2019年四川省南充高中自主招生数学试卷(含答案解析)

2019年四川省南充市中考试题解析（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30）1．（2019四川南充，1，3分）那么61a =，那么a 的值为( ) A ．6 B ．16C ．6-D ．16-【答案】B【解析】解：61a =，16a ∴=，故选B ． 【知识点】倒数2. （2019四川南充，2，3分）下列各式计算正确的是( ) A ．23x x x += B ．235()x x =C ．623x x x ÷=D ．23x x x =【答案】D【解析】解：A 、2x x +，无法计算，故此选项错误； B 、236()x x =，故此选项错误； C 、624x x x ÷=，故此选项错误； D 、23x x x =，故此选项正确； 故选：D ．【知识点】合并同类项；同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法3. （2019四川南充，3，3分）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是( )【答案】C【解析】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱． 故选：C ．【知识点】几何体的展开图4. （2019四川南充，4，3分）在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多( )A ．5人B ．10人C ．15人D ．20人【答案】B ．【解析】解：选考乒乓球人数为5040%20⨯=人， 选考羽毛球人数为725010360︒⨯=︒人， ∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多201010-=人，故选B ．【知识点】扇形统计图5. （2019四川南充，5，3分）如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若6BC =，5AC =，则ACE ∆的周长为( )A ．8B ．11C ．16D ．17【答案】B【解析】解：DE 垂直平分AB ，AE BE ∴=，ACE ∴∆的周长AC CE AE =++ AC CE BE =++ AC BC =+ 56=+11=，故选B ．【知识点】线段垂直平分线的性质6.（2019四川南充，6，3分）关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为( ) A ．9 B ．8C ．5D ．4【答案】C【解析】解：因为关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，可得：21a -=，24m +=， 解得：3a =，2m =， 所以325a m +=+=， 故选：C ．【知识点】一元一次方程的解7. （2019四川南充，7，3分）如图，在半径为6的O 中，点A ，B ，C 都在O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．6πB ．33πC ．23πD ．2π【答案】A【解析】解：连接OB ， 四边形OABC 是平行四边形， AB OC ∴=， AB OA OB ∴==， AOB ∴∆是等边三角形， 60AOB ∴∠=︒， //OC AB ， AOB ABC S S ∆∆∴=，∴图中阴影部分的面积60366360AOB S ππ⋅⨯===扇形，故选：A ．【知识点】扇形面积的计算；平行四边形的性质8. （2019四川南充，8，3分）关于x 的不等式21x a +只有2个正整数解，则a 的取值范围为( )A ．53a -<<-B ．53a -<-C ．53a -<-D ．53a --【答案】C【解析】解：解不等式21x a +得：12ax-， 不等式有两个正整数解，一定是1和2， 根据题意得：1232a-<， 解得：53a -<-． 故选：C ．【知识点】一元一次不等式的整数解9.（2019四川南充，9，3分）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合，以下结论错误的是( )A ．21025AB =+ B ．512CD BC -=C ．2BC CD EH = D ．51sin 5AHD +∠=【答案】A【解析】解：在Rt AEB ∆中，2222215AB AE BE =+=+=， //AB DH ，//BH AD ，∴四边形ABHD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABHD 是菱形，5AD AB ∴==， 51CD AD AD ∴===-，∴512CD BC -=，故选项B 正确， 24BC =，(51)(51)4CD EH =-+=， 2BC CD EH ∴=，故选项C 正确，四边形ABHD 是菱形，AHD AHB ∴∠=∠，22251sin sin 52(51)AE AHD AHB AH +∴∠=∠===++，故选项D 正确， 故选：A ．【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定与性质10. （2019四川南充，10，3分）抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数），0a >，顶点坐标为1(2，)m ，给出下列结论：①若点1(,)n y 与3(22n -，2)y 在该抛物线上，当12n <时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么( )A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误【答案】A【解析】解：①顶点坐标为1(2，)m ，12n <，∴点1(,)n y 关于抛物线的对称轴12x =的对称点为1(1,)n y -， ∴点1(1,)n y -与3(22n -，2)y 在该抛物线上，31(1)(2)022n n n ---=-<，3122n n ∴-<-， 0a >，∴当12x >时，y 随x 的增大而增大， 12y y ∴<，故此小题结论正确；②把1(2，)m 代入2y ax bx c =++中，得1142m a b c =++，∴一元二次方程210ax bx c m -+-+=中，△2221144444()4()4042b ac am a b ac a a b c a a b a =-+-=-+++-=+-<，∴一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，故此小题正确；故选：A ．【知识点】二次函数图象及其性质； 根的判别式；抛物线与x 轴的交点二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. （2019四川南充，11，3分）原价为a 元的书包，现按8折出售，则售价为 元． 【答案】45a ．【解析】解：依题意可得，售价为84105a a =，故答案为45a ．【知识点】列代数式12. （2019四川南充，12，3分）如图，以正方形ABCD 的AB 边向外作正六边形ABEFGH ，连接DH ，则ADH ∠= 度．【答案】15【解析】解：四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90BAD ∠=︒，在正六边形ABEFGH 中，AB AH =，120BAH ∠=︒，AH AD ∴=，36090120150HAD ∠=︒-︒-︒=︒，1(180150)152ADH AHD ∴∠=∠=︒-︒=︒，故答案为：15．【知识点】多边形内角与外角；正多边形和圆13. （2019四川南充，13，3分）计算：2111x x x+=-- ．【答案】1x +【解析】解：原式21(1)(1)1111x x x x x x x +-=-==+---．故答案为：1x + 【知识点】分式的加减法14. （2019四川南充，14，3分）下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据． 质量/kg 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 频数/只561621121204010则500只鸡质量的中位数为 ． 【答案】1.4kg【解析】解：500个数据的中位数是第250、251个数据的平均数， 第250和251个数据分别为1.4、1.4，∴这组数据的中位数为1.4 1.41.4()2kg +=，故答案为：1.4kg ．【知识点】频数与频率；中位数15. （2019四川南充，15，3分）在平面直角坐标系xOy 中，点(3,2)A m n 在直线1y x =-+上，点(,)B m n 在双曲线ky x=上，则k 的取值范围为 ． 【答案】124k． 【解析】解：点(3,2)A m n 在直线1y x =-+上， 231n m ∴=-+，即312m n -+=， 31(,)2m B m -+∴， 点B 在双曲线ky x=上， 231311()22624m k mm -+∴==--+， 302-<， k ∴有最大值为124， k ∴的取值范围为124k， 故答案为124k． 【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象16.（2019四川南充，16，3分）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，24AB =，5BC =．给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②OAB ∆的面积最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为2526(26，12526)26．其中正确的结论是 ．（填写序号）【答案】②③【解析】解：点E 为AB 的中点，24AB =， 1122OE AB ∴==，AB ∴的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧，90AOB ∠=︒，∴点E 经过的路径长为90126180ππ⨯⨯=，故①错误；当OAB ∆的面积最大时，因为24AB =，所以OAB ∆为等腰直角三角形，即OA OB =，E 为AB 的中点，OE AB ∴⊥，1122OE AB ==， ∴124121442AOB S ∆=⨯⨯=，故②正确； 如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF y ⊥轴于点F ，5AD BC ==，1122AE AB ==， ∴222251213DE AD AE =+=+=，131225OD DE OE ∴=+=+=，设DF x =，∴222225OF OD DF x =-=-，四边形ABCD 是矩形， 90DAB ∴∠=︒， DFA AOB ∴∠=∠， DAF ABO ∴∠=∠， DFA AOB ∴∆∆∽∴DF DAOA AB =， ∴524x OA =， ∴245xOA =， E 为AB 的中点，90AOB ∠=︒，AE OE ∴=， AOE OAE ∴∠=∠，DFO BOA ∴∆∆∽，∴OD OFAB OA=， ∴22252524245x x -=， 解得252626x =，252626x =-舍去，∴1252626OF =， ∴252612526(,)2626D ．故③正确． 故答案为：②③．【知识点】直角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定和性质三、解答题（本大题共9小题，满分72分，各小题都必须写出解答过程）17. （2019四川南充，17，6分）计算：011(1)|23|12()2π--+--+【思路分析】根据实数的混合计算解答即可．【解题过程】解：原式1322323=+--+=-． 【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；零指数幂18. （2019四川南充，18，6分）如图，点O 是线段AB 的中点，//OD BC 且OD BC =． （1）求证：AOD OBC ∆≅∆；（2）若35ADO ∠=︒，求DOC ∠的度数．【思路分析】（1）根据线段中点的定义得到AO BO =，根据平行线的性质得到AOD OBC ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【解题过程】解：（1）证明：点O 是线段AB 的中点， AO BO ∴=， //OD BC ， AOD OBC ∴∠=∠，在AOD ∆与OBC ∆中，AO BO AOD OBC OD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD OBC SAS ∴∆≅∆；（2）解：AOD OBC ∆≅∆， 35ADO OCB ∴∠=∠=︒， //OD BC ，35DOC OCB ∴∠=∠=︒．【知识点】全等三角形的判定与性质19.（2019四川南充，19，6分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字2-，1-，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率．（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A 的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A 的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A 在直线2y x =上的概率． 【思路分析】（1）由概率公式即可得出结果； （2）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案．【解题过程】解：（1）随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为负数的概率为2142=； （2）画树状图如图所示：共有16个可能的结果，点A 在直线2y x =上的结果有2个， ∴点A 在直线2y x =上的概率为21168=． 【知识点】一次函数的图象；列表法与树状图法；概率公式20. （2019四川南充，20，8分）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）当2m =时，方程的根为1x ，2x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值． 