将x、z代入④可求得y．解：②＋③得：5x＝2，∴x＝，由②得：y＝x＋3z－4 ④，将④代入①得：2x－3（x＋3z－4 ）＋4z＝12，解得：z＝－，将x＝，z＝－代入④得：y＝－，∴原方程组的解为：．【点拨】本题主要考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．13．(1) (2)【分析】（1）根据题设条件，得到关于，，的三元一次方程组，利用加减消元法解之即可，（2）结合（1）的结果，得到关于和的等式，把代入，计算求值即可．解：（1）根据题意得：，①＋②得：④③＋②×2得：⑤，⑤－④得：，把代入④得：，解得：，把，代入①得：，解得：，方程组的解为：；（2）根据题意得：，把代入得：，即的值为．【点拨】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键：（1）正确掌握加减消元法，（2）正确掌握代入法．14．解：①＋②，解得y＝8．将y＝8代入②和③，得，解得，所以原方程组的解为．15．【分析】消去未知数z或y，把三元一次方程组先化为二元一次方程组，求解二元一次方程组后再求出另一个未知数．解：由①+②，得，由①+③，得，由④⑤组成方程组为，解这个方程组，得，把代入①，得；∴原方程组的解为；【点拨】本题考查了解三元一次方程组，把三元一次方程组化为二元一次方程组是解决本题的关键．16．【分析】先利用方程①③消去位置是z，再与方程②结合求解x，y，再求解z，从而可得答案．解：①－③得－x＋2y＝1④，④＋②得y＝2，将y＝2代入②得x＝3，将x＝3，y＝2代入①得z＝1，所以原方程组的解为．【点拨】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握利用加减消元法解三元一次方程组的步骤是解本题的关键．17．【分析】先由①×2-②消去y，①×3+③消去y，得到，转化为解关于x，z的二元一次方程组，据此解答．解：①×2-②，得①×3+③，得解方程组解得把代入①，得，所以原方程组的解为．【点拨】本题考查加减消元法解三元一次方程组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．18．【分析】观察每个方程的特点，将变形为z＝3x+2y﹣16，分别代入剩下的方程，再利用加减消元解二元一次方程组即可．解：，由②得：z＝3x+2y﹣16④，把④代入①得：2x+y+9x+6y﹣48＝13，即11x+7y＝61⑤；把④代入③得：x+3y﹣15x﹣10y+80＝10，即2x+y＝10⑥，⑥×7﹣⑤得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入⑥得：y＝4，把x＝3，y＝4代入④得：z＝1，则方程组的解为．【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，正确运用消元思想进行运算是解题的关键．19．【分析】根据解三元一次方程组的求解方法求解即可．解：解析：①③得④，②④3得，把代入④得，把代入①得，∴方程组的解为．【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程组的方法是解题的关键．20．【分析】分别将①与②相加，③减去①，联立得到关于x和z的二元一次方程组，求解并代入原方程组任意方程即可求解．解：，①+②得，④，③-①得，⑤，④-⑤得，，，把代入④得，，，把，代入②，，，∴方程组的解为．【点拨】本题考查解三元一次方程组，选择一个比较容易消去的未知数进行消元，能够使运算更加简便．21．【分析】先用加减消元法消去z，变为关于x、y的二元一次方程组，解三元一次方程组即可．解：，②−①，得：，②+③，得：，解方程组，得：，将代入①，得：，解得：，∴原方程组的解为：【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，解题关键是熟练运用消元法把三元化为二元，再解二元一次方程组．22．【分析】分别用②﹣①、③﹣①消去z，得到两个关于x和y的方程，求出x和y的值，进而可求出z的值．解：，②﹣①得：3x﹣y＝11④，③﹣①得：15x+5y＝35，即3x+y＝7⑤，④+⑤得：6x＝18，解得：x＝3，④﹣⑤得：﹣2y＝4，解得：y＝﹣2，把x＝3，y＝﹣2代入①得：z＝﹣5，则方程组的解为．【点拨】此题考查了解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法消去未知数转化成一元一次方程．23．【分析】把①代入②消去z得到方程④，把③④构成方程组解得x、y，再代入①求得z，从而求解．或者把①+②消去z得到方程④，把③④构成方程组解得x、y，再代入①求得z，从而求解．解：方法一：，把①代入②得，④联立方程③④得，解得，把代入①，得．所以原方程组的解是．方法二：，①+②，得，，④联立方程③④，得，解得，所以原方程组的解是．【点拨】本题考查解三元一次方程组，熟练运用代入消元法、加减消元法解方程组是解决本题的关键．24．【分析】利用加减消元法求出解即可．解：解方程组，①＋②，得④，，得⑤，④＋⑤，得，∴，将代入③，得，∴，将代入②，得，∴，∴方程组的解为．【点拨】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．25．【分析】先①+②得④，再求出，将代入④求出x，最后将代入②求出y即可．解：，①+②，得④，，得：，∴，将代入④中，得：，∴，将代入②中，得：，∴，∴方程组的解为．【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，理解三元一次方程组的解法是解答关键．26．【分析】利用消元的方法将三元一次方程组化为二元一次方程组，再利用消元的方法将二元一次方程组化为一元一次方程组，再求出未知数的值，将求出的未知数的值代入方程中求出另外两个未知数的值．解：由①得：将④代入②和③中整理得：得：将代入⑤中得：将，代入④中得：∴该方程组的解为【点拨】本题主要考查了用消元法解方程组，熟练掌握消元法解方程组是解答此题的关键．27．【分析】由①＋②可得3x＋4y＝24④，再由①＋③可得6x－3y＝15⑤，然后④⑤可得y＝3，再把把y＝3代入④，可得x＝4，最后把x＝4，y＝3代入①，即可求解．解：，①＋②得3x＋4y＝24④①＋③得6x－3y＝15⑤④⑤得8y＋3y＝48－15解得：y＝3，把y＝3代入④，得：3x＋12＝24，解得：x＝4，把x＝4，y＝3代入①，得：4＋3＋2z＝15，解得：z＝4，∴方程组的解为．【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组得基本方法是解题的关键．28．【分析】根据解三元一次方程组的步骤即可求得．解：，由②得，将代入①中得：，则，由①+③得：，则，解得，，，所以方程组的解为：．【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，灵活运用加减消元或代入消元法解方程组是解决本题的关键．29．【分析】利用“消元”的思想将三元一次方程组消元变成二元一次方程组，再继续消元变成一元一次方程，解一元一次方程，将得到的未知数的值回带到前面的式子求出另外两个未知数即可．解：方法一：①②，得④②③，得⑤④⑤5，得把代入④，得把，代入③，得原方程组的解是．方法二：①②，得④①③，得由④与⑤构成的二元一次方程组为解这个方程组，得把代入③，得所以原方程组的解是．方法三：①②，得④②③，得⑤由⑤得⑥把⑥代入④，得所以把代入⑥，得把，同时代入③得所以所以原方程组的解为．【点拨】本题考查解三元一次方程组，关键是掌握解方程组中的“消元”思想，利用代入法或加减法消元．30．【分析】由①设，把，，代入②，求得，进而即可求得．解：，由①设，∴，，，把，，代入②，∴，．∴，，．∴方程组的解为．【点拨】本题考查了解三元一次方程组，根据比例式设参数是解题的关键．31．【分析】根据解三元一次方程的方法求解即可．解：①+②得，解得，③-①得，即，解得，将代入①得，解得，故方程组的解为．【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程的方法是解题的关键．32．【分析】利用加减消元法解该三元一次方程组即可．解：②③得，④，③①得，⑤，⑤④得，，，把代入④，得：解得：，把，代入①，得：解得：．∴方程组的解为：．【点拨】本题考查解三元一次方程组．掌握解三元一次方程组的方法是解题关键．33．【分析】将①+②可得得：④，再由③+④可得，然后把和代入①可得，即可求解．解：将①+②得：④，将③+④得：，解得：，将代入④得：，将和代入①得：，原方程组的解为．【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．34．解：将①代入②、③，消去z，得解得把x＝2，y＝3代入①，得z＝5。
人教版七年级数学下册：8.4 三元一次方程组的解法复习稳固练习〔含答案〕、选择题1 假设x+2y+3z = 10, 4x+3y+2z = 15,那么x+y+z 的值为()A. —2B. 2 C . - 1x+ y = —1,6•三元一次方程组x+z= 0, 的解是〔〕y+ z = 1x = - 1x= 1A y=1z = 0B y= 0z=- 1A．2 B ．3 C ．4 D ．52．方程组x + 2y = k,2x+ y= 1的解满足x+ y= 3，那么k的值为(A．10 B．8 C．2 D．－8 3. 以下方程组中, 是三元一次方程组的是〔〕??= 1 A. { ??= 2????= 3??+ ??= 2 B. {??+ ??= 1??+ ??= 34??-3??= 7 C. { 5??-2??= 142??-??= 4???+? ??= D.{??+ ???=????+? ??= 3x —y+ 2z = 3,4．观察方程组2x + y—4z = 11,的系数特点,假设要使求解简便,消元的方法应选取A．先消去B．先消去yC．先消去D．以上说法都不对5. 关于x, y 的方程组x 2y ax 4y 4a的解是方程3x+2y=10 的解,那么a 的值为〔〕x = 0x=- 1C y = 1D y= 0 z= 1z = - 13??-??+ ??= 4 ① ,7. 解方程组2??+ 3????= 12 ②，时,第一次消去未知数的最正确方法是(){ ??+ ??+ ??= 6 ③A加减法消去x,将①-③X 3与②-③X 2B. 加减法消去y,将①+③与①X 3+②C. 加减法消去z, 将①+②与③+②D. 代入法消去x, y, z 中的任何一个8．一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24 人准备同时租用这三间客房共8 间，且每个客房都住满，那么租房方案有( )A. 4种B. 3种C. 2种D. 1种9. 方程x+y+z=7 的正整数解有( )A.10 组B.12 组C.15 组D.16 组10．为了奖励进步较大的学生，某班决定购置甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4 元、5 元、6 元，购置这些钢笔需要花60 元；经过协商，每种钢笔单价下降1 元，结果只花了48 元，那么甲种钢笔可能购置( ) .A．11 支B ．9支C ．7支D ．5支、填空题11 •一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字， 百位上的数字的7倍比个位、 十位上的数字的和大 2,个位、十位、百位上的数字的和是 14.那么这个三位数是.15. _________________________________________________ 方程x+2y+3z = 14 (x v y v z)的正整数解是 _________________________________________________ 16. 某服装厂专门安排 210名工人进行手工衬衣的缝制 ，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1 个衣领组成,如果每人每天能够缝制衣袖 10个或衣身15个或衣领12个，那么应该安排 _名 工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套 三、解答题17. 解方程组:x 2y z3x2y 5z 2(1) 3x2y 1(2) x 2y z 62x1y z24x 2y 7z 3018. 假设 1 x + 2y — 5| + (2y + 3z — 13)2+ 3z + x — 10= 0,试求 x , y , z 的值.12.如果方程组｛?二?？:的解是方程2????= 5 13.x y2y z x z 23 4—??C??+14 ｛ -2 ■ ■ ｛2??3??3???0,o 那么 a：b ：c=2x- 3y+a=5的解,那么a 的值是 ______贝H x+2y+z = _______ •19. 某农场300名职工耕种51公顷土地，方案种植水稻、棉花和蔬菜，种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表该农场方案在设备上投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？20. 小明从家到学校的路程为 3.3千米，其中有一段上坡路、平路和下坡路•如果保持上坡路每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米，那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？21．为确保信息平安，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c 时，那么接收方对应收到的密码为A, B, C.双方约定：A= 2a —b, B= 2b, C= b + c,例如发出1, 2, 3,那么收到0，4 ，5.(1) 当发送方发出一组密码为2, 3, 5 时,那么接收方收到的密码是多少？(2) 当接收方收到一组密码2, 8, 11 时,那么发送方发出的密码是多少？22. 请阅读下面对话, 并解答问题:一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销A, B两种商品A,B两种商品的进货单价之和为5元;A商品零售价比进货单价多1元，B商品零售价比进货单价的2倍少1元,按零售价购置A商品3件和B商品2件,共19元•你知道AB两种商品的进货单价各多少元吗?小明想了想很快答复了小店老板的问题. 并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市, 买甲、乙、丙三样商品,拿了4 件甲商品,7 件乙商品,1 件丙商品,结果售货员告诉我共8 元, 我没带那么多钱, 就改成了买 2 件甲商品,3 件乙商品,1 件丙商品, 结果售货员告诉我要6元, 可我钱还是不够, 我算了算, 我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件, 你知道我那天带了多少钱吗?小店老板晕了,叹道：这我哪知呀!后生可畏, 后生可畏啊!问题：(1) 你知道小明是怎样求解小店老板的问题的吗?请写出求解过程.(2) 小明给老板的问题真的不能解决吗?假设能解,请写出求解过程.参考答案、选择题1 假设 x+2y+3z = 10, 4x+3y+2z = 15,那么 x+y+z 的值为〔D 〕A ．x + 2y = k ,2x + y = 1的解满足x + y = 3，那么k 的值为〔B 〕??+ ??= 2 B. {??+ ??= 1??+ ??= 34??-3??= 7C. { 5??-2??= 14 2??-2??= 43x — y + 2z = 3,A.先消去xB. 先消去A ． 10B ．8C ．2D ．－83. 以下方程组中 , 是三元一次方程组的是 (A) 4．观察方程组2x + y — 4z =11,的系数特点，假设要使求解简便，消元的方法应选取7x + y — 5z = 1〔B〕2． 方程组??= 1A . { ??= 2????= 3???+? ??=D .{??+ ???=? ???+? ??=y5. 关于x, y的方程组X 2y a a的解是方程3x+2y=10的解，那么aA. —2B. 2 C . - 1x+ y =- 1,6. 三元一次方程组x+ z= 0，的解是〔D〕y+ z = 1x = - 1A y = 1z = 0x = 0C y= 1z = - 1x= 1B y= 0z=- 1x=- 1D. y= 0z= 1C.先消去zD.以上说法都不对3??-??+ ??= 4 ① ,7.解方程组2??+ 3????= 12 ②，时,第一次消去未知数的最正确方法是{ ??+ ??+ ??= 6 ③(C)A加减法消去X,将①-③X 3与②-③X 2B. 加减法消去y,将①+③与①X 3+②C. 加减法消去z, 将①+②与③+②D. 代入法消去x, y, z 中的任何一个8．一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团三间客房共8 间，且每个客房都住满，那么租房方案有〔 B 〕24 人准备同时租用这A. 4种B. 3种C. 2种D. 1种9. 方程x+y+z=7 的正整数解有〔C〕A.10 组B.12 组的值为〔 B 〕C. 15 组10•为了奖励进步较大的学生，某班决定购置甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为 4元、5元、6元，购置这些钢笔需要花 60元；经过协商，每种钢笔单价下降 1元，结果只花了 48元，那么甲种钢笔可能购置 〔D 〕.A. 11 支 B • 9 支 C • 7 支 D • 5 支 二、填空题11 •一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字， 百位上的数字的7倍比个位、 十位上的数字的和大 2,个位、十位、百位上的数字的和是14.那么这个三位数是 275.12.如果方程组｛?二〜的解是方程2x- 3y+a=5的解,那么a 的值是 -102????= 5 ----------14. ｛??2?? 3??= 02??3?? 4??= 0,x 115. ____________________________________________ 方程x+2y+3z = 14 (x v y v z)的正整数解是 _______________________________________________ y 2 _____z 316. 某服装厂专门安排 210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成,如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个或衣领12个，那么应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套三、解答题17. 