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1.稻草、石墨烯和金刚石是一种元素组成的吗？为何存在外型和性能方面存在很大差异？同为碳元素，从微观角度来说碳元素的排列不同决定了宏观上性质及外型不同2.固体分为晶体、非晶体和准晶体，它们在微观上分别觉有什么特点？ 晶体的宏观特性有哪些？晶体有哪些分类？晶体长程有序，非晶体短程有序，准晶体具有长程取向性，没有长程的平移对称性；晶体宏观特性：自限性，解理性，晶面角守恒，晶体各向异性，均匀性，对称性，以及固定的熔点；晶体主要可以按晶胞、对称性、功能以及结合方式进行分类。
原胞是一个晶格中最小的重复单元，体积最小，格点只在顶角上，面上和内部不含格点。
晶胞体积不一定最小，格点不仅在顶角上，还可以在内部或面心上。
3.简单晶格与复式晶格的区别？简单晶格的晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同； 复式晶格的晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，这些网格的相对位移形成复式晶格。
4.假设体心立方边长是a,格点上的小球半径为R ，求体心立方致密度。
1=81=28N ⨯+ 单胞中原子所占体积为33148=33V N R R ππ⋅=4R = 体心立方体体积为32V a =致密度为3312423=8V V aπρ⎫⨯⎪⎝⎭== 5.晶面的密勒指数为什么可用晶面的截距的倒数值的比值来表征（把基矢看做单位矢量），提示：晶面一般用面的法线来表示，法线又可以用法线与轴的夹角的余弦来表示。
晶面的法线方向与三个坐标轴的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
6.简立方[110]等效晶向有几个,表示成什么？110随机排列，任意取负，共12种，表示为<110>。
7.倒格子矢量Kh=h1b1+h2b2+h3b3 的大小，方向和意义(矢量Kh 这里h 为下标，h1, b1, h2, b2, h3, b3里的数字均为下标，b1, b2, b3 为倒格子原胞基矢)，提示：从倒格子性质中找答案。
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。
第一章作业1：1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。
2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。
非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。
3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。
有那些单质晶体分别属于以上三类。
答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。
常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。
面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。
常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。
六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。
常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。
4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。
答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。
高等固体物理作业题 目: 马德隆常数的计算方法及实例计算 学生姓名： 学 院：理学院 专 业：物理电子学 指导教师:2013 年 12 月 7日学校代码：10128 学 号：摘要在固体物理学中，当计算离子晶体的结合能、晶格能、表面能等时，需知道马德隆常数的值，该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数，是晶体结构的一个重要的特征参数，为一无量纲的数，只取决于晶体结构，在离子晶体的研究中占有重要的地位。
本文概述了晶体马德隆常数的几种计算方法及其使用范围，并举例简述了一维离子链，二维正方离子格子，以及三维Nacl离子晶体实例的马德隆常数的计算方法。