【思路分析】（1）根据△0，解不等式即可；（2）将2m =代入原方程可得：2310x x ++=，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论． 【解题过程】解：（1）由题意△0，22(21)4(3)0m m ∴---，（2）当2m =时，方程为2310x x ++=，123x x ∴+=-，121x x =，222221*********()2()4(3)415x x x x x x x x x x ∴-=-+=+-=--⨯=，125x x ∴-=±，2222112211112221212212121(2)(42)(2)(32)(1)(12)(1)(1)1252x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∴+++=++-+++=---++=--+=---=--=±-．【知识点】根与系数的关系；根的判别式21. （2019四川南充，21，8分）双曲线(k y k x =为常数，且0)k ≠与直线2y x b =-+，交于1(2A m -，2)m -，(1,)B n 两点． （1）求k 与b 的值；（2）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点E 为CD 的中点，求BOE ∆的面积．【思路分析】（1）将A 、B 两点的坐标代入一次函数解析式可得b 和n 的值，则求出点(1,2)B -，代入反比例函数解析式可求出k 的值．（2）先求出点C 、D 两点的坐标，再求出E 点坐标，则1()2BOE ODE ODB B E S S S OD x x ∆∆∆=+=-，可求出BOE ∆的面积．【解题过程】解：（1）点1(2A m -，2)m -，(1,)B n 在直线2y x b =-+上， ∴22m b m b n +=-⎧⎨-+=⎩，解得22b n =-⎧⎨=-⎩，(1,2)B ∴-， 代入反比例函数解析式k y x =，∴21k -=，2k ∴=-． （2）直线AB 的解析式为22y x =--，令0x =，解得2y =-，令0y =，解得1x =-，(1,0)C ∴-，(0,2)D -，点E 为CD 的中点，111()2(1)222BOE ODE ODB B E S S S OD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+32=． 【知识点】反比例函数与一次函数的交点22. （2019四川南充，22，8分）如图，在ABC ∆中，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，连接CD ，BCD A ∠=∠．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若5BC =，3BD =，求点O 到CD 的距离．【思路分析】（1）根据圆周角定理得到90ADC ∠=︒，得到90A ACD ∠+∠=︒，求得90ACB ∠=︒，于是得到结论；（2）过O 作OH CD ⊥于H ，根据相似三角形的性质得到253AB =，根据垂径定理得到CH DH =，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．【解题过程】解：（1）证明：AC 是O 的直径， 90ADC ∴∠=︒，90A ACD ∴∠+∠=︒，BCD A ∠=∠，90ACD BCD ∴∠+∠=︒，90ACB ∴∠=︒，BC ∴是O 的切线； （2）解：过O 作OH CD ⊥于H ，90BDC ACB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，ACB CDB ∴∆∆∽， ∴BC AB BD BC =， ∴535AB =， 253AB ∴=， 163AD ∴=， OH CD ⊥，CH DH ∴=，AO OC =，1823OH AD ∴==， ∴点O 到CD 的距离是83．【知识点】垂径定理；切线的判定与性质；圆周角定理23. （2019四川南充，23，10分）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？【思路分析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 元，支付钢笔和笔记本的总金额w 元，①当3050b 时，求得20.1(35)722.5w b =--+，于是得到700722.5w ；②当5060b <时，求得86(100)2600w b b b =+-=+，700720w <，于是得到当3060b 时，w 的最小值为700元，于是得到结论．【解题过程】解：（1）钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意得23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得106x y =⎧⎨=⎩， 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；（2）设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 元，支付钢笔和笔记本的总金额w 元，①当3050b 时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，22(0.113)6(100)0.176000.1(35)722.5w b b b b b b =-++-=-++=--+，当30b =时，720w =，当50b =时，700w =，∴当3050b 时，700722.5w ；②当5060b <时，8a =，86(100)2600w b b b =+-=+，700720w <，∴当3060b 时，w 的最小值为700元，∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．【知识点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用24.（2019四川南充，24，10分）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．（1）求证：CD CG⊥；（2）若1tan3MEN∠=，求MNEM的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为12？请说明理由．【思路分析】（1）由正方形的性质得出90A ADC EDG∠=∠=∠=︒，AD CD=，DE DG=，即ADE CDG∠=∠，由SAS证明ADE CDG∆≅∆得出90A DCG∠=∠=︒，即可得出结论；（2）先证明EFM GFM∆≅∆得出EM GM=，MEF MGF∠=∠，在证明EFH GFN∆≅∆得出HF NF=，由三角函数得出33GF EF HF NF===，得出2GH HF=，作//NP GF交EM于P，则PMN HMG∆∆∽，PEN HEF∆∆∽，得出PN MNGH GM=，23PN ENHF EF==，23PN HF=，即可得出结果；（3）假设12EM=，先判断出点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，12EM GM==，得出12GM=，再判断出12BM<，得出12CM>，进而得出CM GM>，即可得出结论．【解题过程】解：（1）证明：四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，90A ADC EDG∴∠=∠=∠=︒，AD CD=，DE DG=，ADE CDG∴∠=∠，在ADE∆和CDG∆中，AD CDADE CDGDE DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CDG SAS∴∆≅∆，90A DCG∴∠=∠=︒，CD CG∴⊥；（2）解：四边形DEFG是正方形，EF GF∴=，45EFM GFM∠=∠=︒，在EFM ∆和GFM ∆中EF GF EFM GFMMF MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EFM GFM SAS ∴∆≅∆，EM GM ∴=，MEF MGF ∠=∠，在EFH ∆和GFN ∆中，EFH GFN EF GFMEF MGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EFH GFN ASA ∴∆≅∆，HF NF ∴=，1tan 3HF MEN EF∠==， 33GF EF HF NF ∴===，2GH HF ∴=，作//NP GF 交EM 于P ，则PMN HMG ∆∆∽，PEN HEF ∆∆∽， ∴PN MN GH GM =，23PN EN HF EF ==， 23PN HF ∴=， ∴21323HF MN MN PN EM GM GH HF ====； （3）EM 的长不可能为12， 理由：假设EM 的长为12， 点E 是AB 边上一点，且90EDG ADC ∠=∠=︒，∴点G 在BC 的延长线上，同（2）的方法得，12EM GM ==， 12GM ∴=， 在Rt BEM ∆中，EM 是斜边，12BM ∴<， 正方形ABCD 的边长为1，1BC ∴=，12CM ∴>， CM GM ∴>，∴点G 在正方形ABCD 的边BC 上，与“点G 在BC 的延长线上”相矛盾，∴假设错误，即：EM 的长不可能为12．【知识点】全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质，25. （2019四川南充，25，10分）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B -，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，且POB ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为4m +．点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E ．①求DE 的最大值；②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形．【思路分析】（1）已知抛物线与x 轴两交点坐标，可设交点式(1)(3)y a x x =++；由3OC OB ==得(0,3)C -，代入交点式即求得1a =-．（2）由POB ACB ∠=∠联想到构造相似三角形，因为求点P 坐标一般会作x 轴垂线PH 得Rt POH ∆，故可过点A 在BC 边上作垂线AG ，构造ACG POH ∆∆∽．利用点A 、B 、C 坐标求得AG 、CG 的长，由相似三角形对应边成比例推出12PH AG OH CG ==．设点P 横坐标为p ，则OH 与PH 都能用p 表示，但需按P 横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p 表示OH 与PH 并代入2OH PH =计算即求得p 的值，进而求点P 坐标．（3）①用m 表示M 、N 横纵坐标，把m 当常数求直线MN 的解析式．设D 横坐标为d ，把x d =代入直线MN 解析式得点E 纵坐标，D 与E 纵坐标相减即得到用m 、d 表示的DE 的长，把m 当常数，对未知数d 进行配方，即得到当2d m =+时，DE 取得最大值．②由矩形MDNF 得MN DF =且MN 与DF 互相平分，所以E 为MN 中点，得到点D 、E 横坐标为2m +．由①得2d m =+时，4DE =，所以8MN =．用两点间距离公式用m 表示MN 的长，即列得方程求m 的值．【解题过程】解：（1）抛物线与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B -∴设交点式(1)(3)y a x x =++3OC OB ==，点C 在y 轴负半轴(0,3)C ∴-把点C 代入抛物线解析式得：33a =-1a ∴=-∴抛物线解析式为2(1)(3)43y x x x x =-++=---（2）如图1，过点A 作AG BC ⊥于点G ，过点P 作PH x ⊥轴于点H90AGB AGC PHO ∴∠=∠=∠=︒ACB POB ∠=∠ACG POH ∴∆∆∽ ∴AG CG PH OH = ∴AG PH CG OH= 3OB OC ==，90BOC ∠=︒45ABC ∴∠=︒，2232BC OB OC =+=ABG ∴∆是等腰直角三角形222AG BG AB ∴=== 32222CG BC BG ∴=-=-= ∴12PH AG OH CG == 2OH PH ∴=设2(,43)P p p p ---①当3p <-或10p -<<时，点P 在点B 左侧或在AC 之间，横纵坐标均为负数OH p ∴=-，22(43)43PH p p p p =----=++22(43)p p p ∴-=++ 解得：19334p --=，29334p -+=933(4P --∴，933)8--或933(4-+，933)8-+ ②当31p -<<-或0p >时，点P 在AB 之间或在点C 右侧，横纵坐标异号22(43)p p p ∴=++解得：12p =-，232p =- (2,1)P ∴-或3(2-，3)4综上所述，点P 的坐标为933(4--，933)8--、933(4-+，933)8-+、(2,1)-或3(2-，3)4． （3）①如图2，4x m =+时，22(4)4(4)31235y m m m m =-+-+-=---2(,43)M m m m ∴---，2(4,1235)N m m m +---设直线MN 解析式为y kx n =+∴2243(4)1235km n m m k m n m m ⎧+=---⎨++=---⎩解得：22843k m n m m =--⎧⎨=+-⎩ ∴直线2:(28)43MN y m x m m =--++-设(D d ，243)(4)d d m d m ---<<+//DE y 轴E D x x d ∴==，(E d ，2(28)43)m d m m --++-2222243[(28)43](24)4[(2)]4DE d d m d m m d m d m m d m ∴=------++-=-++--=--++∴当2d m =+时，DE 的最大值为4．②如图3，D 、F 关于点E 对称DE EF ∴=四边形MDNF 是矩形MN DF ∴=，且MN 与DF 互相平分12DE MN ∴=，E 为MN 中点 422D E m m x x m ++∴===+ 由①得当2d m =+时，4DE =28MN DE ∴==22222(4)[1235(43)]8m m m m m m ∴+-+-------= 解得：1342m =--，2342m =-+m∴的值为342--或342-+时，四边形MDNF为矩形．【知识点】二次函数解析式；二次函数最大值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定和性质；一元二次方程的解法；二元一次方程组的解法；矩形的性质。