解方程组：x2y z3x2y 5z 2(1) 3x2y 1(2)x 2y z 614x 2y 7z 302x y z2D.16 组13.2，贝y x+2y+z = __-10 ____c= 1 : 2 : 1x 2y z ①解：(1) 3x 2y 1 ②2x y z 1③由①得：x 2y z④，将④代入②③，整理得：8y 3z3y z11 ,解得：21 y2,z 1代入④得：x 0,x 0,所以，原方程组的解是1 y 2，z 1.3x 2y 5z 2 ①(2) x 2y z 6 ②4x2y7z30③由①+②得：4x4z8 , 即x z 2④,由②+③得：5x8z36⑤，由④X 5—⑤，整理里得：z 2 ,将z 2代入④，解得: x 4,将x 4, z 2代入①，解得y 0,x 4,所以，原方程组的解是y 0,z 2.18. 假设 1 x+ 2y~5|+ (2y + 3z—13)2+ 3z+ x —10= 0,试求x, y, z 的值.x + 2y —5 = 0, x= 1,解：由题意，得2y+ 3z —13=°，解得y= 2，3z + x—10= 0. z = 3.19. 某农场300名职工耕种51公顷土地，方案种植水稻、棉花和蔬菜，种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：该农场方案在设备上投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？解：设种植水稻x公顷,棉花y公顷,蔬菜为z公顷，??+ ??+ 2??= 67, ??= 15,由题意得｛4??+ 8??+ 5??= 300,解得｛??= 20,??+ ??+ ??= 51, ??= 16答:种植水稻15公顷,棉花20公顷，蔬菜16公顷.20. 小明从家到学校的路程为 3.3千米，其中有一段上坡路、平路和下坡路•如果保持上坡路每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米，那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？解：设去学校时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米.依题意得x + y + z = 3.3 ,答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路 0.25千米.21 •为确保信息平安，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码 a , b , c 时，那么接收方对 应收到的密码为 A , B, C.双方约定：A = 2a — b , B = 2b , C = b + c ,例如发出1, 2, 3,那么收 到 0, 4, 5.(1) 当发送方发出一组密码为 2, 3, 5时，那么接收方收到的密码是多少？(2) 当接收方收到一组密码 2, 8, 11时，那么发送方发出的密码是多少？A = 2X 2 — 3,解: (1)由题意得B = 2X 3,C = 3+ 5,解得 A = 1, B = 6, C = 8.答：接收方收到的密码是 1 , 6 , 8.2a — b = 2 , a = 3 ,(2)由题意得2b = 8, 解得b = 4 ,b +c = 11. c = 7.答：发送方发出的密码是 3 , 4 , 7.22.请阅读下面对话，并解答问题：一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊 ，小店老板说：我经销A , B 两种商品A,B 两种商品的进货单价之和为5元;A 商品零售价比进货单价多1元，B 商品零售价比进货单价的 2倍少1元, 按零售价购置 A 商品3件和B 商品2件,共19元.你知道AB 两种商品的进货单价各多少元 吗？小明想了想很快答复了小店老板的问题 .并给小店老板出了个问题 ：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了 4件甲商品,7件乙商品,1件丙商品，结果售货员告诉我共8元,x y z3+ 4+ 5 =1，z y x 443+ 4+ 5 =60， x = 2.25 , 解得y =0.8， z = 0.25.我没带那么多钱 ,就改成了买 2件甲商品 ,3 件乙商品 ,1 件丙商品 ,结果售货员告诉我要 6元, 可我钱还是不够 , 我算了算 , 我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件 钱吗?小店老板晕了 ,叹道:这我哪知呀 !后生可畏 ,后生可畏啊 !问题:(1) 你知道小明是怎样求解小店老板的问题的吗 ?请写出求解过程(2) 小明给老板的问题真的不能解决吗 ?假设能解 , 请写出求解过程 解:(1)设A 商品进货单价为x 元，B 商品进货单价为y 元,?? + ??= 5, 根据题意得 {3(??+ 1) + 2(2??-1)=1900-9解得{???? == 32，.答:A ,B 两种商品的进货单价分别为 2元、3元.(2)设甲商品售价为a 元,乙商品售价为b 元,丙商品售价为c 元,4??+ 7??+ ??= 根据题意得 {2??+ 3??+ ??= ① -②得 2a+4b=2,那么 a+2b=1,③② - ③得 a+b+c=5.答: 小明那天带了 5元钱 ., 你知道我那天带了多少 8, ①6, ②。
《三元一次方程组的解法》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知实数x，y，z满足，则代数式3（x﹣z）+1的值是（）A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．﹣62．（5分）解下面的方程组时，要使解法较为简便，应（）A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数3．（5分）三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．4．（5分）已知xyz≠0，且，则x：y：z等于（）A．3：2：1B．1：2：3C．4：5：3D．3：4：5 5．（5分）三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．安全员是数学爱好者，制定加密规则为：明文x，y，z对应密文x+y+z，x﹣y+z，x﹣y﹣z．例如：明文1，2，3对应密文6，2，﹣4．当接收方收到密文12，4，﹣6时，则解密得到的明文为．7．（5分）已知三元一次方程组，则x+y+z＝．8．（5分）2018年4月20日，重庆一中庆祝建校87周年暨第23次奖学金颁奖大会在学校本部运动场隆顶举行，其中小科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人．后来经校长会研究决定，在该项奖励总奖金不变的情况下，各等级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元，调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多元．9．（5分）如图所示，已知前两架天平两端保持平衡．要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放个圆形物品．10．（5分）若则5x﹣y﹣z﹣1的立方根是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）解三元一次方程组：12．（10分）【方法体验】已知方程组求4037x+y的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题．请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：【方法迁移】根据上面的体验，填空：已知方程组则3x+y﹣z＝．【探究升级】已知方程组求﹣2x+y+4z的值．小明凑出“﹣2x+y+4z＝2•（x+2y+3z）+（﹣1）•（4x+3y+2z）＝20﹣15＝5“，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设﹣2x+y+4z＝m•（x+2y+3z）+n•（4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z＝（x+2y+3z）+（4x+3y+2z）【巩固运用】已知2a﹣b+kc＝4，且a+3b+2c＝﹣2，当k为时，8a+3b ﹣2c为定值，此定值是．（直接写出结果）13．（10分）解方程组（1）（2）14．（10分）（1）解一元一次方程：；（2）解三元一次方程组：．15．（10分）解方程组：（1）+1＝（2）（3）《三元一次方程组的解法》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知实数x，y，z满足，则代数式3（x﹣z）+1的值是（）A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．﹣6【分析】将方程组②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3（x﹣z）＝﹣5，把3（x﹣z）＝﹣5代入代数式3（x﹣z）+1，即可得到答案．【解答】解：方程组，②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3（x﹣z）＝﹣5，把3（x﹣z）＝﹣5代入代数式3（x﹣z）+1得：﹣5+1＝﹣4，即代数式3（x﹣z）+1的值是﹣4，故选：B．【点评】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．2．（5分）解下面的方程组时，要使解法较为简便，应（）A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数【分析】根据加减消元法的方法结合方程组的特点求解可得．【解答】解：由方程组知①中没有未知数z，只需利用加减法消去②、③中的z 求解较为简便，故选：C．【点评】本题主要考查解三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法适用的方程组．3．（5分）三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，把③代入①得：y+z＝5④，把③代入②得：4y+3z＝18⑤，④×4﹣⑤得：z＝2，把z＝2代入④得：y＝3，把y＝3，z＝2代入③得：x＝5，则方程组的解为，故选：A．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．（5分）已知xyz≠0，且，则x：y：z等于（）A．3：2：1B．1：2：3C．4：5：3D．3：4：5【分析】由，①×3+②×2，得出x与y的关系式，①×4+②×5，得出x与z的关系式，从而算出xyz的比值即可．【解答】解：∵，∴①×3+②×2，得2x＝y，①×4+②×5，得3x＝z，∴x：y：z＝x：2x：3x＝1：2：3，故选：B．【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，用含有x的代数式表示y与z是解此题的关键．5．（5分）三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】由①+②消去z，②×3+③消去z，组成关于x、y的二元一次方程组，进一步解二元一次方程组，求得答案即可．【解答】解：由①+②，得2x+4y＝﹣2，即x+2y＝﹣1 ④由②×3+③，得3x+8y＝﹣8 ⑤④⑤组成二元一次方程组得解得，代入②得z＝﹣2．故原方程组的解为故选：B．【点评】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解方程组较简单．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．安全员是数学爱好者，制定加密规则为：明文x，y，z对应密文x+y+z，x﹣y+z，x﹣y﹣z．例如：明文1，2，3对应密文6，2，﹣4．当接收方收到密文12，4，﹣6时，则解密得到的明文为3，4，5．【分析】建立关于x，y，z的三元一次方程组，求解即可【解答】解：依题意得：，解得故答案是：3，4，5．【点评】此题将三元一次方程组与实际生活相结合，体现了数学来源于生活，应用于生活理念．7．（5分）已知三元一次方程组，则x+y+z＝11．【分析】根据题目中的方程的特点和所求的式子，将方程组中的三个方程相加，整理即可求得所求式子的值．【解答】解：，①+②+③，得2x+2y+2z＝22，∴x+y+z＝11，故答案为：11．【点评】本题考查解三元一次方程组，解答本题的关键是明确解三元一次方程组的方法，利用方程的思想解答．8．（5分）2018年4月20日，重庆一中庆祝建校87周年暨第23次奖学金颁奖大会在学校本部运动场隆顶举行，其中小科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人．后来经校长会研究决定，在该项奖励总奖金不变的情况下，各等级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元，调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多370元．【分析】设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．构建方程组，求出x﹣y即可解决问题；【解答】解：设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．由题意：，整理得，∴x﹣y＝400，∴调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多：（x﹣80）﹣（y﹣50）＝x﹣y﹣30＝370（元），故答案为370．【点评】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，学会设未知数，构建方程解决问题；9．（5分）如图所示，已知前两架天平两端保持平衡．要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放3个圆形物品．【分析】设圆形物品的质量为x，三角形物品的质量为y，正方形物品的质量为z，根据图示可以列出三元一次方程组，利用加减消元法消去y，得到z与x 的关系式，从而得到答案．【解答】解：设圆形物品的质量为x，三角形物品的质量为y，正方形物品的质量为z，根据题意得：，利用加减消元法，消去y得：z＝x，∴2z＝3x，即应在右托盘上放3个圆形物品，故答案为：3．【点评】本题考查三元一次方程组的应用，找出等量关系列出三元一次方程组是解题的关键．10．（5分）若则5x﹣y﹣z﹣1的立方根是3．【分析】先根据方程组解出x、y、z，然后代入5x﹣y﹣z﹣1后即可求出答案．【解答】解：由③可得：z＝3x+2y﹣18④把④代入①中得，17x+4y＝85⑤把④代入②得，7x﹣y＝35⑥联立⑤⑥可得：x＝5，y＝0，将x＝5，y＝0代入④得，z＝﹣3∴5x﹣y﹣z﹣1＝5×5﹣0+3﹣1＝27∴27的立方根是3，故答案为：3【点评】本题考查方程组的解法，解题的关键是熟练运用方程组的解法以及正确理解立方根的定义，本题属于基础题型．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）解三元一次方程组：【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：①+②得：2y＝﹣5﹣1，解得：y＝﹣3，②+③得：2x＝﹣1+15，解得：x＝7，把x＝7，y＝﹣3代入①得：﹣3+z﹣7＝﹣5，解得：z＝5，方程组的解为：．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．12．（10分）【方法体验】已知方程组求4037x+y的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题．请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：【方法迁移】根据上面的体验，填空：已知方程组则3x+y﹣z＝5．【探究升级】已知方程组求﹣2x+y+4z的值．小明凑出“﹣2x+y+4z＝2•（x+2y+3z）+（﹣1）•（4x+3y+2z）＝20﹣15＝5“，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设﹣2x+y+4z＝m•（x+2y+3z）+n•（4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z＝（x+2y+3z）+（﹣）（4x+3y+2z）【巩固运用】已知2a﹣b+kc＝4，且a+3b+2c＝﹣2，当k为﹣2时，8a+3b ﹣2c为定值，此定值是8．（直接写出结果）【分析】【方法迁移】将两个方程直接相减即可求得（3x+y﹣z）的值；【探究升级】根据提示将方程两边各项的系数列出方程组，解答即可；【巩固运用】根据提示将方程两边各项的系数列出方程组，解答即可；【解答】解：【方法迁移】将中的两个方程相减得到：﹣3x﹣y+z＝﹣5，则3x+y﹣z＝5．故答案是：5；【探究升级】设2x+5y+8z＝m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）由题意得：解得：∴2x+5y+8z＝（x+2y+3z）﹣（4x+3y+2z）故答案为：，﹣【巩固运用】设8a+3b﹣2c＝m（2a﹣b+kc）+n（a+3b+2c）∴解得∴8a+3b﹣2c＝m（2a﹣b+kc）+n（a+3b+2c）＝3×4+2×（﹣2）＝8故答案为﹣2，8【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，二元一次方程组的解法，阅读理解题目的意思是本题的关键．13．（10分）解方程组（1）（2）【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1），①+②得：2x＝6，解得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣1，则方程组的解为；（2），①+②得：3x﹣y＝3④，①+③得：4x＝6，解得：x＝1.5，把x＝1.5代入④得：y＝1.5，把x＝1.5，y＝1.5代入①得：z＝3.5，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（10分）（1）解一元一次方程：；（2）解三元一次方程组：．【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）先把三元一次方程组转化成二次一次方程组，求出方程组的解，再求出z 即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以12得：4（2x﹣1）﹣3（2x﹣3）＝12，8x﹣4﹣6x+9＝12，8x﹣6x＝4﹣9+12，2x＝7，x＝；（2）②﹣①得：3x+3y＝3，即x+y＝1④，③﹣①得：24x+6y＝60，即4x+y＝10⑤，⑤﹣④得：3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入④，得y＝﹣2，把x＝3，y＝﹣2代入①，得z＝﹣5，所以原方程组的解是．【点评】本题考查了解一元一次方程和解三元一次方程组，能根据等式的性质进行变形是解（1）的关键，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解（2）的关键．15．（10分）解方程组：（1）+1＝（2）（3）【分析】（1）根据解方程的方法可以解答此方程；（2）根据加减消元法可以解答此方程；（3）根据解三元一次方程组的方法可以解答此方程．【解答】解：（1）+1＝去分母，得3（4x﹣1）+12＝4（2x+3）去括号，得12x﹣3+12＝8x+12移项及合并同类项，得4x＝3系数化为1，得x＝；（2）①×3+②，得16x＝48解得，x＝3，将x＝3代入①，得y＝2故原方程组的解是；（3）①+②，得2x+4y＝﹣2④②×3+③，得3x+11y＝﹣8⑤④×3﹣⑤×2，得﹣10y＝10解得，y＝﹣1，将y＝﹣1代入④，得x＝1，将x＝1，y＝﹣1代入①，得z＝﹣2故原方程组的解是．【点评】本题考查解一元一次方程、解二元一次方程组、解三元一次方程组，解答本题的关键是明确解方程（组）的方法．。