关键词：离子晶体；马德隆常数；计算方法；实例AbstractIn solid state physics, when calculate the combined energy, attice energy, surface energy, etc. of the ionic crystals, we need to know the Madelung constant value, which is generally determined by experiment. Madelung constant is used to describe structure of ionic crystal. Madelung constant is an important feature of the crystal structure parameters. Madelung constant is a dimensionless number that only depends on the crystal structure, and plays an important role in the study of ionic crystals. This article outlines several crystal Madelung constant calculation methods and its scope of application, and an example calculation methods outlined Madelung constant one-dimensional ion chains, two-dimensional square lattice ions, as well as three-dimensional Nacl ionic crystals instance.Keywords: ionic crystals; Madelung constant; calculation methods; examples目录引言 (1)1 晶体马德隆常数的几种计算方法 (2)1.1 定义法 (2)1.2 Evjen晶胞法 (2)1.3 计算晶格静电能法 (3)1.4 小结 (4)2 马德隆常数的实例计算 (5)2.1 一维离子链的马德隆常数计算 (5)2.2 二维正方离子格子的马德隆常数计算 (6)2.3 三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算 (7)参考文献 (10)引 言马德隆(Madelung)常数α是晶体结构中的一个重要的特征参数，是描述粒子晶体结构的常数。
马德隆常数计算公式
马德隆常数是一种重要的数学常数，常用于计算圆周率π的近似值。
这个常数由英国数学家约翰·马德隆（John Madelaune）于1706年推导出来，因此得名。
马德隆常数的计算公式相对简单，可以通过以下式子得出：M = ∑(4/((2n-1)(2n+1))), 其中n从1开始递增，一直累加到无穷大为止。
通过这个公式，我们可以逼近得到π的值。
然而，马德隆常数不同于其他常数的地方在于它的收敛速度非常缓慢。
换句话说，要通过计算马德隆常数来得到π的精确值，需要进行无数次的累加运算。
这使得计算过程非常繁琐，甚至对于现代计算机而言也是一个巨大的挑战。
尽管马德隆常数在计算圆周率方面的应用存在一定的困难，但它在数值计算和近似计算领域仍然有着重要的意义。
它可以作为一种近似计算π的方法，尤其适用于没有高精度计算设备的时代。
在缺乏现代计算工具的情况下，数学家们通过手工计算马德隆常数，得到了种种与π相关的近似值，为后来的研究和计算提供了重要的基础。
此外，马德隆常数还引发了数学上的一些有趣问题和研究方向。
例如，我们可以探究该常数的收敛速度，研究如何加速计算马德隆常数以及优化近似π的方法等等。
这些问题激发了众多数学家的兴趣，并催生了一系列关于马德隆常数的研究成果。
总而言之，马德隆常数是一个重要而有趣的数学常数，虽然计算过程繁琐但在近似计算π和数值计算中仍然有一定的应用价值。
它不仅是对历史上数学家们智慧的体现，也激发了更多关于近似计算和数值分析的研究。