第一套：满分120分2020-2021年四川南充高级中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

南充高中2019年面向省内外自主招生考试数 学 试 卷（顺庆校区）（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）第Ⅰ卷（选择.填空题）一、选择题（每小题5分，共计20分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）1、已知1sin cos 8αα∙=，且004590α<<，则cos sin αα-的值为A. B. C. 34D. ±2、若,,a b c 为正数，已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实根，则方程2(1)(2)10a x b x c +++++=的根的情况是（ ）A 、没有实根B 、有两个相等的实根C 、有两个不等的实根D 、根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切于点P,则点P 到两圆外公切线的距离为A ．34B ．43C ．32D ．3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是二、填空题（每小题5分，共计60分，请将答案填到答题卷的相应位置处）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得 –2分．若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题．6、已知⊙O 的直径AB =20，弦CD 交AB 于G ，AG >BG ,CD =16,AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则AE-BF 为7、如图，两个反比例函数y ＝ k 1x 和y ＝ k 2x在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形P AOB 的面积为8、若二次方程组 有唯一解，则k 的所有可能取值为9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，P A+PM 的最大值和最小值分别s 为和t ，则=-22t s 10、在△ABC 中，AC=2019,BC=2019, 20112010+=AB 则=∙C A cos sin 11、已知c b a ,,为实数且51,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，则ca bc ab abc ++= 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为 13、方程x x x 222=-的正根个数为 14、已知,24+=+n b a ,1=ab ,若221914919b ab a ++ 的值为2019，则n = 15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2 的幂的概率为 16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB= 4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边PQ 上，那么△PQR 的周长等于 第Ⅱ卷（答题卷） 一、选择题：(每小题5分，共计20分)二、填空题：(5．____________ 6．____________ 7．____________ 8．____________ 9．____________ 10．____________ 11．____________ 12．____________ 13．____________ 14．____________ 15．____________ 16．____________ 三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题10分) 能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同////////////////////////线_______考号_________________的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。

四川省2019年高等职业院校单独招生考试文化考试（中职类）·数学试题第Ⅰ卷（共50分）一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出。

错选、多选或未选均无分。

）1.设集合{}1,3,5A =，{}3,6,9B =，则=A B ⋂.A Æ.B {}3.C {}1,5,6,9.D {}1,3,5,6,92.函数y =的定义域是.A {}1x x <-.B {}1x x £-.C {}1x x >-.D {}1x x ³-3.已知平面向量()21a ,=r ，()11b ,=-r ，则a b +=r r .A ()12,.B ()13,.C ()30,.D ()32,4.三角函数2y sin x =的最小正周期是.A 2π.B π.C 2π.D 4π5.不等式1x <的解集为.A []1,1-.B (][),11,-¥-È+¥.C ()1,1-.D ()(),11,-¥-È+¥6.函数2x y =的图象大致为7.在等比数列{}n a 中，已知11a =，32a =，则5a =.A 2.B 3.C 4.D 58.某高职院校为提高办学质量，建设同时具备理论教学和实践教学能力的“双师型”教师队伍，现决定从6名教师中任选2人一同到某企业实训，有多少种不同的选法？.A 15.B 30.C 25.D 429.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()11f =.若对任意x R ∈，()()5f x f x =-恒成立，则()9f =.A 4-.B 1-.C 0.D 110.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别是()()121,0,1,0F F -，离心率12e =.则椭圆C 的标准方程为.A 2212x y +=.B 2214x y +=.C 22142x y +=.D 22143x y +=第Ⅱ卷（共50分）二、填空题（本大题共3个小题，每小题4分，共12分。

2019年四川省南充市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小3分，共30分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记3分，不涂、填涂或多涂记0分．1．（3分）如果6a＝1，那么a的值为（ ）A．6B．C．﹣6D．﹣【分析】直接利用倒数的定义得出答案．【解答】解：∵6a＝1，∴a＝．故选：B．【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）A．x+x2＝x3B．（x2）3＝x5C．x6÷x2＝x3D．x•x2＝x3【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、x+x2，无法计算，故此选项错误；B、（x2）3＝x6，故此选项错误；C、x6÷x2＝x4，故此选项错误；D、x•x2＝x3，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3分）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答．【解答】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱．故选：C．【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记三棱柱的特征．4．（3分）在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多（ ）A．5人B．10人C．15人D．20人【分析】先根据扇形统计图中的数据，求出选考乒乓球人数和羽毛球人数，即可得出结论．【解答】解：∵选考乒乓球人数为50×40%＝20人，选考羽毛球人数为50×＝10人，∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多20﹣10＝10人，故选：B．【点评】此题主要考查了扇形统计图的应用，求出选考乒乓球人数和羽毛球人数是解本题的关键．5．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）A．8B．11C．16D．17【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．（3分）关于x的一元一次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（ ）A．9B．8C．5D．4【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．【解答】解：因为关于x的一元一次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，可得：a﹣2＝1，2+m＝4，解得：a＝3，m＝2，所以a+m＝3+2＝5，故选：C．【点评】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．7．（3分）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A．6πB．3πC．2πD．2π【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC∥AB，∴S△AOB＝S△ABC，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB＝＝6π，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．8．（3分）关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）A．﹣5＜a＜﹣3B．﹣5≤a＜﹣3C．﹣5＜a≤﹣3D．﹣5≤a≤﹣3【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．【解答】解：解不等式2x+a≤1得：x≤，不等式有两个正整数解，一定是1和2，根据题意得：2≤＜3，解得：﹣5＜a≤﹣3．故选：C．【点评】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．9．（3分）如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD 重合，以下结论错误的是（ ）A．AB2＝10+2B．＝C．BC2＝CD•EH D．sin∠AHD＝【分析】首先证明四边形ABHD是菱形，利用勾股定理求出AB，AD，CD，EH，AH，一一判断即可解决问题．【解答】解：在Rt△AEB中，AB＝＝＝，∵AB∥DH，BH∥AD，∴四边形ABHD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABHD是菱形，∴AD＝AB＝，∴CD＝AD＝AD＝﹣1，∴＝，故选项B正确，∵BC2＝4，CD•EH＝（﹣1）（+1）＝4，∴BC2＝CD•EH，故选项C正确，∵四边形ABHD是菱形，∴∠AHD＝∠AHB，∴sin∠AHD＝sin∠AHB＝＝＝，故选项D正确，故选：A．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（ ）A．①正确，②正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．【解答】解：①∵顶点坐标为（，m），n＜，∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1），∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，∵（1﹣n）﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，∴1﹣n＜﹣2n，∵a＞0，∴当x＞时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故此小题结论正确；②把（，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确；故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．二、填空题（本大题6个小题，每小是3分，共18分）请将答案填在答题十对应的横线上11．（3分）原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为　a　元．【分析】列代数式注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．【解答】解：依题意可得，售价为＝a，故答案为a．【点评】本题考查了列代数式，能根据题意列出代数式是解题的关键．12．（3分）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝　15　度．【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，求得AB＝AH，∠BAH＝120°，于是得到AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，∵AB＝AH，∠BAH＝120°，∴AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠ADH＝∠AHD＝（180°﹣150°）＝15°，故答案为：15．【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角与外角，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．13．（3分）计算：+＝　x+1　．