二位NaCl晶体马德隆常数的计算

二维三角离子晶体马德隆常数的计算一、概述二维三角离子晶体的研究在固体物理学领域具有重要意义，其中马德隆常数是一个关键的物理量。

马德隆常数是用来描述晶体中离子间相互作用的强度和类型的参数，对于研究晶体的热力学性质、电子结构和声学性能等方面都具有重要意义。

本文将对二维三角离子晶体马德隆常数的计算进行深入探讨，以期为读者提供有价值的信息。

二、二维三角离子晶体的结构和性质在二维三角离子晶体中，正负电荷的离子按照一定的规则排列在平面上，形成一种特殊的晶体结构。

这种结构具有较强的几何规则性和周期性，因此在研究中具有一定的优势。

二维三角离子晶体的性质受到离子间相互作用的影响很大，而马德隆常数则是描述这种相互作用的重要参数。

三、马德隆常数的定义和物理意义马德隆常数是由英国物理学家马德隆在20世纪初提出的，它是描述晶体中离子间相互作用的参数。

马德隆常数的大小和符号决定了晶体的稳定性和各种物理性质，因此在材料科学研究中具有重要意义。

对于二维三角离子晶体来说，计算马德隆常数可以帮助我们更好地理解晶体结构和性质。

四、马德隆常数的计算方法在实际研究中，计算马德隆常数通常需要借助于复杂的计算方法和理论模型。

一般来说，我们可以通过经典力学或量子力学的理论来建立晶格模型，并在此基础上进行数值计算。

对于二维三角离子晶体来说，由于结构的特殊性，计算方法可能会更加复杂和繁琐。

五、个人观点和理解在我看来，二维三角离子晶体马德隆常数的计算是一个具有挑战性但又具有重要意义的课题。

通过对马德隆常数的准确计算，我们可以更好地理解晶体的结构和性质，为材料科学研究提供重要的参考。

未来，我希望能够进一步深入研究这一课题，为相关领域的发展贡献自己的力量。

六、总结和回顾通过本文的阐述，我们对二维三角离子晶体马德隆常数的计算有了更深入的了解。

马德隆常数作为描述晶体中离子间相互作用的重要参数，对于研究晶体的性质具有重要意义。

未来，我们需要进一步深入研究这一领域，为材料科学的发展做出更大的贡献。

高等固体物理作业题 目: 马德隆常数的计算方法及实例计算 学生姓名： 学 院：理学院 专 业：物理电子学 指导教师:2013 年 12 月 7日学校代码：10128 学 号：摘要在固体物理学中，当计算离子晶体的结合能、晶格能、表面能等时，需知道马德隆常数的值，该值一般由实验确定。

马德隆常数是描述离子晶体结构的常数，是晶体结构的一个重要的特征参数，为一无量纲的数，只取决于晶体结构，在离子晶体的研究中占有重要的地位。

本文概述了晶体马德隆常数的几种计算方法及其使用范围，并举例简述了一维离子链，二维正方离子格子，以及三维Nacl离子晶体实例的马德隆常数的计算方法。

关键词：离子晶体；马德隆常数；计算方法；实例AbstractIn solid state physics, when calculate the combined energy, attice energy, surface energy, etc. of the ionic crystals, we need to know the Madelung constant value, which is generally determined by experiment. Madelung constant is used to describe structure of ionic crystal. Madelung constant is an important feature of the crystal structure parameters. Madelung constant is a dimensionless number that only depends on the crystal structure, and plays an important role in the study of ionic crystals. This article outlines several crystal Madelung constant calculation methods and its scope of application, and an example calculation methods outlined Madelung constant one-dimensional ion chains, two-dimensional square lattice ions, as well as three-dimensional Nacl ionic crystals instance.Keywords: ionic crystals; Madelung constant; calculation methods; examples目录引言 (1)1 晶体马德隆常数的几种计算方法 (2)1.1 定义法 (2)1.2 Evjen晶胞法 (2)1.3 计算晶格静电能法 (3)1.4 小结 (4)2 马德隆常数的实例计算 (5)2.1 一维离子链的马德隆常数计算 (5)2.2 二维正方离子格子的马德隆常数计算 (6)2.3 三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算 (7)参考文献 (10)引 言马德隆(Madelung)常数α是晶体结构中的一个重要的特征参数，是描述粒子晶体结构的常数。