第八章二元一次方程组8.4三元一次方程组精选练习答案基础篇一、单选题（共10小题)1．下列方程组中是三元一次方程组的是（）．A ．2258232a b c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩B ．2222225810x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩C ．1141171110x y y z z x⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩D ．::3:4:524x y z x y z =⎧⎨++=⎩【答案】D【详解】解：A 、a 的最高次数是2，选项错误；B 、x 、y 、z 的最高次数都是2，选项错误；C 、每个方程都是分式方程，选项错误；D 、符合题意，选项正确．故选：D2．解方程组3472395978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（）A ．由②③消去zB ．由②③消去yC ．由①②消去zD ．由①③消去x【答案】B【详解】解：由②⨯3+③得：11x +10z =35，∴转化为二元一次方程组为347111035x z x z +=⎧⎨+=⎩，故选：B ．3．已知方程组369x y y z z x +=⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，则x y z ++的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】解：方程组369x y y z z x +=⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，三个方程相加得：2226x y z ++=，∴3x y z ++=，故选：A ．4．运用加减消元法解方程组11393282645x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，较简单的方法是（）A ．先消去x ，再解22261663837y z y z +=⎧⎨-=-⎩B ．先消去z ，再解2615381821x y x y -=-⎧⎨+=⎩C ．先消去y ，再解117291139x z x z +=⎧⎨+=⎩D ．三个方程相加得8x -2y +42＝11再解【答案】C【详解】解：11393282645x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③，②×3＋③，得11x ＋7z ＝29④，④与①组成二元一次方程组117291139x z x z +=⎧⎨+=⎩．故选：C ．5．三元一次方程组345+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩x y x z y z 的解是（）A ．123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩B ．231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩C ．312x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩D ．321x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【答案】A【详解】解：345①②③+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩x y x z y z①+②+③，得：()212x y z ++=，即6x y z ++=④，把①代入④，得：3z =，把②代入④，得：2y =，把③代入④，得：1x =，所以原方程组的解为123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．故选：A ．6．小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法．（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【详解】解：设分别购买学习用品x 、y 、z ，根据题意可得：246561.5 3.5 5.550x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②（①－②）×2得：12x y z ++=③①÷2得：2328x y z ++=④④－③得：216y z +=方案一：2,7,3y z x ===方案二：4,6,2y z x ===方案三：6,5,1y z x ===故选：D ．7．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A ．1.2元B ．1.05元C ．0.95元D ．0.9元【答案】B【详解】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x 、y 和z 元，根据题意得：37 3.15482 4.2x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②，②–①可得： 1.05x y z ++=．故选：B ．8．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（）．A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支【答案】D【详解】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x 、y 、z 支，由题意，得4566034548x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②①×4-②×5得0x z -=，所以x z =，将z x =代入①，得45660x y x ++=．即212y x +=．∵0y >，∴6x <，∴x 为小于6的正整数，四个选项中只有D 符合题意；故选D ．9．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】设现在这对夫妇的年龄和为x 岁，子女现在的年龄和为y 岁，这对夫妇共有z 个子女，则，()()6,22102,2636,x y x y z x y z ⎧=⎪-⨯=-⎨⎪+⨯=+⎩解得84,14,3.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴这对夫妇共有3个子女．故选C ．10．已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需（）元A ．16B ．60C ．30D ．66【答案】B【详解】解：设铅笔单价为x 元，橡皮的单价为y 元，日记本的单价为z 元，由题意得：203232395358x y z x y z ⎩++⎨=++=⎧①②，由①×2-②得：x +y +z =6，∴10x +10y +10z =10×6=60，即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元，故选：B ．提升篇二、填空题（共5小题)11．已知303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，则::x y z =________．【答案】15：7：6；【详解】解：原方程组化为3334x y z x y z -=-⎧⎨-=⎩①②②-①得25x z =，52x z =．故76y z =．∴57::::15:7:626x y z z z z ==．故答案为：15:7:612．若()12||15210b a a x yz +--++=是一个三元一次方程，那么=a _______，b =________．【答案】-10【详解】由题意得：101121a b a ⎧-≠⎪+=⎨⎪-=⎩，解得：10a b =-⎧⎨=⎩．故答案为：-1，0．13．已知2234x y y z x z +++===-，则2x y z ++=________．【答案】-10【详解】2234x y y z x z +++===- ，222324x y y z x z +⎧=-⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩，即468x y y z x z +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩，2()()4(6)10x y z x y y z ∴++=+++=-+-=-，故答案为：-10．14．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需（）元．【答案】5【详解】解：设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．则由题意得：73310441152x y z x y z x y z a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，由-②①得：31x y +=，④由+②①得：17727x y z ++=，⑤由2-⨯-⑤④③得：05a =-，解得：5a =．故答案为：515．一个水池有A ，B 两个水口，其中A 为进水口，B 水口可进水也可出水（B 水口进出水速度相同）．已知单独打开A 进水口，需要t 小时将水池由空池注满．若将A ，B 两个水口同时打开进水，5小时将水池由空池注满；若将A 水口打开进水，同时B 水口打开出水，10小时将水池由空池注满，则t =______．【答案】203【详解】解：设A 进水口速度为a ，B 进水口、出水口速度为b ，水池容量为V ，由题意得：5()10()at V a b V a b V =⎧⎪+=⎨⎪-=⎩③①②，由②2⨯+③得：203a V =，解得：320V a =，将320V a =代入①得：320V t V ⨯=，解得：203t =，故答案为：203．三、解答题（共2小题）16．解方程：（1）11425x y x y z x y z =+⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩（2）3743225x y y z x z -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩（3）1151x y z y z x z x y +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（4）::3:4:536x y z x y z =⎧⎨++=⎩【答案】（1）653x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）2112x y z ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=⎩；（3）683x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（4）91215x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【详解】解：（1）11425x y x y z x y z =+⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③，将①代入②,得2y +z =13④，将①代入③,得2y -2z =4⑤，④-⑤，得z =3，把z =3代入②,得y =5，把y =5代入①,得x =6，故原方程组的解是653 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）3743225x yy zx z-=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩①②③，①+②，得3x+4z=-4④，④+③2⨯，得7x=-14，解得x=-2，将x=-2代入④，得z=1 2，将x=-2代入①，得y=1．故原方程组的解是2112xyz⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=⎩；（3）1151x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩①②③，①+②+③，得x+y+z=17④，④-①，得z=3，④-②，得x=6，④-③，得y=8，故原方程组的解是683 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩；（4）::3:4:536 x y zx y z=⎧⎨++=⎩∵::3:4:5x y z=，∴设x=3k，y=4k，z=5k，代入②，得3k+4k+5k=36，解得：k=3，∴x=9，y=12，z=15，故原方程组的解是91215 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答．17．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？【答案】上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米【详解】解：设去时上坡路是x 千米，平路是y 千米，下坡路是z 千米．依题意得：3.313454434560x y z x y z z y x ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪++⎪⎩＝，解得 2.250.80.25x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米．。
三元一次方程组的解法（较易）1、已知方程组，则x+y+z的值为（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣52、下列四组数值中，为方程组的解是（）A． B． C． D．3、若，则．4、由方程组，可以得到x+y+z的值是_____．5、如图1,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图2,在第二个天平上,砝码A 加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断：1个砝码A与__________个砝码C的质量相等.6、已知3x＋4y﹣5z=3，4x＋5y﹣4z=5，则x＋y＋z的值为____．7、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需_____元。
8、设a，b，c都是非负数，且满足a+b+c=3,3a+b-c=5,则5a+4b+2c的最大值是．9、．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需630元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需元.10、方程组的解是 .11、有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需630元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需元.12、已知方程组，则x+y+z=______________13、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文对应密文．例如：明文1，2，3对应密文8，11，9．当接收方收到密文12，17，27时，则解密得到的明文为．14、在式子中，当x=0时，y=1；，当x=1时，y=0；，当x=-1时，y=4；则a，b，c的值分别为__________.15、购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需元。
16、方程组的解是________．17、在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20；当与时，y的值相等，则a＝________，b＝________，c＝________．18、若甲、乙两数的和为a，乙、丙两数的和为b，甲、丙两数的和为c，则甲、乙、丙三个数的和为________．19、甲、乙、丙三数之和为25，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的，则甲数为________，乙数为________，丙数为________．20、今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有_________________种。
