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1.稻草、石墨烯和金刚石是一种元素组成的吗？为何存在外型和性能方面存在很大差异？同为碳元素，从微观角度来说碳元素的排列不同决定了宏观上性质及外型不同2.固体分为晶体、非晶体和准晶体，它们在微观上分别觉有什么特点？ 晶体的宏观特性有哪些？晶体有哪些分类？晶体长程有序，非晶体短程有序，准晶体具有长程取向性，没有长程的平移对称性；晶体宏观特性：自限性，解理性，晶面角守恒，晶体各向异性，均匀性，对称性，以及固定的熔点；晶体主要可以按晶胞、对称性、功能以及结合方式进行分类。
原胞是一个晶格中最小的重复单元，体积最小，格点只在顶角上，面上和内部不含格点。
晶胞体积不一定最小，格点不仅在顶角上，还可以在内部或面心上。
3.简单晶格与复式晶格的区别？简单晶格的晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同； 复式晶格的晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，这些网格的相对位移形成复式晶格。
4.假设体心立方边长是a,格点上的小球半径为R ，求体心立方致密度。
1=81=28N ⨯+ 单胞中原子所占体积为33148=33V N R R ππ⋅=4R = 体心立方体体积为32V a =致密度为3312423=8V V aπρ⎫⨯⎪⎝⎭== 5.晶面的密勒指数为什么可用晶面的截距的倒数值的比值来表征（把基矢看做单位矢量），提示：晶面一般用面的法线来表示，法线又可以用法线与轴的夹角的余弦来表示。
晶面的法线方向与三个坐标轴的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
6.简立方[110]等效晶向有几个,表示成什么？110随机排列，任意取负，共12种，表示为<110>。
7.倒格子矢量Kh=h1b1+h2b2+h3b3 的大小，方向和意义(矢量Kh 这里h 为下标，h1, b1, h2, b2, h3, b3里的数字均为下标，b1, b2, b3 为倒格子原胞基矢)，提示：从倒格子性质中找答案。
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。
第一章作业1：1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。
2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。
非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。
3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。
有那些单质晶体分别属于以上三类。
答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。
常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。
面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。
常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。
六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。
常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。
4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。
答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。
高等固体物理作业题 目: 马德隆常数的计算方法及实例计算 学生姓名： 学 院：理学院 专 业：物理电子学 指导教师:2013 年 12 月 7日学校代码：10128 学 号：摘要在固体物理学中，当计算离子晶体的结合能、晶格能、表面能等时，需知道马德隆常数的值，该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数，是晶体结构的一个重要的特征参数，为一无量纲的数，只取决于晶体结构，在离子晶体的研究中占有重要的地位。
本文概述了晶体马德隆常数的几种计算方法及其使用范围，并举例简述了一维离子链，二维正方离子格子，以及三维Nacl离子晶体实例的马德隆常数的计算方法。
关键词：离子晶体；马德隆常数；计算方法；实例AbstractIn solid state physics, when calculate the combined energy, attice energy, surface energy, etc. of the ionic crystals, we need to know the Madelung constant value, which is generally determined by experiment. Madelung constant is used to describe structure of ionic crystal. Madelung constant is an important feature of the crystal structure parameters. Madelung constant is a dimensionless number that only depends on the crystal structure, and plays an important role in the study of ionic crystals. This article outlines several crystal