2019-2020学年四川省南充高级中学高一下学期期中考试数学试卷(文)试题

月月考试题学年高一数学12四川省南充高级中学2019-2020分）共60第Ⅰ卷（选择题. 分分，共60一、单选题：本题共12小题，每小题5????B?A)(C0?A?x(x?3)(x?1)R?U2?|B?xx），则（，， 1.设全集=U????2?x?1|xx|x2}x?{x|1?x?2}{x|1? . B. D. A.C???sin??690 2. ）（1133?? B．DC．． A．22223?xf(x)?log函数3. ）的零点所在的大致区间为（2x)54)(4,,2)(2,3)(3,(1．B ．C． A． D ????sin2cos4)?3,P(?）设角，那么的终边经过点（ 4.1221??．D A ．B．． C 5555??3cos?sin??2?tan（，则已知） 5. ??cos?2sin5151?? D. C. B.A.54546.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) 2A．2 B．sin2 C． D.2sin1 sin1?3??coscos?11?????? 7.若），则的化简结果为（2??coscos?11?2222??． C ．A. B. D????sinsintantan(2a?1)x?a,x?2????)f(x??1,?上的减函数，则实数已知函数8.是的取值范围是2?1?xlog(x?1),?a（）21211????????0,0,,0,????? D ．A．B．． C???25255?????????)??)cos(xxf(）设函数9.，则下列结论错误的是（3- 1 -?8)x?f((fx)y??x2?的图象关于直线 B.的一个周期为A.3对称???)x)ff(x?(?)(x?, C.在单调递减的一个零点为 D.26xln1???exy）函数10.的图象大致是（A．． B ． CD．???0,?)f(x R令函数间数已知函，上是增是定义在且上的偶函数，在区11.???552)f(tan),b?a?f(sinf(cos),c?），则（777a??a?cc?bcb?c?aa?b?b D．A C．． B．??),1?f((f(x)fx?2)?f(x)3?,2x R Rx?且当定义域为的偶函数满足对任意的有12.)x?1?y?f(x)log(218xf(x)??2?12x?R上恰有六个零点，则，若函数时，在a a的取值范围是（实数）35535((,1),1(,)))(,0 B. A. C.D.3535590分）第Ⅱ卷（非选择题共. 分5分，共20二、填空题：本题共4小题，每小题??2x?3?xaf?1且a?a?0 ________________．13．当时，函数的图象必过定点????1x??x0??xax?1??2a1BA??B?A?实数14,若,．已知集合的取, ．值范围是_________________f(x)?1?2sinx函数________________________.的定义域为15.- 2 -x1,,为有理数??x)f( 16. 关于函数有以下四个命题：?x0,,为无理数?)(x))?1ff(f(x Rx?②函数，都有①对于任意的是偶函数；；)(x)?ff(x?T R x?T③若对任意为一个非零有理数，则恒成立；)(xf ABC?C BA图象上存在三个点，使得④在，，为等边三角形．．其中正确命题的序号是. 分6小题，共70三、解答题：本题共)分17.(本小题满分10?9???????)sin()cos(??)cos(3??)cos(?2请化简：．(1)??11??????)???)sin()sin(?cos(2)sin(22?1?xx?cos?sin?x?0x?cossinx. ,,求(2)已知52?R?),sin(32x?xf(x)?.18．（本小题满分12分）已知函数6)xf(的最小正周期及单调递减区间；1）求函数（???)xf(x,?x0. 的最值及对应的（2）若求函数,的值??2??)xf(0?x R,的单调减函数是奇函数，当时分）已知定义域为（本小题满分19. 12x x2?)(fx?. 3- 3 -)(xf）求的解析式；（122R k0)?)?f(2t?kf(t?2t?t）若对任意的恒成立，求实数的取值范围，不等式（2元，每桶分）某桶装水经营部每天的房租，人员工资等固定成本为20020. （本小题满分12x)(xg （桶）的关系如下表，为了收费5元，销售价（元）与日均销售量水的进价是方便，经营部将销售价定为整数，并保持经营部每天盈利．x)1x?)?g(g(x（1）写出的值，并解释其实际意义；)(xg）求表达式，并求其定义域；（2f(x)，请问经营部怎样定价才能获得最大利润？）求经营部利润表达式（32R a?a?f(x)?sinxacosx?. ，分）已知函数21．（本题满分12)xf(1a?(1)当时，求函数的最大值；???ax0,1?x)(f.成立，求如果对于区间(2)上的任意一个的取值范围，都有??2???x,y)?(fxyf?x(f)?)y()(fx R,已知函数分）12本小题满分22.(，都有对于任意的，- 4 -10?x)f(?(1)f?0x?. 当时，，且2(3)f(0),f（1）求的值；f(x)10??8?x的最大值和最小值；时，求函数2（）当g(x)2)x(2)?(?xg()fxm?f最多有几个零点，并求出此时实数（）设函数3，判断函数m的取值范围.- 5 -学年度上学期第二次月考2019南充高中－2020 级数学试题答案高2019 一、选择题1-5 AABCD 6-10 CDBDB 11-12 AC二、填空题 14. 2（，-2） 15.13.16.1234三、解答题、（1）原式=17= =5分………………………………………………………………………，（2）因为，两边平方得分有 (7)分………………………………………9所以又因为，则，所以分所以 (10)1分18.解：（1）最小正周期…………………………………………………….令函数的单调递减区间是-6 -分，…………………………………………………3由得的单调减区间是则函数分 (6)分………，则8（2，）因为 10分，即时，函数有最大值3…………………………………则当12，即分时，函数有最小值当………………………………….）因为定义域为的函数是奇函数，所以19.解:（1. 时，因为当，所以是奇函数，所以. .又因为函数所以…………………………………………………………………综上，分6. ）由（3得以，数所是在上.减又函，因是为奇函数所以. 对任意即. 恒成立.，解得，则.【方法一】令由令意任即二法方【】对立恒则，成.- 7 -12分的取值范围为．……………………………………………故实数2）由表格数据可知分20.解：（1……………………………… 3分1元，销售量减少40桶．……………………………………实际意义表示价格每上涨）知：设（2）由（1则解得：分，………………………………………6即元，由题意得）设经营部获得利润（3分 (9)时，有最大值，但当取得最大值．时，或∴当元时，才能获得最大利润．………………………12分答：经营部将价格定在11元或1221.解：（1时，）当，所以当………即5时，分即恒成立（2）依题得对任意恒成立……………而 7所以分对任意恒成立，则，所以，令对任意…………………………………………………………………于是9分，当且仅当时取等号又因为，即分所以12…………………………………………………………………………………（其他方法，酌情给分）- 8 -22. 解：（1），得. …………………令1得分，得 (2)得 (3)，，(2) 任取且，即，因为则. (4)分，则，且由已知时，，，所以函数在R上是减函数，………………….5分所以在单调递减故.所以，又，……………………6分，得由，，故. ……………………7分，得，令代入(3)，故为奇函数. ……………………9所以分10 ……………………分- 9 -令即，分…………………11因为函数在R上是减函数，，即，所以分……………………个零点所以当时，函数最多有4. 12- 10 -。

