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3、金刚石晶体是复式格子，有两个面心立方的子格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有8个碳原子4、原胞是最小的晶格重复单元5、具有长程有序特点的固体称为晶体；原子排列短程有序长程无序的固体为非晶体；原子具有排列对称性，无平移对称性的固体是准晶体。
8.计算单胞边长为a的面心立方晶体单胞的体积、原胞的体积、单位体积的格点数、最近邻格点数、最近邻格点间距、次近邻格点数和次近邻格点间距、6、证明六角密积晶格的理想轴比为7、画出晶格常数为a的体心立方、面心立方和金刚石晶格在(111)面上的原子排列，并标明最近邻原子间距8、证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
bcc和fcc的原胞的体积分别为，。
9、它们第一布里渊区的体积分别为，。
10、由于晶体周期性的制约，晶体只有，，，，五种转轴，常用，，，，表示11、立方体共有种对称操作正四面体共有种对称操作正六面柱共有种对称操作12.对立方晶系有、、、三种布拉菲格子。
13.按结构划分，晶体可分为个晶系，共布拉菲格子。
第二章１、共价结合中为什么有”饱和性”和”方向性”?２、什么是晶体的结合能，按照晶体的结合力的不同，晶体有哪些结合类型及其结合力是什么力？３、原子间的排斥作用取决于什么原因？４、一维原子链,正负离子间距为a,求马德隆常数５、试计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数M(1) 写出马德隆常数M的数学表达式并注明其中字母所代表的物理意义；(2) 计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数M(如图所示)，只计及参考离子周围 最近邻的24个离子(结果保留三位小数)。
第三章1.由N 个原胞组成的晶体，原胞中有n 个原子，晶体共有 个独立振动的正则频率2.声子的角频率为ω，声子的能量和动量表示为 和 。
3.一维复式原子链振动中，在布里渊区中心和边界，声学波的频率为 ；光学波的频率为 。
4.什么是固体比热的德拜模型？并简述计算结果的意义，以及德拜模型能在低温与实验结果相符合的原因？5.什么是固体比热的爱因斯坦模型？并简述计算结果的意义，爱因斯坦模型在低温下理论结果与实验数据存在偏差的根源是什么。
计算马德隆常数《固体物理》马德隆常数的计算学院:物理学院学号:2011012643姓名:刘娴雅马德隆常数的计算摘要:通过分析马德隆常数的三种计算方法和其相应的使用范围,得出不同晶体结构下相应的计算方法和使用范围.关键字:马德隆常数离子晶体在固体物理学中,当计算离子晶体的结合能时,需知道马德隆常数的值, 因此,马德隆常数在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位.该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数,其定义公式为:n1、n2、n3为离子晶体中任一离子相对于中心离子的坐标,?为求和遍及晶体中所有离子。
由于离子晶体为数目巨大的多粒子系统,因此马德隆常数一般情况下由实验确定。
nnn123,，，，，1,,,, 222nnnn，n，n123123离子晶体结合的性质比较简单,在近代微观理论发展初期，计算离子晶体的结合能获得很好的结果,对于验证理论起到了重要作用,所用的方法和概念在处+-以NaCl为例,由于Na和Cl都是满壳层的结构,具有球对理许多问题中还常用到.称性,考虑库仑作用时,可以看做点电荷.先考虑一个正离子的平均库仑能.如果令r表示相邻离子的距离,该能量可表示为nnn1232，，1q,1，，, (1) 2222222nnn4,,(nr，nr，nr)123012312222222(nr，nr，nr)如果以所考虑的正离子为原点, 可以表示其他各123 离子所占格点的距离,并且对于所有负离子格点，n1+n2+n3=奇数,所有正离子格n1+n2+n3点，n1+n2+n3=偶数.考虑到正负离子电荷的差别,引入因子(-1),一个原胞的能量为，，nnn22123,，，q,1q,,, (2) 222222,,4r4,,rnnn00(nr，nr，nr)123123 nnn123，，,，，1,,, (3) ,222nnnn，n，n123123α为一无量纲的数,完全决定于晶体结构,称之为马德隆常数.在具体计算中发现,求和时既有正项,又有负项,如果逐项相加,并不能得到收敛的结果.对于一维情况,其级数求和很容易计算,如两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数,利用定义很容易计算出α=2ln2,但对于三维情况,其级数收敛很慢. 1918年Madelung首先计算这种级数和,他先将晶体中点阵视为一系列中性平面点阵组成即该平面内点阵由一系列中性直线点阵组成,其上正负电荷相等且按格点周期分布.由此将电势展开成傅里叶级数并用了享克尔函数(Hankel function),进而求出马德隆常数.这种方法对于计算像氯化钠那样简单的离子晶体取得了成功.但对大多数离子晶体而言并不适用。
