四川省南充高级中学2020-2021学年高一4月检测考试数学试题 答案和解析

四川省南充高级中学2020届高三数学4月检测考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2,3,4,5,6,7U =，集合{}4,5,7A =，{}4,6B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{}5 B ．{}2C ．{}2,5D ．{}5,7【答案】D 【解析】,选D.2.复数z 与复数(2)i i -互为共轭复数（其中为虚数单位），则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --【答案】A 【解析】。

选A 。

3.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题C ．命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，均有2210x -<” D ．“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题 【答案】D4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a 、3a 、4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．【答案】C 【解析】所以 ，选C.5.以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（ ） A ．22B ．C ．2D ．2【答案】B考点：椭圆，双曲线的标准方程及其性质．6.如图是秦九昭算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ）A ．1030020(())a x a x a a x +++的值B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值【答案】C【解析】试题分析：第①次执行循环体得；第②次执行循环体得；第③次执行循环体得，由于条件不成立，所在输出.故选C. 考点：1.秦九韶算法；2.程序框图.7.设1F ，2F 是双曲线22124y x -=的焦点，P 是双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，12PF F ∆的面积等于（ ） A ．42 B ．83C ．24D ．48【答案】D8.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的侧面积等于（ ）A ．212cm π B ．215cm πC ．224cm πD ．230cm π【答案】C【解析】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5 则圆锥的底面积S 底面=π•r 2=9π 侧面积S 侧面=π•r•l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2， 故答案为：24πcm29.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的相邻两对称中心的距离为π，且()()2f x f x π+=-，则函数()4y f x π=-是（ ） A ．奇函数且在0x =处取得最小值 B ．偶函数且在0x =处取得最小值 C ．奇函数且在0x =处取得最大值 D ．偶函数且在0x =处取得最大值【答案】D10.已知函数22016()2016log (1)20162x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．1(,)4-+∞D ．1(,)4-∞-【答案】C【解析】因为 ，所以，即函数为奇函数，又 为上增函数，所以为上增函数，因此，选C.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内；11.已知函数()21xf x x =++，2()log 1g x x x =++，2()log 1h x x =-的零点依次为a ，b ，，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】因为，且 为单调增函数，所以 零点在区间内；因为 ，且 为单调增函数，所以 零点在区间内；而 零点为2，所以，选A.12.已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为'()f x ，若方程'()0f x =无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，当()sin cosg x x x kx =--在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．(,2]-∞C ．1,2⎡⎤-⎣⎦D ．[2,)+∞【答案】A点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(cos ,sin )22x xm =u r ，(3,1)n =-r ，则||m n -u r r 的最大值是 ．【答案】3 【解析】，所以的最大值是3.14.设函数()f x 的导函数3'()32f x x x =-+，则()f x 的极值点是 ．【答案】【解析】，由于在附近导函数符号不变，所以不是极值点；由于在 附近导函数符号由负变正，所以是极值点.即的极值点是15.过定点(2,1)P -作动圆C ：222220x y ay a +-+-=的一条切线，切点为T ，则线段PT 长的最小值是 ．【答案】【解析】因为圆的圆心坐标和半径分别为，则，切线长，故当时，，应填答案。