2019-2020学年四川省南充市高级中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{}1,3,4B ．{}2,4C ．{}4,5D ．{}4【答案】D【解析】由V enn 图中阴影部分确定的集合为B∩（∁U A ），然后根据集合的基本运算求解即可． 【详解】由Venn 图中阴影部分可知对应集合为B∩（∁U A ），∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}， ∴∁U A ＝{4，5}，B∩（∁U A ）＝{4}． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn 图确定对应的集合是解决本题的关键．2．已知R 是实数集，{}240M x x =->，{N y y ==，则R M N ⋂=ð（ ）A ．()1,2B ．[]0,2C ．∅D ．[]1,2【答案】B【解析】通过解不等式可得集合M ，通过函数求函数的值域可得结合N ，根据集合的基本运算进行求解即可． 【详解】∵{}{}2402M x x x x =->=>，{{}0N y y y y ===≥，则{}2U M x x =≤ð，{}[]020,2R M N x x ⋂=≤≤=ð， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出M ，N 是解决本题的关键，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．3．若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f xg x x =-定义域是（ ） A ．[]0,4 B ．[)(]0114，，C ．[]0,1D ．[)0,1【答案】D【解析】根据函数()y f x =的定义域，得出函数()g x 的自变量满足的关系式02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解不等式组即可． 【详解】 根据题意有：02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，所以01 1x x ≤≤⎧⎨≠⎩，即01x ≤<， 所以()g x 的定义域为[)0,1． 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数定义域的应用问题，解题的关键是根据函数()y f x =的定义域，得出函数()g x 的自变量满足的关系式，属于基础题． 4．若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为（ ）A ．(3,0)-B ．[3,0]-C ．(3,0]-D ．[3,0)-【答案】A【解析】由一元二次不等式，可知0k ≠，所以0k <⎧⎨∆<⎩，得到k 的范围.【详解】因为一元二次不等式23208kx kx +-<，对一切实数x 都成立， 所以00k <⎧⎨∆<⎩，即2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得030k k <⎧⎨-<<⎩ 所以k 的取值范围为30k -<<【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题. 5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．1y =与0y x = C．1y =与1y x =-D ．y x =与log (01)xa y a a a =>≠且【答案】D 【解析】【详解】 A 中两函数定义域不同； B 中两函数定义域不同； C 中两函数对应关系不同；D 中两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数， 故选D.6．下列函数中值域为(0,)+∞的是（ ） A ．125xy -=B ．1(0)y x x x =+> C ．113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1(1)y x x x=-≥ 【答案】C【解析】根据初等函数的性质通过对四个选项分别求出值域，即可判断正确选项． 【详解】 因为125x y -=中，102x≠-，所以()()011y ∈⋃+∞，，，故A 不正确； 因为1(0)y x x x=+>在()0,1内递减，在()1,+∞内递增，所以[)2,y ∈+∞，故B 不正确；根据指数函数性质可得1013x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭>=，即113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,)+∞，故C 正确；1(1)y x x x=-≥在[)1,+∞内单调递增，[)0,y ∈+∞，故D 不正确，故选：C.本题考查函数的值域的判断，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，熟练掌握各初等函数的性质是解题的关键，属于基础题.7．已知()2211111x xf x x x --⎛⎫=≠- ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()211xf x x x =≠-+ B ．()()2211xf x x x =-≠-+ C ．()()2211xf x x x =≠-+D ．()()211xf x x x =-≠-+【答案】C【解析】令11x t x -=+，解出()111tx t t-=≠-+，代入()2211111x x f x x x --⎛⎫=≠- ⎪++⎝⎭，化简即可得出答案. 【详解】设11x t x -=+，则()111t x t t -=≠-+，所以()222211421221111t t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭===++-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，即()()2211xf x x x=≠-+．故选C ． 【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式，属于基础题，解本类题需要注意的是：换元后需确定新元的取值范围.8．设()f x 为定义在[22]-，上的偶函数，且()f x 在[20]-，上是增函数，若(1)()0f m f m --<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据函数奇偶性的性质，将不等式进行等价转化，然后结合单调性进行求解即可． 【详解】∵()f x 为定义在[22]-，上的偶函数，且()f x 在[20]-，上是增函数， ∴()f x 在[0]2，上是减函数， 由(1)()0f m f m --<得()()1f m f m -<， 等价为()()1f m fm -<，则212 221m m m m ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩，得1322120m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩，得112m -≤<， 即实数m 的取值范围是112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键，考查学生的转化能力，难度不大．9．函数212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞【答案】D【解析】根据复合函数的同增异减原则，函数的增区间即22u x x =-的单调减区间，同时满足真数大于0. 【详解】 函数()()212log 2f x x x =-的定义域为：[)()2,,0+∞⋃-∞，设122log 2y uu x x=⎧⎪⎨⎪=-⎩，函数的单调增区间即22u x x =-的单调减区间，22u x x =-的单调减区间为(),0-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查了复合函数的单调性，遵循同增异减原则,和对数型的复合函数有关的单调性，除了内外层的单调性，还需要满足真数大于0.10．幂函数y ＝x a ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】A【解析】试题分析：由|BM|=|MN|=|NA|，点A （1，0），B （0，1）知，M （13，23），N(23，13)，所以1()3α=23，2()3β=13，所以α=132log 3，β=231log 3，所以αβ=123321log log 33=1313131log 32log 23log 3⨯=1，故选A.