高等固体物理作业题 目: 马德隆常数的计算方法及实例计算 学生姓名： 学 院：理学院 专 业：物理电子学 指导教师:2013 年 12 月 7日学校代码：10128 学 号：摘要在固体物理学中，当计算离子晶体的结合能、晶格能、表面能等时，需知道马德隆常数的值，该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数，是晶体结构的一个重要的特征参数，为一无量纲的数，只取决于晶体结构，在离子晶体的研究中占有重要的地位。
本文概述了晶体马德隆常数的几种计算方法及其使用范围，并举例简述了一维离子链，二维正方离子格子，以及三维Nacl离子晶体实例的马德隆常数的计算方法。
关键词：离子晶体；马德隆常数；计算方法；实例AbstractIn solid state physics, when calculate the combined energy, attice energy, surface energy, etc. of the ionic crystals, we need to know the Madelung constant value, which is generally determined by experiment. Madelung constant is used to describe structure of ionic crystal. Madelung constant is an important feature of the crystal structure parameters. Madelung constant is a dimensionless number that only depends on the crystal structure, and plays an important role in the study of ionic crystals. This article outlines several crystal Madelung constant calculation methods and its scope of application, and an example calculation methods outlined Madelung constant one-dimensional ion chains, two-dimensional square lattice ions, as well as three-dimensional Nacl ionic crystals instance.Keywords: ionic crystals; Madelung constant; calculation methods; examples目录引言 (1)1 晶体马德隆常数的几种计算方法 (2)1.1 定义法 (2)1.2 Evjen晶胞法 (2)1.3 计算晶格静电能法 (3)1.4 小结 (4)2 马德隆常数的实例计算 (5)2.1 一维离子链的马德隆常数计算 (5)2.2 二维正方离子格子的马德隆常数计算 (6)2.3 三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算 (7)参考文献 (10)引 言马德隆(Madelung)常数α是晶体结构中的一个重要的特征参数，是描述粒子晶体结构的常数。
摘要本论文主要研究斐波那契数列的性质及其应用，从“兔子繁殖”问题建立数学模型，引出斐波那契数列的定义；运用二阶常系数齐次线性递归方程的特征根解法推导出了斐波那契数列的通项公式。
论述并证明了有关斐波那契数列的恒等式和相关结论，涉及斐波那契数列相邻两项之比（即黄金分割比率）在广泛的应用，以及运用斐波那契数列解决一些实际数学问题。