2020-2021学年四川省南充高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos75°cos15°−sin75°sin15°的值是( )A. 0B. 12C. √32D. −122. 已知数列{a n }的通项公式为a n =3n−1，那么9是它的( )A. 第10 项B. 第4 项C. 第3 项D. 第2 项3. 若sin(π4−x)=−15，则cos(π4+x)的值等于( )A. −15B. 15C. −√245D. √2454. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2，A =120°，△ABC 的面积为√3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 45. 在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD =2DC ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知C =60°，b =√2，c =√3，则sinA =( )A. √6+√24B. √6−√24C. √22D. 127. 数列{a n }中，若a 1=2,a n+1=2a nan +2，则a 7=( )A. 18B. 17C. 27D. 148. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知√3a +2c =2bcosA ，则角B的大小为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π69. 设α∈(0,π2),β∈(0,π2)，且tanα=1−sinβcosβ，则( )A. 3α−β=π2B. 3α+β=π2 C. 2α−β=π2D. 2α+β=π210. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b 2−c 2=2a 2，cosB =−14，则c a=( )A. 1B. 2C. 3D. 411.已知cosθ+2sinθ=−1，则tan2θ=()A. −247B. 247C. 0或−247D. 0或24712.已知函数f(x)=2√3sin(x2−π3)+2cos x2，函数g(x)=f(x)−m在区间[0,4π]上恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则f(x1+x2+x3)=()A. −1B. −√3C. 1D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗与b⃗ 为一组基底，若m a⃗+4b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，则实数m=______ ．14.已知cosα=−45,α∈(π2,π),则cosα2=______ ．15.如图，AE是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取D，C两点，使D，C，E三点在同一条直线上，在D，C两点测得顶点A的仰角分别为30o，67o，且D，C两点之间的距离为20米，则烟囱AE的高度为______ 米.(用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，√3≈1.73)16.已知平面单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ ，满足|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√3，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则sin2θ的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}的通项公式为a n=1+6n(n∈N∗)．(1)判断数列{a n}的单调性，并证明你的结论；(2)若数列{a n}中存在a n=n的项，求n的值．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =3，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求： (1)sinA 的值；(2)△ABC 的面积和AC 边上的高． 条件①：cosC =23，b =4； 条件②：cosC =23，cosB =19．19. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,sinβ)，−π2<β<α<π2． (1)若OA ⊥OB ，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α，β的值．20. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx ．(1)若x ∈R ，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在[0,m]上的最小值为2，求实数m 的取值范围．21.余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，在诞生之初，它只是以几何定理的身份出现，直到16世纪，才出现三角形式.17−18世纪，尽管三角形式偶有出现，但人们主要运用韦达定理来解“已知三边求各角”的问题，用正切定理来解“已知两边及其夹角求第三边”的问题.到20世纪，韦达定理销声匿迹，三角形式的余弦定理一统天下.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)证明：正切定理a+ba−b =tanA+B2tan A−B2.(提示：A=A+B2+A−B2，B=A+B2−A−B2)(2)若a2+c2−b2=ac，sinA−sinC=√22，求角A，C．22.为美化环境，拟在正方形ABCD的空地上修建三条直线型道路CP、CQ、PQ，如图所示，将正方形区域分成多个区域，种植不同的花草，设正方形边长为2(单位：百米)，P、Q分别为线段AB、AD上的点(含端点)，其中P，Q两点不重合．(1)若P、Q分别为线段AB、AD的中点，求△CPQ的面积；(2)若∠BCP=π6，求△CPQ面积的最大值，并说明此时Q点的位置；(3)若∠PCQ=π4，求线段PQ的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：cos75°⋅cos15°−sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=0．故选A．由两角和的余弦公式的逆用，再由特殊角的三角函数值，即可得到．本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵a n=3n−1=9=32，∴n=3．故选：C．把a n=3n−1中的a n换成9，解出n值即可．本题考查数列的概念及表示法，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由sin(π4−x)=−15得，√22cosx−√22sinx=−15，则cos(π4+x)=√22cosx−√22sinx=−15，故选：A．根据两角差的正弦函数公式化简sin(π4−x)=−15，再由两角和的余弦函数公式化简cos(π4+x)，对比后即可求值．本题考查两角差的正弦函数公式，两角和的余弦函数公式，以及整体思想．4.【答案】B【解析】解：∵△ABC的面积为√3，∴S=12bcsinA=12×2×c×√32=√3，∴c =2，由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA =4+4−2×2×2×(−12)=12， ∴a =2√3，由正弦定理知，2R =asinA =√3√32=4，∴R =2． 故选：B ．先由三角形的面积公式可得c =2，再由余弦定理求得a 的值，最后根据2R =asinA ，代入数据进行运算，得解．本题考查解三角形中正弦定理和余弦定理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵BD =2DC ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．由已知结合向量的线性运算即可求解． 本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．由已知结合正弦定理可求B ，然后结合三角形的和差角公式即可求解． 【解答】解：因为C =60°，b =√2，c =√3， 由正弦定理可得，bsinB =csinC ， 故sinB =bsinC c=√2×√32√3=√22，因为c >b ，故C >B ，所以B =45°，则sinA=sin(60°+45°)=√32×√22+12×√22=√2+√64．故选：A．7.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，若a1=2,a n+1=2a na n+2，可得1a n+1=12+1a n，所以数列{1an }是等差数列，首项为12，公差为：12，所以1a n =12+(n−1)×12=n2，可得a n=2n，所以a7=27．故选：C．通过数列的递推关系式，取倒数，得到新数列的通项公式，然后推出结果即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，考查计算能力．8.【答案】D【解析】【分析】由已知结合余弦定理对已知进行化简，然后再结合余弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．【解答】解：∵√3a+2c=2bcosA=2b×b2+c2−a22bc =b2+c2−a2c，整理可得，a2+c2−b2=−√3ac，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =−√32，因为B为三角形的内角，故B=5π6．故选：D．9.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,π2),β∈(0,π2)，∴α+β∈(0,π)．∵tanα=1−sinβcosβ，即sinαcosα=1−sinβcosβ，即sin(α+β)=cosα，∴α+β=π2−α，即2α+β=π2，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin(α+β)=cosα，可得α+β=π2−α，从而得出结论．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵b2−c2=2a2，∴a2+c2=b2−a2，且cosB=−14，∴cosB=a2+c2−b22ac =−a22ac=−a2c=−14，∴ac =12，ca=2．故选：B．根据条件可得出a2+c2=b2−a2，然后根据余弦定理即可求出ac 的值，进而可求出ca的值．本题考查了余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为cosθ+2sinθ=−1，可得cosθ=−2sinθ−1，又sin2θ+cos2θ=1，∴5sin2θ+4sinθ=0，∴sinθ=0，或−45，∴cosθ=−1，或35，则tanθ=0，或−43，∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=0，或247．故选：D．利用sin 2θ+cos 2θ=1，组成方程组，解出sinθ，cosθ的值，从而求出tanθ，即可得解． 本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，考查了转化思想，是基础题．12.【答案】A【解析】解：f(x)=2√3(sin x2cos π3−cos x2sin π3)+2cos x2=√3sin x2−cos x2=2sin(x2−π6)，要使g(x)=f(x)−m 在区间[0,4π]上恰有三个不同的零点，则需函数y =f(x)的图象与直线y =m 有三个不同的交点， 作出函数f(x)的大致图象如下图所示，不妨设x 1<x 2<x 3，由图象可知，x 1=0,x 3=4π,2sin(x 22−π6)=−1，则x 22−π6=7π6，∴x 2=8π3，∴x 1+x 2+x 3=0+8π3+4π=20π3，∴f(x 1+x 2+x 3)=2sin(10π3−π6)=−1．故选：A ．化简函数f(x)，作出f(x)的大致图象，观察图象可求得x 1，x 2，x 3的值，进而求得f(x 1+x 2+x 3).本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵m a ⃗ +4b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行，∴设m a ⃗ +4b ⃗ =k(a ⃗ +2b ⃗ )， 由∵向量a ⃗ 与b ⃗ 为一组基底，∴{m =k4=2k ，解得：m =2． 故m 的值为：2．利用平面向量共线定理可解决此题．本题考查向量共线定理，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】√1010【解析】解：∵cosα=−45cosα=2cos2α2−1=−45∴cosα2=±√1010∵α∈(π2,π)∴α2∈(π4,π2)∴cosα2=√1010故答案为：√1010利用余弦函数的二倍角公式即可求得答案．本题考查二倍角的余弦，属于基础题．15.【答案】15【解析】解：由题意可得，∠DAC=67°−37°=30°，根据正弦定理可得，ACsin30∘=DCsin∠DAC，∴AC=200.6×12=503，在△ACE中，AE=AC×sin67°=503×0.92≈15，故答案为：15．结合已知条件，以及正弦定理，即可求解．本题考查解三角形的正弦定理，以及实际应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】128【解析】解：由题意，|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，又|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√3，∴(2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )2≤3，即4|e 1⃗⃗⃗ |2+|e 2⃗⃗⃗ |2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≤3，可得e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≥12， 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，得cosα≥12． 又a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2|e 1⃗⃗⃗ |2+3e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=3+3e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =3+3cosα，|a ⃗ |2=(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=|e 1⃗⃗⃗ |2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =2+2cosα， |b ⃗ |2=(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=4|e 1⃗⃗⃗ |2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=5+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =5+4cosα．∴cos 2θ=(a ⃗ ⋅b ⃗ )2|a ⃗ |2⋅|b ⃗ |2=(3+3cosα)2(2+2cosα)(5+4cosα) =92⋅1+cosα5+4cosα=98⋅(5+4cosα−15+4cosα)=98(1−15+4cosα). ∵cosα≥12，∴cos 2θ≥2728， ∴sin 2θ≤128，即sin 2θ的最大值为128． 故答案为：128．e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由|2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ |≤√3，得到cosα≥12，分别把a ⃗ ⋅b ⃗ ，|a ⃗ |，|b ⃗ |用含有cosα的式子表示，求出cos 2θ的最小值，则sin 2θ的最大值可求．本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求夹角，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，故数列{a n }是递减数列，证明：数列{a n }中，a n =1+6n ， 则a n+1=1+6n+1，则a n+1−a n =(1+6n+1)−(1+6n )=6n+1−6n =−6n(n+1)<0， 故数列{a n }是递减数列；(2)若a n =n ，即1+6n =n ，变形可得n 2−n −6=0， 解可得：n =3或−2(舍)， 故n =3．【解析】(1)根据题意，由数列的通项公式可得a n+1=1+6n+1，据此可得a n+1−a n 的表达式，分析其符号可得结论；(2)根据题意，若数列{a n }中存在a n =n 的项，则有1+6n =n ，解可得n 的值，即可得答案．本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．18.【答案】解：选择条件①：(1)由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =9+16−2×3×4×23=9，即c =3，∴a =c ，sinA =sinC =√1−cos 2C =√1−49=√53；(2)S △ABC =12absinC =12×3×4×√53=2√5，设AC 边上的高为h ，则12bℎ=2ℎ=2√5， ∴ℎ=√5；选择条件②：(1)在△ABC 中，由cosC =23,cosB =19得，sinC =√53,sinB =4√59，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =4√59×23+19×√53=√53； (2)由(1)知sinA =sinC ，∴A =C ，a =c =3， ∴S △ABC =12acsinB =12×3×3×4√59=2√5，且b =2acosC =2×3×23=4，设AC 边上的高为h ，则12bℎ=2ℎ=2√5，解得ℎ=√5．【解析】选择条件①时：(1)根据余弦定理可求出c =3，从而可求出sinA =sinC =√53；(2)根据三角形的面积公式可求出S △ABC =2√5，再根据等积法可求出AC 边上的高； 选择条件②时：(1)根据两角和的正弦公式即可求出sinA =sin(B +C)=√53；(2)可得出A =C ，a =c ，然后根据三角形的面积公式可求出S △ABC =2√5，并求出b =4，然后根据等积法可求出AC 边上的高．本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,sinβ)， 则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2， 故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2； (2)设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则(cosα−cosβ,sinα−sinβ)=(0,1)，即{cosα=cosβsinα−sinβ=1， 又由−π2<β<α<π2，则α=−β，则sinα−sinβ=sinα−sin(−α)=2sinα=1，则α=π6，β=−π6， 故α=π6，β=−π6．【解析】(1)根据题意，由向量的坐标公式可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算可得答案； (2)根据题意，由向量的坐标计算公式可得(cosα−cosβ,sinα−sinβ)=(0,1)，即{cosα=cosβsinα−sinβ=1，结合α、β的范围分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量模以及向量的坐标的计算，属于基础题．20.【答案】解：f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx =cos2x +√3sin2x +1=2sin(2x +π6)+1．(1)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ， 解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，∴f(x)的递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k ∈Z ． (2)x ∈[0,m]，得[π6,π6+2m]， ∵f(x)在[0,m]上的最小值为2， ∴π6+2m ≤5π6，解得m ∈(0,π3].【解析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将f(x)化简成正弦型函数，再利用正弦型函数的单调性解题．该题考查三角函数的二倍角公式及辅助角公式，还考查正弦型函数的单调性及最值，属于中等题型．21.【答案】解：(1)证明：sinA=sin(A+B2+A−B2)=sin A+B2cos A−B2+cos A+B2sin A−B2，sinB=sin(A+B2−A−B2)=sin A+B2cos A−B2−cos A+B2sin A−B2，sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2，sinA−sinB=2cos A+B2sin A−B2，由正弦定理知，a+ba−b =sinA+sinBsinA−sinB，∴a+ba−b =sinA+B2cos A−B2cos A+B2sin A−B2=tanA+B2tan A−B2，∴a+ba−b =tanA+B2tan A−B2；(2)∵a2+c2−b2=ac，∴根据余弦定理，有cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3，∴A+C=2π3，C=2π3−A，∴sinA−sinC=sinA−sin(2π3−A)=sinA−√32cosA−12sinA=12sinA−√32cosA=sin(A−π3)=√22，且A−π3∈(−π3,π3)，∴A−π3=π4，A=7π12，C=π12．【解析】(1)可得出sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2，sinA−sinB=2cos A+B2sin A−B2，根据正弦定理可得出a+ba−b =sinA+sinBsinA−sinB，从而得到a+ba−b=tanA+B2tan A−B2；(2)根据条件及余弦定理可求出B=π3，然后根据sinA−sinC=√22，可得出sin(A−π3)=√22，再求出A，C的值．本题考查了正余弦定理，两角和差的正弦公式，弦化切公式，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当P、Q分别为线段AB、AD的中点时，S△CPQ=S正方形ABCD −S△CDQ−S△APQ−S△CBQ=4−1−1−12=32，(2)∵Q为线段AD上的点，∴当点Q与点D重合时，点Q到直线CP的距离最远，此时△CPQ面积最大，△CPQ面积的最大值为12×2×2=2．(3)设AP=m，AQ=n，则tan∠BCP=2−m2，tan∠DCQ=2−n2，又∵∠PCQ=π4，∴∠BCP+∠DCQ=π4，∴2−m 2+2−n21−2−m2⋅2−n2=1，化简整理得，n=8−4m4−m，m∈[0,2]，n∈[0,2]，则PQ2=m2+n2=m2+(8−4m4−m)2，令t=4−m，t∈[2,4]，则PQ2=(4−t)2+(−8+4tt )2=(t+8t−4)2，故PQ=|t+8t−4|，t∈[2,4]，∵t+8t∈[4√2,6]，∴PQ∈[4√2−4,2]．【解析】(1)当P、Q分别为线段AB、AD的中点时，S△CPQ=S正方形ABCD−S△CDQ−S△APQ−S△CBQ，(2)当点Q与点D重合时，点Q到直线CP的距离最远，从而求得，(3)设AP=m，AQ=n，由∠BCP+∠DCQ=π4及两角和的正切公式得2−m 2+2−n21−2−m2⋅2−n2=1，从而可得n=8−4m4−m ，m∈[0,2]，n∈[0,2]，从而得到PQ2=m2+n2=m2+(8−4m4−m)2，再化简求解即可．本题考查了学生通过建模解决实际问题能力，同时考查了学生的化简运算的能力，属于中档题．。