考点:函数与方程的综合运用，幂函数的实际应用，对数与指数的互化，对数换底公式 11．给出下列四个命题：①映射不一定是函数，但函数一定是其定义域到值域的映射； ②函数()f x 的反函数是5log y x =，则51(log )15f =-；③函数21()lg x f x x+=的最小值是lg 2；④对于函数1()lg1xf x x-=+，则()f x 既是奇函数又是偶函数. 其中所有正确命题的序号是（ ）． A ．①③ B ．②③C ．①③④D ．②③④【答案】A【解析】①根据映与函数的定义即可判断出其关系；②先得出()f x 的反函数是5log y x =，再计算函数值即可；③利用基本不等式得结果；④根据函数的奇偶性定义判断即可. 【详解】当映射不是定义在数集上时就不是函数，但函数一定是其定义域到值域的映射，故①正确；()f x 的反函数是5log y x =，则()5x f x =，所以()5151log 15f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故②不正确；函数()221lg lg lg 2x x f x x x +≥==，当且仅当1x =时取等号，因此其最小值是lg 2，故③正确；由101x x+>-，解得：11x -<<，()()11lg lg 11x xf x f x x x +--==-=--+， ∴()f x 是奇函数，不是偶函数，故④不正确． 其中所有正确命题的序号是①③． 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数的定义性质、反函数的定义、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)(1)f x f x -=--，且当1x ≤-时，()()xR m f x m e-=∈+，则2(log 7),a f =-23(3)b f -=-， 1.5(3)c f -=-的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】B【解析】由(1)(1)f x f x -=--得图象关于1x =-对称，由题意易得()1,x ∈-+∞时，函数单调递增，将()2log 7a f =-转化到区间()1,-+∞上，借助函数的单调性判断大小即可. 【详解】∵(1)(1)f x f x -=--，∴函数()f x 的图象关于1x =-对称，又∵当1x ≤-时，()()xR m f x m e -=∈+，函数在(),1-∞-时单调递减，∴函数()f x 在()1,-+∞上单调递增， ∴()()2227log 72log 7log 4a f f f ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭， 又∵270log 14<<，21.50303331--<<<=即21.531330---<-<-<，∴()21.5327log 334f f f --⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c b >>，故选：B. 【点睛】本题考查函数的单调性及其应用，解决本题的关键是利用所给条件把问题转化到已知区间上利用函数性质解决问题，属于中档题.二、填空题 13．函数()14x f x a -=+（其中0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则P 点坐标是_____________． 【答案】()1,5【解析】试题分析：由指数函数01xy a a a =≠（＞，）的图象恒过01（，）点 而要得到函数()14x f x a-=+（其中0a >且1a ≠）的图象，可将指数函数01xy a a a =≠（＞，）的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位．则01（，）点平移后得到点5（1，）．点P 的坐标是5（1，）． 【考点】指数函数的性质14．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________． 【答案】(1,4)；【解析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围． 【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数， 当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间， ∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意， 综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．15．已知函数642()4321f x ax bx cx x =++-+，（a b c 、、是非零常数），若(5)17f -=，则(5)f =_________． 【答案】3-；【解析】将5-和5分别代入函数表达式，两式相减即可得结果. 【详解】∵642()4321f x ax bx cx x =++-+， ∴()645545759f a b c =+⋅⨯+-①，()()()()6426455453511545751117f a b c a b c -=-+⋅-+⨯-+=+⋅++=②，①-②得：()51791120f -=--=-，故()53f =-， 故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题． 16．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f -=-，若[],1,10m n m n ∈-+≠，时，有()()0f m f n m n+>+.若2()21f x t at ≤-+对任意[][]1,11,1x a ∈-∈-，恒成立，则实数t 的取值范围为_________． 【答案】(]{}[),202,-∞-+∞U U .【解析】先用定义判断出函数单调递增，对任意的[]11x ∈-，不等式恒成立，等价于()()2121max f x f t at =≤-+，对任意[]1,1a ∈-恒成立，可看作关于a 的一次函数，借助数形结合思想可得关于a 的不等式组，解出即可. 【详解】∵()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()11f -=-，[],1,10m n m n ∈-+≠，时，有()()0f m f n m n+>+，∴任取1x ，21[]1x ∈-，，且21x x ≥，则()()()()()()()()()212121212121210f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=->-+-，∴()()21f x f x >，∴函数()f x 在[]1,1-上单调递增． ∴()f x 的最大值为()()111f f =--=，∴2()21f x t at ≤-+对任意[][]1,11,1x a ∈-∈-，恒成立， ∴2211t at -+≥对任意[]1,1a ∈-恒成立， ∴220t at -≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，把22y t at =-看作a 的函数，由[]1,1a ∈-知其图象是一条线段，故有()22210210t t t t ⎧-⨯-⨯≥⎨-⨯⨯≥⎩，即2220 20t t t t ⎧+≥⎨-≥⎩， 解得2t ≤-或0t =或2t ≥，故实数t 的取值范围是(]{}[),202,-∞-+∞U U ， 故答案为：(]{}[),202,-∞-+∞U U . 【点睛】本题考查函数的单调性的判断，考查不等式解集的求法，考查转化思想、数形结合思想．解题时要认真审题，注意定义法、等价转化思想、构造法的合理运用，属于中档题.三、解答题17．（1）lg8lg125lg 2lg5+--（2）13203410.027()2561)7----+【答案】（1）2（2）19【解析】（1）直接利用对数的运算性质结合lg 2lg51+=即可得结果；（2）根据指数的运算性质计算可得结果. 