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣＝＝x+1．故答案为：x+1【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（3分）下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据．质量/kg 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0频数/只561621121204010则500只鸡质量的中位数为　1.4kg　．【分析】根据中位数的概念求解可得．【解答】解：500个数据的中位数是第250、251个数据的平均数，∵第250和251个数据分别为1.4、1.4，∴这组数据的中位数为＝1.4（kg），故答案为：1.4kg．【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3m，2n）在直线y＝﹣x+1上，点B（m，n）在双曲线y＝上，则k的取值范围为　k≤且k≠0　．【分析】根据一次函数图象上点的特征求得n＝，即可得到B（m，），根据反比例函数图象上点的特征得到k关于m的函数，根据二次函数的性质即可求得k的取值范围．【解答】解：∵点A（3m，2n）在直线y＝﹣x+1上，∴2n＝﹣3m+1，即n＝，∴B（m，），∵点B在双曲线y＝上，∴k＝m•＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴k有最大值为，∴k的取值范围为k≤，∵k≠0，故答案为k≤且k≠0．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．16．（3分）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB＝24，BC＝5．给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π；②△OAB的面积最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为（，）．其中正确的结论是　②③　．（填写序号）【分析】①由条件可知AB＝24，则AB的中点E的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长；②当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，可求出最大面积为144；③当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，可求出OD＝25，证明△DFA∽△AOB 和△DFO∽△BOA，可求出DF长，则D点坐标可求出．【解答】解：∵点E为AB的中点，AB＝24，∴OE＝，∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，∵∠AOB＝90°，∴点E经过的路径长为，故①错误；当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，∵E为AB的中点，∴OE⊥AB，OE＝，∴＝144，故②正确；如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，∵AD＝BC＝5，AE＝，∴＝13，∴OD＝DE+OE＝13+12＝25，设DF＝x，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DFA＝∠AOB，∴∠DAF＝∠ABO，∴△DFA∽△AOB∴，∴，∴，∵E为AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝OE，∴∠AOE＝∠OAE，∴△DFO∽△BOA，∴，∴，解得x＝，x＝﹣舍去，∴，∴．故③正确．故答案为：②③．【点评】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（6分）计算：（1﹣π）0+|﹣|﹣+（）﹣1．【分析】根据实数的混合计算解答即可．【解答】解：原式＝1+．【点评】此题考查二次根式的混合计算，关键是根据实数的混合计算解答．18．（6分）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．【分析】（1）根据线段中点的定义得到AO＝BO，根据平行线的性质得到∠AOD＝∠OBC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC，在△AOD与△OBC中，，∴△AOD≌△OBC（SAS）；（2）解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO＝∠OCB＝35°，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．19．（6分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率．（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y＝2x上的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案．【解答】解：（1）随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为负数的概率为＝；（2）画树状图如图所示：共有16个可能的结果，点A在直线y＝2x上的结果有2个，∴点A在直线y＝2x上的概率为＝．【点评】此题主要考查了树状图法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题关键．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【解答】解：（1）由题意△≥0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．21．（8分）双曲线y＝（k为常数，且k≠0）与直线y＝﹣2x+b，交于A（﹣m，m﹣2），B（1，n）两点．（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．【分析】（1）将A、B两点的坐标代入一次函数解析式可得b和n的值，则求出点B（1，﹣2），代入反比例函数解析式可求出k的值．（2）先求出点C、D两点的坐标，再求出E点坐标，则S△BOE＝S△ODE+S△ODB＝，可求出△BOE 的面积．【解答】解：（1）∵点A（﹣m，m﹣2），B（1，n）在直线y＝﹣2x+b上，∴，解得：，∴B（1，﹣2），代入反比例函数解析式，∴，∴k＝﹣2．（2）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0，解得y＝﹣2，令y＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），D（0，﹣2），∵点E为CD的中点，∴E（），∴S△BOE＝S△ODE+S△ODB＝＝＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（8分）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠A+∠ACD＝90°，求得∠ACB＝90°，于是得到结论；（2）过O作OH⊥CD于H，根据相似三角形的性质得到AB＝，根据垂径定理得到CH＝DH，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠BCD＝∠A，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：过O作OH⊥CD于H，∵∠BDC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴AD＝，∵OH⊥CD，∴CH＝DH，∵AO＝OC，∴OH＝AD＝，∴点O到CD的距离是．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．23．（10分）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？【分析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，①当30≤b≤50时，求得w＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，求得w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，于是得到当30≤b≤60时，w的最小值为700元，于是得到结论．【解答】解：（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意得，，解得：，答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，①当30≤b≤50时，a＝10﹣0.1（b﹣30）＝﹣0.1b+13，w＝b（﹣0.1b+13）+6（100﹣b）＝﹣0.1b2+7b+600＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，∵当b＝30时，w＝720，当b＝50时，w＝700，∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，a＝8，w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元，∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．【点评】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意求出二次函数的解析式是解题的关键．24．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN＝，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，即∠ADE＝∠CDG，由SAS 证明△ADE≌△CDG得出∠A＝∠DCG＝90°，即可得出结论；（2）先证明△EFM≌△GFM得出EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，在证明△EFH≌△GFN得出HF＝NF，由三角函数得出GF＝EF＝3HF＝3NF，得出GH＝2HF，作NP∥GF交EM于P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，得出＝，＝＝，PN＝HF，即可得出结果；（3）假设EM＝，先判断出点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，EM＝GM＝，得出GM＝，再判断出BM＜，得出CM＞，进而得出CM＞GM，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；（2）解：∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFM＝∠GFM＝45°，在△EFM和△GFM中，∴△EFM≌△GFM（SAS），∴EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，在△EFH和△GFN中，，∴△EFH≌△GFN（ASA），∴HF＝NF，∵tan∠MEN＝＝，∴GF＝EF＝3HF＝3NF，∴GH＝2HF，作NP∥GF交EM于P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，∴＝，＝＝，∴PN＝HF，∴＝＝＝＝；（3）EM的长不可能为，理由：假设EM的长为，∵点E是AB边上一点，且∠EDG＝∠ADC＝90°，∴点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，EM＝GM＝，∴GM＝，在Rt△BEM中，EM是斜边，∴BM＜，∵正方形ABCD的边长为1，∴BC＝1，∴CM＞，∴CM＞GM，∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，∴假设错误，即：EM的长不可能为．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键，用反证法说明EM不可能为是解本题的难度．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D 作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．【分析】（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y＝a（x+1）（x+3）；由OC＝OB＝3得C（0，﹣3），代入交点式即求得a＝﹣1．（2）由∠POB＝∠ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得Rt△POH，故可过点A 在BC边上作垂线AG，构造△ACG∽△POH．利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出．设点P横坐标为p，则OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p表示OH与PH并代入OH＝2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标．（3）①用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式．设D横坐标为d，把x＝d代入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、d表示的DE的长，把m当常数，对未知数d进行配方，即得到当d＝m+2时，DE取得最大值．②由矩形MDNF得MN＝DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横坐标为m+2．由①得d＝m+2时，DE＝4，所以MN＝8．用两点间距离公式用m表示MN的长，即列得方程求m的值．