Madelung constant calculation methods and its scope of application, and an example calculation methods outlined Madelung constant one-dimensional ion chains, two-dimensional square lattice ions, as well as three-dimensional Nacl ionic crystals instance.Keywords: ionic crystals; Madelung constant; calculation methods; examples目录引言 (1)1 晶体马德隆常数的几种计算方法 (2)1.1 定义法 (2)1.2 Evjen晶胞法 (2)1.3 计算晶格静电能法 (3)1.4 小结 (4)2 马德隆常数的实例计算 (5)2.1 一维离子链的马德隆常数计算 (5)2.2 二维正方离子格子的马德隆常数计算 (6)2.3 三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算 (7)参考文献 (10)引 言马德隆(Madelung)常数α是晶体结构中的一个重要的特征参数，是描述粒子晶体结构的常数。
马德隆常数计算公式
马德隆常数是一种重要的数学常数，常用于计算圆周率π的近似值。
这个常数由英国数学家约翰·马德隆（John Madelaune）于1706年推导出来，因此得名。
马德隆常数的计算公式相对简单，可以通过以下式子得出：M = ∑(4/((2n-1)(2n+1))), 其中n从1开始递增，一直累加到无穷大为止。
通过这个公式，我们可以逼近得到π的值。
然而，马德隆常数不同于其他常数的地方在于它的收敛速度非常缓慢。
换句话说，要通过计算马德隆常数来得到π的精确值，需要进行无数次的累加运算。
这使得计算过程非常繁琐，甚至对于现代计算机而言也是一个巨大的挑战。
尽管马德隆常数在计算圆周率方面的应用存在一定的困难，但它在数值计算和近似计算领域仍然有着重要的意义。
它可以作为一种近似计算π的方法，尤其适用于没有高精度计算设备的时代。
在缺乏现代计算工具的情况下，数学家们通过手工计算马德隆常数，得到了种种与π相关的近似值，为后来的研究和计算提供了重要的基础。
此外，马德隆常数还引发了数学上的一些有趣问题和研究方向。
例如，我们可以探究该常数的收敛速度，研究如何加速计算马德隆常数以及优化近似π的方法等等。
这些问题激发了众多数学家的兴趣，并催生了一系列关于马德隆常数的研究成果。
总而言之，马德隆常数是一个重要而有趣的数学常数，虽然计算过程繁琐但在近似计算π和数值计算中仍然有一定的应用价值。
它不仅是对历史上数学家们智慧的体现，也激发了更多关于近似计算和数值分析的研究。
关于《一维圆环上双原子链的马德隆常数》的解析解陈贝;罗强;韩玖荣【摘要】在《大学物理》2015年第2期刊登的题为《一维圆环上双原子链的马德隆常数》一文的基础上,给出了针对原文中式(4)、式(11)和式(15)对应的解析形式,指出了原文中一个双伽马函数恒等式(8)的失误,同时也提出了二聚化情形下马德隆常数新的定义方式.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】3页(P50-52)【关键词】马德隆常数;双原子链;解析解【作者】陈贝;罗强;韩玖荣【作者单位】扬州大学物理科学与技术学院,江苏扬州 225002;中国人民大学物理系,北京 100872;扬州大学物理科学与技术学院,江苏扬州 225002【正文语种】中文【中图分类】O481由于马德隆常数能反映晶体的静电势特征，对研究晶体结构提供很大的便利，所以从它被提出伊始便一直成为人们关注的焦点.马德隆常数的级数表示往往是条件收敛的，因此如何精确得到它的精确解并非是一件平淡无奇的事情.在过去的一个世纪里研究者们致力于不同空间维度（如一维、二维等）不同晶体结构（如NaCl、CsCl等）下马德隆常数计算方法的研究［1］.物理学中很多重要的物理量在一维（甚至只有一维）情况下是存在严格解的.量子力学中一维无限深方势阱、谐振子问题的能级和波函数在薛定谔（Schroedinger）方程下是精确可解的［2］，统计物理中一维外场下经典伊辛（Ising）模型的配分函数可以由转移矩阵的方法给出［3］，强关联物理中一维海森伯（Heisenberg）模型的基态能等可以通过Bethe方案解析地计算得到［4］.马德隆常数亦是如此.在《大学物理》最近刊登的一篇题为《一维圆环上双原子链的马德隆常数》的文章里［5］，其作者在计算一维马德隆（Madelung）常数上颇有新意，该文将一维链首尾相连组成一个圆环，据此给出了一维圆环上正负交替分布的离子晶体的马德隆常数的表达式，以及二聚化后的马德隆常数表达式.对于前者该文通过外推得知当原胞个数N趋于无穷时圆环上的马德隆常数趋于2ln2，并由此衍生出两个与双伽马函数ψ有关的恒等式；对于后者该文计算了某些特定取值下直线链和圆环上的马德隆常数，数值结果表明两者在5位有效数字精度内相等.作为一种非常重要的补充，解析解往往能使得物理问题更加具有数学上的结构美.因此在《一维圆环上双原子链的马德隆常数》一文的基础上，本文给出了原文中式（4）、式（11）和式（15），分别对应于本文式（1）、式（4）和式（9）的解析形式.对于一维无限长NaCl型离子晶体链，其马德隆常数.而对于圆环上的情形，马德隆常数为［5］文献［5］利用正弦函数的级数形式并没有使式（1）得到简化，而采用积分等式［6，7］并运用几何级数的求和法则和控制收敛定理，可知由此可知圆环上的马德隆常数和直线链上的马德隆常数在链长无限大时确实一致. 在正负离子二聚化情形下，离子晶体的马德隆常数通过表征二聚化程度的参数λ来调节.