【详解】 解：（1）原式33lg 2lg5lg 2lg5=+-- 3lg 23lg5lg 2lg5=+--2(lg 2lg5)=2=+(2)原式313124431(0.3)(7)(4)13---⎡⎤=--+-+⎣⎦ 1231(0.3)7413-=-+-+ 1016414933=-++- 19=【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的运算，熟练掌握指数与对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.18．已知集合{|123}A x a x a =-<<+，{|24}B x x =-≤≤，全集U R =． ()1当2a =时，求A B ⋃；()2若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|27x x -≤<；（2）4a ≤-或112a -≤≤. 【解析】（1）由集合并集的运算得：A ={}|17x x <<，所以A ∪B ={}|27x x -≤<，（2）由集合间的包含关系及空集的定义得：A ∩B =A ，得A ⊆B ，讨论①当A =∅，②当A ≠∅，综合可得解．【详解】解：（1）当a =2时，A ={}|17x x <<，所以A ∪B ={}|27x x -≤<，（2）因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ，①当A =∅，即a -1≥2a +3即a ≤-4时满足题意，②当A ≠∅时，由A ⊆B ，有12312234a a a a -+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩＜，解得-112a ≤≤， 综合①②得： 实数a 的取值范围为：4a ≤-或-112a ≤≤，本题考查了集合并集的运算及集合间的包含关系及空集的定义，属简单题． 19．已知幂函数()221()1--=--m f x m m x在(0,)+∞上单调递增. （1）求实数m 的值；（2）若(1)(32)m m k k +<-，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1m =-（2）23(,1)(,)32-∞- 【解析】（1）由幂函数的定义可得m ，再利用()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得出m范围；（2）由于1y x -=在区间()0-∞，，()0,∞+上都是减函数，且()()11132k k --+<-，分三种情况讨论，即可得出． 【详解】解：（1）因为()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =， 又因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以210-->m ，即12m <-， 所以1m =-.（2）由于1y x -=在区间()(),0,0,-∞+∞都是减函数，且11(1)(32)k k --+<- 分三种情况讨论：①当1032k k +<<-，即1k <-时，原不等式成立；②当10+<k 且320-<k 时，有132k k +>-，即13223k k k ⎧⎪<-⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，解集为空集； ③当10k +>且320->k 时，有132k k +>-，即13223k k k ⎧⎪>-⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩， ∴2332k << 综上所述：k 的取值范围是23(,1)(,)32-∞-.本题考查了幂函数的定义性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，满足()()(),(2)1f xy f x f y f =+=. （1）求(1)f ；（2）解不等式()(3)2f x f x +-≤.【答案】（1）()1=0f （2）(]3,4【解析】（1）根据()()()f xy f x f y =+可令1x y ==，从而可求出()1f 的值；（2）根据条件可求出()42f =，原不等式可化为()()234f x x f -≤，再根据()f x 是定义在()0+∞，上的单调递增函数列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）∵()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，∴()()()()11111f f f f =⨯=+，∴()10f =.（2）∵()()()f xy f x f y =+，()21f =，∴()()()()422222f f f f =⨯=+=，()()()()2333f x f x f x x f x x +-=-=-⎡⎤⎣⎦， ∴由()()32f x f x +-≤得()()234f x x f -≤， 且()f x 是定义在()0+∞，上的单调递增函数， ∴234 030x x x x ⎧-≤⎪>⎨⎪->⎩，解得34x <≤， 故原不等式的解集是(]3,4．【点睛】本题主要考查了增函数的定义，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于中档题．21．经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足函数()802g t t =-（件），而且销售价格近似满足于()115(010)2125(1020)2t t f t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（元）. （1）试写出该种商品的日销售额y 与时间(0t 20)t ≤≤的分段函数表达式()h t ； （2）求该种商品的日销售额y 的最大值.【答案】（1）22101200,(010)902000,(1020)t t t y t t t ⎧-++≤≤=⎨-+<≤⎩；（2）该种商品的日销售额y 的最大值为1225元.【解析】（1）根据()()y g t f t =⋅可得该种商品的日销售额y 与时间()020t t ≤≤的函数表达式；（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y 的最大值.【详解】（1）由已知得：()()()115802,010*******,(1020)2t t t y t t t ⎧⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-⋅-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩()22101200,010902000,(1020)t t t y t t t ⎧-++≤≤=⎨-+<≤⎩（2）由（1）知①当010t ≤≤时，()2210120051225y t t t =-++=--+该函数在[]0,5t ∈递增，在(]5,10t ∈递减. max 1225y ∴=（当5t =时取得）.②当1020t <≤时，()229020004525y t t t =-+=--该函数在[]10,20t ∈递减， max 1200y ∴<.由①②知max 1225y ∴=，答：该种商品的日销售额y 的最大值为1225元.点睛：本题主要考查了利用数学知识解决实际问题，以及分段函数，分段函数求最值的实际问题转化为数学问题是关键，对学生的计算能力，阅读理解能力要求较高，一般转化为数学问题后会涉及函数最值，要学会采用合理的方法求函数的最值.22．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44•23xa a⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】（1）k＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.log44141xx－＋＋＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－12x＝log44•23xa a⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x＋12x＝a·2x－43a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－43at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝＝34或－3.若a＝34＝－2，不合题意，若a＝－＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a--综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。