晶体马德隆常数的几种计算方法
宋金璠;李书义
【期刊名称】《南阳师范学院学报》
【年(卷),期】2006(5)3
【摘要】通过分析马德隆常数的三种计算方法和其相应的使用范围,得出不同晶体结构下相应的计算方法和使用范围.
【总页数】3页(P32-34)
【作者】宋金璠;李书义
【作者单位】南阳师范学院,物理系,河南,南阳,473061;南阳师范学院,物理系,河南,南阳,473061
【正文语种】中文
【中图分类】O481
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1.二维NaCl晶体马德隆常数计算——双埃夫琴晶胞 [J], 唐为民
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二维NaCl晶体马德隆常数计算--双埃夫琴晶胞唐为民【摘要】以正方晶胞作为计算单元,并以该晶胞的中心为原点,采用双埃夫琴晶胞方法得到二维NaCl晶体马德隆常数的计算公式.通过C语言编程计算其马德隆常数的值.【期刊名称】《闽南师范大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2019(032)001【总页数】4页(P51-54)【关键词】二维NaCl;晶体;双埃夫琴晶胞;马德隆常数【作者】唐为民【作者单位】[1]闽南师范大学物理与信息工程学院,福建漳州363000;【正文语种】中文【中图分类】O481马德隆常数是在计算离子晶体库仑能时引入的一个无量纲的参数，可表示为[1]式中“±”表示为同号离子取“-”，异号离子取“+”；ɑj是以最近邻离子间距r0为单位的第j个离子到参考离子的距离，因此，马德隆常数是一个仅与晶体结构有关的参数．为了计算马德隆常数，1932年Evjen提出了一种比较简单有效的计算方法[2]，即把晶体看成由许多完全相同的晶胞（埃夫琴晶胞）组成，每个晶胞保持电中性，取一个晶胞的中心离子为参考离子，它和其它所有离子的库仑作用可分为本晶胞内离子的作用及其他晶胞离子的作用．当晶胞取足够大时，其它晶胞与参考离子距离较远，且电中性，因此对参考离子的作用可以忽略，即只需考虑本晶胞内离子作用．该方法计算NaCl晶体尤为有效，收敛速度极快．后来，刘策军，王永杰采用埃夫琴晶胞法计算了二维NaCl离子晶体的马德隆常数[3-4]．对于CsCl晶体，像这样取一个埃夫琴晶胞来计算，并不能得到收敛值，主要原因是这样取埃夫琴晶胞会造成两种不同情况，即最外层离子与参考离子都同号或者都异号，而这两种情况计算值完全不同，王矜奉提出用两个体积相近的埃夫琴晶胞（双埃夫琴晶胞）计算CsCl晶体马德隆常数的方法[5]．本文分析二维NaCl晶体的结构特点，采用双埃夫琴晶胞法来计算其马德隆常数．1 二维NaCl晶体结构分析及马德隆常数计算式图1是二维NaCl晶体点阵，为正方结构．以中心的“Cl”为参考离子，有两种不同的晶胞取法：一种如图中的实线所取（亦即文献[3][4]所采用的方法），其特点是晶胞的最外层的“Na”和“Cl”总是相间排列的，这和三维NaCl特点相同；另一种是图中的虚线所取，当取最小晶胞时，其最外层都是“Na”，与参考离子不同，而取次小晶胞时，最外层则都为“Cl”，依此类推，第三小晶胞最外层为“Na”，第四小晶胞最外层为“Cl”，……，此特点与文献[5]计算的三维CsCl晶体（图2所示）相似，因此可采用双埃夫琴晶胞，即本文所用方法．图1 二维NaCl晶体两种晶胞的选法Fig.1 Two selection methods for unitcells of two-dimensional NaCl图2 CsCl晶体晶胞Fig.2 Unit cell of CsCl crystal以埃夫琴晶胞的中心参考离子作为坐标原点，建立 xOy坐标系，如图3所示，图中显示到第四层离子（共由“4×4”个最小晶胞组成）．设两个同种离子最近邻的距离为2a，这样参考离子至最近邻离子的距离为而任一离子至参考离子的距离可表示为式中n1是以 a为单位 x轴的坐标，n2是以 a为单位 y轴的坐标，于是式（1）中的 aj为从图中可以看出离子的位置要求n1，n2只能同时为奇数或者同时为偶数，但不能同时为零，而且同时取奇数时对应的离子与参考离子异号，同时取偶数时则为同号．