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】三元一次方程组（基础）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩ B ．111216y x z yx z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【答案与解析】解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④； ③﹣①，得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得，把代入①，得c=﹣5．因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大. 【：三元一次方程组 409145 例1】举一反三：【变式】解方程组：【答案】解：①+②得：5311x y +=④①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】解法一：原方程可化为：253520x zy zx y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y zt ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解． 举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣2 D ．4【答案】B ．解：，①+②+③得：x+y+z=1④， 把①代入④得：z=﹣4， 把②代入④得：y=2， 把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0， 解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
初中数学七年级下数学三元一次方程组的解法同步专项练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是 （ ）A.{x +y =0，y −z =1，z +w =5B.{x +y =0，y +2x =1C.{3x +4z =7，2x +3y =9−z ，5x −9y +7z =8D.{x 2−2y =0，y +z =3，x +y +z =12. 三个二元一次方程2x +5y −6=0，3x −2y −9=0，y =kx −9有公共解的条件是k =( )A.4B.3C.2D.13. 若2x +3y −z =0且x −2y +z =0，则x:z =( )A.1:3B.−1:1C.1:2D.−1:74. 若方程x +y =3，x −y =5和x +ky =2有公共解，则k 的值是（ ）A.2B.−2C.1D.35. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙2件、丙1件，共需315元，若购甲1件，乙2件，丙3件共需285元，那么购甲、乙、丙各1件，共需( )A.128元B.130元C.150元D.160元6. 如图，在正方形ABCD 的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB 上的数是3，BC 上的数是7，CD 上的数是12，则AD 上的数是（ ）A.2B.7C.8D.157. 已知{a−2b+3c=02a−3b+4c=0，则a:b:c等于（）A.3:2:1B.1:3:1C.1:2:3D.1:2:18. 方程组{x+y+z=103x+y−z=502x+y=40()A.无解B.有1组解C.有2组解D.有无穷多组解9. 若a:b:c=2:3:7，且a−b+3=c−2b，则c=()A.7B.63C.10.5D.5.2510. 有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件，乙7件，丙1件，共需63元，若购甲4件，乙10件，丙1件共需84元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需（）元．A.21B.23C.25D.27二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 已知△ABC的周长为25cm，三边a、b、c中，a=b，c:b=1:2，则边长a=________．12. 已知三元一次方程组，则________．13. 若x2=y3=z4，且3x+2y+z=32，则(y−z)x=________．14. 某超市销售A、B、C三种商品，若将A、B两种商品分别提价30%，C种价格不变，那么三种商品的总价将提高20%；若将A、B两种商品在原价的基础上分别提高25%，C 种商品降价5%，那么三种商品的总价将提高________%．15. 方程组{ xyz y+z =65xyz x+z =32xyz x+y=2的解是________．16. 若{x +y −z =11y +z −x =5z +x −y =1，则x +y +z ＝________．17. 某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分別是第一车间每天生产的产品数量的34和83．甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验，在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产．甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是________．18. 2015年5月18日华中旅游博览会在汉召开．开幕式上用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由3朵红花、2朵黄花和1朵紫花搭配而成，乙种花束由2朵红花和2朵黄花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了580朵红花，150朵紫花，则黄花一共用了________朵．19. 已知方程组{x +ay =25x −2y =3的解也是二元一次方程x −y =1的一个解，则a =________．20. 已知a 、b 、c 满足a +2b +3c =0，3a +2b +c =70，则a +b +c =________．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ， ）21. 解方程组：{x 2=y 3=z 52x +y +3z =88．22. 一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，3种包装的饮料每瓶各多少元？23. 解方程：{x +y +z =651(1+10%)z =y (1+5%)y =x．24. 汽车在平路、上坡路、下坡路的速度分别为30km/ℎ，28km/ℎ，35km/ℎ，甲、乙两地两距142km ，汽车从甲地去乙地需4.5ℎ，从乙地回甲地需4.7ℎ．从甲地去乙地，平路、上坡路、下坡路各有多少千米？25. 一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来三位数大99，求原来的三位数．26. 解方程组：{x −y +z =0，3y −z =8，x +y =6.27. 某电脑公司有A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其中A 型每台5000元、B 型每台4000元、C 型每台3000元，某中学现有资金100000元，计划全部用从这家电脑公司购进30台两种型号的电脑，请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．28. 已知：{x +y −z =02x −3y +5z =53x +y −z =2，求x ，y ，z 的值．29. 有这样一道数学题：在等式y =ax 2+bx +c 中，当x =−1时，y =0，当x =2时，y =3，当x =5时，y =60．(1)请你列出关于a ，b ，c 的方程组，这是一个三元一次方程组吗？(2)求出a ，b ，c 的值．30. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需34.5元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需42.00元，现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？31. 解方程组：{2x +3y =4,2x −y +2z =−4,x +2y −2z =3.32. 有一个三位数，个位上的数字与百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的2倍比个位，十位上的数字的和大4，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三位数．33. 解方程组{2x+y+z=3 x+2y+z=5 x+y+2z=8．34. 解三元一次方程组{3x+4z=72x+3y+z=95x−9y+7z=8．35. 已知：青铜含有80%的铜、4%锌和16%锡，而黄铜是铜和锌的合金．今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有74%的铜、16%锌和10%锡．求黄铜含有铜和锌之比．36. 王明在超市用74元钱买了苹果、梨、香蕉三种水果共15.5/kg，苹果比梨多2kg，已知苹果5元/kg，梨5.5元/kg，香蕉4元/kg．王明买了苹果、梨、香蕉各多少/kg？37. 请借助数轴求解：甲、乙两人分别开车从武汉出发到某风景区游玩，途中要经过一个高速公路收费站和一个休息站．当乙到达收费站时，甲才出发；当甲经过收费站半小时后得知乙已经到达休息站，此时乙已经走了全程的12；当甲到达休息站时，乙离风景区只有13的路程．已知甲、乙两车始终保持60千米/时的速度行驶，途中也没有休息，问甲比乙晚出发多长时间？38. 一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？39. {2x+y+3z=383x+2y+4z=56 4x+y+5z=66．40. 已知△ABC的三边a、b、c满足{a+b=21b+c=24a+c=27，求这个三角形的三边a、b、c的长．参考答案与试题解析初中数学七年级下数学三元一次方程组的解法同步专项练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】C【考点】三元一次方程组的应用三元一次方程组的定义【解析】利用三元一次方程组的定义判断即可．【解答】解：A ，4个未知数，不符合题意；B ，2个未知数，不符合题意；C ，有3个未知数，未知数的次数都是1，是三元一次方程组，符合题意；D ，未知数x 的最高次数为2，不符合题意．故选C ．2.【答案】B【考点】解三元一次方程组【解析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把三个方程组成方程组再求解．【解答】解：由题意得：{2x +5y −6=03x −2y −9=0y =kx −9，①×3−②×2得y =0，代入①得x =3，把x ，y 代入③，得：3k −9=0，解得k =3．故选B ．3.【答案】D【考点】解三元一次方程组【解析】根据2x +3y −z =0和x −2y +z =0，可用含y 的式子表示x 与z ，再求比值即可．【解答】解：∵ 2x +3y −z =0①，x −2y +z =0②，∴ ①+②得，3x +y =0，解得x =−13y ，①-②×2得，7y −3z =0，解得z =73y ， ∴ x:z =−13y 73y =−17． 故选D ．4.【答案】A 【考点】解三元一次方程组【解析】把方程x +y =3，x −y =5和x +ky =2组成方程组，首先求出x ，y 的值，再把x ，y 的值代入x +ky =2中，就可以得到k 的值．【解答】解；把x +y =3，x −y =5和x +ky =2组成方程组得；{x +y =3①x −y =5②x +ky =2③，①+②得：2x =8，x =4，把x =4代入①得；y =−1，把x =4，y =−1代入③得；k =2，∴ 方程组的解为{x =4y =−1k =2．故选A ．5.【答案】C【考点】三元一次方程组的应用【解析】根据题意分别表示出购甲3件、乙2件、丙1件，共需315元，若购甲1件，乙2件，丙3件共需285元，进而将两式相加得出答案．【解答】解：设甲1件x 元，乙1件y 元，丙1件z 元，根据题意可得：3x +2y +z =315①，x +2y +3z =285②，①+②得：4x +4y +4z =600，则x +y +z =150（元），故购甲、乙、丙各1件，共需150元．故选C ．6.【答案】C【考点】正方形的性质规律型：数字的变化类规律型：图形的变化类【解析】根据题意首先设A端点数为x，B点为y，则C点为：7−y，D点为：z，得出x+y＝3①，C点为：7−y，z+7−y＝12，而得出x+z的值．【解答】设A端点数为x，B点为y，则C点为：7−y，D点为：z，根据题意可得：x+y＝3①，C点为：7−y，故z+7−y＝12②，故①+②得：x+y+z+7−y＝12+3，故x+z＝8，即AD上的数是：8．7.【答案】D【考点】解三元一次方程组【解析】首先利用加减消元法，求得用c来表示a、b，再进一步代入求得a:b:c即可．【解答】解：{a−2b+3c=02a−3b+4c=0，①×2−②得：−b+2c=0则b=2c；①×3−②×2得：−a+c=0则a=c；所以a:b:c=c:2c:c=1:2:1．故选：D．8.【答案】A【考点】解三元一次方程组【解析】首先①+②消去z可得：4x+2y=60，化简得：2x+y=30，而③式中2x+y=40，故无解．【解答】解：∵{x+y+z=10①3x+y−z=50②2x+y=40③，∴ ①+②得：4x+2y=60，即2x+y=30④，又∵2x+y=40③，∴原方程组无解．故选A．9.【答案】C【考点】解三元一次方程组【解析】利用a、b、c比值可设a=2t，b=3t，c=7t，于是可得到关于t的一次方程2t−3t+ 3=7t−6t，解方程得t=1.5，然后计算7t即可．【解答】解：由a:b:c=2:3:7可设a=2t，b=3t，c=7t，把a=2t，b=3t，c=7t代入a−b+3=c−2b，得2t−3t+3=7t−6t，解得t=1.5，所以c=7t=10.5．故选C．10.【答案】A【考点】三元一次方程组的应用【解析】设购买甲、乙、丙各一件分别需要x，y，z元，列出方程组，消去z后，得到x+3y的值，再代入①，即可求得x+y+z的值，也即购买甲、乙、丙各一件的共需钱数．【解答】设购买甲、乙、丙各一件分别需要x，y，z元，由题意得{3x+7y+z=634x+10y+z=84，②-①得x+3y＝21，代入①得x+y+2(x+3y)+z＝63，即x+y+z+2×21＝63，∴x+y+z＝63−42＝21．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】10cm【考点】三元一次方程组的应用【解析】由c:b=1:2，可得b=2c，因为a=b，所以a=2c，再根据三角形的周长为25cm即可求出c，继而求出a的长．【解答】解：∵c:b=1:2，∴b=2c，∴a=b，∴a=2c，∵△ABC的周长为25cm，∴a+b+c=25，∴5c=25，∴c=5cm，∴a=2c=10cm故答案为：10cm．12.【答案】6【考点】解三元一次方程组【解析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．①【解答】解：{x+y=3y+z=4x+z=5③ ②①+②+③，得2x+2y+2z=12 x+y+z=6故答案为：6．13.【答案】16【考点】解三元一次方程组【解析】先设x2=y3=z4=k，根据3x+2y+z=32，求出k的值，再根据k的值分别求出x，y，z的值，再把它代入即可求出答案．【解答】解：设x2=y3=z4=k，则x=2k，y=3k，z=4k，∵3x+2y+z=32，∴6k+6k+4k=32，解得：k=2，∴x=4，y=6，z=8，∴(y−z)x=(6−8)4=(−2)4=16．故答案为：16．14.【答案】15【考点】三元一次方程组的应用【解析】设A 、B 、C 三种商品的原价分别是a 元、b 元、c 元，根据题意列出方程组解决问题即可．【解答】解：设A 、B 、C 三种商品的原价分别是a 元、b 元、c 元则1.3a +1.3b +c =1.2(a +b +c)，化简得a +b =2c ，所以1.25a +1.25b +0.95c =1.25(a +b)+0.95c=1.25×2c +0.95c=2.5c +0.95c=3.45c ，原价为a +b +c =2c +c =3c ，所以(3.45c −3c)÷3c ×100%=15%．答：那么三种商品的总价将提高15%．故答案为：15．15.【答案】{x 1=1y 1=2z 1=3，{x 2=−1y 2=−2z 2=−3【考点】解三元一次方程组【解析】先把原方程组取倒数，得到一组新的方程，然后再写成分式相加的形式，再利用加减消元法和代入法求解即可．【解答】解：原方程组可化为{ y+z xyz =56x+z xyz =23x+y xyz =12，∴ { 1xz +1xy =561yz +1xy =231yz +1xz =12∴ { 1yz =161xz =131xy =12，∴ {yz =6xz =3xy =2 ∴ {x 1=1y 1=2z 1=3，{x 2=−1y 2=−2z 2=−316.【答案】17【考点】解三元一次方程组【解析】方程组中的三个方程相加，即可得出答案．【解答】{x +y −z =11(1)y +z −x =5(2)z +x −y =1(3)（1）+(2)+(3)得：x +y −z +y +z −x +z +x −y ＝11+5+1即x +y +z ＝17，故答案为：1717.【答案】18:19【考点】三元一次方程组的应用【解析】设第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品为x 个，每个车间原有成品m 个，甲组检验员a 人，乙组检验员b 人，每个检验员的检验速度为c 个/天，根据题意列出三元一次方程组，解方程组得到答案．