目录绪论 (1)论文提出的背景和价值及国内外研究动态 (1)一斐波那契数列的提出 (2)1.1 问题的引出 (2)1.2 斐波那契额数列的定义迭代表示 (3)二斐波那契数列通项公式的推导 (3)2.1 线性递归数列线性递归方程及其特征方程的解法 (3)2.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导 (4)三斐波那契数列的部分相关性质 (5)3.1 有关斐波那契数列的等式关系性质 (5)3.2 有关斐波那契数列的结论 (12)四斐波那契数列的有关应用 (13)4.1 斐波那契数列前项与后项比例极限和黄金分割比例 (13)4.2 运用斐波那契数列解决实际问题 (14)绪论论文提出的背景和价值及国内外研究动态斐波那契数列十三世纪初叶就已经提出了，但是现如今我们学习工作生活中仍然对它有所触及。
随着它的一些奇妙属性慢慢被世人所发现：从埃及金字塔到准晶体结构，从艾略特波浪理论到华罗庚的优选法（0.618），从达芬•奇的《蒙娜丽莎的微笑》到生物学的“鲁德维格定律”……吸引了国内外许多学者去研究它。
斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学、生物、金融﹑美术等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
我在这片论文中主要研究了有关斐波那契数列的关系式和结论，通过观察斐波那契数列前几项，猜测推算提出结论，验证、论证命题，采用了数学建模的思想，数学归纳法，线性递归等方法论述论文。
一斐波那契数列的提出1.1 问题的引出斐波那契数列是由13世纪的意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的。
一维非周期序列的能谱结构特性作者：万若楠来源：《科技资讯》 2012年第6期万若楠(华南理工大学广州学院广州 510800)摘要:从理论上构造两种具有代表性的一维非周期序列:伽罗华序列和菲波那契序列,并通过数值计算得到它们的电子能谱结构。
最后将两种序列的能谱结构进行了分析对比,发现两种序列虽然在结构构造方法上类似,但在电子能谱结构上有各自独特的特点。
关键词:紧束缚模型非周期序列能谱结构中图分类号:O4 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2012)02(c)-0243-011 研究背景自准晶体发现以来,对于这种新型结构的研究和探索,激起了人们的研究兴趣。
在过去的几十年中,准晶体的研究也取得了很大的进展。
尤其是在一维准晶体方面进行的研究工作更为丰富和具体。
由于一维准周期结构容易从理论上构造,所以有各种各样的一维模型相继被提出来研究。
最具代表性的有菲波那契序列、广义菲波那契序列、菲波那契类序列、图厄-莫尔斯序列、两元准周期SML序列以及伽罗华序列等等。
不过,从严格意义上来讲,有一些模型并不属于准周期序列,只能说是有确定排列规则的非周期序列。
那么以上提到的这些一维非周期序列在电子能谱结构上又有什么关系呢？本文主要选取了两种比较有代表性的序列进行了分析比较。
2 构造方法一维菲波那契序列是以兔子繁殖的方式作为类比来产生的:一只母兔(1)在每一代生一只子兔(0),而子兔在下一代将长大成为母兔,这样无限地生长下去,得到的一个序列:1011010110110……具体可由以下替代关系来得到:,这种方法被称为替代法。
一维伽罗华序列(p=2,m=10)的构造方法不同于一维准周期序列等其它一维有序序列的构造,它没有相应的替代规则。
不过可以通过一个不可约多项式来找到对应的递推关系式。
为了便于得到类似于产生上述两种序列的替代规则,本文主要利用的是如下递推关系式:。
若再给出初始条件a1～a10的值(1或0,但不能全为0),则可以得到相应的序列。
关于《一维圆环上双原子链的马德隆常数》的解析解陈贝;罗强;韩玖荣【摘要】在《大学物理》2015年第2期刊登的题为《一维圆环上双原子链的马德隆常数》一文的基础上,给出了针对原文中式(4)、式(11)和式(15)对应的解析形式,指出了原文中一个双伽马函数恒等式(8)的失误,同时也提出了二聚化情形下马德隆常数新的定义方式.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】3页(P50-52)【关键词】马德隆常数;双原子链;解析解【作者】陈贝;罗强;韩玖荣【作者单位】扬州大学物理科学与技术学院,江苏扬州 225002;中国人民大学物理系,北京 100872;扬州大学物理科学与技术学院,江苏扬州 225002【正文语种】中文【中图分类】O481由于马德隆常数能反映晶体的静电势特征，对研究晶体结构提供很大的便利，所以从它被提出伊始便一直成为人们关注的焦点.马德隆常数的级数表示往往是条件收敛的，因此如何精确得到它的精确解并非是一件平淡无奇的事情.