四川省南充高中2021-2021年度高三上期第四次月考〔理科答案〕一、选择题ABBDB CDACD BA 二、填空题13. 0≠x 且0≠y 14. []2,0 15. 40 16. 362 三、解答题17. 〔每题各6分〕解：〔1〕()()062sin 22cos 2sin 3>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ωπωωωx x x x f那么21222=⇒==ωπωπT（2）由〔1〕知()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2πx x f ，那么()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx x g当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,6ππx 时，()[]2,11,2162sin 32,662∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-x g x x ππππ18. 〔第〔1〕小题4分，第〔2〕小题8分〕解：〔1〕证明：AB 是半圆O 的直径，那么BC AC ⊥ 又5=AB ，3=BC ，那么4=AC在ABC ∆中，AC PA PC AC PA ⊥⇒=+222又AB PA ⊥，A AC AB = ，故⊥PA 平面ABC ，从而BC PA ⊥ 又AC BC ⊥，A PA AC = ，故⊥BC 平面PAC〔2〕建立如下图的空间直角坐标系xyz C -，那么()0,0,3B ，()0,4,0A ，()3,4,0P()0,4,0=CA ，()3,4,0=CP ，()0,0,3=CB ，点E 是线段PB 上靠近B 点的三等分点那么()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=1,34,21,34,10,0,331BP CB CE设()z y x m ,,=是平面ACE 的一个法向量，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅==⋅034204z y x CE m y CA m ，令1=x 得()2,0,1-=m 设直线PC 与平面ACE 所成的角为θ，那么2556556sin ===θ 19. 〔每题各4分〕解：〔1〕由0>n a ，()21+=n n n a a S ，令1=n 得：()12111111=⇒+==a a a a S令2=n 得：()221122222=⇒+=+=a a a a S ，令3=n 得：()2212133333=⇒+=++=a a a a S由此猜测n a n =〔2〕由〔1〕知1=n 时，n a n =成立 假设()*,1N k k k n ∈≥=有k a k =那么1+=k n 时，22222121212111k k a a a a a a S S a k k k k k k k k k +-+=+-+=-=++++++ 即()()()[]10101111121+=⇒=+-+⇒=+--+++++k a k a k a k k a a k k k k k那么1+=k n 时n a n =成立，故n a n =（3）471121<=a 成立 当2≥n 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=-<==12112121212414444112222n n n n n n n a n 故4711112232221<++++n a a a a 对任意*N n ∈恒成立. 20. 〔第〔1〕小题4分〕，第〔2〕小题8分〕解：〔1〕由242=⇒=a a ，又121=⇒==c a c e ， 那么3222=-=c a b故椭圆E 的标准方程为13422=+y x（2）设()11,y x A ，()22,y x B ，直线m kx y l +=:，带入椭圆E 的方程消去y 得那么221438kkmx x +-=+，222143124k m x x +-=，且()()2222224303431664k m m k m k +<⇒>-+-=∆ 假设OQB OQA ∠=∠，那么0444422112211=-++-+=-+-=+x mkx x m kx x y x y k k QB QA 即()()()()0441221=-++-+x m kx x m kx()()()()08434843124208422222121=-+--+-⇒=-+-+m k k m km k m k m x x k m x kx ，整理得k m -=满足2243k m +<那么直线()1:-=-=x k k kx y l 恒过定点()0,121. 〔每题各4分〕解：〔1〕当1=a 时，()()1ln 1-+=x x x f ，那么()()2'''11ln xx x f x x x f -=⇒+= 当()1,0∈x 时，()0''<x f ，()+∞∈,1x 时，()0''>x f()x f '在()1,0上单调递减，在()+∞,1上单调递增，故()()011''>=≥f x f那么函数()x f 的单调递增区间是()+∞,0，无单调递减区间. 〔2〕当0=a 时，()x x f ln =在()+∞,0上单调递增，满足题意当0≠a 时，()x f 在()+∞,0上单调递增，那么()0'≥x f 〔不连续等于0〕恒成立 当0<a 时，()0''<x f ，那么()x f '在()+∞,0上单调递减而01111'<+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--aa e e f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈-,1a e x 时，()0'<x f ，不合题意 当0>a 时，()x f '在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增要使()0'≥x f 〔不连续等于0〕恒成立，只需()0ln 11ln 1'≥-=+=⎪⎭⎫⎝⎛a a a a a a f ，那么e a ≤<0综上，实数a 的取值范围是[]e ,0（3）由〔2〕知()xx a x g 1ln +=，()()011ln 1ln 1ln 1212221121=-+⇒+=+⇒=x x x x a x x a x x a x g x g又121=+x x ，那么0ln 0ln21211212122112=-+⇒=+-++x xx x x x a x x x x x x x x a 令112>=x x t ，即方程01ln =-+t tt a 在()+∞,1上有解. 解法一：令()()+∞∈+-=,1,1ln t t t t a t h ，那么()t t t a t at t t h ⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+-=1122'，()21,1>+⇒+∞∈tt t 当2≤a 时，()()t h t h ⇒<0'在()+∞,1上单调递减，又()01=h ，不合题意当2>a 时，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∈24,12a a t 时，()0'>t h ；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+∈,242a a t 时，()0'<t h ； 那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∈24,12a a t 时，()()01=>h t h ，而()()21122>-+<-+=a e a e e a e h a a a a 令()()212>-+=x e x x x ϕ，那么()()022'''<-=⇒-=x x e x e x x ϕϕ，()x 'ϕ在()+∞,2单调递减，()()0422''<-=<e x ϕϕ()x ϕ在()+∞,2单调递减，那么()()0522<-=<e x ϕϕ，即()0<a e h故存在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∈a e a a t ,2420，使得()00=t h ，故2>a 满足题意. 综上，a 的取值范围是()+∞,2解法二：〔别离变量洛必达法那么〕t t t a ln 1-=，令()()+∞∈-=,1,ln 1t tt t t m ，那么()()()2222222222'ln 11ln 1ln 1ln 1t t t t t tt t t t t t t m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=-++=令()()+∞∈+-+=,1,11ln 22t t t t t M ，那么()()()()t M t t t t M ⇒>+-=0112222'在()+∞,1上单调递增，()()01=>M t M那么()()t m t m ⇒>0'在()+∞,1上单调递增，由洛必达法那么有()2111lim lim 211=+=++→→tt t m t t ， 故a 的取值范围是()+∞,222. 〔每题各5分〕解：〔1〕由设抛物线C 的标准方程为()02>=a ax y ，根据抛物线过点()1,2有2112=⇒=a a 故抛物线C 的直角坐标方程为x y 212=由直线l 的极坐标方程得010101cos 22sin 222=--⇒=+-⇒=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y θθρ 即直线l 的直角坐标方程为01=--y x（2）点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 22212223〔t 为参数〕，代入x y 212=得02222=-+t t ，设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，那么2221-=+t t ，121-=t t 那么()2234111121221212121=-+=-=+=+t t t t t t t t t t PB PA 23. 〔每题各5分〕解：〔1〕()()()133322=⇒===+--≤+--=m m m m x m x m x m x x f 〔2〕根据根本不等式ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+有ca bc ab c b a ++≥++222 那么()()22223c b a c b a ++≥++〔当且仅当c b a ==时等号成立〕又1=++z y x ，故()()()()()3111311122222a z a y x z a y x +=-+-+-≥-+-+- 即()231312-≤⇒≥+a a 或。