【解答】设第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品为x 个，每个车间原有成品m 个，甲组检验员a 人，乙组检验员b 人，每个检验员的检验速度为c 个/天，则第五、六车间每天生产的产品数量分別是34x 和83x ， 由题意得，{6(x +x +x)+3m =6ac2(x +34x)+2m =2bc (2+4)×83x +m =4bc，②×2−③得，m ＝3x ，把m ＝3x 分别代入①得，9x ＝2ac ，把m ＝3x 分别代入②得，192x ＝2bc ，则a:b ＝18:19，甲、乙两组检验员的人数之比是18:19，18.【答案】430【考点】三元一次方程组的应用【解析】题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=580朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=150朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x 盆、y 盆、z 盆，用含x 的代数式分别表示y 、z ，即可求出黄花一共用的朵数．【解答】解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x 盆、y 盆、z 盆．由题意，有{3x +2y +2z =580①x +z =150②， 把②代入①得：x +2y =280．所以2x +2y +z =(x +z)+(x +2y)=150+280=430（朵）．即黄花一共用了430朵．故答案是：430．19.【答案】−52【考点】解三元一次方程组【解析】由题意建立关于x ，y 的新的方程组，求得x ，y 的值，再代入x +ay =2中，求得a 的值．【解答】解：由题意得{5x −2y =3x −y =1， 解得{x =13y =−23， 代入方程x +ay =2，解得a =−52． 故本题答案为：−52． 20.【答案】17.5【考点】解三元一次方程组【解析】运用两式相加得出a +b +c 的关系式求解．【解答】解：∵ a +2b +3c =0，3a +2b +c =70，∴ 4(a +b +c)=70，∴ a +b +c =17.5．故答案为：17.5．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ）21.【答案】解：设x 2=y 3=z 5=k ， 则x =2k ，y =3k ，z =5k ，代入2x +y +3z =88得：4k +3k +15k =88，k =4，所以x =8，y =12，z =20，即方程组的解为{x =8y =12z =20．【考点】解三元一次方程组【解析】设x 2=y 3=z 5=k ，则x =2k ，y =3k ，z =5k ，代入2x +y +3z =88得出4k +3k +15k =88，求出k =4，即可得出答案．【解答】解：设x 2=y 3=z 5=k ， 则x =2k ，y =3k ，z =5k ，代入2x +y +3z =88得：4k +3k +15k =88，k =4，所以x =8，y =12，z =20，即方程组的解为{x =8y =12z =20．22.【答案】大瓶5元，中瓶3元，小瓶1.6元．【考点】三元一次方程组的应用【解析】设大瓶x 元，中瓶y 元，小瓶z 元，根据题意列出三元一次方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设大瓶x 元，中瓶y 元，小瓶z 元，由题意可得：{y =2z −0.2x =y +z +0.4x +y +z =9.6，解得：{x =5y =3z =1.6，23.【答案】解：方程组整理得：{x +y +z =651①11z =10y②21y =20x③，由②得：y =1.1z ，由③得：x =2120y =1.155z ，代入①得：1.155z +1.1z +z =651，解得：z =200，可得x =231，y =220，则方程组的解为{x =231y =220z =200．【考点】解三元一次方程组【解析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：方程组整理得：{x +y +z =651①11z =10y②21y =20x③，由②得：y =1.1z ，由③得：x =2120y =1.155z ，代入①得：1.155z +1.1z +z =651，解得：z =200，可得x =231，y =220，则方程组的解为{x =231y =220z =200．24.【答案】这段路的去时上坡路是70千米，下坡路是42千米，平路是30千米．【考点】三元一次方程组的应用【解析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：甲、乙两地路程是142千米，；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=4.5ℎ；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=4.7ℎ，据此可列方程组求解．【解答】解：设去时上坡路是x 千米，下坡路是y 千米，平路是z 千米．依题意得：{x +y +z =142x 28+y 35+z 30=4.5x 35+y 28+z 30=4.7， 解得{x =70y =42z =30．25.【答案】解：设个位、十位、百位上的数字为x 、y 、z ，则{x +y +z =13y −x =2100z +10y +x +99=100y +10z +x，解得{x =4y =6z =3．故原来的三位数为364．【考点】三元一次方程组的应用【解析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加．设个位、十位、百位上的数字为x 、y 、z ，则原来的三位数表示为：100z +10y +x ，新数表示为：100x +10y +z ，故根据题意列三元一次方程组即可求得．【解答】解：设个位、十位、百位上的数字为x 、y 、z ，则{x +y +z =13y −x =2100z +10y +x +99=100y +10z +x，解得{x =4y =6z =3．故原来的三位数为364．26.【答案】解：{x −y +z =0，①3y −z =8，②x +y =6.③由①得x =y −z ,代入③得，2y −z =6④②-④得y =2,所以解得{x =4，y =2，z =−2.【考点】解三元一次方程组【解析】此题暂无解析【解答】解：{x −y +z =0，①3y −z =8，②x +y =6.③由①得x =y −z ,代入③得，2y −z =6④②-④得y =2,所以解得{x =4，y =2，z =−2.27.【答案】解：设购买A 型电脑x 台，B 型y 台，C 型z 台，(1)若购买A 型、B 型时，由题意，得{x +y =305000x +4000y =100000， 解得：{x =−20y =50，不符合题意，舍去； (2)若购买A 型、C 型，由题意，得{x +z =305000x +3000z =100000， 解得：{x =5z =25； (3)当购买C 型、B 型时，由题意，得{y +z =304000y +3000z =100000， 解得：{y =10z =20． 故共有两种购买方案：①购买A 型5台，C 型25台；②购买B 型10台，C 型20台．【考点】三元一次方程组的应用【解析】设购买A 型电脑x 台，B 型y 台，C 型z 台，分情况讨论当购买A 型、B 型时，当购买A 型、C 型时，当购买C 型、B 型时分别建立方程组求出其解即可．【解答】解：设购买A 型电脑x 台，B 型y 台，C 型z 台，(1)若购买A 型、B 型时，由题意，得{x +y =305000x +4000y =100000， 解得：{x =−20y =50，不符合题意，舍去； (2)若购买A 型、C 型，由题意，得{x +z =305000x +3000z =100000， 解得：{x =5z =25； (3)当购买C 型、B 型时，由题意，得{y +z =304000y +3000z =100000， 解得：{y =10z =20． 故共有两种购买方案：①购买A 型5台，C 型25台；②购买B 型10台，C 型20台． 28.【答案】解：{x +y −z =0①2x −3y +5z =5②3x +y −z =2③，①×5+②得，7x +2y =5④，①-③得，−2x =−2，x =1，把x =1代入④得，7+2y =5，y =−1，将x =1，y =−1代入①得，z =0，故方程组的解为{x =1y =−1z =0．【考点】解三元一次方程组【解析】①×5+②得到7x +2y =5，①-③得到−2x =−2，x =1，将x =1代入④求出y 的值，再将x 、y 的值代入①得z =0，可得方程组的解．【解答】解：{x +y −z =0①2x −3y +5z =5②3x +y −z =2③，①×5+②得，7x +2y =5④，①-③得，−2x =−2，x =1，把x =1代入④得，7+2y =5，y =−1，将x =1，y =−1代入①得，z =0，故方程组的解为{x =1y =−1z =0．29.【答案】解：(1)把{x =−1y =0，{x =2y =3，{x =5y =60分别代入y =ax 2+bx +c得：{a −b +c =04a +2b +c =325a +5b +c =60，这是一个三元一次方程组；(2){a −b +c =0①4a +2b +c =3②25a +5b +c =60③②-①得：3a +3b =3，a +b =1④，③-①得：24a +6b =60，4a +b =10⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组{a +b =14a +b =10， 解这个方程组得：a =3，b =−2，把a =3，b =−2代入①得：3+2+c =0，解得：c =−5．【考点】解三元一次方程组三元一次方程组的定义【解析】（1）把三组数分别代入，即可得出答案；（2）②-①得出3a +3b =3，求出a +b =1④，③-①求出4a +b =10⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出a 、b 的值，把a 和b 的值代入①求出c 即可．【解答】解：(1)把{x =−1y =0，{x =2y =3，{x =5y =60分别代入y =ax 2+bx +c得：{a −b +c =04a +2b +c =325a +5b +c =60，这是一个三元一次方程组；(2){a −b +c =0①4a +2b +c =3②25a +5b +c =60③②-①得：3a +3b =3，a +b =1④，③-①得：24a +6b =60，4a +b =10⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组{a +b =14a +b =10， 解这个方程组得：a =3，b =−2，把a =3，b =−2代入①得：3+2+c =0，解得：c =−5．30.【答案】解：设甲、乙、丙各一件共需x 元，y 元，z 元，根据题意，得：{3x +7y +z =34.50①4x +10y +z =42.00②， ①×3−②×2得：x +y +z =19.5；则现在购甲、乙、丙各一件共需19.5元．【考点】三元一次方程组的应用【解析】先设甲、乙、丙各一件共需x 元，y 元，z 元，根据购甲3件，乙7件，丙1件，共需34.5元，购甲4件，乙10件，丙1件，共需42.00元，列出方程组，求出x +y +z 的值即可．【解答】解：设甲、乙、丙各一件共需x 元，y 元，z 元，根据题意，得： {3x +7y +z =34.50①4x +10y +z =42.00②， ①×3−②×2得：x +y +z =19.5；则现在购甲、乙、丙各一件共需19.5元．31. 【答案】解：{2x +3y =4,①2x −y +2z =−4,②x +2y −2z =3，③②+③得3x +y =−1④,④×3−①得7x =−7,∴ x =−1.把x =−1代入④得y =2.把x =−1，y =2代入②，解得z =0,∴ {x =−1，y =2，z =0.【考点】解三元一次方程组【解析】此题暂无解析【解答】解：{2x +3y =4,①2x −y +2z =−4,②x +2y −2z =3，③②+③得3x +y =−1④,④×3−①得7x =−7,∴ x =−1.把x =−1代入④得y =2.把x =−1，y =2代入②，解得z =0,∴ {x =−1，y =2，z =0.32.【答案】解：这个三位数个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，百位上的数字为z ．{x +z =y,①2z =x +y +4,②x +y +z =14,③把①代入③得y =7，把y =7代入①得x +z =7④，代入②得2z =x +11⑤④-⑤得z =6，∴ x =1，∴ 这个三位数是671．【考点】三元一次方程组的应用【解析】等量关系为：个位上的数字+百位上的数字=十位上的数字；百位上的数字×2=个位数字+十位上的数字+4；个位上的数字+十位上的数字+百位上的数字=14，把相关数值代入可得各位上的数字，三位数=100×百位上的数字+10×十位上的数字+个位数字，把相关数值代入计算可得．【解答】解：这个三位数个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，百位上的数字为z ．{x +z =y,①2z =x +y +4,②x +y +z =14,③把①代入③得y =7，把y =7代入①得x +z =7④，代入②得2z =x +11⑤④-⑤得z =6，∴ x =1，∴ 这个三位数是671．33.【答案】解：{2x +y +z =3①x +2y +z =5②x +y +2z =8③②-①得：−x +y =2④，①×2−③得：3x +y =−2⑤，由④和⑤组成方程组{−x +y =23x +y =−2， 解得：x =−1，y =1，把x =−1，y =1代入①得：−2+1+z =3，解得：z =4，所以原方程组的解为：{x =−1y =1z =4．【考点】解三元一次方程组【解析】②-①得出−x +y =2④，①×2−③得出3x +y =−2⑤，由④和⑤组成一个二元方程组，求出方程组的解，再代入求出z 即可．【解答】解：{2x +y +z =3①x +2y +z =5②x +y +2z =8③②-①得：−x +y =2④，①×2−③得：3x +y =−2⑤，由④和⑤组成方程组{−x +y =23x +y =−2， 解得：x =−1，y =1，把x =−1，y =1代入①得：−2+1+z =3，解得：z =4，所以原方程组的解为：{x =−1y =1z =4．34.【答案】解：②×3+③，得11x +10z =35 ④①与④组成方程组{3x +4z =7①11x +10z =35解得{x =5z =−2，把{x =5z =−2代入方程②得，y =13，三元一次方程组{3x +4z =72x +3y +z =95x −9y +7z =8的解为{x =5y =13z =−2．【考点】解三元一次方程组【解析】根据加减消元法，化三元一次方程组为二元一次方程组，再根据加减消元法，可得一元一次方程，求出一元一次方程的解，在逐步代入，可得方程组的解．【解答】解：②×3+③，得11x +10z =35 ④①与④组成方程组{3x +4z =7①11x +10z =35解得{x =5z =−2，把{x =5z =−2代入方程②得，y =13， 三元一次方程组{3x +4z =72x +3y +z =95x −9y +7z =8的解为{x =5y =13z =−2．35.【答案】黄铜中铜和锌的比例是16:9．【考点】三元一次方程组的应用【解析】首先黄铜含有铜的百分比是x ，锌的百分比是y ，青铜在混合物中的百分比是z ． 根据题目中青铜、黄铜4、锡所占百分比列出三元一次方程组方程组{z ×80%+x(1−z)=74%z ×4%+y(1−z)=16%z ×16%=10%，解得x 、y 后，再求x 与y 之比即为所求结果．【解答】解：设黄铜含有铜的百分比是x ，锌的百分比是y ，青铜在混合物中的百分比是z ．根据题意得{z ×80%+x(1−z)=74%①z ×4%+y(1−z)=16%②z ×16%=10%③由③的 z =58 将z 分别代入①②得 x =64%，y =36%所以黄铜中铜和锌的比例是64%36%=16936.【答案】王明买了苹果、梨、香蕉分别是6kg ，4kg ，5.5kg ．【考点】三元一次方程组的应用【解析】先设买了苹果xkg 、梨ykg 、香蕉zkg ，根据74元钱买了苹果、梨、香蕉三种水果共15.5/kg ，苹果比梨多2kg ，已知苹果5元/kg ，梨5.5元/kg ，香蕉4元/kg ，列出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设买了苹果xkg 、梨ykg 、香蕉zkg ，根据题意得：{x +y +z =15.5x −y =25x +5.5y +4z =74，解得：{x =6y =4z =5.5．37.【答案】甲比乙晚出发0.5小时．【考点】三元一次方程组的应用【解析】假设收费站离休息站距离B 千米、休息站离终点距离2A 千米、起点到收费站距离C 千米，根据根据“乙到达收费站时，甲才出发；当甲经过收费站半小时后得知乙已经到达休息站”，可得(B −C)=60×0.5=30，由于C +B =A ，根据“当甲到达休息站时，乙离风景区只有13的路程”，可得B −30=A −23A ，联立可得A ，B ，C 的值，进一步即可求解．【解答】解：如图：设收费站离休息站距离B 千米、休息站离终点距离2A 千米、起点到收费站距离C 千米； 根据“乙到达收费站时，甲才出发；当甲经过收费站半小时后得知乙已经到达休息站” 可得(B −C)=60×0.5=30，C =B −30，∵ C +B =A ，∴ 2B −30=A ，根据“当甲到达休息站时，乙离风景区只有1/3的路程”可得B −30=A −23A =13A =13(2B −30)， 3B −90=2B −30，B =60，A =90，C =A −B =90−60=30，甲比乙晚出发时间=3060=0.5（小时）．38.【答案】这对夫妇共有3个子女．【考点】三元一次方程组的应用【解析】设夫妇现在的年龄的和是x ，子女年龄和为y ，共有n 个子女，建立关于x ，y ，n 的方程组求解．【解答】解：设夫妇现在的年龄和为x ，子女年龄和为y ，共有n 个子女，由夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍可知：x =6y ，由他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍可知：x −2×2=10×(y −2n)， 由6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍可知：x +2×6=3×(y +6n)，列出方程组{x −2×2=10×(y −2n)x +2×6=3×(y +6n)， 将x =6y 代入方程组中解得：n =3．39.【答案】解：{2x +y +3z =38①3x +2y +4z =56②4x +y +5z =66③③-①得：2x +2z =28，即x +z =14④，①×2−②得：x +2z =20⑤，由④和⑤组成方程组：{x +z =14x +2z =20， 解得：{x =8z =6， 把x =8，z =6代入①得：16+y +18=38，解得：y =4，即方程组的解为{x =8y =4z =6．【考点】解三元一次方程组【解析】③-①得出x +z =14④，①×2−②得出x +2z =20⑤，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把x =8，z =6代入①求出y 即可．【解答】解：{2x +y +3z =38①3x +2y +4z =56②4x +y +5z =66③③-①得：2x +2z =28，即x +z =14④，①×2−②得：x +2z =20⑤，由④和⑤组成方程组：{x +z =14x +2z =20， 解得：{x =8z =6，把x =8，z =6代入①得：16+y +18=38， 解得：y =4，即方程组的解为{x =8y =4z =6．40.【答案】三角形的三边a 、b 、c 的长分别是12、9、15．【考点】三元一次方程组的应用【解析】通过解三元一次方程组可以求得a 、b 、c 的值．【解答】解：{a +b =21,①b +c =24,②a +c =27,③，由①-②，得a −c =−3，④由③+④，得2a =24，解得 a =12．把a =12代入①，解得b =9．把a =12代入③，解得 c =15．综上所述，原方程组的解是{a =12b =9c =15．。