关于《一维圆环上双原子链的马德隆常数》的解析解陈贝;罗强;韩玖荣【摘要】在《大学物理》2015年第2期刊登的题为《一维圆环上双原子链的马德隆常数》一文的基础上,给出了针对原文中式(4)、式(11)和式(15)对应的解析形式,指出了原文中一个双伽马函数恒等式(8)的失误,同时也提出了二聚化情形下马德隆常数新的定义方式.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】3页(P50-52)【关键词】马德隆常数;双原子链;解析解【作者】陈贝;罗强;韩玖荣【作者单位】扬州大学物理科学与技术学院,江苏扬州 225002;中国人民大学物理系,北京 100872;扬州大学物理科学与技术学院,江苏扬州 225002【正文语种】中文【中图分类】O481由于马德隆常数能反映晶体的静电势特征，对研究晶体结构提供很大的便利，所以从它被提出伊始便一直成为人们关注的焦点.马德隆常数的级数表示往往是条件收敛的，因此如何精确得到它的精确解并非是一件平淡无奇的事情.在过去的一个世纪里研究者们致力于不同空间维度（如一维、二维等）不同晶体结构（如NaCl、CsCl等）下马德隆常数计算方法的研究［1］.物理学中很多重要的物理量在一维（甚至只有一维）情况下是存在严格解的.量子力学中一维无限深方势阱、谐振子问题的能级和波函数在薛定谔（Schroedinger）方程下是精确可解的［2］，统计物理中一维外场下经典伊辛（Ising）模型的配分函数可以由转移矩阵的方法给出［3］，强关联物理中一维海森伯（Heisenberg）模型的基态能等可以通过Bethe方案解析地计算得到［4］.马德隆常数亦是如此.在《大学物理》最近刊登的一篇题为《一维圆环上双原子链的马德隆常数》的文章里［5］，其作者在计算一维马德隆（Madelung）常数上颇有新意，该文将一维链首尾相连组成一个圆环，据此给出了一维圆环上正负交替分布的离子晶体的马德隆常数的表达式，以及二聚化后的马德隆常数表达式.对于前者该文通过外推得知当原胞个数N趋于无穷时圆环上的马德隆常数趋于2ln2，并由此衍生出两个与双伽马函数ψ有关的恒等式；对于后者该文计算了某些特定取值下直线链和圆环上的马德隆常数，数值结果表明两者在5位有效数字精度内相等.作为一种非常重要的补充，解析解往往能使得物理问题更加具有数学上的结构美.因此在《一维圆环上双原子链的马德隆常数》一文的基础上，本文给出了原文中式（4）、式（11）和式（15），分别对应于本文式（1）、式（4）和式（9）的解析形式.对于一维无限长NaCl型离子晶体链，其马德隆常数.而对于圆环上的情形，马德隆常数为［5］文献［5］利用正弦函数的级数形式并没有使式（1）得到简化，而采用积分等式［6，7］并运用几何级数的求和法则和控制收敛定理，可知由此可知圆环上的马德隆常数和直线链上的马德隆常数在链长无限大时确实一致. 在正负离子二聚化情形下，离子晶体的马德隆常数通过表征二聚化程度的参数λ来调节.原文作者证明［1］，在直线链情况下，马德隆常数可以表示成利用双伽马函数ψ的级数表达式［6］式中γ=0.577…表示欧拉（Euler）常数，可知又由双伽马函数ψ的递推公式［6］可得直线链下的马德隆常数而在圆环下，马德隆常数可以表示成［5］利用式（2），并运用同计算式（1）完全相同的方法可知利用双伽马函数ψ的积分表示［6］立即得到马德隆常数显然，式（8）和式（12）告诉我们，在一维二聚化情形下，直线链上和圆环上的马德隆常数确实一致，其函数图像如图1虚线所示.特别地，当λ=1/2时，α1/2=2ln2，这回归到一维NaCl型马德隆常数的情形.在计算圆环上的马德隆常数时，原文作者通过数值结果猜测出两个双伽马函数ψ恒等式，但原文式（8）存在一些笔误，应该纠正为在正负离子二聚化情形下会存在正负离子间距不相等这一情况，原文作者给出的晶格能是以“短键长”（2λa和2μa分别表示链上和圆环上短键的长度）为长度尺寸的，其余无量纲常数则作为马德隆常数的定义.实际上，马德隆常数代表的是离子晶体晶格能中各离子间库仑能的总和，其大小要与晶体的几何构型，如维度、配位数等一致，因此其定义式要尽可能地囊括所有的结构参数以利于晶体能的计算［8，9］.不难验证，在二聚化情形下晶格能具有对称性Uλ=U1-λ（0＜λ＜1），而原作者给出的马德隆常数αλ显然不具备这种对称性.此外，作者给出的晶格能中包含了“键长”（原文定义式的分母2λa和2μa分别表示链上和圆环上短键的长度）的概念，而在圆环上短键和长键之和并不等于原胞间距，此时“键长”并非是一个直观的物理量.因此，为了体现晶格能具有的对称性同时也为了计算的方便，我们建议把库仑势分母上的二聚化参数λ吸收到马德隆常数的定义中.我们给出的修正方案是式中二聚化参数λ定义为原胞内正负离子间距与原胞间距的比值（链情形），或者原胞内正负离子间夹角与原胞间夹角的比值（圆环情形）.修正后的马德隆常数如图1实线所示.此时，链上和圆环上的晶格能可以统一地写成，形式上更加简洁明了，功效上一旦给定马德隆常数则不需要额外的数学处理就可以立即知道晶格能的大小.综上所述，本文完善了徐宝等人给出圆环上马德隆常数式（4）以及二聚化情形下马德隆常数式式（11）和式（15）的解析形式，同时也提出了二聚化情形下马德隆常数新的定义以便修正后的马德隆常数更能全面反映晶体静电势的对称性特征. 后记：在本文审稿期间，我们发现邱为钢老师也做了类似工作［10］.