在过去的一个世纪里研究者们致力于不同空间维度（如一维、二维等）不同晶体结构（如NaCl、CsCl等）下马德隆常数计算方法的研究［1］.物理学中很多重要的物理量在一维（甚至只有一维）情况下是存在严格解的.量子力学中一维无限深方势阱、谐振子问题的能级和波函数在薛定谔（Schroedinger）方程下是精确可解的［2］，统计物理中一维外场下经典伊辛（Ising）模型的配分函数可以由转移矩阵的方法给出［3］，强关联物理中一维海森伯（Heisenberg）模型的基态能等可以通过Bethe方案解析地计算得到［4］.马德隆常数亦是如此.在《大学物理》最近刊登的一篇题为《一维圆环上双原子链的马德隆常数》的文章里［5］，其作者在计算一维马德隆（Madelung）常数上颇有新意，该文将一维链首尾相连组成一个圆环，据此给出了一维圆环上正负交替分布的离子晶体的马德隆常数的表达式，以及二聚化后的马德隆常数表达式.对于前者该文通过外推得知当原胞个数N趋于无穷时圆环上的马德隆常数趋于2ln2，并由此衍生出两个与双伽马函数ψ有关的恒等式；对于后者该文计算了某些特定取值下直线链和圆环上的马德隆常数，数值结果表明两者在5位有效数字精度内相等.作为一种非常重要的补充，解析解往往能使得物理问题更加具有数学上的结构美.因此在《一维圆环上双原子链的马德隆常数》一文的基础上，本文给出了原文中式（4）、式（11）和式（15），分别对应于本文式（1）、式（4）和式（9）的解析形式.对于一维无限长NaCl型离子晶体链，其马德隆常数.而对于圆环上的情形，马德隆常数为［5］文献［5］利用正弦函数的级数形式并没有使式（1）得到简化，而采用积分等式［6，7］并运用几何级数的求和法则和控制收敛定理，可知由此可知圆环上的马德隆常数和直线链上的马德隆常数在链长无限大时确实一致. 在正负离子二聚化情形下，离子晶体的马德隆常数通过表征二聚化程度的参数λ来调节.原文作者证明［1］，在直线链情况下，马德隆常数可以表示成利用双伽马函数ψ的级数表达式［6］式中γ=0.577…表示欧拉（Euler）常数，可知又由双伽马函数ψ的递推公式［6］可得直线链下的马德隆常数而在圆环下，马德隆常数可以表示成［5］利用式（2），并运用同计算式（1）完全相同的方法可知利用双伽马函数ψ的积分表示［6］立即得到马德隆常数显然，式（8）和式（12）告诉我们，在一维二聚化情形下，直线链上和圆环上的马德隆常数确实一致，其函数图像如图1虚线所示.特别地，当λ=1/2时，α1/2=2ln2，这回归到一维NaCl型马德隆常数的情形.在计算圆环上的马德隆常数时，原文作者通过数值结果猜测出两个双伽马函数ψ恒等式，但原文式（8）存在一些笔误，应该纠正为在正负离子二聚化情形下会存在正负离子间距不相等这一情况，原文作者给出的晶格能是以“短键长”（2λa和2μa分别表示链上和圆环上短键的长度）为长度尺寸的，其余无量纲常数则作为马德隆常数的定义.实际上，马德隆常数代表的是离子晶体晶格能中各离子间库仑能的总和，其大小要与晶体的几何构型，如维度、配位数等一致，因此其定义式要尽可能地囊括所有的结构参数以利于晶体能的计算［8，9］.不难验证，在二聚化情形下晶格能具有对称性Uλ=U1-λ（0＜λ＜1），而原作者给出的马德隆常数αλ显然不具备这种对称性.此外，作者给出的晶格能中包含了“键长”（原文定义式的分母2λa和2μa分别表示链上和圆环上短键的长度）的概念，而在圆环上短键和长键之和并不等于原胞间距，此时“键长”并非是一个直观的物理量.因此，为了体现晶格能具有的对称性同时也为了计算的方便，我们建议把库仑势分母上的二聚化参数λ吸收到马德隆常数的定义中.我们给出的修正方案是式中二聚化参数λ定义为原胞内正负离子间距与原胞间距的比值（链情形），或者原胞内正负离子间夹角与原胞间夹角的比值（圆环情形）.修正后的马德隆常数如图1实线所示.此时，链上和圆环上的晶格能可以统一地写成，形式上更加简洁明了，功效上一旦给定马德隆常数则不需要额外的数学处理就可以立即知道晶格能的大小.综上所述，本文完善了徐宝等人给出圆环上马德隆常数式（4）以及二聚化情形下马德隆常数式式（11）和式（15）的解析形式，同时也提出了二聚化情形下马德隆常数新的定义以便修正后的马德隆常数更能全面反映晶体静电势的对称性特征. 后记：在本文审稿期间，我们发现邱为钢老师也做了类似工作［10］.【相关文献】［1］Borwein D，Borwein J M，Taylor K F.Convergence of lattice sums and Madelung’s constant［J］.Journal of Mathematical Physics，1985，26（11）：2999-3009.［2］周世勋.量子力学教程［M］.2版.高等教育出版社，2009：26-34.［3］杨展如.