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0）∴设交点式y＝a（x+1）（x+3）∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴∴C（0，﹣3）把点C代入抛物线解析式得：3a＝﹣3∴a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H∴∠AGB＝∠AGC＝∠PHO＝90°∵∠ACB＝∠POB∴△ACG∽△POH∴∴∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°∴∠ABC＝45°，BC＝＝3∴△ABG是等腰直角三角形∴AG＝BG＝AB＝∴CG＝BC﹣BG＝3﹣＝2∴∴OH＝2PH设P（p，﹣p2﹣4p﹣3）①当p＜﹣3或﹣1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数∴OH＝﹣p，PH＝﹣（﹣p2﹣4p﹣3）＝p2+4p+3∴﹣p＝2（p2+4p+3）解得：p1＝，p2＝∴P（，）或（，）②当﹣3＜p＜﹣1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号∴p＝2（p2+4p+3）解得：p1＝﹣2，p2＝﹣∴P（﹣2，1）或（﹣，）综上所述，点P的坐标为（，）、（，）、（﹣2，1）或（﹣，）．（3）①如图2，∵x＝m+4时，y＝﹣（m+4）2﹣4（m+4）﹣3＝﹣m2﹣12m﹣35∴M（m，﹣m2﹣4m﹣3），N（m+4，﹣m2﹣12m﹣35）设直线MN解析式为y＝kx+n∴解得：∴直线MN：y＝（﹣2m﹣8）x+m2+4m﹣3设D（d，﹣d2﹣4d﹣3）（m＜d＜m+4）∵DE∥y轴∴x E＝x D＝d，E（d，（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3）∴DE＝﹣d2﹣4d﹣3﹣[（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3]＝﹣d2+（2m+4）d﹣m2﹣4m＝﹣[d﹣（m+2）]2+4∴当d＝m+2时，DE的最大值为4．②如图3，∵D、F关于点E对称∴DE＝EF∵四边形MDNF是矩形∴MN＝DF，且MN与DF互相平分∴DE＝MN，E为MN中点∴x D＝x E＝＝m+2由①得当d＝m+2时，DE＝4∴MN＝2DE＝8∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82解得：m1＝﹣4﹣，m2＝﹣4+∴m的值为﹣4﹣或﹣4+时，四边形MDNF为矩形．【点评】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．第（3）题没有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算．。

2019年四川省南充高中自主招生数学试卷（6月份）一．选择题（共10小题）1．当实数x的取值使得有意义时，函数y＝﹣4x+1中y的取值范围是（）A．y≥﹣7 B．y＞﹣7 C．y＜﹣7 D．y≤﹣72．下列四个命题中，其正确命题的个数是（）①若ac＞bc，则a＞b；②平分弦的直径垂直于弦；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；④反比例函数y＝．当k＜0时，y随x的增大而增大A．1 B．2 C．3 D．43．若关于x的不等式组的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．3＜m≤4 C．3≤m＜4 D．3≤m≤44．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＜y2，则x 的取值范围是（）A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜15．对于抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．关于x的方程的根为负数，则a的值为（）A．a≠﹣3 B．a≠3 C．a＜﹣1且a≠﹣3 D．a＞﹣1且a≠3 7．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米8．设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣17x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为（）A．﹣2017 B．0 C．340 D．﹣1119．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直线将△ABC分成两个三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，这样的直线有（）条．A．5 B．7 C．9 D．1010．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝EM；④BN2+EF2＝EN2；⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共6小题）11．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为．12．已知x2﹣4xy+3y2＝0，则＝．13．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线与直线AC相交形成的锐角是50°，则∠BAC＝．14．如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN 的面积为．15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝，则线段BC的长为．16．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以A、B为边在AB的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE，点P、C、E在同一直线上，∠DAP＝60°，M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在线段AB上移动时，线段MN的最小值时．三．解答题（共6小题）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°﹣tan45°．18．某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．（1）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；（2）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？19．对于任意实数k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0总有一个根是1．（1）求实数a，b．（2）当k＝5时，求方程的另一个根．20．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．（1）若OA＝4，求k的值；（2）若BD＝BC，求点C的坐标．21．已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．（1）如图1，求证：AD＝BD；（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ＝6DP，sin ∠ABO＝，求的值．22．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）如图1，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC面积的最大值？（2）在（1）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′C、N′B，求N′C+N′B的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．当实数x的取值使得有意义时，函数y＝﹣4x+1中y的取值范围是（）A．y≥﹣7 B．y＞﹣7 C．y＜﹣7 D．y≤﹣7【分析】由被开方数非负可求出x的取值范围，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝2时y的值，再利用一次函数的性质可得出y的取值范围．【解答】解：∵实数x的取值使得有意义，∴x﹣2≥0，∴x≥2．当x＝2时，y＝﹣4x+1＝﹣7．∵k＝﹣4＜0，∴y值随x值的增大而减小，∴当x≥2时，函数y＝﹣4x+1中y的取值范围是y≤﹣7．故选：D．2．下列四个命题中，其正确命题的个数是（）①若ac＞bc，则a＞b；②平分弦的直径垂直于弦；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；④反比例函数y＝．当k＜0时，y随x的增大而增大A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据不等式的性质2、垂径定理、平行四边形的判定定理和反比例函数的性质分别进行分析即可．【解答】解：①若ac＞bc，如果c＞0，则a＞b，故原题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原题说法错误；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边，故原题说法正确；④反比例函数y＝．当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，故原题说法错误；正确命题有1个，故选：A．3．若关于x的不等式组的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．3＜m≤4 C．3≤m＜4 D．3≤m≤4【分析】不等式组整理后表示出解集，由解集中所有整数解和是6求出m的范围即可．【解答】解：不等式组整理得：，解得：1≤x＜m，整数解的和是6，得到1+2+3＝6，即整数解为1，2，3，则m的范围是3＜m≤4，故选：B．4．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＜y2，则x 的取值范围是（）A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1【分析】几何图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当y1＜y2，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1．故选：A．5．对于抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把x＝1代入解析式，根据y＞0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．【解答】解：把x＝1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，解得：a＞1，所以可得：﹣，，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选：C．6．关于x的方程的根为负数，则a的值为（）A．a≠﹣3 B．a≠3 C．a＜﹣1且a≠﹣3 D．a＞﹣1且a≠3 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围．【解答】解：去分母，得（x+1）（x﹣1）﹣x（x+2）＝a，解得：x＝，∵关于x的方程的根为负数，∴，∴a＞﹣1，且x≠3．故选：D．7．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝＝＝可设CQ＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP＝11，由AP ＝＝结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ可得答案．【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2，CQ＝PE，∵i＝＝＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则CQ＝PE＝8，BQ＝6，∴DP＝DE+PE＝11，在Rt△ADP中，∵AP＝＝≈13.1，∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1，故选：A．8．设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣17x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为（）A．﹣2017 B．0 C．340 D．﹣111【分析】根据根与系数关系，可得a+b＝﹣20，ab＝1，c+d＝17，cd＝1，然后对代数式进行变形，代入求值即可．【解答】解：由题意可得a+b＝﹣20，ab＝1，c+d＝17，cd＝1∴（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）＝[ab+（a+b）c+c2）][ab﹣（a+b）d+d2]＝（1﹣20c+c2）（1+20d+d2）＝1+20d+d2﹣20c﹣400﹣20d+c2+20c+1＝d2+c2+2﹣400＝（c+d）2﹣400＝172﹣400＝﹣111，故选：D．9．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直线将△ABC分成两个三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，这样的直线有（）条．A．5 B．7 C．9 D．10【分析】根据等腰三角形的判定，进行划分，即可解答．【解答】解：如图：∴最多画9条，故选：C．10．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝EM；④BN2+EF2＝EN2；⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①正确，只要证明A，B，C，D，E五点共圆即可解决问题；②正确，只要证明点M是△ABC的内心即可；③正确，想办法证明EM＝AE，即可解决问题；④正确．如图2中，将△ABN逆时针旋转90°得到△AFG，连接EG．想办法证明△GEF 是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；⑤错误．