【相关文献】［1］Borwein D，Borwein J M，Taylor K F.Convergence of lattice sums and Madelung’s constant［J］.Journal of Mathematical Physics，1985，26（11）：2999-3009.［2］周世勋.量子力学教程［M］.2版.高等教育出版社，2009：26-34.［3］杨展如.量子统计物理学［M］.高等教育出版社，2007：147-150.［4］Sutherland B.Beautiful models：70 years of exactly solved quantum many-body problems［M］.World Scientific Publishing Co Ptc Ltd，2004：143-161.［5］徐宝，吴洪业，赵建军，等.一维圆环上双原子链的马德隆常数［J］.大学物理，2015，34（2）：41-42.［6］王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论［M］.北京：北京大学出版社，2012：69-83.［7］梁昆淼.数学物理方法［M］.刘法、廖国庆，修订.4版.北京：高等教育出版社，2010：64. ［8］黄昆.固体物理学［M］.北京：北京大学出版社，2009：37-41.［9］Pereira P C N，Apolinario S W S.Madelung energy of Yukawa lattices［J］.Physical Review E，2012，86（4）：046702.［10］邱为钢.无穷求和与渐进展开［J］.大学物理，2015，34（10）：23-24.。
一维准晶马德隆常数刘玉鑫(渭南师范学院 物理与电气工程学院 物理学 2010级1班）摘 要：回顾准晶体的发展应用，了解准晶的发展前景，简述准晶结构的的特征，物理性质，介绍马德隆常数及其重要意义和基本计算方法，介绍两种斐波那契类准晶结构的计算方法，通过构建一维准晶结构模型计算斐波那契类准晶结构的马德隆常数，从而对准晶体及其重要性有基本的认识，加深对马德隆常数的进一步理解应用。
关键词：一维准晶体结构特征；马德隆常数；斐波那契类；点阵模型随着人们对准晶结构的认识越来越深入，准晶的重要价值也在被人们更多的发展应用，而马德隆常数作为晶体结构的重要特征参数，利用马德隆常数可计算晶体表面能和晶格能、结合能等重要物理量，尽管现今未发现属于离子晶体的准晶体材料，但准晶体材料大部分由金属合金组成而金属键中含有离子键成份，因此本文在介绍准晶结构的基础上对一维准晶的马德隆常数进行计算。
从而对准晶材料有更好的认识，并为准晶材料的利用提供参考价值。
1 准晶及其结构特征1.1 什么是准晶准晶也就是准周期晶体［1～2］。
它是由以色列科学家谢切曼等人在1984年第一次发现的一种介于晶体与非晶体之间的特殊固态物质结构。
是一种即在长程准周期上有序，又具有非晶体学旋转对称性的固态的有序物态相，它是一种最新发现的固态结构。
1.2 准晶体物质的物理特征准晶体材料物质由于其在就结构方面的特殊性，使得其具有晶体所没有的一些性质。
1.2.1 传输特性在准晶物质已知的所有的物理性能中，它的电子传输特性是最特殊和最重要的[1]。
它主要体现在以下三个方面：导电性：(1）相较于普通的金属间化合物，热力学稳定的准晶物质的电阻率要高出许多。
例如准晶相Li Cu Al --，它全部是由非过渡元素族组成的，当在液氦温度时，它的的电阻率为 900 cm Ωμ。
相较于准晶相(含有过渡元素族），它的电阻率就更高了。
例如Ru Cu Al --准晶在同样温度下电阻率是1000 ~30000cm μ，Fe Cu Al --准晶体是 1300~11000 cm Ωμ ，Mn Pd Al -- 则为1000 ～9500cm Ωμ。
二维三角离子晶体马德隆常数的计算在计算二维三角离子晶体马德隆常数时，首先需要了解马德隆常数的概念。
马德隆常数是二维晶格的一个重要物理性质，它描述了二维晶体的刚性和弹性特性。
马德隆常数可以通过实验测量得到，也可以通过理论计算得到。
在这篇文章中，我们将深入探讨二维三角离子晶体马德隆常数的计算方法和意义。
1. 二维三角离子晶体的结构特点1.1 二维三角离子晶体的晶格结构二维三角离子晶体是由正负电荷离子组成的晶格结构，其晶格平面的排列呈现出三角形的几何形状。
在晶格结构中，正负电荷离子相互排列，形成一定的周期性和对称性。
1.2 二维三角离子晶体的物理性质二维三角离子晶体具有独特的物理性质，包括机械性能、光学性能以及电学性能等。
这些物理性质与晶格结构密切相关，同时也与马德隆常数有着内在的联系。
2. 马德隆常数的物理意义2.1 马德隆常数的定义马德隆常数是描述晶体的弹性特性的物理参数，它反映了晶体在受到应力作用时的形变程度。