2019-2020学年四川省南充高中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知不等式|a −2x|>x −1，对任意x ∈[0,2]恒成立，则a 的取值范围为( )A. (−∞,−1)∪(5,+∞)B. (−∞,2)∪(5,+∞)C. (1,5)D. (2,5)2. 在等差数列{a n }中，a 3+a 5+2a 10=4，则此数列的前13项的和等于( )A. 13B. 26C. 8D. 1623. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C =π6，a +b =l2，面积的最大值为( )A. 6B. 8C. 7D. 94. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2n a n (n ∈N +)，则数列{a n }的通项公式为( )A. a n =2n−1B. a n =2nC. a n =2n(n−1)2D. a n =2 n 225. 已知△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则以下为钝角三角形的是( )A. a =3，b =3，c =4B. a =4，b =5，c =6C. a =4，b =6，c =7D. a =3，b =3，c =56. 已知等差数列满足，，则它的前10项和( )A. 85B. 135C. 95D. 237. 设{a n }是公比为正数的等比数列．若a 1=4，a 5=16，则数列{a n }的前7项和为( )A. 63B. 64C. 60+28√2D. 1288. 在△ABC 中，sinA =35，sinB =1213，a =13，b =( )A. 20B. 15C. 203D. 3659. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n+12−a n a n+1−2a n 2=0，a 3⋅a 5=64，则S 8=( )A. 127B. 255C. 256D. 51110. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n ＋m ，且a 1=1，那么a 11=( )．A. 1B. 9C. 10D. 5511. 在中的内角所对的边分别为，若成等比数列，则的形状为A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不确定12. 以下给出的函数中，以π为周期的奇函数是( )A. y =cos 2x −sin 2xB. y =sin|x|C. y =sinx ⋅cosxD. y =tan x2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，已知a =1，sinA =√210，cosC =−35，则c =______．14. 函数f(x)=x(x −S 1)(x −S 2)…(x −S 8)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n =1n(n+1)，则f′(0)=______15. 已知实数x ，y 满足条件{x ≥2x +y ≤42x −y −m ≤0，若目标函数z =2x +y 的最大值为7，则m 的最小值为______．16. 在等差数列{a n }中，a 3=1，a 6=4，则a 9=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知二次函数f(x)满足f(0)=−8，f(4)=f(−2)=0．(1)求f(x)的解析式，并求出函数的值域； (2)若f(x −2)=x 2−12，求x 的值．18. 已知cosx −sinx =3√25，5π4<x <7π4(1)求sinx +cosx 的值； (2)求sin2x−2sin 2x 1+tanx的值．19.(本小题满分14分)已知数列，满足，，且()，数列满足(1)求和的值，(2)求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式(3)设数列的前和为，求证：20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45°，△ABC的面积S=2(1)求边b的长；(2)求△ABC的外接圆的面积．21. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2(n ∈N ∗).(1)求{a n }的通项公式； (2)令b n =1a n a n+1，T n 是数列{b n }的前n 项和，试证明T n <12．22. 已知等差数列{a n }中，a 2，a 3(a 2<a 3)为方程x 2−8x +15=0的两个根，数列{a n }的前项和为S n ．(1)求a n 及S n ；(2)在(1)的条件下，记b n =14S n−1，{b n }的前项和为T n ，求证：T n <12．【答案与解析】1.答案：B解析：运用绝对值不等式的解法，结合题干利用不等式的性质进行求解．此题考查绝对值不等式的性质和不等关系与不等式的关系，此题是一道好题．是基础题。

2019-2020学年四川省南充高中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1. 设全集U ＝R ，集合A ＝{x|1<x <3}，B ＝{x|2x −3<0}，则A ∩(∁U B)＝（ ） A.(1, 32)B.[32, 3)C.(1, +∞)D.(−∞, 32)【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】求出集合∁U B ＝[1.5, +∞)，再求出结果． 【解答】全集U ＝R ，集合A ＝{x|1<x <3}，B ＝{x|2x −3<0}＝(−∞, 1.5)， ∁U B ＝[1.5, +∞)，则A ∩(∁U B)＝[1.5, 3)，2. sin 15∘sin 45∘−cos 15∘cos 45∘＝（ ） A.12B.√32C.−12D.−√32【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用两角和的余弦公式，求出结果． 【解答】sin 15∘sin 45∘−cos 15∘cos 45∘＝−(cos 15∘cos 45∘−sin 15∘sin 45∘)＝−cos (15∘+45∘) ＝−cos 60∘=−12，3. 已知向量a →=(2, 1)，b →=(1, k)，若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A.2B.12C.3D.−12【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据平面向量的共线定理列方程求出k 的值． 【解答】向量a →=(2, 1)，b →=(1, k)，若a →∥b →，则2k −1×1＝0， 解得k =12．4. 若函数f(x)＝2x +x −4的零点为x 0，则x 0所在区间是（ ） A.(−1, 0) B.(0, 1) C.(1, 2) D.(2, 3) 【答案】 C【考点】 二分法的定义 【解析】可判断函数f(x)＝2x +x −4在其定义域上连续且单调递增，从而利用函数零点判定定理判断即可． 【解答】故函数f(x)＝2x +x −4的零点坐在的区间为(1, 2)(1)故选：C ．5. 若sin α+cos αsin α−cos α=12，则tan 2α=( ) A.