利用反证法证明即可；【解答】解：如图1中，连接BD交AC于O，连接OE．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OD＝OB，∵∠AEC＝90°，∴OE＝OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，∴A，B，C，D，E五点共圆，∵BD是直径，∴∠BED＝90°，∴EF⊥ED，故①正确，∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，∴BM平分∠ABC，∵AM平分∠BAC，∴点M是△ABC的内心，∴CM平分∠ACB，∴∠MCB＝∠MCA，故②正确，∵∠EAM＝∠EAC+∠MAC，∠EMA＝∠BAM，∠BAM＝∠MAC，∴∠EAM＝∠EMA，∴EA＝EM，∵△EAC是等腰直角三角形，∴AC＝EA＝EM，故③正确，如图2中，将△ABN逆时针旋转90°∵∠NAB＝∠GAF，∴∠GAN＝∠BAD＝90°，∵∠EAN＝45°，∴∠EAG＝∠EAN＝45°，∵AG＝AN，AE＝AE，∴△AEG≌△AEN（SAS），∴EN＝EG，GF＝BN，∵∠AFG＝∠BN＝∠AFB＝45°，∴∠GFB＝∠GFE＝90°，∴EG2＝GF2+EF2，∴BN2+EF2＝EN2，故④正确，不妨设AE•AM＝NE•FM，∵AE＝EC，∴＝，∴只有△ECN∽△MAF才能成立，∴∠AMF＝∠CEN，∴CE∥AM，∵AE⊥CE，∴MA⊥AE（矛盾），∴假设不成立，故⑤错误，故选：C．二．填空题（共6小题）11．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为y＝3x+5 ．【分析】根据白球的概率公式：得到相应的方程：＝，根据方程求解即可．【解答】解：∵取出一个白球的概率P＝，∴＝，∴12+4x＝7+x+y，∴y与x的函数关系式为：y＝3x+5．故答案为：y＝3x+5．12．已知x2﹣4xy+3y2＝0，则＝或2 ．【分析】根据x2﹣4xy+3y2＝0，可以求得x和y的关系，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x2﹣4xy+3y2＝0，∴（x﹣3y）（x﹣y）＝0，∴x﹣3y＝0或x﹣y＝0，∴x＝3y或x＝y，当x＝3y时，＝＝3+＝，当x＝y时，＝＝1+1＝2，故答案为：或2．13．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线与直线AC相交形成的锐角是50°，则∠BAC＝40°或140°．【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，当∠A为钝角时，正确画图可得结论．【解答】解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：①当∠A为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠BAC＝40°，②当∠A为钝角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1＝40°，∴∠BAC＝140°，故答案为：40°或140°．14．如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN 的面积为8 ．【分析】由题意A（﹣4，4），B（2，2），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN 计算即可．【解答】解：∵A（﹣4，4），B（2，2），∴OA⊥OB，建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），∴直线AB解析式为y′＝﹣2x′+8，由，解得或，∴M（1，6），N（3，2），∴S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN＝•4•6﹣•4•2＝8，故答案为8．15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝，则线段BC的长为4．【分析】设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF ＝45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN ＝x，BN＝FN＝，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【解答】解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2x，AD∥EF，∴∠CAD＝∠CEF＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°，连接BE，∵AB＝OB，AE＝OE∴BE⊥AO∴∠BEM＝45°，∴BM＝EM＝MC＝x，∴BM＝FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN＝MN＝x，BN＝FN＝，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，∴，x＝2或﹣2（舍），∴BC＝2x＝4．故答案为：4．16．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以A、B为边在AB的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE，点P、C、E在同一直线上，∠DAP＝60°，M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在线段AB上移动时，线段MN的最小值时2．【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），∴MN＝＝＝，∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，故答案为2．三．解答题（共6小题）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°﹣tan45°．【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．【解答】解：原式＝[﹣]•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝当a＝2sin60°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1时，原式＝＝．18．某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．（1）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；（2）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？【分析】（1）把点（5，90），（6，60）代入函数解析式y＝kx+b（k≠0），列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；（2）利用最大利润＝y（x﹣4），进而利用配方法求出函数最值即可．【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），把点（5，90），（6，60）代入，得，解得．故该一次函数解析式为：y＝﹣30x+240；（2）设当日可获利润w（元），日零售价为x元，由（1）知，w＝（﹣30x+240）（x﹣5×0.8）＝﹣30（x﹣6）2+120，﹣30x+240≥75，即x≤5.5，当x＝5.5时，当日可获得利润最大，最大利润为112.5元．19．对于任意实数k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0总有一个根是1．（1）求实数a，b．（2）当k＝5时，求方程的另一个根．【分析】（1）将x＝1代入方程有（k2+1）﹣2（k+a）2+k2+4k+b＝0，根据题意知4k（1﹣a）+1+b﹣2a2＝0对于任意实数k恒成立，据此可得a＝1、b＝1；（2）将a、b，k的值代入方程，利用因式分解法解方程可得结论．【解答】解：（1）由题意得对于任意实数k，均有（k2+1）﹣2（k+a）2+k2+4k+b＝0，即4k（1﹣a）+1+b﹣2a2＝0对于任意实数k恒成立，∴1﹣a＝0，即a＝1，则b＝1；（2）把k＝5，a＝1，b＝1代入原方程得：26x2﹣72x+46＝0，13x2﹣36x+23＝0，（x﹣1）（13x﹣23）＝0，x1＝1，x2＝．∴方程的另一个根是．20．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．（1）若OA＝4，求k的值；（2）若BD＝BC，求点C的坐标．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出AE，BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐标即可得出答案；（2）首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标．【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2．在Rt△BCE中，BC＝，BE＝2，∴CE＝＝＝，∵OA＝4，∴C点的坐标为：（，2），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴k＝5，（2）设A点的坐标为（m，0），∵BD＝BC＝，∴AD＝，∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，2）．∵点C，D都在y＝的图象上，∴m＝2（m﹣），∴m＝6，∴C点的坐标为：（，2）．21．已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．（1）如图1，求证：AD＝BD；（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ＝6DP，sin ∠ABO＝，求的值．【分析】（1）如图1，连接OA，利用垂径定理和圆周角定理可得结论；（2）如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT，由圆周角定理可得∠BPT＝90°，易得∠APT＝∠APB﹣∠BPT＝∠APB﹣90°，利用切线的性质定理和垂径定理可得∠ABO＝∠OMB，等量代换可得∠ABO＝∠APT，易得结论；（3）解法一：如图3，连接MA，利用垂直平分线的性质可得MA＝MB，易得∠MAB＝∠MBA，作∠PMG＝∠AMB，在射线MG上截取MN＝MP，连接PN，BN，易得△APM≌△BNM，由全等三角形的性质可得AP＝BN，∠MAP＝∠MBN，延长PD至点K，使DK＝DP，连接AK、BK，易得四边形APBK是平行四边形，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠PAB＝∠ABK，∠APB+∠PBK＝180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）＝90°，易得∠NBP＝∠KBP，可得△PBN≌△PBK，PN＝2PH，利用三角函数的定义可得sin∠PMH＝，sin∠ABO ＝，设DP＝3a，则PM＝5a，可得结果．解法二：连接BQ、OQ．易知AB⊥OM，OB⊥MB，利用相似三角形的性质解决问题即可：【解答】（1）证明：如图1，连接OA，∵C是的中点，∴，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，AD＝BD；（2）证明：如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT ∵BT是⊙O的直径∴∠BPT＝90°，∴∠APT＝∠APB﹣∠BPT＝∠APB﹣90°，∵BM是⊙O的切线，∴OB⊥BM，又∠OBA+∠MBA＝90°，∴∠ABO＝∠OMB又∠ABO＝∠APT∴∠APB﹣90°＝∠OMB，∴∠APB﹣∠OMB＝90°；（3）解：如图3，连接MA，∵MO垂直平分AB，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，作∠PMG＝∠AMB，在射线MG上截取MN＝MP，连接PN，BN，则∠AMP＝∠BMN，∴△APM≌△BNM，∴AP＝BN，∠MAP＝∠MBN，延长PD至点K，使DK＝DP，连接AK、BK，∴四边形APBK是平行四边形；AP∥BK，∴∠PAB＝∠ABK，∠APB+∠PBK＝180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）＝90°，∴∠APB+∠MBA＝180∴∠PBK＝∠MBA，∴∠MBP＝∠ABK＝∠PAB，∴∠MAP＝∠PBA＝∠MBN，∴∠NBP＝∠KBP，∵PB＝PB，∴△PBN≌△PBK，∴PN＝PK＝2PD，过点M作MH⊥PN于点H，∴PN＝2PH，∴PH＝DP，∵∠PMH＝∠PMN＝∠AMB＝∠BMO，∠BMO＝∠ABO∴∠PMH＝∠ABO，∵sin∠PMH＝，sin∠ABO＝，∴，∴，设DP＝3a，则PM＝5a，∴MQ＝6DP＝18a，∴．解法二：连接BQ、OQ．易知AB⊥OM，OB⊥MB，∴∠OMB＝∠ABO，∴sin∠ABO＝sin∠OMB＝＝，设OB＝OQ＝3a，则OM＝5a，易证MB2＝MD•MO，∵MB是切线，∴∠MBP＝∠MQB，∴△MPB∽△MBQ，∴＝，∴MB2＝MP•MQ，∴MD•MO＝MP•MQ，∴＝，∵∠DMP＝∠QMO，∴△MPD∽△MOQ，∴＝，∴MP＝•PD＝•PD，∴＝＝．22．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）如图1，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC面积的最大值？（2）在（1）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′C、N′B，求N′C+N′B的最小值．【分析】（1）△BEC面积S＝×EH×OC＝4×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+3x，即可求解；（2）分AM是平行四边形的边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可；（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点N′使得ON′＝ON．证明△M′ON′∽△N′OB，即可求解．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，则点B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0），将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；过点E作y轴的平行线交BC于点H，设点E（x，﹣x2+x+3），则点H（x，﹣x+3），△BEC面积S＝×EH×OC＝4×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+3x，∴﹣＜0，∴S有最大值3，此时点E（2，3）；（2）存在，理由：将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，故点M（2，），设点P（m，n），n＝﹣m2+m+3，点Q（1，s）；①当AM是平行四边形的边时，点A向右平移4个单位向上平移个单位得到M，同样点Q（P）向右平移4个单位向上平移个单位得到P（Q），故m＝1+4＝5或m＝1﹣4＝﹣3，故点P（5，﹣）或（﹣3，﹣）；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：﹣2+2＝m+1，解得：m＝﹣1，故点P（﹣1，）；综上，点P的坐标为：（5，﹣）或（﹣3，﹣）（﹣1，）；（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点N′使得ON′＝ON．∵ON′＝1，OM′•OB＝×3＝1，∴ON′2＝OM′•OB，，∵∠BON′＝∠M′ON′，∴△M′ON′∽△N′OB，∴＝＝，∴M′N′＝BN′，∴CN′+BN′＝CN′+N′M′＝CM′，此时CN′+BN′最小（两点间线段最短，C、M′、N′共线时），最小值＝CM′＝＝．。