《三元一次方程组的解法》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）下列四组数值中，（）是方程组的解．A．B．C．D．2．（5分）已知三元一次方程组，则x+y+z＝（）A．20B．30C．35D．703．（5分）对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解．那么在解三元一次方程组时，下列没行实现这一转化的是（）A．B．C．D．4．（5分）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（）A．105元B．95元C．85 元D．88元5．（5分）若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（）A．0B．1C．2D．不能求出二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每隔x分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x＝分钟．7．（5分）若x＝时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则a﹣2b＝．8．（5分）三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶12000公里后报废，安装在左后轮和右后轮则分别只能行驶7500公里和5000公里．为使该车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后将2个轮胎对换的方法，但最多可对换2次，那么安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶公里．9．（5分）五羊公园门票规定为：每人20元；30人以上的团体购票，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．今有花城旅行社、穗城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应购门票4770元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票5220元，那么三个团共有人．10．（5分）某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是分钟．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组（2）已知x、y、z，满足试求z的值．12．（10分）问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．（1）请你按小明的思路解决问题．（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元．求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需多少元？13．（10分）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？14．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣a，a），a ≠0，点B的坐标为（b，c），a，b，c满足（1）用a表示b与c；（2）若b＞c﹣5，且c为正整数，求点A、B的坐标．15．（10分）计算：（1）|﹣|++2（﹣1）（2）（）2﹣（3）4（3x+1）2﹣1＝0；（4）（x+3）3＝4．（5）（6）（7）．《三元一次方程组的解法》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）下列四组数值中，（）是方程组的解．A．B．C．D．【分析】①+③得出4a＝﹣4，求出a的值，②+③得出5a﹣2b＝﹣9，代入后求出b，即可求出答案．【解答】解：①+③得：4a＝﹣4，解得：a＝﹣1，②+③得：5a﹣2b＝﹣9④，把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9，解得：b＝2，把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0，解得：c＝﹣1，故原方程组的解为，故选：B．【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，能正确消元是解此题的关键．2．（5分）已知三元一次方程组，则x+y+z＝（）A．20B．30C．35D．70【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．【解答】解：，①+②+③得：2（x+y+z）＝70，则x+y+z＝35．故选：C．【点评】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．3．（5分）对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解．那么在解三元一次方程组时，下列没行实现这一转化的是（）A．B．C．D．【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．【解答】解：因为解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，所以没行实现这一转化的是A选项，仍旧是三个未知数，故选：A．【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．4．（5分）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（）A．105元B．95元C．85 元D．88元【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，根据题意有：，把这两个方程相加得：4x+4y+4z＝340，4（x+y+z）＝340，x+y+z＝85．即购甲、乙、丙三种商品各一件共需85元钱．故选：C．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题时认真审题，弄清题意，再列方程组解答，此题难度不大，考查方程思想．5．（5分）若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（）A．0B．1C．2D．不能求出【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用z表示出来，代入代数式求值．【解答】解：根据题意得：，把（2）变形为：y＝7z﹣3x，代入（1）得：x＝3z，代入（2）得：y＝﹣2z，则x+y﹣z＝3z﹣2z﹣z＝0．故选：A．【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每隔x分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x＝4分钟．【分析】可设路车和小宏的速度为未知数，等量关系为：6×（路车的速度﹣小宏的速度）＝x×路车的速度；3×（路车的速度+小宏的速度）＝x×路车的速度，消去x后得到路程速度和小宏速度的关系式，代入任意一个等式可得x 的值．【解答】解：设路车的速度为a，小宏的速度为b．，解得a＝3b，代入第2个方程得x＝4，故答案为4．【点评】考查3元一次方程组的应用；消元是解决本题的难点；得到相遇问题和追及问题的等量关系是解决本题的关键．7．（5分）若x＝时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则a﹣2b＝11．【分析】把x，y的值代入方程组中，得到关于a，b的方程组，求解即可．【解答】解：由于x、y互为倒数，x＝，则y＝2，代入二元一次方程组，得，解得a＝10，b＝﹣，则a﹣2b＝11．故本题答案为：11．【点评】本题的实质是解三元一次方程组，解答此题还要熟悉倒数的概念．8．（5分）三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶12000公里后报废，安装在左后轮和右后轮则分别只能行驶7500公里和5000公里．为使该车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后将2个轮胎对换的方法，但最多可对换2次，那么安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶7200公里．【分析】易得在每个位置的轮胎行驶1公里的损耗度，那么3除以3种轮胎损耗度之和即为最多可行驶的公里数；验证方法为：先让前胎与后胎对换，再让左右轮胎对换，根据每种轮胎报废的损耗度为1得到相应的等量关系，即可求得对换需要的时间．【解答】解：三轮摩托每行驶1公里，前胎、左后胎和右后胎分别损耗，和，所以3条轮胎最多行驶3÷（++）＝7200公里．设行驶x公里时，把前胎和右后胎对换，再走y公里，把左右后胎对换，再走z 公里，报废．解得，x+y+z＝7200．∴行驶3428公里时，把前胎和右后胎对换，再走3171公里，把左右后胎对换，再走600公里，报废．故答案为：7200．【点评】考查三元一次方程组的应用；判断出相应的对换方法是解决本题的突破点；根据每种轮胎报废的损耗度为1得到相应的等量关系是解决本题的难点．9．（5分）五羊公园门票规定为：每人20元；30人以上的团体购票，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．今有花城旅行社、穗城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应购门票4770元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票5220元，那么三个团共有人397．【分析】可设花城团有x人，穗城团有y人，羊城团有z人，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠），实际上就是：540元，可进31人．可得方程组：①或②，解方程组求解即可．【解答】解：设花城团有x人，穗城团有y人，羊城团有z人，因为3834÷18＝213，4770÷18＝265，5220÷18＝290，又213＝30×7+3，265＝30×8+25，290＝30×9+20．根据公园门票优惠方法得方程组：x+y＝213+7，即x+y＝220；y+z＝265+8，即y+z＝273；z+x＝290+9，即z+x＝299．三式相加得：2（x+y+z）＝792，故x+y+z＝396，即三个团共有396人．由y+z＝273可知，穗城团与羊城团合起来有273人，而273应写成30×9+3，即273人只需有273﹣9＝264人买票，与题目中的265不符．因此，穗城团、羊城团的人数加起来不可能是273人而应是265+9＝274人，而274＝30×9+4，因为只有274人才需要购买274﹣9＝265人的票，同样，由z+x＝299人，若再增加一人，变为300人，则300＝3010，省10人的票，同样也是290人买票．所以羊城团、花城团合起来可能是299人，也可能是300人．即可能是z+x＝299，也可能是z+x＝300．综上所述，可得方程组：①或②由方程组①可得：2（x+y+z）＝793，故x+y+z＝396.5，由方程组②可得：2（x+y+z）＝794，故x+y+z＝397，由于人数不可能为小数，所以方程组①不符合实际，应舍去，故三个团共有397人．故答案为：397．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是得出羊城团、花城团合起来可能是299人，也可能是300人，从而根据情况舍去不符合实际的．10．（5分）某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是25分钟．【分析】首先假设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，则第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分．根据题意，到第15分钟时，乙比甲多跑15（b﹣a）米，甲提速后3分钟（即第18分）追上乙，所以（a+x﹣b）×3＝15（b﹣a）①接着甲又跑了5分钟（即第23分钟），已经超过乙一圈（400米）再次追上乙，所以（a+x﹣b）×5＝400 ②到了第23分50秒时甲跑完10000米，这10000米前（15分）是以速a跑完的，后面的分是以速度a+x跑完的，所以15a+（a+x）＝10000，由①÷②得b﹣a＝16（米/分），x＝96米/分．将b﹣a、x代入③得a＝384米/分，所以b＝400米/分．乙是一直以400米/分的速度跑完10000米的，∴乙跑完全程所用的时间＝＝25（分）．【解答】解：设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，所以第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分．由题意得，由①÷②得b﹣a＝16（米/分），那么x＝96米/分将x代入③得a＝384米/分∴b＝400米/分．∴乙跑完全程所用的时间＝＝25（分）．故答案为25．【点评】解决本题的关键是从求甲的原速度与甲提高的速度为切入点，求得甲的速度，乙速度也就不难确定了．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组（2）已知x、y、z，满足试求z的值．【分析】（1）将②变形后代入方程解答即可；（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．【解答】解：（1）将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④将①代入④得3×7+4y＝11y＝把y＝代入①得，∴方程组的解为（2）由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③由②得2（x+4y）+z＝36 ④③×2﹣④×3得z＝2【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．12．（10分）问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．（1）请你按小明的思路解决问题．（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元．求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需多少元？【分析】（1）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据“①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱”，即可得出关于x、y、z的三元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据“①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱”，即可得出关于x、y、z的三元一次方程组，由方程①×3﹣方程②×2可得x+y+z＝90，此题得解；（3）设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具需要c元，购买一套D教具需要d元，根据“购A教具1件、B教具3件、C 教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C 教具7件、D教具9件共花3036元”，即可得出关于a、b、c、d的四元一次方程组，设a+b+c+d＝m、2b+3c+4d＝n，可将原方程组变形为关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n的值，将其代入5a+3b+2c+d＝5m﹣n 中即可求出结论．【解答】解：（1）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据题意得：，解得：，∴x+y+z＝90．答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．（2）小丽的说法正确．设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据题意得：，方程①×3﹣方程②×2，得：x+y+z＝90．答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．