2020-2021学年四川南充高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={−1,0,1,2,3,4,5}，集合B ={x|(x +3)(x −4)<0}，则A ∩B =( ) A.{−1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{−1,0,1,2} D.{−1,0,1,2,3,4}2. 设复数z 满足(2−i )⋅z =5i ，则|z|=( ) A.1 B.2 C.√3 D.√53. 已知a =log 35， b =ln 12， c =1.5−1.1，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A.b <c <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <c4. 已知cos (π2+α)=2cos (π−α)，则tan (π4−α)=( ) A.−4 B.4C.−13D.135. (1−x )(1+x )3的展开式中，x 3的系数为( ) A.2 B.−2 C.3 D.−36. 点A(1, 2)关于直线y =kx −b 对称的点是B(−1, 6)，则直线y =2kx +b 在x 轴上的截距是( ) A.8 B.−8 C.4 D.−47. 已知向量a →=(cos θ,sin θ)，b →=(1,√2)，若a →与b →的夹角为5π6，则|a →−b →|=( )A.2B.√7C. √2D.18. 已知球面上A ，B ，C 三点，如果AB =BC =AC =√3，且球的体积为20√53π，则球心到平面ABC 的距离为( ) A.1 B.√2 C.√3 D.29. 函数y =3xe x +e −x （其中e 是自然对数的底数）的图象大致为( )A. B.C. D.10. 已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)是奇函数，将y =f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g(x). 若g(x)的最小正周期为2π，且g (π4)=√2，则f (3π8)=( ) A.−2 B.−√2C.√2D.211. 丹麦数学家琴生（Jemen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f (x )在(a,b )上的导函数为f ′(x )，f ′(x )在(a,b )上的导函数为f ″(x )，若在(a,b )上f ″(x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a,b )上为“凸函数”．已知f (x )=e x −x ln x −px 2在(1,4)上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是( ) A.(−∞,2e −12]B.[e −1,+∞)C.[e 42−18,+∞)D.(e 42−18,+∞)12. 已知点P 是椭圆x 216+y 212=1(xy ≠0)上的动点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M →⋅MP →=0，则|OM →|的取值范围是( )A.(0, 2)B.(0, √3)C.(0, 4)D.(2, 2√3)二、填空题若x ，y 满足约束条件 {x −y ≥0，2x +y −6≤0，x +y −2≥0，则z =3x +2y 的最大值是________.已知角α终边上一点P (3,4)，则sin 2α=________.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x +4)=f (2−x )．若当x ∈[−3,0]时， f (x )=2−x ，则f (2020)=________.已知F 1,F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则3e 1+e24的最小值为________.三、解答题已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 5=5，S 5=15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n =log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .随着新冠疫情防控进入常态化，生产生活逐步步入正轨，为拉动消费，南充市先后发行了三批消费券．我们随机抽取了50人，对这种拉动消费的方式是否赞同进行调查，结果如下表，其中年龄低于45岁的总人数与不低于45岁的总人数之比为3:2.参考数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d . (1)求m ，n 的值；(2)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“赞同”的态度与人的年龄有关.如图(1)所示，AD 是△BCD 中BC 边上的高线，且AB =2AD =2AC ，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，如图(2).(1)求证：AB ⊥CD ；(2)图(2)中，E 是BD 上一点，连接AE ，CE ，当AE 与底面ABC 所成角的正切值为12时，求直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，点(2, 1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线与圆O:x 2+y 2=2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求证：∠POQ 是定值．已知函数 f(x)=e x (x −2),g(x)=x −ln x .(1)求函数y =f(x)+g(x)的最小值；(2)设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a ≠0)，讨论函数ℎ(x)的零点个数．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2cos α，y =sin α（α为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ−3π4)=√22． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设点P (2,−3)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|⋅|PB|的值．已知函数f(x)=|2x+1|+|4x−5|的最小值为M．(1)求M的值；(2)若正实数a，b，c满足a+b+c=2M，求：(a+1)2+(b−2)2+(c−3)2的最小值．参考答案与试题解析2020-2021学年四川南充高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合B，再利用集合的交集运算求解即可.【解答】解：∵集合A={−1,0,1,2,3,4,5}，B={x|(x+3)(x−4)<0}={x|−3<x<4}，∴A∩B={−1,0,1,2,3}.故选A.2.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的模【解析】先化简复数z，再利用模长公式求解即可.【解答】解：∵z=5i2−i =5i(2+i)(2−i)(2+i)=5i(2+i)5=−1+2i，∴|z|=√5.故选D.3.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较对数值大小的比较【解析】求出各数的范围，确定大小. 【解答】解：∵1<log35<2，b=ln12<0，0<1.5−1.1<1，∴b<c<a.故选A.4.【答案】C【考点】诱导公式两角和与差的正切公式【解析】利用诱导公式求得tanα的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cos(π2+α)=2cos(π−α)，∴−sinα=−2cosα，∴tanα=sinαcosα=2，则tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=−13.故选C.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为(1−x)(1+x)3=(1+x)3−x(1+x)3，所以x3的系数为C33−C32=−2．故选B．6.【答案】C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程直线的点斜式方程直线的截距式方程【解析】由中点坐标公式求出AB中点的坐标，代入直线方程，再由AB的斜率与直线y=kx+b的斜率互为负倒数求得k，则直线方程可求，由y=0求得直线y=kx+b在x轴上的截距．【解答】解：∵ 点A(1, 2)关于直线y =kx −b 的对称点是B(−1, 6)， 由中点坐标公式得AB 的中点坐标为(1−12,2+62)=(0, 4)，代入y =kx −b ，得4=−b ，即b =−4， 直线AB 的斜率为6−2−1−1=4−2=−2， 则k =12，∴ 直线y =2kx +b =x −4.当y =0时，x =4，∴ 直线y =2kx +b 在x 轴上的截距是4． 故选C ． 7.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算 平面向量的坐标运算 向量的模【解析】直接求出各向量的模，再利用数量积求出答案. 【解答】解：因为a →=(cos θ,sin θ)，b →=(1,√2)， 所以|a →|=1，|b →|=√3，又∵ |a →−b →|2=(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2，=|a →|2−2|a →||b →|cos 2π6+|b →|2=1−2√3×√32+3=7，所以|a →−b →|=√7. 故选B ． 8.【答案】 D【考点】球的表面积和体积 空间点、线、面的位置 【解析】由球的体积可以求出球的半径R ，利用AB =BC =AC =√3 ，可以求出△ABC 外接圆的半径,在根据球心距OO ′，球的半径R ，△ABC 外接圆的半径，满足勾股定理即可求得球心到平面ABC 的距离．【解答】解：设球的半径R ， 则V =43πR 3=20√53π， ∴ R =√5，设△ABC 外接圆的半径为r ， 则2r =√3sin 60∘=2 ， ∴ r =1，∵ R 2=(OO ′)2+r 2， 即5=(OO ′)2+1，∴ OO ′=2，∵ 球心到平面ABC 的距离即为球心与△ABC 外接圆圆心之间的距离， ∴ 距离为2. 故选D ． 9.【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断 函数的图象【解析】判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可． 【解答】解：∵ 函数y =3xe x +e −x 的定义域为R , 且f (−x )=−3x e −x +e x =−f (x ),∴ 函数y =3x e x +e −x为定义域上的奇函数，故排除B 选项，当x >0时，y >0，故排除C 选项，当x →+∞时，e x +e −x →+∞，3x →+∞,∵ 3x 的函数值的变化趋势要小于e x +e −x 的函数值的变化趋势， ∴ y →0， 故排除D 选项. 故选A . 10.【答案】 C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的图象 【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，将y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍之后的图像为g(x)=A sin(ωx2+φ).因为f(x)是奇函数，所以g(x)也为奇函数.又因为g(x)的最小正周期为2π，由三角函数周期公式可得：2π=2πω2,解得ω=2.所以g(x)=A sin(x+φ)，f(x)=A sin(2x+φ)，所以f(3π8)=A sin(3π4+φ).由三角恒等变换公式可得，A sin(3π4+φ)=A sin[π−(3π4+φ)],即A sin(3π4+φ)=A sin(π4−φ),所以f(3π8)=A sin(π4−φ).又g(π4)=√2，因为g(x)为奇函数，所以−g(−π4)=g(π4),即−A sin(−π4+φ)=√2,即A sin(π4−φ)=√2,即所求f(3π8)=√2.故选C.11.【答案】C【考点】函数新定义问题利用导数研究函数的单调性已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的最值【解析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．【解答】解：∵f(x)=e x−x ln x−px2，∴f′(x)=e x−ln x−1−2px，则f″(x)=e x−1x−2p，∵f(x)=e x−x ln x−px2在(1,4)上为“凸函数”，∴f″(x)=e x−1x−2p<0在(1,4)上恒成立，即2p>e x−1x在(1,4)上恒成立，令g(x)=e x−1x,x∈(1,4)，g′(x)=e x+1x2>0，∴g(x)=e x−1x在(1,4)上单调递增，∴g(x)<g(4)=e4−14∴2p≥e4−14，∴p≥e42−18.故选C．12.【答案】A【考点】椭圆的应用【解析】作出椭圆x216+y28=1的图象，通过观察图象可以发现，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM→|取最小值0．当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM→|取最大值2√2．由此能够得到|OM→|的取值范围．【解答】解：如图，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重合， 此时|OM →|取最小值为0．当点P 在椭圆与x 轴交点处时，点M 与焦点F 1重合， 此时|OM →|取最大值为|OM →|=√16−12=2．∵ xy ≠0，∴ |OM →|的取值范围是(0, 2)． 故选A ． 二、填空题【答案】 10【考点】 简单线性规划求线性目标函数的最值【解析】先根据不等式组画出可行域，再根据目标函数求得最大值即可． 【解答】解：根据约束条件画出可行域如下：由z =3x +2y ，则y =−32x +z2， 平移直线y =−32x +z2，由图象可知当直线y =−32x +z2经过点A 时， 直线y =−32x +z2的截距最大，此时z 最大，由{x −y =0，2x +y −6=0， 可得A (2,2)，∴ z max =3×2+2×2=10. 故答案为：10. 【答案】2425【考点】二倍角的正弦公式 任意角的三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知可得sin α=45，cos α=35， 则sin 2α=2sin αcos α=2425． 故答案为：2425． 【答案】 4【考点】函数奇偶性的性质 函数的求值 函数的周期性 偶函数【解析】根据题意，分析可得f (x +6)=f (x )，即f (x )为周期为6的周期函数，进而可得f (2020)=f (4+336×6)=f (4)，结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案． 【解答】解：∵ 函数f (x )为偶函数，且f (x +4)=f (2−x )， ∴ f (x +4)=f (2−x )=f (x −2)， 即有f (x +6)=f (x )，∴ f (x )为周期为6的周期函数，∴ f (2020)=f (4+336×6)=f (4)， 由f (x )是定义在R 上的偶函数， 则f (4)=f (2)=f (−2)，当x ∈[−3,0]时，f (x )=2−x ，f (−2)=22=4， 故f (2020)=4． 故答案为：4． 【答案】 6+√3【考点】基本不等式椭圆的离心率双曲线的离心率【解析】设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,利用垂直平分线的性质可知|F1F2|=|F2P|=2c,利用椭圆和双曲线的定义可得a1−a2=2c,则3e1+e24可根据离心率公式及a1−a2=2c化为6+3a2c+c4a2,利用基本不等式求解最小值.【解答】解：如图所示，设椭圆的长半轴长为a1,焦距为2c，双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c，由题意可知|F1F2|=|F2P|=2c，又∵|F1P|+|F2P|=2a1，|F1P|−|F2P|=2a2，∴|F1P|+2c=2a1，|F1P|−2c=2a2，两式相减，可得：a1−a2=2c，3 e1+e24=3a1c+c4a2=3(a2+2c)c+c4a2=6+3a2c +c4a2≥6+2√3a2c⋅c4a2=6+√3，当且仅当3a2c =c4a2时取等号，则3e1+e24的最小值为6+√3.故答案为：6+√3.三、解答题【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，则{a5=a1+4d=5，S5=5a1+5×42d=15，解得{a1=1，d=1.∴数列{a n}的通项公式为a n=1+1×(n−1)=n.(2)∵a n=log2b n=n，∴b n=2a n=2n，由此可得b1=21=2，b n+1b n=2n−12n=2，∴数列{b n}的是首项为2，公比为2的等比数列，因此可得{b n}前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1−2.【考点】等差数列的通项公式等比数列的前n项和等比关系的确定指数式与对数式的互化【解析】(1)设等差数列的公差为d，由已知得出方程组{a5=a1+4d=5，S5=5a1+5×42d=15，解得通项；(2)由已知根据对数运算得b n=2n，根据等比数列的定义可得数列{b n}的是首项为2，公比为2的等比数列．由等比数列的求和公式可得答案．【解答】解：(1)设等差数列的公差为d，则{a5=a1+4d=5，S5=5a1+5×42d=15，解得{a1=1，d=1.∴数列{a n}的通项公式为a n=1+1×(n−1)=n.(2)∵a n=log2b n=n，∴b n=2a n=2n，由此可得b1=21=2，b n+1b n=2n−12n=2，∴数列{b n}的是首项为2，公比为2的等比数列，因此可得{b n}前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1−2.【答案】解：(1)由题意，5+m+15+10+n+5=50，且(5+m+15):(10+n+5)=3:2，解得：m=10，n=5.(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，如下：根据公式计算K 2=50(10×27−10×3)237×13×30×20≈9.98>6.635，所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对发行成都消费券的态度有差异． 【考点】 频率分布表 独立性检验 【解析】【解答】解：(1)由题意， 5+m +15+10+n +5=50， 且(5+m +15):(10+n +5)=3:2， 解得： m =10，n =5.(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，如下：根据公式计算K 2=50(10×27−10×3)237×13×30×20≈9.98>6.635，所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对发行成都消费券的态度有差异． 【答案】(1)证明：在图(2)中，AC ⊥AD ，AB ⊥AD ，∵ 平面ACD ⊥平面ABD ，平面ACD ∩平面ABD =AD ，AB ⊂平面ABD ， ∴ AB ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ， ∴ AB ⊥CD .(2)解：以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC =1，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,0,0)，D (0,0,1)， 设E (x,y,z )，由DE →=λDB →(0<λ<1)，得(x,y,z −1)=(0,2λ,−λ)， 得E (0,2λ,1−λ)， ∴ AE →=(0,2λ,1−λ)，平面ABC 的一个法向量为AD →=(0,0,1)， 由AE 与底面ABC 所成角的正切值为12， 可得tan ⟨AD →,AE →⟩=2， 于是cos ⟨AD →,AE →⟩=5，即22=5解得：λ=12，则E (0,1,12)，AE →=(0,1,12)，BC →=(1,−2,0)，BE →=(0,−1,12)，设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即 {x −2y =0，−y +12z =0， 令y =1，得x =2，z =2，则n →=(2,1,2)是平面BCE 的一个法向量. 设直线AE 平面BCE 所成的角是θ， 则sin θ=|cos ⟨AE →,n →⟩|=|AE →⋅n →||AE →||n →|=4√515，故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为4√515 . 【考点】直线与平面垂直的判定 两条直线垂直的判定用空间向量求直线与平面的夹角【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：在图(2)中，AC ⊥AD ，AB ⊥AD ，∵ 平面ACD ⊥平面ABD ，平面ACD ∩平面ABD =AD ，AB ⊂平面ABD ， ∴ AB ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ， ∴ AB ⊥CD .(2)解：以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC =1，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,0,0)，D (0,0,1)， 设E (x,y,z )，由DE →=λDB →(0<λ<1)，得(x,y,z −1)=(0,2λ,−λ)， 得E (0,2λ,1−λ)， ∴ AE →=(0,2λ,1−λ)，平面ABC 的一个法向量为AD →=(0,0,1)， 由AE 与底面ABC 所成角的正切值为12， 可得tan ⟨AD →,AE →⟩=2， 于是cos ⟨AD →,AE →⟩=1√5，即1−λ√(2λ)2+(1−λ)2=1√5， 解得：λ=12，则E (0,1,12)，AE →=(0,1,12)， BC →=(1,−2,0)，BE →=(0,−1,12)，设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即 {x −2y =0，−y +12z =0， 令y =1，得x =2，z =2，则n →=(2,1,2)是平面BCE 的一个法向量. 设直线AE 平面BCE 所成的角是θ， 则sin θ=|cos ⟨AE →,n →⟩|=|AE →⋅n →||AE →||n →|=4√515，故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为4√515 . 【答案】解：(1)由题得：e =c a=√22，即c 2=12a 2，则b 2=12a 2.再将点(2, 1)带入方程得4a 2+2a 2=1， 解得a 2=6， 所以b 2=3，则椭圆C 的方程为：x 26+y 23=1.(2)①当直线PQ 斜率不存在时， 则直线PQ 的方程为x =√2或x =−√2， 当x =√2时，P(√2, √2)，Q(√2, −√2)， 此时OP →⋅OQ →=0，所以OP →⊥OQ →，即∠POQ =90∘；当x =−√2时，同理可得，∠POQ =90∘. ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ，即kx −y +m =0. 因为直线与圆相切， 所以2=√2，即m 2=2k 2+2，联立{kx −y +m =0，x 26+y 23=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 则有x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)×2m 2−61+2k +km ×(−4km1+2k )+m 2.将m 2=2k 2+2代入上式， 整理可得OP →⋅OQ →=0， 所以OP →⊥OQ →，即∠POQ =90∘. 综上，∠POQ 是定值90∘．【考点】 椭圆的离心率 椭圆的标准方程 直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题 【解析】（1）由题得e =ca =√22得到a ，b ，c 的关系，再将点(2, 1)代入可解得a 2＝6，进而得到方程； （2）考虑PQ 斜率不存在和存在两种情况，分别计算出OP →⋅OQ →=0，可得∠POQ ＝90∘为定值． 【解答】解：(1)由题得：e =ca =√22，即c 2=12a 2，则b 2=12a 2.再将点(2, 1)带入方程得4a +2a =1， 解得a 2=6， 所以b 2=3， 则椭圆C 的方程为：x 26+y 23=1.(2)①当直线PQ 斜率不存在时， 则直线PQ 的方程为x =√2或x =−√2， 当x =√2时，P(√2, √2)，Q(√2, −√2)， 此时OP →⋅OQ →=0，所以OP →⊥OQ →，即∠POQ =90∘；当x =−√2时，同理可得，∠POQ =90∘. ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ，即kx −y +m =0. 因为直线与圆相切， 所以√k 2+1=√2，即m 2=2k 2+2，联立{kx −y +m =0，x 26+y 23=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0， 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 则有x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)×2m 2−61+2k 2+km ×(−4km1+2k 2)+m 2.将m 2=2k 2+2代入上式， 整理可得OP →⋅OQ →=0，所以OP →⊥OQ →，即∠POQ =90∘. 综上，∠POQ 是定值90∘． 【答案】解：(1)令φ(x )=f (x )+g (x )，⇒φ′(x )=e x (x −1)+(1−1x )=(x −1)(e x +1x)>0⇒x >1，所以φ(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， 所以φ(x )min =φ(1)=1−e ； (2)g ′(x )=1−1x >0⇒x >1 ，g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以 g (x )≥g (1)=1>0. 所以ℎ(x )=0⇔a =e x (x−2)x−ln x=s (x )， 因为s ′(x )=e x (x−1)(x−ln x−1+2x)(x−ln x )2，令k (x )=x −ln x −1+2x ⇒k ′(x )=(x+1)(x−2)x 2，所以k(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增， 所以 k (x )≥k (2)=2−ln 2>0，所以s(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，又因为x →0+，s (x )→0，x →+∞,s (x )→+∞，且s (1)=−e ，所以，当a <−e 时，ℎ(x ) 有0个零点；当 a =−e 或 a >0时，ℎ(x ) 有1个零点； 当−e <a <0时，ℎ(x )有2个零点． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性函数的零点【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)令φ(x )=f (x )+g (x )，⇒φ′(x )=e x (x −1)+(1−1x )=(x −1)(e x +1x)>0⇒x >1，所以φ(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， 所以φ(x )min =φ(1)=1−e ； (2)g ′(x )=1−1x >0⇒x >1 ，g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， 所以 g (x )≥g (1)=1>0.所以ℎ(x )=0⇔a =e x (x−2)x−ln x=s (x )， 因为s ′(x )=e x (x−1)(x−ln x−1+2x)(x−ln x )2，令k (x )=x −ln x −1+2x ⇒k ′(x )=(x+1)(x−2)x 2，所以k(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，所以 k (x )≥k (2)=2−ln 2>0，所以s(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，又因为x →0+，s (x )→0，x →+∞,s (x )→+∞，且s (1)=−e ，所以，当a <−e 时，ℎ(x ) 有0个零点；当 a =−e 或 a >0时，ℎ(x ) 有1个零点； 当−e <a <0时，ℎ(x )有2个零点． 【答案】解：(1)由{x =√2cos α,y =sin α消去参数α，得x 22+y 2=1，故曲线C 的普通方程为x 22+y 2=1.由ρsin (θ−3π4)=√22，得−√22ρsin θ−√22ρcos θ=√22， 即ρsin θ+ρcos θ+1=0，将x =ρcos θ， y =ρsin θ代入上式， 得x +y +1=0.故直线l 的直角坐标方程为x +y +1=0. (2)由(1)可知，点P (2,−3)在直线l 上，则设直线l 的参数方程为{x =2−√22t ，y =−3+√22t（t 为参数），将x =2−√22t ，y=−3+√22t 代入x 22+y 2=1，得3t 2−16√2t +40=0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=403.所以|PA|⋅|PB|=|t 1||t 2|=t 1t 2=403.【考点】直线的极坐标方程 椭圆的参数方程 参数方程的优越性 【解析】 【解答】解：(1)由{x =√2cos α,y =sin α消去参数α，得x 22+y 2=1，故曲线C 的普通方程为x 22+y 2=1.由ρsin (θ−3π4)=√22，得−√22ρsin θ−√22ρcos θ=√22， 即ρsin θ+ρcos θ+1=0，将x =ρcos θ， y =ρsin θ代入上式， 得x +y +1=0.故直线l 的直角坐标方程为x +y +1=0. (2)由(1)可知，点P (2,−3)在直线l 上，则设直线l 的参数方程为{x =2−√22t ，y =−3+√22t（t 为参数），将x =2−√22t ，y=−3+√22t 代入x 22+y 2=1，得3t 2−16√2t +40=0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=403.所以|PA|⋅|PB|=|t 1||t 2|=t 1t 2=403.【答案】解：(1)由题意得，f (x )={−6x +4，x <−12，−2x +6，−12≤x ≤54，6x −4，x >54，函数图象如图所示：由图可知，当x =54时，最小值M =72． ∴ M =72．(2)由(1)可知，a +b +c =7，∴ [(a +b +c)−4]2=[(a +1)+(b −2)+(c −3)]2 =(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2+2(a +1)(b −2)+ 2(a +1)(c −3)+2(b −2)(c −3)≤3[(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2] ， ∴ (a +1)2+(b −2)2+(c −3)2≥3， 当且仅当a =0，b =3，c =4时等号成立，∴ (a +1)2+(b −2)2+(c −3)2的最小值为3． 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 分段函数的应用 一般形式的柯西不等式【解析】（1）作出分段函数的图象，数形结合即可求得函数f (x )=|2x +1|+|4x −5|的最小值为M ．（2）由a +b +c =7，得[(a +b +c )−4]2=[(a +1)+(b −2)+(c −3)]2，把等式右侧展开平方，然后利用基本不等式求最值． 【解答】解：(1)由题意得，f (x )={−6x +4，x <−12，−2x +6，−12≤x ≤54，6x −4，x >54，函数图象如图所示：由图可知，当x =54时，最小值M =72． ∴ M =72．(2)由(1)可知，a +b +c =7，∴ [(a +b +c)−4]2=[(a +1)+(b −2)+(c −3)]2 =(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2+2(a +1)(b −2)+ 2(a +1)(c −3)+2(b −2)(c −3) ≤3[(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2] ， ∴ (a +1)2+(b −2)2+(c −3)2≥3， 当且仅当a =0，b =3，c =4时等号成立，∴ (a +1)2+(b −2)2+(c −3)2的最小值为3．。