因此式（1）可写成式中的n为所取晶胞的层数（整个晶胞由“n×n”个最小晶胞组成）．考虑到最外层四个顶点上的离子是由四个晶胞共同所有，因此每个顶点离子对马德隆常数贡献1/4，同理最外层四条棱上的离子（除顶点外）贡献1/2，其余离子处在晶胞内部，贡献为1．考虑到晶胞的对称性，可以把晶胞内部的所有离子分成四块完全等价的区域，如图4所示，只需计算其中一块区域然后乘于4即可，同理最外层的四个顶点、四条棱上的离子也等价的，也只需算其中之一然后乘于4．因此，当取埃夫琴晶胞的总层数为n时，马德隆常数为式中第一项为晶胞内部离子的贡献，n1，n2只取同奇偶性；第二项为最外层棱上离子（顶点除外）的贡献，n1只取和 n相同奇偶性；第三项为顶点离子贡献．根据双埃夫琴晶胞法的思想，可得二维NaCl离子晶体马德隆常数计算式图3 以晶胞中心离子为坐标原点各离子在直角坐标下的位置分布Fig.3 Ion distribution in Cartesian coordinate taking the central ion of unit cell as itsorigin图4 晶胞中的离子分为等价的4块区域Fig.4 Four equivalent divided areas of ions in its unit cell2 计算结果及讨论根据式（6）、（7）采用C语言（数值用双精度）进行编程计算，表1给出了α随 n变化的计算结果．从表1中可以看出α的值随所取晶胞的层数n的增大而增大，并且当n较小时α值变化较大，而当n取值越大时，α变化越小，最后趋于收敛．因此，当晶胞取得足够大时（约 n=500），可以得到二维NaCl晶体马德隆常数大约为1.615 54，这与文献里采用单个埃夫琴晶胞得到的值1.613 843[3]（计算到 n=8 000）和 1.615 542 626 712 96[4]（计算到 n=10 000）相近．表1 二维NaCl离子晶体马德隆常数α计算值Tab.1 Calculated values of Madelung constant(α)of two-dimensional NaCl crystaln 3 α 1.577 178 859 n α 55 1 0001.615 380 342 7 1.606 770 362 75 1.615 454 923 11 1.611 783 197 100 1.615 492 127 15 1.613 467 933 200 1.615 530 064 19 1.614 230 289 300 1.615 537 053 23 1.614 638 467 500 1.615 540 623 27 1.614 882 125 700 1.615 541 604 35 1.615 146 116 55 1 000 1.615 542 1263 结论以晶胞的中心离子作为参考离子，采用双埃夫琴晶胞的方法并借助C语言编程计算了二维NaCl离子晶体的马德隆常数α．计算结果表明数值随所取晶胞的增大而增大，并且当晶胞越大时α变化越缓慢，最后大约稳定在1.615 54，此结果与文献值相近，说明二维NaCl离子晶体马德隆常数在适当选取晶胞后，可以用单埃夫琴晶胞计算，也可以用双埃夫琴晶胞计算．参考文献：【相关文献】[1]吴代鸣.固体物理学[M].长春：吉林大学出版社，1996.[2]H.M.Evjen.Stability of Certain Heteropolar Crystals[J].Physical Review，1932，39(4)：675-687.[3]刘策军.二维NaCl晶体马德隆常数计算[J].大学物理，1995，14(12)：21-22.[4]王永杰，赵占龙.NaCl晶体的马德隆常数计算[J].保定学院学报，2007，20(4)：19-20.[5]王矜奉，朱露莎，邓桂昌，等.采用双Evjen晶胞计算离子晶体的马德隆常数[J].四川师范大学学报(自然科学版)，2001，24(5)：471-474.。