对于二维三角离子晶体来说，马德隆常数是衡量其弹性变形能力的重要参数。
2.2 马德隆常数的意义马德隆常数的大小和数值表达了晶体对应力的敏感程度和应变的程度，它直接影响着晶体的力学性能和稳定性。
通过计算二维三角离子晶体的马德隆常数，可以深入理解其力学和弹性特性。
3. 二维三角离子晶体马德隆常数的计算方法3.1 理论计算方法通过理论模型和密度泛函理论等方法，可以对二维三角离子晶体的晶格结构进行建模，并通过量子力学计算得到马德隆常数的理论数值。
3.2 实验测量方法利用X射线衍射、红外光谱等实验方法，可以测量二维三角离子晶体在受力作用下的晶体结构变化，从而得到马德隆常数的实验数值。
4. 我对二维三角离子晶体马德隆常数的个人观点和理解在我看来，二维三角离子晶体马德隆常数的计算不仅是对其物理性质的深入探究，更是对纳米材料力学性能的理解和探索。
通过对马德隆常数的计算和分析，可以为纳米材料的设计和应用提供重要参考。
二维ＮａＣｌ晶体马德隆常数计算刘策军（华南农业大学基础课部广州５１０６４２）摘要通过计算机运算，给出二维ＮａＣｌ晶体马德隆常数的计算结果．关键词二维ＮａＣｌ晶体；马德隆常数分类号Ｏ４８１引言晶体结合问题中，要涉及离子晶体结合能概念．在离子晶体结合能计算中，马德隆常数（ＭａｄｅｌｕｎｇＣｏｎ－ｓｔａｎｔ）α是一个重要物理量．最典型的离子晶体是ＮａＣｌ型晶体，其马德隆常数的定义是￣［１－４］上式中取第ｉ个离子为参考离子，Ｎ为正负离子总数，求和时与参考离子同号的取负号，异号的离子取正号．α＿ｊ是以最近邻离子间距为单位的第ｊ个离子距参考离子的距离；α值完全由晶体结构所决定．本文在对一维和三维ＮａＣｌ晶体马德隆常数研究结果的基础上，分析给出二维情况下ＮａＣｌ晶体（１）式求和的计算表达式，然后给出由计算机算出的结果，最后与一维和三维情况的α值进行比较．２二锥ＮａＣｌ晶体α计算求和表达式为解决（１）式求和收敛的问题，历史上曾发展了几种有效的计算α的方法．本文采用一种比较简单而直观的方法￣［２，３］．设想把晶体分成许多大的晶胞，平均每个晶胞所含正、负离子数相同，整个晶胞保。
《固体物理》马德隆常数得计算学院：物理学院学号：20１1０12６43姓名：刘娴雅马德隆常数得计算摘要:通过分析马德隆常数得三种计算方法与其相应得使用范围，得出不同晶体结构下相应得计算方法与使用范围、关键字：马德隆常数离子晶体在固体物理学中，当计算离子晶体得结合能时，需知道马德隆常数得值, 因此,马德隆常数在离子晶体得理论研究与科学实验中占有十分重要得地位、该值一般由实验确定.马德隆常数就是描述离子晶体结构得常数，其定义公式为：n1、n2、n3为离子晶体中任一离子相对于中心离子得坐标，∑为求与遍及晶体中所有离子。
由于离子晶体为数目巨大得多粒子系统,因此马德隆常数一般情况下由实验确定。
离子晶体结合得性质比较简单，在近代微观理论发展初期，计算离子晶体得结合能获得很好得结果，对于验证理论起到了重要作用,所用得方法与概念在处理许多问题中还常用到、以NaCl为例，由于Ｎa+与Cl-都就是满壳层得结构,具有球对称性,考虑库仑作用时，可以瞧做点电荷、先考虑一个正离子得平均库仑能、如果令r表示相邻离子得距离，该能量可表示为（1）如果以所考虑得正离子为原点, 可以表示其她各离子所占格点得距离，并且对于所有负离子格点，ｎ１＋n2＋n3＝奇数，所有正离子格点，ｎ１＋ｎ２+ｎ３＝偶数、考虑到正负离子电荷得差别，引入因子(—１)n１＋n2＋n3，一个原胞得能量为(2）(３）α为一无量纲得数,完全决定于晶体结构，称之为马德隆常数、在具体计算中发现，求与时既有正项，又有负项，如果逐项相加，并不能得到收敛得结果、对于一维情况，其级数求与很容易计算,如两种一价离子组成得一维晶格得马德隆常数，利用定义很容易计算出α=2ln2,但对于三维情况，其级数收敛很慢、１91８年Mａｄelｕnｇ首先计算这种级数与，她先将晶体中点阵视为一系列中性平面点阵组成即该平面内点阵由一系列中性直线点阵组成，其上正负电荷相等且按格点周期分布、由此将电势展开成傅里叶级数并用了享克尔函数（Hankｅｌｆunct ｉon)，进而求出马德隆常数、这种方法对于计算像氯化钠那样简单得离子晶体取得了成功、但对大多数离子晶体而言并不适用。
固体物理》马德隆常数的计算学院：物理学院学号：2011012643 姓名：刘娴雅马德隆常数的计算摘要： 通过分析马德隆常数的三种计算方法和其相应的使用范围 , 得出不同晶 体结构下相应的计算方法和使用范围 .关键字： 马德隆常数 离子晶体在固体物理学中 ,当计算离子晶体的结合能时 , 需知道马德隆常数的值 , 因 此,马德隆常数在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位 . 该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数 , 其定义公式为 :n1 、n2、 n3 为离子晶体中任一离子相对于中心离子的坐标 , ∑为求和遍及晶体中所有离 子。