原文作者证明［1］，在直线链情况下，马德隆常数可以表示成利用双伽马函数ψ的级数表达式［6］式中γ=0.577…表示欧拉（Euler）常数，可知又由双伽马函数ψ的递推公式［6］可得直线链下的马德隆常数而在圆环下，马德隆常数可以表示成［5］利用式（2），并运用同计算式（1）完全相同的方法可知利用双伽马函数ψ的积分表示［6］立即得到马德隆常数显然，式（8）和式（12）告诉我们，在一维二聚化情形下，直线链上和圆环上的马德隆常数确实一致，其函数图像如图1虚线所示.特别地，当λ=1/2时，α1/2=2ln2，这回归到一维NaCl型马德隆常数的情形.在计算圆环上的马德隆常数时，原文作者通过数值结果猜测出两个双伽马函数ψ恒等式，但原文式（8）存在一些笔误，应该纠正为在正负离子二聚化情形下会存在正负离子间距不相等这一情况，原文作者给出的晶格能是以“短键长”（2λa和2μa分别表示链上和圆环上短键的长度）为长度尺寸的，其余无量纲常数则作为马德隆常数的定义.实际上，马德隆常数代表的是离子晶体晶格能中各离子间库仑能的总和，其大小要与晶体的几何构型，如维度、配位数等一致，因此其定义式要尽可能地囊括所有的结构参数以利于晶体能的计算［8，9］.不难验证，在二聚化情形下晶格能具有对称性Uλ=U1-λ（0＜λ＜1），而原作者给出的马德隆常数αλ显然不具备这种对称性.此外，作者给出的晶格能中包含了“键长”（原文定义式的分母2λa和2μa分别表示链上和圆环上短键的长度）的概念，而在圆环上短键和长键之和并不等于原胞间距，此时“键长”并非是一个直观的物理量.因此，为了体现晶格能具有的对称性同时也为了计算的方便，我们建议把库仑势分母上的二聚化参数λ吸收到马德隆常数的定义中.我们给出的修正方案是式中二聚化参数λ定义为原胞内正负离子间距与原胞间距的比值（链情形），或者原胞内正负离子间夹角与原胞间夹角的比值（圆环情形）.修正后的马德隆常数如图1实线所示.此时，链上和圆环上的晶格能可以统一地写成，形式上更加简洁明了，功效上一旦给定马德隆常数则不需要额外的数学处理就可以立即知道晶格能的大小.综上所述，本文完善了徐宝等人给出圆环上马德隆常数式（4）以及二聚化情形下马德隆常数式式（11）和式（15）的解析形式，同时也提出了二聚化情形下马德隆常数新的定义以便修正后的马德隆常数更能全面反映晶体静电势的对称性特征. 后记：在本文审稿期间，我们发现邱为钢老师也做了类似工作［10］.【相关文献】［1］Borwein D，Borwein J M，Taylor K F.Convergence of lattice sums and Madelung’s constant［J］.Journal of Mathematical Physics，1985，26（11）：2999-3009.［2］周世勋.量子力学教程［M］.2版.高等教育出版社，2009：26-34.［3］杨展如.量子统计物理学［M］.高等教育出版社，2007：147-150.［4］Sutherland B.Beautiful models：70 years of exactly solved quantum many-body problems［M］.World Scientific Publishing Co Ptc Ltd，2004：143-161.［5］徐宝，吴洪业，赵建军，等.一维圆环上双原子链的马德隆常数［J］.大学物理，2015，34（2）：41-42.［6］王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论［M］.北京：北京大学出版社，2012：69-83.［7］梁昆淼.数学物理方法［M］.刘法、廖国庆，修订.4版.北京：高等教育出版社，2010：64. ［8］黄昆.固体物理学［M］.北京：北京大学出版社，2009：37-41.［9］Pereira P C N，Apolinario S W S.Madelung energy of Yukawa lattices［J］.Physical Review E，2012，86（4）：046702.［10］邱为钢.无穷求和与渐进展开［J］.大学物理，2015，34（10）：23-24.。
一维准晶马德隆常数刘玉鑫(渭南师范学院 物理与电气工程学院 物理学 2010级1班）摘 要：回顾准晶体的发展应用，了解准晶的发展前景，简述准晶结构的的特征，物理性质，介绍马德隆常数及其重要意义和基本计算方法，介绍两种斐波那契类准晶结构的计算方法，通过构建一维准晶结构模型计算斐波那契类准晶结构的马德隆常数，从而对准晶体及其重要性有基本的认识，加深对马德隆常数的进一步理解应用。
关键词：一维准晶体结构特征；马德隆常数；斐波那契类；点阵模型随着人们对准晶结构的认识越来越深入，准晶的重要价值也在被人们更多的发展应用，而马德隆常数作为晶体结构的重要特征参数，利用马德隆常数可计算晶体表面能和晶格能、结合能等重要物理量，尽管现今未发现属于离子晶体的准晶体材料，但准晶体材料大部分由金属合金组成而金属键中含有离子键成份，因此本文在介绍准晶结构的基础上对一维准晶的马德隆常数进行计算。
从而对准晶材料有更好的认识，并为准晶材料的利用提供参考价值。
1 准晶及其结构特征1.1 什么是准晶准晶也就是准周期晶体［1～2］。
它是由以色列科学家谢切曼等人在1984年第一次发现的一种介于晶体与非晶体之间的特殊固态物质结构。
是一种即在长程准周期上有序，又具有非晶体学旋转对称性的固态的有序物态相，它是一种最新发现的固态结构。
1.2 准晶体物质的物理特征准晶体材料物质由于其在就结构方面的特殊性，使得其具有晶体所没有的一些性质。
1.2.1 传输特性在准晶物质已知的所有的物理性能中，它的电子传输特性是最特殊和最重要的[1]。
它主要体现在以下三个方面：导电性：(1）相较于普通的金属间化合物，热力学稳定的准晶物质的电阻率要高出许多。
例如准晶相Li Cu Al --，它全部是由非过渡元素族组成的，当在液氦温度时，它的的电阻率为 900 cm Ωμ。
相较于准晶相(含有过渡元素族），它的电阻率就更高了。
例如Ru Cu Al --准晶在同样温度下电阻率是1000 ~30000cm μ，Fe Cu Al --准晶体是 1300~11000 cm Ωμ ，Mn Pd Al -- 则为1000 ～9500cm Ωμ。