二维三角离子晶体马德隆常数的计算在计算二维三角离子晶体马德隆常数时，首先需要了解马德隆常数的概念。

马德隆常数是二维晶格的一个重要物理性质，它描述了二维晶体的刚性和弹性特性。

马德隆常数可以通过实验测量得到，也可以通过理论计算得到。

在这篇文章中，我们将深入探讨二维三角离子晶体马德隆常数的计算方法和意义。

1. 二维三角离子晶体的结构特点1.1 二维三角离子晶体的晶格结构二维三角离子晶体是由正负电荷离子组成的晶格结构，其晶格平面的排列呈现出三角形的几何形状。

在晶格结构中，正负电荷离子相互排列，形成一定的周期性和对称性。

1.2 二维三角离子晶体的物理性质二维三角离子晶体具有独特的物理性质，包括机械性能、光学性能以及电学性能等。

这些物理性质与晶格结构密切相关，同时也与马德隆常数有着内在的联系。

2. 马德隆常数的物理意义2.1 马德隆常数的定义马德隆常数是描述晶体的弹性特性的物理参数，它反映了晶体在受到应力作用时的形变程度。

对于二维三角离子晶体来说，马德隆常数是衡量其弹性变形能力的重要参数。

2.2 马德隆常数的意义马德隆常数的大小和数值表达了晶体对应力的敏感程度和应变的程度，它直接影响着晶体的力学性能和稳定性。

通过计算二维三角离子晶体的马德隆常数，可以深入理解其力学和弹性特性。

3. 二维三角离子晶体马德隆常数的计算方法3.1 理论计算方法通过理论模型和密度泛函理论等方法，可以对二维三角离子晶体的晶格结构进行建模，并通过量子力学计算得到马德隆常数的理论数值。

3.2 实验测量方法利用X射线衍射、红外光谱等实验方法，可以测量二维三角离子晶体在受力作用下的晶体结构变化，从而得到马德隆常数的实验数值。

4. 我对二维三角离子晶体马德隆常数的个人观点和理解在我看来，二维三角离子晶体马德隆常数的计算不仅是对其物理性质的深入探究，更是对纳米材料力学性能的理解和探索。

通过对马德隆常数的计算和分析，可以为纳米材料的设计和应用提供重要参考。

固体物理学》概念和习题答案《固体物理学》概念和习题答案The document was prepared on January 2, 2021《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。

答：最小平行单元。

2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。

答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。

3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。

4. 请描述七大晶系的基本对称性。

5. 请给出密勒指数的定义。

6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。

7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。

8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。

9. 给出布里渊区的定义。

10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么11. 写出晶体衍射的结构因子。

12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。

13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。

14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。

15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。

（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）16. 给出声子的定义。

17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。

18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。

19. 简述晶体热膨胀的原因。

20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。

21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。

23. 写出金属的电导率公式。

24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。

25. 简述能隙的起因。

26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。

二维ＮａＣｌ晶体马德隆常数计算刘策军（华南农业大学基础课部广州５１０６４２）摘要通过计算机运算，给出二维ＮａＣｌ晶体马德隆常数的计算结果．关键词二维ＮａＣｌ晶体；马德隆常数分类号Ｏ４８１引言晶体结合问题中，要涉及离子晶体结合能概念．在离子晶体结合能计算中，马德隆常数（ＭａｄｅｌｕｎｇＣｏｎ－ｓｔａｎｔ）α是一个重要物理量．最典型的离子晶体是ＮａＣｌ型晶体，其马德隆常数的定义是￣［１－４］上式中取第ｉ个离子为参考离子，Ｎ为正负离子总数，求和时与参考离子同号的取负号，异号的离子取正号．α＿ｊ是以最近邻离子间距为单位的第ｊ个离子距参考离子的距离；α值完全由晶体结构所决定．本文在对一维和三维ＮａＣｌ晶体马德隆常数研究结果的基础上，分析给出二维情况下ＮａＣｌ晶体（１）式求和的计算表达式，然后给出由计算机算出的结果，最后与一维和三维情况的α值进行比较．２二锥ＮａＣｌ晶体α计算求和表达式为解决（１）式求和收敛的问题，历史上曾发展了几种有效的计算α的方法．本文采用一种比较简单而直观的方法￣［２，３］．设想把晶体分成许多大的晶胞，平均每个晶胞所含正、负离子数相同，整个晶胞保。

《固体物理》马德隆常数得计算学院：物理学院学号：20１1０12６43姓名：刘娴雅马德隆常数得计算摘要:通过分析马德隆常数得三种计算方法与其相应得使用范围，得出不同晶体结构下相应得计算方法与使用范围、关键字：马德隆常数离子晶体在固体物理学中，当计算离子晶体得结合能时，需知道马德隆常数得值, 因此,马德隆常数在离子晶体得理论研究与科学实验中占有十分重要得地位、该值一般由实验确定.马德隆常数就是描述离子晶体结构得常数，其定义公式为：n1、n2、n3为离子晶体中任一离子相对于中心离子得坐标，∑为求与遍及晶体中所有离子。