南充高中2020届高三4月月考数学试题（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2U {|4410}x x x =-+≥，{|20}B x x =-≥，则U C B =（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞C ．12（,2) D ．1122∞U(-,)（,2) 2．己知32(,)a ib i a b R i-=+∈，其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在正项等比数列{}n a 中，若4122=a a ，则72a （）-=（ ）A ．－2B ． 2C ．4D ．164．假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有50尾，第二次打捞的草鱼总数为50尾，其中有标记的为7尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（ ） A ．250 B ．350 C ．450 D ．5505．若3cos()2πα+=cos2=α（ ） A ．23-B ．13- C ．13 D ．236．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的b a ,分别为135，180，则输出的a ＝( ) A ．0 B ．5 C ．15D ．457．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，直线9=x 与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，O 为坐标原点．若OPQ ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．23C ．34D.28．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1玉石，AB =10cm ，AC =6cm ，BC =8cm ，AA 1=4cm ， 若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（ ）cm 2. A.38πB.π332C.π16 D.π364 9．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，若将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的单调递增区间为（ ） A ．()3232,k k k 5π11π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ZB ．()3434,k k k 5π11π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ZC ．()2,233k k k π5π⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦ZD ．()4,433k k k π5π⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z10. 定义在R 上的奇函数)(x f 在∞（-，0）上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c <<11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列说 法中：①PQ 可能与平面CDD 1C 1平行；②PQ 与BC 所成的角的最大值为3π； ③CD 1与PQ 一定垂直； ④AB PQ 2≥.其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知P 是曲线x e y C =：1在点（0，1）处的切线上任意一点，点Q 是曲线xx y C ln 2=：上任意一点，则|PQ |的最小值是（ ） A ．22ln 1-B ．22ln 1+C ．2D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量(2,3)a =r ，(3,)b m =r ，且0a b ⋅=r r ，则向量a r 在向量()a b -r r上的投影为 .14．某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名．若b a ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-，，，7252a b a b a 若设该校今年计划招聘数学科教师最多z 名，则z ＝_______.15．过已知抛物线x y 162=的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，则BF AF 2+的最小值为.16．已知数列{}n a 满足nn a a a 44,411-==+，且)2)(2()2)(2()(3221--+--=a a a a n f)2)(2()2)(2(143--++--++n n a a a a Λ，若对3≥∀n ）（*∈N n ，都有m m n f 2)(2-≥恒成立，则m 实数的最小值为 ．三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，8,7==c a .（1）若734sin =C ，求角A ； （2）若ABC ∆的面积为310，求ABC ∆周长.18.（本小题满分12分）随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”，“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓,深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元． 经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月 内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图 所示．小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x (单位：吨)表示下一个月内市场的需求量， y (单位：元)表示下一个月内经销西凤脐橙的销 售利润．（1）将y 表示为x 的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67 000元的概率；19．（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且60BAD ∠=︒，11124CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点．（1）求证：1AA BD ⊥； （2）求三棱锥111B AC E -的体积．20. （本小题满分12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点P 22,2⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数1()ln af x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()2e 3xg x mx =+-，当2e 1a =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使得212()2e ()f x g x +≥，证明：2e e m ≤-.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1=1:=x C y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程=4cos ρθ．（1）写出曲线1C 极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知M （1, 1），曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点，试求点M 到弦AB 的中点的距离. 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 设函数f (x )＝|x ＋1|.（1）求不等式f (x )≤5－f (x －3)的解集；（2）已知关于x 的不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4在[－1，1]上有解，求实数a 的取值范围．。