2019年四川省南充市中考数学试卷及解析（word版）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（2019年江苏南充）=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣分析：按照绝对值的性质进行求解．解：根据负数的绝对值是它的相反数，得：|﹣|=．故选C．点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（2019年江苏南充）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b2分析：根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据合并同类项，可判断C；根据完全平方公式，可判断D．解：A、底数不变指数相加，故A正确；B、底数不变指数相乘，故B错误；C、系数相加字母部分不变，故C错误；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；故选：A．点评：本题考查了完全平方公式，和的平方等于平方和加积的二倍．3．（2019年江苏南充）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．分析：先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、主视图是扇形，扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选D．点评：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（2019年江苏南充）如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．32.5°C．35°D．37.5°分析：根据平行线的性质求出∠EOB，根据三角形的外角性质求出即可．解：设AB、CE交于点O．∵AB∥CD，∠C=65°，∴∠EOB=∠C=65°，∵∠E=30°，∴∠A=∠EOB﹣∠E=35°，故选C．点评：本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠EOB的度数和得出∠A=∠EOB﹣∠E．5．（2019年江苏南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．（2019年江苏南充）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．分析：根据不等式的基本性质解不等式得解集为﹣2＜x≤3，所以选D．解：解不等式得：x≤3．解不等式x﹣3＜3x+1得：x＞﹣2所以不等式组的解集为﹣2＜x≤3．故选D．点评：考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．7．（2019年江苏南充）为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（）A．样本容量是200 B．D等所在扇形的圆心角为15°C．样本中C等所占百分比是10%D．估计全校学生成绩为A等大约有900人分析：根据条形统计图和扇形统计图提供的数据分别列式计算，再对每一项进行分析即可．解：A、=200（名），则样本容量是200，故本选项正确；B、成绩为A的人数是：200×60%=120（人），成绩为D的人数是200﹣120﹣50﹣20=10（人），D等所在扇形的圆心角为：360°×=18°，故本选项错误；C、样本中C等所占百分比是1﹣60%﹣25%﹣=10%，故本选项正确；D、全校学生成绩为A等大约有1500×60%=900人，故本选项正确；故选：B．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．8．（2019年江苏南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30° B．36° C．40°D．45°分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．9．（2019年江苏南充）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．B．13πC．25πD． 25分析：连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出，的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可．解：连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴==，∵==6π，∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：+6π=，故选：A．点评：此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l=．10．（2019年江苏南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（2019年江苏南充）分式方程=0的解是．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：x+1+2=0，解得：x=﹣3经检验x=﹣3是分式方程的解．故答案为：x=﹣3点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．12．（2019年江苏南充）分解因式：x3﹣6x2+9x=．分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解：x3﹣6x2+9x=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2．点评：本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．13．（2019年江苏南充）一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，则这组数据的方差是．分析：先根据中位数的定义求出x的值，再求出这组数据的平均数，最后根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]进行计算即可．解：∵按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，∴x=3，∴这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6=3，∴这组数据的方差是：[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=．故答案为：．点评：本题考查了中位数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．14．（2019年江苏南充）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．解：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=AB=×8=4cm．∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16πcm2．故答案是：16π．点评：此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．15．（2019年江苏南充）一列数a1，a2，a3，…a n，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，a n=，则a1+a2+a3+…+a2019=．分析：分别求得a1、a2、a3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．解：a1=﹣1，a2==，a3==2，a4==﹣1，…，由此可以看出三个数字一循环，2004÷3=668，则a1+a2+a3+…+a2019=668×（﹣1++2）=1002．故答案为：1002．点评：此题考查了找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键．16．（2019年江苏南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是．分析：作出图形，根据矩形的对边相等可得BC=AD，CD=AB，当折痕经过点D时，根据翻折的性质可得A′D=AD，利用勾股定理列式求出A′C，再求出BA′；当折痕经过点B时，根据翻折的性质可得BA′=AB，此两种情况为BA′的最小值与最大值的情况，然后写出x的取值范围即可．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=17，∴BC=AD=17，CD=AB=8，①当折痕经过点D时，由翻折的性质得，A′D=AD=17，在Rt△A′CD中，A′C===15，∴BA′=BC﹣A′C=17﹣15=2；②当折痕经过点B时，由翻折的性质得，BA′=AB=8，∴x的取值范围是2≤x≤8．故答案为：2≤x≤8．点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出BA′的最小值与最大值时的情况，作出图形更形象直观．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（2019年江苏南充）计算：（﹣1）0﹣（﹣2）+3tan30°+（）﹣1．分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：原式=1﹣+2++3=6．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（2019年江苏南充）如图，AD、BC相交于O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求证：AB=CD．分析：根据等角对等边可得OB=OC，再利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵∠OBD=∠ODB，∴OB=OD，在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB=CD．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，准确识图确定出全等的三角形并求出OB=OD 是解题的关键．19．（2019年江苏南充）在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有﹣5，﹣1，1．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y．（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是﹣1，它们恰好是ax﹣y=5的解，求a的值；（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的概率．（请用树形图或列表法求解）分析：（1）将x=2，y=﹣1代入方程计算即可求出a的值；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的情况数，即可求出所求的概率．解：（1）将x=2，y=﹣1代入方程得：2a+1=5，即a=2；（2）列表得：﹣1），（3，1），共3种情况，则P==．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（2019年江苏南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0，有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．分析：（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；（2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为x2﹣2x+1=0，根据根与系数的关系，可得x1+x2=2，x1x2=1，再将x12+x22﹣x1x2变形为（x1+x2）2﹣3x1x2，则可求得答案．