由于离子晶体为数目巨大得多粒子系统,因此马德隆常数一般情况下由实验确定。

离子晶体结合得性质比较简单，在近代微观理论发展初期，计算离子晶体得结合能获得很好得结果，对于验证理论起到了重要作用,所用得方法与概念在处理许多问题中还常用到、以NaCl为例，由于Ｎa+与Cl-都就是满壳层得结构,具有球对称性,考虑库仑作用时，可以瞧做点电荷、先考虑一个正离子得平均库仑能、如果令r表示相邻离子得距离，该能量可表示为（1）如果以所考虑得正离子为原点, 可以表示其她各离子所占格点得距离，并且对于所有负离子格点，ｎ１＋n2＋n3＝奇数，所有正离子格点，ｎ１＋ｎ２+ｎ３＝偶数、考虑到正负离子电荷得差别，引入因子(—１)n１＋n2＋n3，一个原胞得能量为(2）(３）α为一无量纲得数,完全决定于晶体结构，称之为马德隆常数、在具体计算中发现，求与时既有正项，又有负项，如果逐项相加，并不能得到收敛得结果、对于一维情况，其级数求与很容易计算,如两种一价离子组成得一维晶格得马德隆常数，利用定义很容易计算出α=2ln2,但对于三维情况，其级数收敛很慢、１91８年Mａｄelｕnｇ首先计算这种级数与，她先将晶体中点阵视为一系列中性平面点阵组成即该平面内点阵由一系列中性直线点阵组成，其上正负电荷相等且按格点周期分布、由此将电势展开成傅里叶级数并用了享克尔函数（Hankｅｌｆunct ｉon)，进而求出马德隆常数、这种方法对于计算像氯化钠那样简单得离子晶体取得了成功、但对大多数离子晶体而言并不适用。