量子统计物理学［M］.高等教育出版社，2007：147-150.［4］Sutherland B.Beautiful models：70 years of exactly solved quantum many-body problems［M］.World Scientific Publishing Co Ptc Ltd，2004：143-161.［5］徐宝，吴洪业，赵建军，等.一维圆环上双原子链的马德隆常数［J］.大学物理，2015，34（2）：41-42.［6］王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论［M］.北京：北京大学出版社，2012：69-83.［7］梁昆淼.数学物理方法［M］.刘法、廖国庆，修订.4版.北京：高等教育出版社，2010：64. ［8］黄昆.固体物理学［M］.北京：北京大学出版社，2009：37-41.［9］Pereira P C N，Apolinario S W S.Madelung energy of Yukawa lattices［J］.Physical Review E，2012，86（4）：046702.［10］邱为钢.无穷求和与渐进展开［J］.大学物理，2015，34（10）：23-24.。
非晶体——原子的排列没有明确的周期性（短程有序）晶体——原子按一定的周期排列规则的固体（长程有序）准晶体——介于晶体和非晶体之间的新的状态晶体结构最常见的三种立方格子简单立方晶格、面心立方晶格、体心立方晶格，其配位数分别为6、12、8；六角密堆的配位数为12，金钢石结构的配位数为4。
原胞是最小的晶格重复单元。
对于简单晶格，原胞包含1个原子。
若321,,aaa表示某布拉伐格子的基矢（又称正格子基矢），321,,bbb表示该布拉伐格子的倒格子基矢，那么正格子基矢与倒格子基矢之间满足的关系为：。
(教材：p17)画出体心立方、面心立方和六角密堆的原胞，如果各自晶胞的体积为v，则原胞的体积分别为v/2,v/4,v/3晶向晶面画出简单立方晶格的晶向，立方边共有6个不同的晶向由于立方晶格的对称性，以上6个晶向是等效的可以表示为<100>]100[],001[],10[]010[],001[],100[100110111<><><>按结构划分，晶体可以分为7 大晶系，共有 14 布拉伐格子。
若321,,a a a表示某布拉伐格子的基矢（又称正格子基矢），321,,b b b 表示该布拉伐格子的倒格子基矢，那么矢量332211a n a n a n R++=的全部端点的集合构成)100(面等效的晶面数分别为：3个 }100{表示)110(面等效的晶面数分别为：6个 }110{表示)111(面等效的晶面数分别为：4个 }111{表示231123312123123123222a a b a a a a a b a a a a a b a a a πππ⨯=⋅⨯⨯=⋅⨯⨯=⋅⨯2()20()i j ij i j a b i j ππδ==⎧⋅=⎨=≠⎩布拉伐格子，矢量332211b h b h b h G h++=的全部端点的集合构成 倒格子 。
对晶格常数为a 的SC 晶体，与正格矢k a j a i a R22++=正交的倒格子晶面族的面指数为 （122） , 其面间距为 a32π。
一维斐波那契类准晶体与其马德隆常数初探
闫冰 物理学系2008级1班 0810130026
1984年，Shechtman 等人报导了在用快速冷却方法制备AlMn 合金中的电子衍射图中，发现了具有五重对称的斑点分布，斑点的明锐程度不亚于晶体的情况，说明固体材料出来晶态和非晶态之外，还有一种介于晶态和非晶态之间的新状态，即准晶态。
准晶态结构的特点是：具有长程的取向序而没有长程的平移对称序；取向序具有晶体周期性所不能容许的点群对称性；沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按照特定的序列方式排列。
透射电镜的电子衍射图及高分辨像揭示了准晶体行列、面网及晶格的特征，彭志忠教授在研究这些衍射图特征的基础上，提出了准晶体的分数维模型，并进行了含五次对称准晶体的准晶格推导，推导工作揭示了五次准晶体的平移向量恰好是黄金中值的整数幂，而其一维方向上行列结点的排列也恰与斐波那契序列相符合，即：
a b a ab aba abaab abaababa abaababaabaab abaababaabaababaababa 其中a,b 分别为两个平移周期，a/b=1.618（黄金中值）。
固体物理工作者构造了一种包括一维斐波那契准晶模型（FC(1)）和互生长模型（FC(2)）在内的一类能够用严格的高维投影法得到的准晶链模型，他们称之为斐波那契类准晶（记为FC(n)），并发现了许多重要性质。