（3）设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具需要c元，购买一套D教具需要d元，根据题意得：，方程组可变形为：，设a+b+c+d＝m，2b+3c+4d＝n，则原方程组可变形为：，解得：，∴5a+3b+2c+d＝5（a+b+c+d）﹣（2b+3c+4d）＝5m﹣n＝3982．答：购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需3982元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用以及四元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出三元一次方程组；（2）根据方程①②之间的关系，求出x+y+z的值；（3）巧妙的将原四元一次方程组转化为二元一次方程组求解．13．（10分）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？【分析】（1）根据题意可知，本题有两个未知数：平均每分钟一道正门和一道侧门各通过多少名学生．等量关系有两个：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生．当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内可以通过800名学生．根据以上条件可以列出方程组求解；（2）根据（1）的数据，列出方程组解答即可．【解答】解：（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y 名学生．则，解得．答：平均每分钟一道正门可通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；（2）设该栋大楼正门有m道，侧门有n道，则，解得．故该栋大楼正门有2道，侧门有3道．【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．14．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣a，a），a ≠0，点B的坐标为（b，c），a，b，c满足（1）用a表示b与c；（2）若b＞c﹣5，且c为正整数，求点A、B的坐标．【分析】（1）解方程组即可得到结果；（2）根据已知条件b＞c﹣5，得到﹣7﹣a＞a+5﹣5，于是得到﹣5＜a＜﹣3.5，求得a＝4，于是得到结论．【解答】解：（1）解方程组得：，所以用a表示b与c的形式为：b＝﹣7﹣a；（2）①×2﹣②得：b+c＝﹣2b＝﹣2﹣c∵b＞c﹣5∴﹣2﹣c＞c﹣52c＜3c＜1.5又∵c为正整数∴c＝1∴a＝﹣4，b＝﹣3A（4，﹣4），B（﹣3，1）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，解方程组，需要学生具备一定的计算能力．15．（10分）计算：（1）|﹣|++2（﹣1）（2）（）2﹣（3）4（3x+1）2﹣1＝0；（4）（x+3）3＝4．（5）（6）（7）．【分析】（1）原式先根据绝对值的性质和开方运算，然后合并同类二次根式即可得到结果；（2）原式先计算乘方和开方运算，再算加减运算即可得到结果；（3）直接开平方，可得答案；（4）直接开立方，可得答案；（5）方程组利用加减消元法求出解即可；（6）方程组利用加减消元法求出解即可；（7）首先将三元一次方程组化为二元一次方程组，然后再根据二元一次方程组的解法，求出其解集，从而求出三元一次方程组的解集．【解答】解：（1））|﹣|++2（﹣1）＝﹣++2﹣2＝3﹣；（2））（）2﹣＝6+3+2＝11；（3）4（3x+1）2﹣1＝0，（3x+1）2＝，3x+1＝，∴x1＝，x2＝．（4）（x+3）3＝4，（x+3）3＝8，x+3＝2∴x＝﹣1（5）①+②得：4x＝8，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为；（6）原式整理得：，①+②得：6x＝36，即x＝6，把x＝6代入①得：y＝﹣，则方程组的解为；（7）由②﹣①得3a+3b＝3④由③﹣②，得21a+3b＝57⑤由④⑤组成方程组，解得，将其代入①得c＝﹣5故原方程组的解为：．【点评】此题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，解三元一次方程组，解三元一次方程与解二元一次方程组一样，首先要消元，然后再移项、系数化为1，来求解，同时也考查学生的计算能力．。
七年级数学下册《三元一次方程组的解法》练习题及答案一、单选题1．如果方程组3710(1)5x y ax a y +=⎧⎨+-=⎩的解中的x 与y 的值相等，那么a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在“自主互助学习型课堂竞赛”中，为奖励表现突出的同学，初一（7）班利用班费100元钱，购买钢笔、相册、笔记本三种奖品，其中钢笔至多买2支，若钢笔每支20元，相册每本10元，笔记本每本5元，在把钱都用尽的条件下，买法共有（ ）A ．9种B ．10种C ．11种D ．12种3．已知161210a b b c c a +=+=+=，，，则a b c ++等于( )A ．38B ．19C ．14D ．224．已知关于x 、y 的方程组262223x y k x y k +=-⎧⎨+=-⎩的解满足2x ﹣y ＝2k ，则k 的值为（ ） A ．k 74= B ．k 32= C ．k 47= D ．k 23= 5．方程组4,21,1x z z y x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪+-=-⎩的解是（ ）A ．7,5,11x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.B ．7,5,11x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩C ．7,5,11x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩D ．7,5,11x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩6．解三元一次方程组0321020x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③如果消掉未知数z ，则应对方程组变形为（ ）A ．① +③ ，① ×2﹣②B ．① +③ ，③ ×2+②C ．②﹣① ，②﹣③D ．①﹣② ，① ×2﹣③7．有铅笔、作业本、签字笔三种学习用品．若购铅笔3支，作业本7本，签字笔1支共需20.5元 若购铅笔4支，作业本8本，签字笔2支共需25元，那么，购铅笔、作业本、签字笔各1件共需( )A ．2.5元B ．3元C ．3.5元D ．4.5元8．如图，两个正方形的面积分别为25，9，两阴影部分的面积分别为a ，b （a ＞b ），则（a ﹣b ）等于（ ）A．4 B．9 C．16 D．259．已知满足y＝ax2＋bx＋c的x，y的对应值有x＝3，y＝0 x＝1，y＝0和x＝0，y＝3，则a，b，c三数值为( )．A．143abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩B．143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩C．143abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩D．143abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩10．若方程组4312(1)3x ykx k y+=⎧⎨+-=⎩的解x和y的值互为相反数，则k的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题11．方程组52133x yx zy z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解为______．12．类比学习，探究新知：三元一次方程组解法的基本指导思想是________，方法有________．13．方程组634x y zy zx y z++=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩的解是_____．14．x，y，z满足方程组2x-3y83y2z0x-z2=⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，，，则xyz=____.15．已知三元一次方程组102040x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则x y z++=__________．三、解答题16．已知：x+2y﹣z＝9，2x﹣y+8z＝18，求x+y+z的值．17．解方程组：1151x y z y z x z x y +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩①②③18．利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度．19．解方程（组）（1）4﹣3（8﹣x ）＝5（x ﹣2）（2）42591510x x +--= （3）3(2)12(1)58y x x y -=+⎧⎨-=-⎩ （4）5325273193218x y x y z x y z +=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩20．解下列方程组．（1） 415170625230x y x y --=⎧⎨--=⎩ （2）63z x y x y z x y =+⎧⎪++=⎨⎪-=⎩参考答案1．C2．D3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．A 10．C11．53 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩12．消元代入法、加减法13．321 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩14．-6 15．35 16．917．683 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩18．桌子的高度为75cm．19．（1）x＝﹣5;（2）x＝﹣1;（3）178xy=⎧⎨=⎩;（4）53xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩20．（1）81xy=⎧⎨=⎩（2）33xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩。
8.4 三元一次方程组的解法（习题卷）人教新版数学七年级下册一．选择题1．一家宾馆有二人间、三人间、四人间3种客房，一个由20人组成的旅行团准备同时租住这3种客房共7间，如果每个房间都住满，可供选择的方案有（）A．1种B．2种C．3种D．4种2．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内．发现漏洞时，船内已经进入了一些水，如果以12个人淘水，3h可以淘完，如果以5个人淘水，10h才能淘完．现在要想在2h内淘完，需要（）人．A．17B．18C．20D．213．三元一次方程组，消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（）A．B．C．D．4．已知实数x、y、z满足3x+7y+z＝5，4x+10y+z＝3，则x+y+z＝（）A．9B．10C．12D．不确定5．为了使学生既能获得足够的营养又能保持良好的身材，艺海舞蹈学校欲为学生配制营养餐，下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A，维生素B的含量及成本：若餐厅欲将三种食物混合成100kg的营养餐，设所用甲、乙、丙的分量依次为x，y，z，若营养餐至少需含44000单位的维生素A及48000单位的维生素B，若考虑使成本最低，则x，y，z 的取值为（）甲乙丙维生素A（单位/kg）400600400维生素B（单位/kg）800200400成本（元/kg）654 A．x＝30kg，y＝30kg，z＝40kg B．x＝30kg，y＝20kg，z＝50kgC．x＝20kg，y＝30kg，z＝50kg D．x＝50kg，y＝20kg，z＝30kg6．某商店甲、乙、丙三种商品每件单价分别为2元，3元，5元．某人必须买这三种商品若干件，买完后他共付钱20元，后来此人发现其中有种商品买多了，退还两件这种商品，但营业员只有10元一张的钱，没有零钱退，此人只得将其它两种商品购买的数量作了调整，使总价格保持不变．这时，此人所购得的三种物品中，乙种商品的件数是（）A．1B．2C．3D．47．方程x+y+z＝7的正整数解有（）A．10组B．12组C．15组D．16组8．如果方程组的解也是方程4x+y+2a＝0的解，那么a的值是（）A．﹣B．C．﹣2D．29．下列说法错误的是（）A．是一个二元一次方程组B．是一个二元一次方程组C．是方程组的解D．二元一次方程x﹣7y＝11有无数个解10．已知，都是关于x，y的方程y＝﹣3x+c的一个解，则下列对于a，b的关系判断正确的是（）A．a﹣b＝3B．a﹣b＝﹣3．C．a+b＝3D．a+b＝﹣3二．填空题11．近日天气晴朗，某集团公司准备组织全体员工外出踏青．决定租用甲、乙、丙三种型号的巴士出行（每辆车座位数不少于20），甲型巴士每辆车的乘载量是乙型巴士的2倍，丙型巴士每辆可乘坐40人．现在旅游公司有甲、乙、丙型巴士若干辆，预计该集团公司安排甲型、丙型巴士共计11辆，其余员工安排乙型巴士，每辆巴士均满载，这样乘坐乙型巴士和丙型巴士的员工共376人．临行前，突然有若干人因特殊原因请假，这样一来刚好可以减少租用一辆乙型巴士，且有辆乙型巴士多出5个空位，这样甲、乙两种型号巴士共计装载259人，则该集团公司共有名员工．12．某校去年租借了三架无人机A，B，C用于体育节航拍，无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的．A，C两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B飞行总路程减少．无人机C增加的路程是无人机A增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，则今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为．13．某个“卡通玩具”自动售货机出售A、B、C三种玩具，A、B、C三种玩具的单价分别是3元/个、5元/个，6元/个，工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A 玩具的数量（单位：个）是B玩具数量的2倍，B玩具的数量（单位：个）是C玩具数量的2倍．某个周六，A、B、C三种玩具的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，70%、50%，且全部售出．但是由于软件出错，发生了一起错单（即消费者按某种玩具一个的价格投币，但是取得了另一种玩具1个），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了958元，则这个“卡通玩具”自动售货机一个工作日的销售收入是元．14．万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一，以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶，茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶：清明香，云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为2：3：1．由于品质优良宣传力度大，网上的预订量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶，其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元，380元，清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝，活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价等于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗单价为元．15．现有A、B、C三种型号的产品出售，若A售3件，B售4件，C售1件，共得315元：若A售5件，B售7件，C售1件，共得420元．问售出A、B、C各一件共得元．三．解答题16．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝0时，y＝﹣5．求a2+2ab+c2的值．17．解方程组：（1）；（2）；（3）．18．（1）解方程组：；（2）已知x、y、z满足方程组（y≠0），求x：y．19．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．（1）解方程组解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3把x＝1代入②得：y＝0所以方程组的解为（2）已知，求x+y+z的值．解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③③÷4得x+y+z＝4[类比迁移]（1）直接写出方程组的解．（2）若，求x+y+z的值．[实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？20．解下列方程或方程组：（1）；（2）．。