四川省南充市中学2021年高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知，，，解得，因函数过点，所以，，即，解得，因为，所以，.故选：A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 2. 设函数f（x）=，则f（log2）+f（）的值等于（）A．B．1 C．5 D．7参考答案：D【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】化简f（log2）+f（）=+，从而解得．【解答】解：∵log2＜0，＞0，∴f（log2）+f（）=+=6+1=7，故选：D．【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用．3. 已知=（1，﹣1），=﹣，=+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2D．参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可．【解答】解：若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则⊥，即?=0，则（﹣）?（+）=0，即||2﹣||2=0，则||=||=，又||=||，即|﹣|=|+|，平方得||2+||2﹣2?=||2+||2+2?，得?=0，则||2=||2+||2﹣2?=||2+||2=2+2=4，则||=2，则△OAB的面积S=||?||=×2×2=2．故选：A．4. 已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．5. 如图，四边形ABCD中，，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面参考答案：B【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，从而得到AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，可得平面ABC⊥平面ADC．【详解】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD平面BCD.故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，CD∩AD=D，∴AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故选：B．【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定和性质定理，考查逻辑思维能力，属于中档题．6. 已知在定义域R上是减函数，则函数y＝f (|x＋2|)的单调递增区间是（）A．(－∞, ＋∞) B．(2, ＋∞) C．(－2, ＋∞)D(―∞, ―2)参考答案：D7. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A．B．C．D．参考答案：D试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．8. （4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A． 1 B．C．D．参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O 为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．解答：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O 为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．∴该几何体的体积V==．故选：D．点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．9. 函数的最大值和最小值分别为（）A. 5,8B. 1,8C. 5,9D. 8,9参考答案：C10. 如图所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线A1B与平面所成角为，二面角的大小为，则为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出结果．【详解】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO ⊥平面A 1DCB 1，∴∠BA 1O 是直线A 1B 与平面A 1DCB 1所成角θ1，∵BO ＝A 1B ，∴θ1＝30°；∵BC ⊥DC ，B 1C ⊥DC ，∴∠BCB 1是二面角A 1﹣DC ﹣A 的大小θ2，∵BB 1＝BC ，且BB 1⊥BC ，∴θ2＝45°． 故选：A ．【点睛】本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是．参考答案：12.，若恒成立，则范围是参考答案：13. 存在使不等式成立，则的取值范围为 _;参考答案：14. 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f （2016）的值为 ．参考答案：【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象求出A ，ω和φ的值，结合三角函数的解析式进行求解即可． 【解答】解：由图象知A=3，=3﹣（﹣1）=4， 即函数的周期T=8=，即ω=，由五点对应法得3ω+φ=3×+φ=π，即φ=，则f （x ）=3sin （x+）， 则f （2016）=3sin （×2016+）=3sin （504π+）=3sin （）=3×=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．15. 三个平面可以把空间最多分成_____________部分参考答案：略16. 50名学生做物理、化学两种实验，每人两种实验各做一次．已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有5人，则这两种实验都做对的有人．参考答案：2617. 设，则．参考答案：3,，即.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四川省南充高级中学2017届高三数学4月检测考试试题理（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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（含解析)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合，，若，则( ）A。

