数码相机定位
摘要
系统标定是双目定位的关键，其在交通监管（电子警察）等方面具有重要作用。我们分别建立了针孔模型和矩阵模型，通过Matlab软件进行求解，确定了像点的坐标与相机的相对位置，从而解决了系统标定问题。
针对问题一，由于需要求坐标，所以我们建立了四个本文会用到的坐标系，并求出了四个坐标系间的转化关系式。我们根据相机成像的原理，建立了针孔模型，通过使用Matlab软件对圆的像作外切矩形并得出切点坐标，利用切点与圆心坐标间的关系式确定出了圆心像的像素坐标。最后通过像心与光心坐标系之间的转换关系得出了圆心像的光心坐标。
针对问题二，它其实是问题一的一个应用，我们先将图片导入计算机，使用Matlab程序得出了椭圆与其外接矩形的交点坐标，然后将此数据带入针孔模型中，运用坐标系转化法解得圆心的像的光心坐标分别为：A（-49.6,51.7,417.2），B（-23.9,49.6,417.2）,C（34.4,45.4,417.2）,D（19.4,-32.1,417.2）,E（-60.2，-31.1,417.2）。
针对问题三，由射影定理知道我们需要用到三个圆心坐标，因此我们设定了A、C、E三个圆圆心的世界坐标。再根据像点与圆心的几何关系，利用向量垂直、相似三角形的原理求得了像点与圆心的函数关系式。利用Matlab软件求解得出像点a、c、e的坐标后，根据光心与世界间的转换关系求得了B、D的像点的光心坐标。我们将此结果与问题二的结果作比较，分析偏差，得出模型一精度高、稳定性好的结果，验证了模型一的合理性。
针对问题四，我们将两部相机放在同一世界坐标系下，分别用两部相机对处于同一位置的同一照片进行拍摄，通过问题二的方法求解得到每个相机的光心在世界坐标系中的坐标，通过两坐标间的距离即可确定两个相机间的距离。
我们通过颜色赋值、坐标与矩阵间的相互转化，把难以处理的图片信息数据化，建立针孔与坐标模型，并给出了计算结果的程序，使定位问题可以通过计算机来解决，适应于大数据的处理，节省了人力与时间。
关键字：数码相机定位；坐标系；针孔模型；矩阵；射影定理
1.问题重述
数码相机定位在交通监管等方面有广泛应用。它是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置，最常用的定位方法是双目定位（用两部相机来定位），即用两部固定于不同位置的相机拍摄物体，分别获得物体上的特征点在两部相机像平面上的坐标。根据两部相机精确的相对位置用几何法确定特征点的位置。精确地确定两部相机的相对位置（即系统标定）是双位定位的关键。
标定做法：先在平板上画若干点，同时用两部相机照相，得到两组像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到两部相机的相对位置。因无法得到没有几何尺寸的“点”，我们实际做法：在物平面上画若干个圆（作为靶标），以几何圆心为点。而圆的像一般会变形，所以必须从圆的像中把圆心的像精确地找到，从而实现标定。
靶标设计：取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm 为半径作圆。用一位置固定的数码相机摄得其像。
我们需要建立数学模型解决如下四个问题：
（1）建立数学模型和算法以确定圆心的像坐标, 坐标系原点取该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；
（2）计算圆心的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；（3）设计一种方法检验模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；
（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
2.基本假设
1.假设圆的成像为椭圆形，圆心的像位于椭圆的几何中心；
2.假设相机摄的像没有出错；
3.假设拍摄时标靶的平面没有扭曲。
3.通用符号说明
4.问题一的模型建立与求解
4.1问题的分析
问题一需要我们建立模型和算法来确定圆心的像坐标，我们首先就需要建立坐标系来表示坐标。基于以后会用到的所有坐标，我们拟建立世界、图像、像素和光心四个坐标系，并求其转化关系式。
我们所求的坐标应在光心坐标系中。由此，我们打算计算出各圆圆心的像素坐标，然后其转化为光心坐标[1]。
对于各圆圆心的像素坐标的计算，我们打算在椭圆的外围用计算机做一个外切矩形，由于椭圆曲线中平行的切线到椭圆中心的距离相等，那么我们就能够将矩形的中心点作为椭圆的中心，即像心。
根据相机成像的原理，我们拟建立针孔模型，通过坐标转换法来求像心的光心坐标。
4.2模型的准备
我们需要建立坐标系来表示圆心的像的坐标，为了方便，我们在此列出以后可能会用到的所以坐标系。建立的四个坐标系的名称、意义及表示方法如下：
表1 坐标系定义表
序号坐标系名称坐标系意义坐标值表示方法
1 世界坐标系根据自然环境所选定的坐标系
(三维) ()
,,
w w w x y z
2 图像坐标系坐标原点O1在图像平面的中
心，X轴、Y轴分别为平行
于图像平面的两条垂直边（二
维）
,x y （）
3 像素坐标系坐标原点O0在图像平面的左
上角，X轴、Y轴分别平行
于图像坐标系的X轴和Y轴
,u v
（），坐标值为离散的整数值
4 光心坐标系以相机的光心为坐标原点O2，
X轴、Y轴分别平行于图像坐
标系的X轴和Y轴，相机的光
轴为Z 轴()
,,
c c c x y z
坐标系的方位图如下所示：
图1 坐标系方位图
四个坐标系间的转化关系求解如下：
我们将坐标化为矩阵的形式，并由坐标系间的几何关系得到图像坐标系与光心坐标系之间的关系如下：
00000
0100101c c C c x x f y K y f z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
（4） K C 表示常数，f 为相机焦距。 由于任意两个空间直角坐标系之间可以通过旋转、平移的方式叠合，所以光心坐标系与空间坐标系可以由旋转矩阵R 和平移向量t 联系在一起，它们之间存在如下转换关系:
0111c w c w c w x y t x y R z z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（5） (),,w w w x y z 为点P 在世界坐标系中的坐标。
由于图像坐标系以毫米为单位，在图像坐标系中一般采用像素坐标，故需要将图像坐标系转化为以像素为单位的像素坐标系，转化关系如下：