由于离子晶体为数目巨大的多粒子系统 , 因此马德隆常数一般情况下由实验 确定。
1n 1 n 2 n 3n 1n 2n 3n 1 2n 22n 32离子晶体结合的性质比较简单 , 在近代微观理论发展初期，计算离子晶体的 结合能获得很好的结果 ,对于验证理论起到了重要作用 , 所用的方法和概念在处 理许多问题中还常用到 . 以NaCl 为例, 由于Na+和 Cl -都是满壳层的结构 ,具有球对 称性, 考虑库仑作用时 ,可以看做点电荷 . 先考虑一个正离子的平均库仑能 .如果 令 r 表示相邻离子的距离 , 该能量可表示为离子所占格点的距离 , 并且对于所有负离子格点， n1+n2+n3=奇数, 所有正离子格 点，n1+n2+n3=偶数. 考虑到正负离子电荷的差别 , 引入因子 (-1)n1+n2+n3,一个原胞的 能量为 α为一无量纲的数 , 完全决定于晶体结构 , 称之为马德隆常数 . 在2 n 1n 2n34 02 n 1 n 2 n3 q 2 1 1 2 322 n 1r 222 n 2r22n 2r1)如果以所考虑的正离子为原点 , (n 1 2n 21n 32r 2)2可以表示其他各 2 q 21n 1 n 2 n 32 q240rn 1n 2n 3 (n 12r 2 n 22r 2n 32r 2)4 0r2)3)n31n 1n2具体计算中发现,求和时既有正项,又有负项,如果逐项相加,并不能得到收敛的结果.对于一维情况,其级数求和很容易计算, 如两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数, 利用定义很容易计算出α =2ln2, 但对于三维情况, 其级数收敛很慢. 1918 年Madelung 首先计算这种级数和, 他先将晶体中点阵视为一系列中性平面点阵组成即该平面内点阵由一系列中性直线点阵组成, 其上正负电荷相等且按格点周期分布. 由此将电势展开成傅里叶级数并用了享克尔函数(Hankel function), 进而求出马德隆常数. 这种方法对于计算像氯化钠那样简单的离子晶体取得了成功. 但对大多数离子晶体而言并不适用。
马德隆常数公式马德隆常数是一个在晶体物理学中相当重要的概念，它主要用于描述离子晶体的静电相互作用能。
对于咱从小学一路读到高中的同学来说，这玩意儿可能有点复杂，但别担心，咱们慢慢捋捋。
先来说说马德隆常数的公式，它看起来是这样的：α = ∑(±)1 / r。
这里面的 r 表示的是离子之间的距离。
我记得有一次给学生讲这个公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这都是啥呀，感觉像外星语言。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们把它拆开一点点看。
”其实这个公式就是在计算一堆离子之间相互吸引或者排斥的能量大小。
想象一下，一堆小球挤在一起，每个小球都对其他小球有作用力，这个公式就是在算这些作用力加起来有多大。
比如说氯化钠晶体，钠离子和氯离子整齐地排列着。
我们用马德隆常数公式就能算出它们之间的静电能。
在学习这个公式的过程中，很多同学一开始都会觉得头疼。
但就像爬山一样，虽然过程辛苦，可一旦到了山顶，那风景真是美极了。
有个同学叫小李，他特别努力地想要搞懂这个公式。
每天课后都来找我问问题，拿着他密密麻麻写满了思考和疑问的本子。
我就一点一点给他解释，从最基本的概念开始，到怎么代入数值计算。
终于，有一天他兴奋地跑过来跟我说：“老师，我懂了！”那一刻，我从他的眼睛里看到了那种豁然开朗的光芒，真的特别欣慰。
对于咱们学习这个公式，关键是要多做练习题，多去感受不同晶体结构中这个公式的应用。
别害怕犯错，错了就改，改了就记住。
总之，马德隆常数公式虽然有点难，但只要咱们有耐心，有决心，就一定能把它拿下。
就像攻克一座堡垒，每前进一步都是胜利。
加油吧，同学们！相信你们都能在这个知识的海洋里畅游，找到属于自己的宝藏！。
马德隆常数
在一个晶体内，其中一个离子的总电势能，可表示为它与距离最近的另一个离子的电势能的倍，其中为两个离子的系统的电势能。
称为马德隆常数（Madelung constant），其值与晶体结构有关。
在固体离子化合物内，正离子和负离子互相吸引，将离子分开需要能量。
对于面心立方结构（如NaCl），M的值看来可用下面的级数计算：撇号表示的一项不在计算范围。
此级数为条件收敛，故求和顺序需特别注明。
常见的求和顺序有两种：1、以类球形的晶体来逼近。
2、以立方形的晶体来逼近。