NaCl晶体马德隆常数理论研究田叶;侯春枝;杨兴强【摘要】采用Evjen晶胞法并结合Matlab软件编程,研究了NaCl晶体的马德隆常数.计算结果表明：一维、二维和三维NaCl的马德隆常数分别是1.38629,1.6148和1.7475,这与实验值和其他理论结果符合得非常好.%The Madelung constants of NaCl crystal have been investigated by using the Evjen method and combining the Matlab programs.Theoretical results show that the one-dimensional,two-dimensional and three-dimensional Madelung constants of NaCl crystal are 1.38629,1.6148 and1.7475,respectively.The calculated values are generally speaking in good agreement with experiments and similar theoretical calculations.【期刊名称】《南阳师范学院学报》【年(卷),期】2012(011)006【总页数】5页(P29-33)【关键词】NaCl晶体;马德隆常数;Evjen晶胞法【作者】田叶;侯春枝;杨兴强【作者单位】湖北省洪湖市第二高级中学,湖北洪湖433209;南阳师范学院物理与电子工程学院,河南南阳473061;南阳师范学院物理与电子工程学院,河南南阳473061【正文语种】中文【中图分类】O48马德隆常数是晶体结构的一个重要特征参数，通过马德隆常数便可计算晶体的晶格能和表面能等，并且马德隆常数在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位［1-2］．NaCl晶体是一种类型的离子型晶体，有着比较规则的立方结构．Na+和Cl-的结合主要是库仑相互作用．NaCl晶体中离子间的库仑能可描述为其中)即为马德隆常数，ajR是某一离子与参考离子间的距离，R是最近两离子的距离，N代表的是总的离子数［3］．目前，已经有一些关于NaCl晶体的马德隆常数的理论报道．譬如，以正方离子晶胞为基础，刘策军［4］等人研究了二维NaCl晶体的马德隆常数，结果表明:二维NaCl晶体的马德隆常数是1．613843，而且随着配位数增加，晶体的马德隆常数增大．采用埃夫琴晶胞的方法，黄任华［5］等人推导了计算二维三角离子的马德隆常数的通项公式，其结果表明二维三角离子的马德隆常数(1．54219)比二维正方离子晶体的马德隆常数(1．613843)小．但是关于三维NaCl晶体的马德隆常数的计算的报道却比较少．本文采用Evjen晶胞法并结合Matlab编程软件，建立了一个普遍适用的计算一维、二维和三维的马德隆常数公式．具体理论思想是:把晶体看成是由Evjen晶胞构成，Evjen晶胞内所有离子的代数和为零，把这些中性晶胞对参考离子的库仑能量的贡献加起来，若离子在这个中性立方体的面上、棱上和角上，其贡献分别取1/2、1/4和1/8，进而计算马德隆常数．在计算一维NaCl晶体的马德隆常数时，通过Na原子与Cl原子间的净静电作用能量得出了一维NaCl晶体的马德隆常数．在计算二维NaCl晶体的马德隆常数时，通过对底边、相应斜边和其余部分的计算结果分别相加，得到二维NaCl晶体马德隆常数．接着在计算二维NaCl晶体的马德隆常数的基础上计算三维NaCl晶体的马德隆常数，把三维空间分成2m-1个二维空间，然后把每层计算的数值相加，就得到了三维NaCl晶体的马德隆常数．由Na+和Cl-交替排列的一维点阵的示意图，如图1所示．计算中只考虑Na+和Cl-的吸引能，不考虑在充满电子壳层之间接触排斥．以处于中心的Na+为参照物，设所带电荷为+e，并用符号A0表示．与A0最邻近的两个离子A-1和A1都是负离子，所带电荷为-e．图1中的无限长的一维空间排布的中心Na+的总的势能E是更多的项吸引和排斥的总和，即所以，α1=2ln2=1．38629，故一维NaCl晶体的马德隆常数是1．38629．在二维NaCl晶体(如图2)马德隆常数的计算中，我们以中心Cl-为参考离子．设每个边长为r0，所取的边长为2mr0，m为正整数，通过分析，取不断扩大的正方晶胞，则其中A为底边上的所有离子，即B为相应于斜边上的所有离子，即C为其余部分，即由公式(3)～(5)可知，A项级数收敛，且收敛于项级数发散，因此将B项中n=2以后的各项合并于C中，得到二维NaCl晶体的马德隆常数α2，通式为公式(6)中的A1的详细理论计算程序见附录1．通过理论计算，可以得到二维NaCl晶体的马德隆常数α2为1．6148．在三维NaCl晶体(如图3)马德隆常数的计算中，我们把三维空间分成2m-1个二维空间．设2m -1个二维空间的最中间层为第m层，以中心Na+为参照物，A 为底边上所有离子，B为相应于斜边上的所有离子，C为其余部分，则有第m层: 第m+1层和第m-1层关于第m层对称，则其和为:第m+2层和第m-2层关于第m层对称，则其和为:第2m-1层和第1层关于第m层对称，则其和为:由公式(7)知，第m层和二维空间的马德隆常数是几乎一样的，而后面相邻两层的计算式子相对应的每一项正负号相反．因此应将第m层和其他层分开讨论．由公式(7)～(10)可知，三维NaCl晶体马德隆常数为其中A2、B2、C2的详细理论计算程序分别见附录2、3、4．通过理论计算，可以得到三维NaCl晶体的马德隆常数为1．7475．从表1中可以看出，α2、α3都是随着项数m的增大而增大，最后趋于稳定．二维和三维NaCl晶体的马德隆常数与项数m的关系分别如图4和5．图4和图5分别为二维和三维NaCl晶体的马德隆常数α2、α3随项数m的变化情况．从图4和图5可以明显地看出:随项数m的不断增大，α2和α3均先迅速增大，然后逐渐趋于一个常数．当m= 700时，α2的值基本趋于收敛．当m=2000时，α3的值基本趋于收敛．以Evjen晶胞为计算单元，建立了一个普遍适用的计算二维和三维的马德隆常数公式．研究结果表明:开始时，马德隆常数值随项数m的增加而迅速增大，最终趋向于一个稳定值．进而通过理论计算可以得到一维NaCl晶体的马德隆常数为1．38629，二维NaCl晶体的马德隆常数为1．6148和三维NaCl晶体的马德隆常数为1．7475，这与实验结果［4，8-9］和理论计算［7］符合得非常好，这表明本文所编制的计算程序和理论结果是正确的．附录1公式(6)中A1的Matlab计算程序附录2公式(12)中A2的Matlab计算程序附录3公式(13)中B2的Matlab计算程序附录4公式(14)中C2的Matlab计算程序【相关文献】［1］苟清泉．固体物理学简明教程［M］．北京:人民教育出版社，1978:42-47．［2］(美)C．基泰尔．固体物理导论［M］．北京:科学出版社，1979:97-105．［3］王矜奉，朱露莎，邓桂昌，范希会．采用双Evjen晶胞计算离子晶体的马德隆常数［J］．四川师范大学学报:自然科学版，2001，24(5):471-474．［4］刘策军．二维NaCl晶体马德隆常数计算［J］．大学物理，1995，14(12):21-22．［5］黄仕华，徐晶晶．二维三角离子晶体马德隆常数的计算［J］．浙江师范大学学报:自然科学版，2007，30 (3):282-286．［6］黄克之，黄青．二维氯化钠型结构马德隆常数的求算［J］．沈阳化工学院学报，1989，3(1):15-18．［7］张维佳，王天民．复杂离子晶体马德隆常数研究［J］．物理学报，2005，54(2):565-573．［8］郭振亚，周伟，李宝会，丁大同．Madelung常数的计算［J］．四川师范大学学报:自然科学版，1996，19(5): 41-42．［9］张太平，龚汉珍．如何理解和运用Born-Land’e晶格能方程式［J］．高等函授学报，1994(2):30-34．。