−34B.34C.−43D.43【答案】 B【考点】二倍角的正切公式同角三角函数间的基本关系 【解析】将已知等式左边的分子分母同时除以cos α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tan α的方程，求出方程的解得到tan α的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tan α的值代入即可求出值． 【解答】解：∵ sin α+cos αsin α−cos α=tan α+1tan α−1=12， ∴ tan α=−3，则tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×(−3)1−(−3)2=34．故选B .6. 已知a ＝log 25，b ＝log 38，c ＝0.20.3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.c <b <a B.c <a <b C.a <b <c D.b <c <a 【答案】 A【考点】对数值大小的比较 【解析】利用对数与指数函数的单调性即可得出． 【解答】a ＝log 25>2，b ＝log 38∈(1, 2)，c ＝0.20.3∈(0, 1) 则a ，b ，c 的大小关系是c <b <a ．7. 已知|a →|＝2，|b →|＝1，a →与b →的夹角为π3，则|2a →−3b →|＝（ ）A.3B.2√3C.√13D.4【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据|a →|=2,|b →|=1,<a →,b →>=π3进行数量积的运算即可求出(2a →−3b →)2的值，从而得出|2a →−3b →|的值． 【解答】∵ a →2=4,b →2=1,a →⋅b →=1，∴ (2a →−3b →)2=4a →2−12a →⋅b →+9b →2=16−12+9＝13，∴ |2a →−3b →|=√13．8. 函数f(x)=x2−sin x(x ∈[−2π, 2π])的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】先根据函数的奇偶性判断图象的对称性，然后结合当x ＝2π时函数值的符号进行判断即可． 【解答】函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，Df(2π)＝π−sin 2π＝π>0，排除C ，9. 在△ABC 中，AD →=2DB →，若P 为CD 上一点， 且满足AP →=mAC →+12AB →，则m ＝（ ）A.14 B.13C.12D.23【答案】 A【考点】平面向量的基本定理 【解析】由于C ，P ，D 三点共线，所以存在x ，y 使得AP →=xAC →+yAD →，且x +y ＝1，结合已知条件，联立解方程组解出答案． 【解答】由于C ，P ，D 三点共线，所以存在x ，y 使得AP →=xAC →+yAD →， 且x +y ＝1， 由AD →=2DB →，所以AP →=xAC →+23yAB →，由{23y =12x =m x +y =1 ，得y =34，x =14=m ，故m =14，10. 为了得到函数y ＝sin 2x +√3cos 2x 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象（ ） A.向右平移π6个单位B.向右平移π3单位 C.向左平移π6单位D.向左平移π3个单位【答案】 C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 两角和与差的三角函数 【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用三角函数的图象变换判断选项即可． 【解答】函数y ＝sin 2x +√3cos 2x ＝2sin (2x +π3)＝2sin [2(x +π6)]，所以将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π6单位，即可得到y ＝2sin [2(x +π6)]的图象， 即得到函数y ＝sin 2x +√3cos 2x 的图象，11. 已知函数f(x)={(a −3)x +5,(x ≤1)，2ax ，(x >1)是R 上的减函数则a 的取值范围是( ) A.(0, 3) B.(0, 3] C.(0, 2) D.(0, 2]【答案】D【考点】函数单调性的性质 【解析】由f(x)为R 上的减函数可知，x ≤1及x >1时，f(x)均递减，且(a −3)×1+5≥2a 1，由此可求a 的取值范围． 【解答】解：因为f(x)为R 上的减函数，所以x ≤1时，f(x)递减，即a −3<0①， x >1时，f(x)递减，即a >0②， 且(a −3)×1+5≥2a 1③，联立①②③解得，0<a ≤2． 故选D ．12. 定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在[0, +∞)上递减，且f(1)＝0，则满足f(log 12x)<0的x 的取值范围是（ ） A.(0, 12)∪(2, +∞)B.(12, 1)∪(1, 2)C.(−∞, 12)∪(2, +∞)D.(12, 1)∪(2, +∞)【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】偶函数y ＝f(x)在[0, +∞)上递减，且f(1)＝0，所以y ＝f(x)在(−∞, 0)上递增，且f(−1)＝0，且距离对称轴越远，函数值越小， 由f(log 12x)<0可得|log 12x|>1，所以log 12x >1或log 12x <−1，解可得，0<x <12或x >2．故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.若幂函数y ＝(m 2−2m −2)x m−2在x ∈(0, +∞)上为减函数，则实数m 的值是________• 【答案】 −1【考点】 幂函数的图象 【解析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m 2−2m −2＝1，再根据函数在(0, +∞)上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m 值应满足以上两条． 【解答】因为函数y ＝(m 2−2m −2)x m−2既是幂函数又是(0, +∞)的减函数，所以 {m 2−2m −2=1m −2<0⇒{m =3m =−1m <2 ，解得：m ＝−1．等边三角形ABC 的边长为1，BC →=a →，CA →=b →，AB →=c →，那么a →⋅b →+b →⋅c →+c →⋅a →等于________． 【答案】−32【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据等边三角形求出各向量间的夹角，代入数量积公式计算． 【解答】∵ 等边三角形ABC 的边长为1， ∴ a →⋅b →=1×1×cos 120∘=−12，b →⋅c →=1×1×cos 120∘=−12，c →⋅a →=1×1×cos 120∘=−12，∴ a →⋅b →+b →⋅c →+c →⋅a →=−32．已知α为第二象限角，且sin α+cos α=√33，则cos 2α＝________． 【答案】 −√53【考点】同角三角函数间的基本关系 二倍角的三角函数 【解析】由α为第二象限角，可知sin α>0，cos α<0，从而可求得sin α−cos α的值，利用cos 2α＝−(sin α−cos α)(sin α+cos α)可求得cos 2α． 【解答】 ∵ sin α+cos α=√33，两边平方得：1+sin 2α=13，∴ sin 2α=−23，①∴ (sin α−cos α)2＝1−sin 2α=53， ∵ α为第二象限角， ∴ sin α>0，cos α<0， ∴ sin α−cos α=√153，② ∴ cos 2α＝−(sin α−cos α)(sin α+cos α) ＝(−√153)×√33=−√53．