B。

C。

D。

不能确定【答案】B【解析】由题意可得: ,则:，,。

本题选择B选项。

2. 已知，则“”是“”的( ）A。

充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C。

充分必要条件 D。

既不充分也不必要条件【答案】C本题选择C选项.3. 已知公差不为0的等差数列满足、、成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A. B。

C. D.【答案】A【解析】试题分析:设等差数列的公差为,首项为,所以，．因为成等比数列，所以,解得：．所以，故选A.考点：等差数列的性质；等比数列的性质。

4. 甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则又多少种坐法（）A。

10 B。

16 C。

20 D。

24【答案】C考点：排列组合.5. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器--商鞅铜方升,其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12。

6(立方寸)，则图中的为（）A。

1.2 B. 1.6 C。

1。

8 D。

2。

4【答案】B【解析】由题意可知，该几何体左侧是一个圆柱体，右侧是一个长方体,这两个几何体组成一个组合体，其体积： ,解得：。

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四川省南充市2017—2018学年高一数学4月月考试题（理）（考试时间：120分钟 试卷满分150分)一、 选择题（每个小题5分共计60分，每题只有一个正确答案)1。

cos700cos250+sin700sin250的结果是( ） A 。

1 B 。

22 C 。

23 D 。

212.计算lg 5+lg 20的值( ）A 。

－1B .1C 。

－21D 。

213。

在ABC ∆中， a=4，A=45︒,B=60︒则b 边的值（ )A 。

13+ B.32 +1 C 。

62 D 。

2+32 4.下列函数中最小正周期为π的奇函数是（ ） A.y=sin(2x+2π） B.y=cos(2x+2π) C 。

y=sin2x+cos2x D 。

y=sinx+cosx5. 在ABC ∆中,角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c 若asinBcosC+csinBcosA=21b且b a >则B ∠=（ ）A.6πB. 3π C 。