固体物理》马德隆常数的计算学院：物理学院学号：2011012643 姓名：刘娴雅马德隆常数的计算摘要： 通过分析马德隆常数的三种计算方法和其相应的使用范围 , 得出不同晶 体结构下相应的计算方法和使用范围 .关键字： 马德隆常数 离子晶体在固体物理学中 ,当计算离子晶体的结合能时 , 需知道马德隆常数的值 , 因 此,马德隆常数在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位 . 该值一般由实验确定。

马德隆常数是描述离子晶体结构的常数 , 其定义公式为 :n1 、n2、 n3 为离子晶体中任一离子相对于中心离子的坐标 , ∑为求和遍及晶体中所有离 子。

由于离子晶体为数目巨大的多粒子系统 , 因此马德隆常数一般情况下由实验 确定。

1n 1 n 2 n 3n 1n 2n 3n 1 2n 22n 32离子晶体结合的性质比较简单 , 在近代微观理论发展初期，计算离子晶体的 结合能获得很好的结果 ,对于验证理论起到了重要作用 , 所用的方法和概念在处 理许多问题中还常用到 . 以NaCl 为例, 由于Na+和 Cl -都是满壳层的结构 ,具有球对 称性, 考虑库仑作用时 ,可以看做点电荷 . 先考虑一个正离子的平均库仑能 .如果 令 r 表示相邻离子的距离 , 该能量可表示为离子所占格点的距离 , 并且对于所有负离子格点， n1+n2+n3=奇数, 所有正离子格 点，n1+n2+n3=偶数. 考虑到正负离子电荷的差别 , 引入因子 (-1)n1+n2+n3,一个原胞的 能量为 α为一无量纲的数 , 完全决定于晶体结构 , 称之为马德隆常数 . 在2 n 1n 2n34 02 n 1 n 2 n3 q 2 1 1 2 322 n 1r 222 n 2r22n 2r1)如果以所考虑的正离子为原点 , (n 1 2n 21n 32r 2)2可以表示其他各 2 q 21n 1 n 2 n 32 q240rn 1n 2n 3 (n 12r 2 n 22r 2n 32r 2)4 0r2)3)n31n 1n2具体计算中发现,求和时既有正项,又有负项,如果逐项相加,并不能得到收敛的结果.对于一维情况,其级数求和很容易计算, 如两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数, 利用定义很容易计算出α =2ln2, 但对于三维情况, 其级数收敛很慢. 1918 年Madelung 首先计算这种级数和, 他先将晶体中点阵视为一系列中性平面点阵组成即该平面内点阵由一系列中性直线点阵组成, 其上正负电荷相等且按格点周期分布. 由此将电势展开成傅里叶级数并用了享克尔函数(Hankel function), 进而求出马德隆常数. 这种方法对于计算像氯化钠那样简单的离子晶体取得了成功. 但对大多数离子晶体而言并不适用。