下列是有关△ABC 的几个命题，①若①tan A +tan B +tan C >0，则△ABC 是锐角三角形； ②若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰三角形； ③若(AB →+AC →)⋅BC →=0，则△ABC 是等腰三角形；④若cos A ＝sin B ，则△ABC 是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是________． 【答案】 ①③ 【考点】两角和与差的三角函数 【解析】①根据两角和差的正切公式判断正误；②根据三角函数的倍角公式进行化简判断即可； ③根据向量数量积的应用判断即可；④根据三角函数的诱导公式进行化简判断正误． 【解答】对于①，tan A +tan B ＝tan (A +B)(1−tan A tan B)，∴ tan A +tan B +tan C ＝tan (A +B)(1−tan A tan B)+tan C ＝tan A tan B tan C >0， 又A ，B ，C 是△ABC 的内角，∴ 内角A 、B 、C 都是锐角，①正确； 对于②，sin 2A ＝sin 2B ，∴ sin 2A −sin 2B ＝cos (A +B)sin (A −B)＝0， ∴ cos (A +B)＝0或sin (A −B)＝0， ∴ A +B =π2或A ＝B ，∴ △ABC 是等腰三角形或是直角三角形，②错误；对于③，若(AB →+AC →)⋅BC →=0，则(AB →+AC →)⋅(AC →−AB →)＝0， ∴ AC →2−AB →2=0，即|AC →|＝|AB →|， ∴ △ABC 是等腰三角形，③正确；对于④，若cos A ＝sin B ，则sin B ＝cos A ＝sin (π2−A)， ∴ B =π2−A ，B +π2−A ＝π即A +B =π2或B −A =π2，∴ △ABC 不一定为直角三角形，④错误， 综上，所有正确命题的序号是①③． 三、解答题计算：(Ⅰ)cos 74∘sin 14∘−sin 74∘cos 14∘； (Ⅱ)tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘ 【答案】（1）cos 74∘sin 14∘−sin 74∘cos 14∘＝sin (14∘−74∘)＝−sin 60∘=−√32． (2)tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘＝tan (20∘+40∘)(1−tan 20∘tan 40∘ )+√3tan 20∘tan 40∘=√3 (1−tan 20∘tan 40∘ )+√3tan 20∘tan 40∘=√3． 【考点】两角和与差的三角函数 【解析】(Ⅰ)由题意利用两角差的正弦公式求得要求式子的值．(Ⅱ)由题意利用两角和的正切公式的变形公式，求出要求式子的值． 【解答】（1）cos 74∘sin 14∘−sin 74∘cos 14∘＝sin (14∘−74∘)＝−sin 60∘=−√32． (2)tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘＝tan (20∘+40∘)(1−tan 20∘tan 40∘ )+√3tan 20∘tan 40∘=√3 (1−tan 20∘tan 40∘ )+√3tan 20∘tan 40∘=√3．已知平面向量a →=(1, x)，b →=(2x +3, −x)(x ∈N)． （1）若a →与b →垂直，求x ；（2）若a → // b →，求|a →−b →|． 【答案】向量a →=(1,x),b →=(2x +3,−x)，且a →与b →垂直，∴ a →⋅b →=1⋅(2x +3)+x ⋅(−x)＝0， 解得x ＝3或x ＝−1， 又∵ x ∈N ， ∴ x ＝3；若a →∥b →，则1⋅(−x)−x ⋅(2x +3)＝0， 解得x ＝0或x ＝−2， ∵ x ∈N ， ∴ x ＝0，∴ a →−b →=(−2,0)， ∴ |a →−b →|=2．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】（1）根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出x 的值；（2）根据向量平行的共线定理列方程求出x 的值，再求向量的模长． 【解答】向量a →=(1,x),b →=(2x +3,−x)， 且a →与b →垂直，∴ a →⋅b →=1⋅(2x +3)+x ⋅(−x)＝0， 解得x ＝3或x ＝−1， 又∵ x ∈N ， ∴ x ＝3；若a →∥b →，则1⋅(−x)−x ⋅(2x +3)＝0， 解得x ＝0或x ＝−2， ∵ x ∈N ， ∴ x ＝0，∴ a →−b →=(−2,0)， ∴ |a →−b →|=2．已如α，β∈[π2,π]，且cos α=−35． (Ⅰ)求tan (π4−α)的值；(Ⅱ)若sin (α−β)=35，求sin β的值．【答案】（1）∵ α∈[π2,π]，且cos α=−35，∴ sin α=45，∴ tan α=−43， ∴ tan (π4−α)=1−tan α1+tan α=−7；（2）由α，β∈[π2,π]，得−π2<α−β<π2， ∵ sin (α−β)=35，∴ cos (α−β)=45，∴ sin β＝sin [α−(α−β)]=sin αcos (α−β)−cos αsin (α−β) =45×45−(−35)×35=1．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】(Ⅰ)根据cos α=−35，求出tan α，然后由两角差的正切公式求出tan (π4−α)的值； (Ⅱ)根据sin (α−β)=35，求出cos (α−β)=45，然后由sin β＝sin [α−(α−β)]求出sin β的值． 【解答】（1）∵ α∈[π2,π]，且cos α=−35，∴ sin α=45，∴ tan α=−43， ∴ tan (π4−α)=1−tan α1+tan α=−7；（2）由α，β∈[π2,π]，得−π2<α−β<π2， ∵ sin (α−β)=35，∴ cos (α−β)=45，∴ sin β＝sin [α−(α−β)]=sin αcos (α−β)−cos αsin (α−β) =45×45−(−35)×35=1．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90∘，点E 为BC 的中点，AD →=2DB →，设AC →=a →，AB →=b →．(Ⅰ)用a →,b →表示DE →．(Ⅱ)在AC 边上是否存在点F ，使得DF ⊥EF ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵ 点E 为BC 的中点，AD →=2DB →，且AC →=a →,AB →=b →， ∴ DE →=DB →+BE →=13AB →+12BC → =13AB →+12(AC →−AB →) =12AC →−16AB → =12a →−16b → （2）如图，假设在AC 边上存在点F ，使得DF ⊥EF ，设AF →=λAC →，则CF →=(λ−1)AC →，0≤λ≤1，∴ DF →=DA →+AF →=23BA →+λAC →=23BA →+λ(BC →−BA →)=(23−λ)BA →+λBC →，EF →=EC →+CF →=12BC →+(λ−1)AC →=12BC →+(λ−1)(BC →−BA →)=(λ−12)BC →+(1−λ)BA →， 又△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90∘，∴ DF →⋅EF →=[(23−λ)BA →+λBC →]⋅[(λ−12)BC →+(1−λ)BA →]=(23−λ)(1−λ)BA →2+λ(λ−12)BC →2=0，且BA →2=BC →2，∴ (23−λ)(1−λ)+λ(λ−12)=0，整理得12λ2−13λ+4＝0，△＝169−12×16<0，方程无解，∴ AC 边上不存在点F ，使得DF ⊥EF ． 