三元一次方程组的解法同步测试试题（一）一．选择题1．已知方程组，则x+y+z的值为（）A．6B．﹣6C．5D．﹣52．三元一次方程组的解为（）A．B．C．D．3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？（）A．80B．110C．140D．2204．一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种5．方程组的解是（）A．B．C．D．6．若三元一次方程组的解使ax+2y+z＝0，则a的值为（）A．1B．0C．﹣2D．47．三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．8．有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（）A．50B．100C．150D．2009．如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB上的数是3，BC上的数是7，CD上的数是12，则AD上的数是（）A．2B．7C．8D．1510．如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各10克的砝码，将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，现从图2右侧盘中拿掉砝码和袋子外面的玻璃球，只剩下一小袋玻璃球，要使天平保持平衡，则左侧袋中需拿出玻璃球的个数为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题11．鼠年新春佳节将至，小瑞准备去超市买些棒棒糖，送一份“甜蜜礼物“给他的好朋友，有甲、乙、丙三种类型的棒棒糖，若甲种买2包，乙种买1包，丙种买3包共23元：若甲种买1包，乙种买4包，丙种买5包共36元．问甲种买1包，乙种买2包，丙种买3包共元．12．双节期间，某超市推出的“彩云追月”“众星拱月”“花好月圆”三种月饼礼盒热销，“彩云追月”礼盒含有摩卡月饼4个，芝士月饼8个，“众星拱月”礼盒含有摩卡月饼3个，芝士月饼8个，虫草月饼1个，“花好月圆”礼盒含有摩卡月饼2个，芝士月饼6个，虫草月饼1个，已知摩卡月饼每个20元，芝士月饼每个15元，虫草月饼每个100元，中秋节当天销售这三种礼盒共9440元，其中摩卡月饼的销售额为2320元，则虫草月饼的销售量为个．13．已知＝，那么代数式＝．14．解关于x、y、z的三元一次方程组，得xyz＝．15．某花店三八妇女节推出“温暖”和“和煦”两款鲜花礼盒，其中“温暖”礼盒里有3支向日葵，3支洋桔梗，2支多头玫瑰；“和煦”礼盒里有2支向日葵，2支洋桔梗，6支多头玫瑰．两种礼盒的成本价分别为三种花的成本之和．已知“温暖”与“和煦”的售价分别为73.6元和97.2元．利润率分别为60%和80%．若两种礼盒的销售利润率达到75%，则花店卖出的“温暖”与“和煦”鲜花礼盒的的数量之比为．三．解答题16．在y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣7；x＝1时，y＝﹣9；x＝﹣1时，y＝﹣3，求a、b、c的值．17．解方程组：．18．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k．19．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调彩电冰箱工时产值（千元）432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵，①+②+③，得x+y+z＝5，故选：C．2．【解答】解：，②×4﹣①得2x﹣y＝5④②×3+③得5x﹣2y＝11⑤④⑤组成二元一次方程组得，解得，代入②得z＝﹣2．故原方程组的解为．故选：C．3．【解答】解：设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原有水c毫升，②﹣①，得b﹣a＝110，故选：B．4．【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：，解得：y+2z＝8，y＝8﹣2z，∵x，y，z是正整数，当z＝1时，y＝6，x＝1；当z＝2时，y＝4，x＝2；当z＝3时，y＝2，x＝3；当z＝4时，y＝0，x＝4；（不符合题意，舍去）∴租房方案有3种．故选：B．5．【解答】解：，①﹣③得：x﹣z＝﹣3④，②﹣④得：4z＝4，即z＝1，把z＝1代入④得：x＝﹣2，把x＝﹣2代入①得：y＝8，则方程组的解为，故选：C．6．【解答】解：，①+②+③得：x+y+z＝1④，把①代入④得：z＝﹣4，把②代入④得：y＝2，把③代入④得：x＝3，把x＝3，y＝2，z＝﹣4代入方程得：3a+4﹣4＝0，解得：a＝0．故选：B．7．【解答】解：由②，得y＝5﹣z，由③，得x＝6﹣z，将y和x代入①，得11﹣2z＝1，∴z＝5，x＝1，y＝0∴方程组的解为．故选：A．8．【解答】解：设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元．根据题意，得，两方程相加，得4x+4y+4z＝600，x+y+z＝150．则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元．9．【解答】解：设A端点数为x，B点为y，则C点为：7﹣y，D点为：z，根据题意可得：x+y＝3①，C点为：7﹣y，故z+7﹣y＝12②，故①+②得：x+y+z+7﹣y＝12+3，故x+z＝8，即AD上的数是：8．故选：C．10．【解答】解：设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，根据题意得：m＝n+20；设被移动的玻璃球的质量为x克，根据题意得：m﹣x＝n+x+10，x＝（m﹣n﹣10）＝（n+20﹣n﹣10）＝5，∴1个玻璃球的质量为5克，∵5+10＝15，15÷5＝3，∴要使天平保持平衡，则左侧袋中需拿出玻璃球3个；故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：设每包甲种类型的棒棒糖x元，每包乙种类型的棒棒糖y元，每包丙种类型的棒棒糖z元，依题意得：，（2×①+3×②）÷7得：x+2y+3z＝22．故答案为：22．12．【解答】解：每盒“彩云追月”的价格为20×4+15×8＝200（元），每盒“众星拱月”的价格为20×3+15×8+100×1＝280（元），每盒“花好月圆”的价格为20×2+15×6+100×1＝230（元）．设中秋节当天销售“彩云追月”礼盒x盒，“众星拱月”礼盒y盒，“花好月圆”礼盒z 盒，依题意得：，①﹣2.5×②得130y+130z＝3640，∴y+z＝28．故答案为：28．13．【解答】解：设＝＝k，∴解得，∴代数式＝＝，故答案．14．【解答】解：①×3﹣②×2，得﹣y﹣3z＝7④，②+④×3，得﹣10z＝20，解得，z＝﹣2，将z＝﹣2代入②，得y＝﹣1，将y＝﹣1，z＝﹣2代入①，得x＝1，∴原方程组的解是，∴xyz＝1×（﹣1）×（﹣2）＝2，故答案为：2．15．【解答】解：“温暖”鲜花礼盒的成本价为：73.6÷（1+60%）＝46（元），“和煦”鲜花礼盒的成本价为：97.2÷（1+80%）＝54（元），设花店卖出“温暖”x盒，卖出“和煦”y盒，根据题意得：（73.6﹣46）x+（97.2﹣54）y＝75%（46x+54y），解得：x：y＝9：23故答案为：9：23三．解答题（共4小题）16．【解答】解：由题意得：，把c＝0代入②、③得：，解得：a＝1，b＝﹣3，则a＝1，b＝﹣3，c＝﹣7．17．【解答】解：，①+②，得x+z＝2④，②+③，得5x﹣8z＝36⑤，④×5﹣⑤，得13z＝﹣26，解得z＝﹣2，把z＝﹣2代入④，得x＝4，把x＝4，z＝﹣2代入②，得y＝0．所以原方程组的解是．18．【解答】解：由题意可知x＝y，∴4x+3y＝7可化为4x+3x＝7，∴x＝1，y＝1．将x＝1，y＝1代入kx+（k﹣1）y＝3中得：k+k﹣1＝3，∴k＝219．【解答】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有，①﹣②×4得3x+y＝360，总产值A＝4x+3y+2z＝2（x+y+z）+（2x+y）＝720+（3x+y）﹣x＝1080﹣x，∵z≥60，∴x+y≤300，而3x+y＝360，∴x+360﹣3x≤300，∴x≥30，∴A≤1050，即x＝30，y＝270，z＝60．最高产值：30×4+270×3+60×2＝1050（千元）。
*8.4 三元一次方程组的解法
基础题
知识点1 解三元一次方程组
1．下列是三元一次方程组的是(D )
A .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5x 2
＋y ＝7x ＋y ＋z ＝6 B .⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝－2x －2y ＋z ＝9y ＝－3 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝7xyz ＝1x －3y ＝4 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2y ＋z ＝1x ＋z ＝9
2．观察方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝3，2x ＋y －4z ＝11，7x ＋y －5z ＝1
的系数特点，若要使求解简便，消元的方法应选取(B )
A ．先消去x
B ．先消去y
C ．先消去z
D ．以上说法都不对
3．将三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＋z ＝0， ①3x ＋y －4z ＝11， ②x ＋y ＋z ＝－2 ③
经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z 后，得到的二元一次方程组
是(A )
A .⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝27x ＋5y ＝3
B .⎩
⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝223x ＋17y ＝11 C .⎩⎪⎨
⎪⎧3x ＋4y ＝27x ＋5y ＝3 D .⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝223x ＋17y ＝11 4．已知方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋y ＝1的解满足x ＋y ＝3，则k 的值为(B ) A ．10 B ．8 C ．2 D ．－8
5．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，2y ＋z ＝8，2z ＋x ＝9，
可以得到x ＋y ＋z 的值等于(A )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
6．解下列三元一次方程组：
(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，①x ＋3z ＝1，②x ＋y ＋z ＝7；③
解：由①，得y ＝4－2x.④
由②得z ＝1－x 3
.⑤
把④，⑤代入③，得x ＋4－2x ＋1－x 3
＝7. 解得x ＝－2.
∴y ＝8，z ＝1.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝8，z ＝1.
(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z －3＝0，①2x －y ＋2z ＝2，②x －y －z ＝－3.③
解：②－③，得x ＋3z ＝5.④
解由①，④组成的方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝1. 将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝1代入③，得y ＝4. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，z ＝1.
知识点2 三元一次方程组的简单应用
7．一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14.则这个三位数是275.
8．已知－a x ＋y －z b 5c x ＋z －y 与a 11b y ＋z －x c 是同类项，则x ＝6，y ＝8，z ＝3.
9．(镇江校级期末)已知y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝0时，y ＝1.求a ，b ，c 的
值．
解：∵y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝0时，y ＝1，
∴代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝3，①a －b ＋c ＝1，②c ＝1，③
把③代入①和②，得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝0. 解得a ＝1，b ＝1，
即a ＝1，b ＝1，c ＝1.
10．2016里约奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共70枚，位列奖牌榜第三．其中金牌比银牌多8枚，铜牌比银牌的总数的2倍少10枚．问金、银、铜牌各多少枚？
解：设金牌x 枚，银牌y 枚，铜牌z 枚，则
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x －y ＝8，
2y －z ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝26，y ＝18，z ＝26.
答：金牌26枚，银牌18枚，铜牌26枚．
中档题
11．三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋z ＝0，y ＋z ＝1
的解是(D )
A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1z ＝0
B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0z ＝－1
C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1z ＝－1
D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝0z ＝1
12．(淄博中考)如图，在正方形ABCD 的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB 上的数是3，BC 上的数是7，CD 上的数是12，则AD 上的数是(C )
A ．2
B ．7
C ．8
D ．15
13．如图1，在第一个天平上，砝码A 的质量等于砝码B 加上砝码C 的质量；如图2，在第二个天平上，砝码A 加上砝码B 的质量等于3个砝码C 的质量．请你判断：1个砝码A 与2个砝码C 的质量相等．
14．解方程组：
(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，①3x ＋y －2z ＝0，②7x ＋6y ＋7z ＝100；③
解：①＋②×2，得7x －3z ＝0.④
①×3＋③，得10x ＋10z ＝100，即x ＋z ＝10.⑤
解由④，⑤组成的方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝7. 将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝7代入①，得y ＝5. ∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，z ＝7.
(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ∶y ＝1∶5，①y ∶z ＝2∶3，②x ＋y ＋z ＝27.③
解：由①，得y ＝5x.④
由②，得z ＝32y ＝152
x.⑤ 把④，⑤代入③，得x ＋5x ＋152
x ＝27.解得x ＝2. ∴y ＝10，z ＝15.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝10，z ＝15.
15．若||x ＋2y －5＋(2y ＋3z －13)2＋3z ＋x －10＝0，试求x ，y ，z 的值． 解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，2y ＋3z －13＝0，3z ＋x －10＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3.
16．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路、平路和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米，那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
解：设去学校时上坡路是x 千米，平路是y 千米，下坡路是z 千米．依题意得
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝3.3，
x 3
＋y 4＋z 5＝1，z 3＋y 4＋x 5＝4460
，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.25，y ＝0.8，z ＝0.25. 答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米．
综合题
17．(贵州中考)为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a ，b ，c 时，则接收方对应收到的密码为A ，B ，C.双方约定：A ＝2a －b ，B ＝2b ，C ＝b ＋c ，例如发出1，2，3，则收到0，4，5.
(1)当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
(2)当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2×2－3，B ＝2×3，C ＝3＋5，
解得A ＝1，B ＝6，C ＝8.
答：接收方收到的密码是1，6，8.
(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，2b ＝8，b ＋c ＝11.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，c ＝7.
答：发送方发出的密码是3，4，7.。