32π D.656ππ或6. 若32tan 1tanA-1+=+A ，则)4tan(1π+A 的值是（ ） A 。

－(2+3） B 。

2+3 C 。

2－3 D.－2+37。

已知322sin =α,则)4(cos 2πα+=( ）A.61 B 。

2021届四川省南充高级中学高三上学期第四次月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}034|2<+-=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=14|22x y y B ，则=B AA ．[)3,2B ．()3,1C ．[)∞+，2D ．[]3,22．已知i 是虚数单位，m ii+-12是纯虚数，则实数m 的值为 A ．1-B ．1C ．2-D ． 23．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为^^54a x y +=，若儿童的记忆能力为12，则他的识图能力约为A ．9.2B ．9.5C ．9.8D ．104．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征，如函数()144-=x x x f 的图像大致是A B C D5．某企业为了提高办公效率决定购买一批打印机，现有甲、乙、丙、丁四个牌子的打印机可供 选择，公司决定从四个牌子中随机选两个购买，则甲牌打印机被选中的概率为 A.61 B. 21C.32 D. 656．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积为A. π28B.380πC. π20D. π12 7．已知函数(]b a x x xy ,,14∈++=的最小值为2，则a 的取值范围是 A ．()2,1 B ．()2,1- C ．[)2,1 D ．[)2,1-8. 已知锐角α，β满足22πβα=-，且1sin cos tan =+ββαx ，则=x A ．1 B ．2C ．3D ．29. 平面向量()b -=2,1与()a ,2=()0,0>>b a 共线，则ba 11+的最小值为 A. 24 B. 2 C.2243+ D. 223+ 10. 已知ABC ∆的外接圆圆O 的半径为332，3π=A ，则=⋅BC BO A.21B ．1C ．4D ．211. 已知数列{}n a 的首项11=a ，()3cos13πn a a x x f n n --+=+为奇函数，记n S 为数列{}n a的前n 项和，则=2021SA.22023B ．1011C ．1008D ．33612. 若函数()()x e a ae x f x x--+=22，0>a ，若()x f 有两个零点，则a 的取值范围为A. ()1,0B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛1,1eC. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡e e ,1D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 用反证法证明命题“已知x ，R y ∈，若0=xy ，则0=x 或0=y ”时，应假设 .14. 已知O 为坐标原点，点()2,1-A ，点()y x P ,是满足⎪⎩⎪⎨⎧=-≤--≥-+010101y y x y x 的平面区域上的一动点，则⋅的取值范围是 .15. ()42211⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 的展开式中常数项为 .16. 已知实数x ，y 满足1422=+-y xy x ，则y x +2的最大值为 .三、解答题：共70分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. （12分）已知函数()x x x x x f ωωωωcos sin 32cos sin 22+-=（其中0>ω）的最小正周期为π2.（1）求ω的值；（2）将函数()x f 的图像上各点的横坐标变为原来的21（纵坐标不变）得到函数()x g y =的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,6ππx 时，求()x g 的取值范围.18. （12分）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，三棱锥ABC P -中，3==BC PA ，5==AB PC ，AB PA ⊥，点E 是线段PB 上靠近点B 的三等分点.（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）求直线PC 与平面ACE 所成角的正弦值.19. （12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()21+=n n n a a S（1）计算1a ，2a ，3a ，猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明数列{}n a 的通项公式； （3）证明不等式4711112232221<++++n a a a a 对任意*N n ∈恒成立.20. （12分）已知椭圆()012222>>=+b a b y a x E ：的离心率为21，椭圆上某点到两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）记点()0,4Q ，斜率为k 的直线l （不过点Q ）与椭圆E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OQB OQA ∠=∠，则直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.21. （12分）已知()()1ln f x ax x ax =+-． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）令()()g x f x '=，存在120x x <<，且121x x +=，()()12g x g x =，求实数a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.22. （10分）[选修4—4：极坐标与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，且过点()1,2，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系， 直线l 的极坐标方程为014sin 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρπθ. （1）求抛物线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，P ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，求PBPA 11+.23. （10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数()m x m x x f +--=2的最大值为3，其中0>m . （1）求m ；（2）若()()()3111222≥-+-+-z a y x 对所有满足m z y x =++的实数x ，y ，z 都成立，证明：2-≤a 或0≥a .南充高中高2018级第四次月考（理科答案）（2）选择题：ABBDB CDACD BA（3）填空题：0≠x 且0≠y 14. []2,0 15. 40 16. 362 （4）解答题22. （每小题各6分）解：（1）()()062sin 22cos 2sin 3>⎪⎭⎫⎝⎛-=-=ωπωωωx x x x f 则21222=⇒==ωπωπT（3）由（1）知()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2πx x f ，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx x g 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,6ππx 时，()[]2,11,2162sin 32,662∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-x g x x ππππ23. （第（1）小题4分，第（2）小题8分）解：（1）证明：AB 是半圆O 的直径，则BC AC ⊥又5=AB ，3=BC ，则4=AC在ABC ∆中，AC PA PC AC PA ⊥⇒=+222又AB PA ⊥，A AC AB = ，故⊥PA 平面ABC ， 从而BC PA ⊥又AC BC ⊥，A PA AC = ，故⊥BC 平面PAC（2）建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，则()0,0,3B ，()0,4,0A ，()3,4,0P()0,4,0=，()3,4,0=，()0,0,3=，点E 是线段PB 上靠近B 点的三等分点则()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=1,34,21,34,10,0,331BP CB CE 设()z y x ,,=是平面ACE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅==⋅034204z y x CE m y ，令1=x 得()2,0,1-= 设直线PC 与平面ACE 所成的角为θ，则2556556sin ===θ 24. （每小题各4分）解：（1）由已知0>n a ，()21+=n n n a a S，令1=n 得：()12111111=⇒+==a a a a S令2=n 得：()221122222=⇒+=+=a a a a S，令3=n 得：()2212133333=⇒+=++=a a a a S 由此猜想n a n =（2）由（1）知1=n 时，n a n =成立 假设()*,1N k k k n ∈≥=有k a k =则1+=k n 时，22222121212111k k a a a a a a S S a k k k k k k k k k +-+=+-+=-=++++++ 即()()()[]10101111121+=⇒=+-+⇒=+--+++++k a k a k a k k a a k k k k k则1+=k n 时n a n =成立，故n a n = （4）471121<=a 成立当2≥n 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=-<==12112121212414444112222n n n n n n n a n 4735113121121121715151312111112232221<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++n n n a a a a n 故4711112232221<++++n a a a a 对任意*N n ∈恒成立. 25. （第（1）小题4分），第（2）小题8分）解：（1）由已知242=⇒=a a ，又121=⇒==c a c e ，则3222=-=c a b 故椭圆E 的标准方程为13422=+y x （2）设()11,y x A ，()22,y x B ，直线m kx y l +=:，带入椭圆E 的方程消去y 得()0124843222=-+++m kmx xk则221438kkmx x +-=+，222143124k m x x +-=， 且()()2222224303431664k m mkm k +<⇒>-+-=∆若OQB OQA ∠=∠，则0444422112211=-++-+=-+-=+x mkx x m kx x y x y k k QB QA 即()()()()0441221=-++-+x m kx x m kx()()()()08434843124208422222121=-+--+-⇒=-+-+m k k m km k m k m x x k m x kx ，整理得k m -=满足2243k m +< 则直线()1:-=-=x k k kx y l 恒过定点()0,126. （每小题各4分）解：（1）当1=a 时，()()1ln 1-+=x x x f ， 则()()2'''11ln xx x f x x x f -=⇒+= 当()1,0∈x 时，()0''<x f ，()+∞∈,1x 时，()0''>x f()x f '在()1,0上单调递减，在()+∞,1上单调递增，故()()011''>=≥f x f则函数()x f 的单调递增区间是()+∞,0，无单调递减区间. （2）当0=a 时，()x x f ln =在()+∞,0上单调递增，满足题意当0≠a 时，()x f 在()+∞,0上单调递增，则()0'≥x f （不连续等于0）恒成立()()2'''11ln xax x f x x a x f -=⇒+= 当0<a 时，()0''<x f，则()x f '在()+∞,0上单调递减而01111'<+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--aa e e f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈-,1a e x 时，()0'<x f ，不合题意 当0>a 时，()x f '在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增 要使()0'≥x f （不连续等于0）恒成立，只需()0ln 11ln 1'≥-=+=⎪⎭⎫⎝⎛a a a a a a f ，则e a ≤<0综上，实数a 的取值范围是[]e ,0 （3）由（2）知()x x a x g 1ln +=，()()011ln 1ln 1ln 1212221121=-+⇒+=+⇒=x x x x a x x a x x a x g x g 又121=+x x ，则0ln 0ln21211212122112=-+⇒=+-++x x x x x x a x x x x x x x x a 令112>=x x t ，即方程01ln =-+t tt a 在()+∞,1上有解. 解法一：令()()+∞∈+-=,1,1ln t t tt a t h ，则()t t t a t at t t h ⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+-=1122'， ()21,1>+⇒+∞∈tt t当2≤a 时，()()t h t h ⇒<0'在()+∞,1上单调递减，又()01=h ，不合题意当2>a 时，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∈24,12a a t 时，()0'>t h ；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+∈,242a a t 时，()0'<t h ； 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∈24,12a a t 时，()()01=>h t h ，而()()21122>-+<-+=a e a e e a e h a a a a 令()()212>-+=x e x x xϕ，则()()022'''<-=⇒-=xxe x e x x ϕϕ，()x 'ϕ在()+∞,2单调递减，()()0422''<-=<e x ϕϕ()x ϕ在()+∞,2单调递减，则()()0522<-=<e x ϕϕ，即()0<a e h故存在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∈a e a a t ,2420，使得()00=t h ，故2>a 满足题意.综上，a 的取值范围是()+∞,2解法二：（分离变量洛必达法则）tt t a ln 1-=，令()()+∞∈-=,1,ln 1t t t t t m ， 则()()()2222222222'ln 11ln 1ln 1ln 1t t t t t tt t t t t t t m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=-++=令()()+∞∈+-+=,1,11ln 22t t t t t M ，则()()()()t M t t t t M ⇒>+-=0112222'在()+∞,1上单调递增，()()01=>M t M则()()t m t m ⇒>0'在()+∞,1上单调递增，由洛必达法则有()2111lim lim 211=+=++→→tt t m t t ， 故a 的取值范围是()+∞,227. （每小题各5分）解：（1）由已知设抛物线C 的标准方程为()02>=a ax y ，根据抛物线过点()1,2有2112=⇒=a a 故抛物线C 的直角坐标方程为x y 212= 由直线l 的极坐标方程得010101cos 22sin 222=--⇒=+-⇒=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y x x y θθρ 即直线l 的直角坐标方程为01=--y x（2）点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 22212223（t 为参数），代入x y 212=得02222=-+t t ，设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则2221-=+t t ，121-=t t 则()2234111121221212121=-+=-=+=+t t t t t t t t t t PB PA 28. （每小题各5分）解：（1）()()()133322=⇒===+--≤+--=m m m m x m x m x m x x f（2）根据基本不等式ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+ 有ca bc ab c b a ++≥++222则()()22223c b a cb a ++≥++（当且仅当c b a ==时等号成立）又1=++z y x ，故()()()()()3111311122222a z a y x z a y x +=-+-+-≥-+-+- 即()231312-≤⇒≥+a a 或0≥a。