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量的基本定理 【解析】(Ⅰ)根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可用a →,b →表示出DE →；(Ⅱ)可画出图形，假设在AC 边上存在点F ，使得DF ⊥EF ，并设AF →=λAC →,CF →=(λ−1)AC →，0≤λ≤1，然后可得出DF →=(23−λ)BA →+λBC →，EF →=(λ−12)BC →+(1−λ)BA →，然后根据∠ABC ＝90∘，AB ＝BC ，进行数量积的运算即可得出12λ2−13λ+4＝0，可判断该方程无解，从而得出在AC 边上不存在点F ，使得DF ⊥EF ． 【解答】（1）∵ 点E 为BC 的中点，AD →=2DB →，且AC →=a →,AB →=b →， ∴ DE →=DB →+BE →=13AB →+12BC → =13AB →+12(AC →−AB →) =12AC →−16AB → =12a →−16b → （2）如图，假设在AC 边上存在点F ，使得DF ⊥EF ，设AF →=λAC →，则CF →=(λ−1)AC →，0≤λ≤1，∴ DF →=DA →+AF →=23BA →+λAC →=23BA →+λ(BC →−BA →)=(23−λ)BA →+λBC →，EF →=EC →+CF →=12BC →+(λ−1)AC →=12BC →+(λ−1)(BC →−BA →)=(λ−12)BC →+(1−λ)BA →， 又△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90∘，∴ DF →⋅EF →=[(23−λ)BA →+λBC →]⋅[(λ−12)BC →+(1−λ)BA →]=(23−λ)(1−λ)BA →2+λ(λ−12)BC →2=0，且BA →2=BC →2，∴ (23−λ)(1−λ)+λ(λ−12)=0，整理得12λ2−13λ+4＝0，△＝169−12×16<0，方程无解，∴ AC 边上不存在点F ，使得DF ⊥EF ．已知向量a →=(sin x, cos x)，b →=(2sin x +√3cos x, cos x)，设函数f(x)=a →⋅b →． (Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (Ⅱ)求使f(x)≥1成立的x 的取值集合．【答案】（1）由已知得函数f(x)=a →⋅b →=2sin 2x +√3sin x cos x +cos 2x =√32sin 2x +12(1−cos 2x)+1 ＝sin (2x −π6)+32； 所以：T ＝π， 由−3π2+2kπ≤2x −π6≤−π2+2kπ 得：−2π3+kπ≤x ≤−π6+kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调递减区间为[−2π3+kπ, −π6+kπ]，k ∈Z ，（2）由(Ⅰ)知f(x)＝sin (2x −π6)+32，∴ f(x)≥1⇒sin (2x −π6)≥−12⇒−π6+2kπ≤2x −π6≤7π6+2kπ 得：kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ，∴ 使f(x)≥1成立的x 的取值集合为：[kπ, 2π3+kπ]，k ∈Z ．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】(Ⅰ)先根据向量的数量积公式和三角函数的化简，可得函数解析式，再求出周期和单调递减区间，(Ⅱ)根据三角形的函数的性质直接解三角不等式即可求出． 【解答】（1）由已知得函数f(x)=a →⋅b →=2sin 2x +√3sin x cos x +cos 2x =√32sin 2x +12(1−cos 2x)+1 ＝sin (2x −π6)+32； 所以：T ＝π， 由−3π2+2kπ≤2x −π6≤−π2+2kπ 得：−2π3+kπ≤x ≤−π6+kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调递减区间为[−2π3+kπ, −π6+kπ]，k ∈Z ，（2）由(Ⅰ)知f(x)＝sin (2x −π6)+32，∴ f(x)≥1⇒sin (2x −π6)≥−12⇒−π6+2kπ≤2x −π6≤7π6+2kπ 得：kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ，∴ 使f(x)≥1成立的x 的取值集合为：[kπ, 2π3+kπ]，k ∈Z ．函数f(x)＝A sin (ωx +φ)（其中A >0,ω>0,|φ|<π2）的部分图象如图所示，把函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象．（1）当x ∈[π4,17π24]时，求g(x)的值域（2）令F(x)＝f(x)−3，若对任意x 都有F 2(x)−(2+m)F(x)+2+m ≤0恒成立，求m 的最大值 【答案】根据图象可知A =1,14T =7π12−π3， ∴ T ＝π，∴ ω=2πT =2，∴ f(x)＝sin (2x +φ)，代入(7π12,−1)得，sin (7π6+φ)＝−1， ∴ φ＝2kπ+π3，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴ k ＝0，φ=π3，f(x)＝sin (2x +π3)；把函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin [2(x −π4)+π3]＝sin (2x −π6)的图象，再向下平移1个单位，得到y ＝sin (2x −π6)−1的图象； ∴ 函数g(x)＝sin (2x −π6)−1；设t ＝2x −π6，则t ∈[π3, 5π4]，此时sin t ∈[−√22, 1]， 所以g(x)的值域为[−√22−1, 0]；由（1）可知f(x)=sin (2x +π3)∈[−1,1]，F(x)＝f(x)−3∈[−4, −2]，对任意x 都有F 2(x)−(2+m)F(x)+2+m ≤0恒成立；令t ＝F(x)∈[−4, −2]，ℎ(t)＝t 2−(2+m)t +2+m ，是关于t 的二次函数，且开口向上，则ℎ(t)max ≤0恒成立；而ℎ(t)的最大值，在t ＝−4或t ＝−2时取到最大值， 则{ℎ(−2)≤0ℎ(−4)≤0，即{4−(2+m)(−2)+2+m ≤016−(2+m)(−4)+2+m ≤0 ， 解得{m ≤−103m ≤−265 ；即m ≤−265，所以m 的最大值为−265．【考点】不等式恒成立的问题 余弦函数的单调性 【解析】（1）根据函数的图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出函数f(x)的解析式， 根据图象平移得出函数g(x)的解析式，再求g(x)的值域；（2）由f(x)求得F(x)的值域，根据不等式F 2(x)−(2+m)F(x)+2+m ≤0恒成立， 构造函数，利用函数的最值求出m 的最大值． 【解答】根据图象可知A =1,14T =7π12−π3，∴ T ＝π，∴ ω=2πT=2，∴ f(x)＝sin (2x +φ)， 代入(7π12,−1)得，sin (7π6+φ)＝−1，∴ φ＝2kπ+π3，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴ k ＝0，φ=π3，f(x)＝sin (2x +π3)；把函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin [2(x −π4)+π3]＝sin (2x −π6)的图象，再向下平移1个单位，得到y ＝sin (2x −π6)−1的图象； ∴ 函数g(x)＝sin (2x −π6)−1；设t ＝2x −π6，则t ∈[π3, 5π4]，此时sin t ∈[−√22, 1]， 所以g(x)的值域为[−√22−1, 0]；由（1）可知f(x)=sin (2x +π3)∈[−1,1]，F(x)＝f(x)−3∈[−4, −2]，对任意x 都有F 2(x)−(2+m)F(x)+2+m ≤0恒成立；令t ＝F(x)∈[−4, −2]，ℎ(t)＝t 2−(2+m)t +2+m ，是关于t 的二次函数，且开口向上，则ℎ(t)max ≤0恒成立；而ℎ(t)的最大值，在t ＝−4或t ＝−2时取到最大值， 则{ℎ(−2)≤0ℎ(−4)≤0， 即{4−(2+m)(−2)+2+m ≤016−(2+m)(−4)+2+m ≤0 ， 解得{m ≤−103m ≤−265 ；即m ≤−265，所以m 的最大值为−265．。