发现准晶以来，准晶的许多物理特性得到了广泛研究。
人们发现一维斐波那契准晶的电子能谱是套层结构的，具有严格的自相似性，这主要是由于一维斐波那契链具有套层结构的原因。
马德隆常数是晶体的一个重要特征参数。
对正负离子均为单价的离子晶体来说，一个原胞的平均库仑能为：
123123
2222222221/22221/2000123123(1)(1)4()4()4n n n n n n n n n n n n q q q U n r n r n r r n n n r απεπεπε++++--=
==-++++∑∑ （1） 其中: 1232221/2123(1)1=-()n n n n n n i i r n n n r α++-±=-++∑∑ （2）
式中r i =(n 12r 2+n 22r 2+n 32r 2)
1/2为第i 个离子和参考离子之间的距离，r 为晶体中最近邻正负离子的间距。
容易验证，凡是与参考离子同号的离子，n 1+n 2+n 3=偶数；凡是与参考离子电荷异号的离子，n 1+n 2+n 3=奇数。
由等量关系可以得知，当第i 个例子与参考离子电荷同号时取正，异号时取负。
α为一无量纲的纯数值，完全决定于晶体结构，称为马德隆常数。
一旦得知马德隆常数就能计算晶格能和表面能等，因此它在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位，人们尝试用不同方法计算了各种晶体的马德隆常数，但对准晶态结构的马德隆常数涉及较少。
一般来讲，准晶体材料大多由金属合金组成，而金属键中含有离子键成分，因此，对准
晶态马德隆常数的计算对探究准晶体内部结合能等内容来说都是有意义的。
斐波那契类准晶模型，即FC(n)的准周期链可以采用间接投影法得到，其中各个原子的位置到参考点的距离可以表示为：
1i n n i r i ϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
（3） 其中[x]表示取最大整数，φn 表示投影角，i 为原子序数。
φn 满足：
1
2n n n ϕσ+== （4） 是方程：210x nx --=的正根。
用该方法可以得到准晶链。
另外，可以按照斐波那契类准晶的生成规则：11,n n B B A A B AB --→→得到准晶链，两种方式得到的准晶链是一致的，皆为：
112111131
12,,
()()...(),(3)
n n n n n n n h h h S B S B A S B A B A B A B AB S S S n --------====≥ （5）
式中h 为FC(n)的代数。
由于准周期链的性质主要取决于各种单元线段（相当于准晶的“原子”）的排布序列，而不取决于单元线段的绝对大小，故为了研究问题方便我们对A,B 两种单元线段的长度进行归一化处理，使得二者的长度之比为：l
A l
B =φn 。
根据马德隆常数的定义式（2）
可知，计算斐波那契类准晶的马德隆
常数的关键是确定各个原子的位置
到参考点的距离r i 。
根据以上的准晶
链建立规则，建立一维的斐波那契点阵如图1所示，根据式（3）（4）可以直接求出第i 个离子到参考原子的距离r i 。
将r i 代入式（1），取i=1,2,3….和n=2，计算一维斐波那契点阵FC(2)的马德隆常数。
计算中，取i=1~296，n=2，求得φn =2.414214，代入（3）求得r i 后，代入（1）可求得马德隆常数的值。
利用excel 表格绘制出马德隆常数随i 的变化曲线如图2所示，由图线可以看出，马德隆常数呈振荡式收敛，且收敛速度很快。
以同样的计算过程，将式（3）（4）代入式（1），取n=3和i=1~296，得到一维单原子FC(3)点阵的马德隆常数随i 的变化曲线如图2所示，其马德隆常数收敛情况与FC(2)相似，如图2所示，一维准周期链的马德隆常数呈振荡式收敛，且收敛很快。
i 取值数目很大是为了得到较为精确的收敛结果，事实上当i=20时，FC(2)点阵马德隆常数已经基本收敛到最终结果α=0.663r 。
同样当取到i=20时，FC(3)的马德隆常数也已经基本收敛到最终的结果为α=0.711r 。
图1 一维斐波那契点阵
图2 一维斐波那契准周期链的马德隆常数收敛曲线
可见，两种点阵的马德隆常数值均小于一维晶体的马德隆常数α=(2ln2)r=1.386r，说明准晶原子间的结合能要比同维数的晶体小。
存在振荡证实了一维斐波那契准晶的电子能谱是套层结构。
准晶体特殊的结构特点和对称性使得其内部的结合能和电子能谱等都与晶体有较大不同，在结构模型构造基础上对准晶体的研究，对未来准晶态材料的制备和利用都有很大帮助。