解：∵一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=8﹣4m＞0，解得m＜2，故整数m的最大值为1；（2）∵m=1，∴此一元二次方程为：x2﹣2x+1=0，∴x1+x2=2，x1x2=1，∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．掌握根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．21．（2019年江苏南充）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＜y2．分析：（1）将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得k、b的值，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得m的值，继而可得两函数解析式；（2）寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的x的取值范围．解：（1）将点（2，5）、（0，7）代入一次函数解析式可得：，解得：．∴一次函数解析式为：y=﹣x+7；将点（2，5）代入反比例函数解析式：5=，∴m=10，∴反比例函数解析式为：y=．（2）由题意，得：，解得：或，∴点D的坐标为（5，2），当0＜x＜2或x＞5时，y1＜y2．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是联立解析式，求出交点坐标．22．（2019年江苏南充）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．分析：（1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．解：（1）过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45，设PE为x海里，则BE=PE=x海里，∵AB=140海里，∴AE=（140﹣x）海里，在Rt△PAE中，，即：解得：x=60海里，∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里；（2）在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°，则BP=PE=60≈84.8海里，B船需要的时间为：≈2.83小时，在Rt△PAE中，=sin∠PAE，∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100海里，∴A船需要的时间为：100÷40=2.5，∵2.83＞2.5，∴A船先到达．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．23．（2019年江苏南充）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件．（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x的取值范围；（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费．分析：（1）表示出从A基地运往乙销售点的水果件数，从B基地运往甲、乙两个销售点的水果件数，然后根据运费=单价×数量列式整理即可得解，再根据运输水果的数量不小于0列出不等式求解得到x的取值范围；（2）根据一次函数的增减性确定出运费最低时的运输方案，然后求解即可．解：（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果（380﹣x）件，从B基地运往甲销售点水果（400﹣x）件，运往乙基地（x﹣80）件，由题意得，W=40x+20（380﹣x）+15（400﹣x）+30（x﹣80），=35x+11000，即W=35x+11000，∵，∴80≤x≤380，即x的取值范围是80≤x≤380；（2）∵A地运往甲销售点的水果不低于200件，∴x≥200，∵35＞0，∴运费W随着x的增大而增大，∴当x=200时，运费最低，为35×200+11000=18000元，此时，从A基地运往甲销售点水果200件，从A基地运往乙销售点的水果180件，从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙基地120件．点评：本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确表示出从A、B两个基地运往甲、乙两个销售点的水果的件数是解题的关键．24．（8分）（2019年江苏南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB 于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．分析：（1）连接OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证，（2）连接OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°得出结论．（3）连接AC、BC、OG，由sinB=，求出r，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．（1）证明：连接OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EPG=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连接OG，∵BG2=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，∴BG=PG；（3）解：如图，连接AC、BC、OG，∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGO=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在RT△BCA中，CF2=BF•FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．25．（2019年江苏南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．分析（1）由x=0时带入y=x﹣1求出y的值求出B的坐标，当x=﹣3时，代入y=x﹣1求出y的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可．（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD 就可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有，可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性质就可以求出结论．解：（1）∵y=x﹣1，∴x=0时，y=﹣1，∴B（0，﹣1）．当x=﹣3时，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）．∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）如图1①，作BE⊥PC于E，∴BE=﹣m．CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2，∴，解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣；如图1②，作BE⊥PC于E，∴BE=﹣m．PD=1﹣4m﹣m2+1﹣m=2﹣4m﹣m2，∴，解得：m=0（舍去）或m=﹣3，∴m=﹣，﹣2或﹣3时S四边形OBDC=2S△BPD；（3））如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a2+4a﹣1），则D（a，a﹣1），∴AP=m+4，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，∴（1，0），∴OF=1，∴CF=1﹣m．AF=4．∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°，∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，，∴，解得：m=1舍去或m=﹣2，∴P（﹣2，﹣5）如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，∴∠AEF=90°．CE=﹣3﹣m，EF=4，AF=4，PD=1﹣m﹣（1﹣4m﹣m2）=3m+m2．∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，∴AE∥CD．∴，∴AD=（﹣3﹣m）．∵△PAD∽△FEA，∴，∴，∴m=﹣2或m=﹣3∴P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）与点A重合，舍去，∴P（﹣2，﹣5）．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点．。

2019年四川省南充高中自主招生数学试卷一、填空题（每小题8分，共112分）1．（8分）已知x 满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝．2．（8分）若|m+2|+（n﹣1）2＝0，则m+2n值为．3．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac＝．4．（8分）已知a n＝（﹣1）n+1，当n＝1时，a1＝0，当n＝2时，a2＝2，当n＝3时，a3＝0，…，则a1+a2+a3+…+a＝．5．（8分）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是．6．（8分）直角三角形ABC中，∠C＝90°且tan B＝2tan A﹣1，则∠B＝．7．（8分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则a n＝．（用含n的代数式表示）所剪次数 1 2 3 4 …n正三角形个数4 7 10 13 …a n8．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3m，则m＝．9．（8分）设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实数根，当m＝时，x12+x22有最小值，最小值是．10．（8分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是．11．（8分）对于正数x，规定f（x）＝，计算f（）+f（）+…+f（）+f （）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）＝．12．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是．13．（8分）若ab＝1，则的值为．14．（8分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为．二、选择题（每小题6分，共24分）15．（6分）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈16．（6分）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1 B．≤m C．≤m≤1 D．＜m≤1 17．（6分）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A．2 B．1 C．k≠2且k≠一2 D．无法确定18．（6分）如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．65°和115°D．130°和50°三、解答题（共64分）19．（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝1+，b＝1﹣20．（12分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG＝a，FH＝b，四边形EFGH的面积为S．（1）求证：sinθ＝；（2）试用a，b，S来表示正方形ABCD的面积．21．（12分）抛物线的解析式y＝ax2+bx+c满足如下四个条件：abc＝0；a+b+c＝3；ab+bc+ca ＝﹣4；a＜b＜c．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．P 是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD＝1.5时，试比较S△AOD与S△DPC的大小．22．（14分）如图△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D 与AB切于点E．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）设⊙D与BC交于点F，当CF＝2时，求CD的长；（3）设CD＝a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．23．（16分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、填空题（每小题8分，共112分）1．（8分）已知x满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝ 2 ．【分析】设x2+2x＝y，则原方程可化为y2﹣4＝0，解得y1＝2，y2＝﹣2，解方程可解答．【解答】解：﹣x2﹣2x＝1，设x2+2x＝y，则原方程可化为﹣y＝1，3﹣y（y﹣1）＝y﹣1，y2＝4，解得y1＝2，y2＝﹣2，经检验，y＝±2是方程﹣y＝1的解，当y1＝2时，x2+2x＝2，解得x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解；当y2＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此方程无实数解；∴x2+2x＝2，故答案为：2．2．（8分）若|m+2|+（n﹣1）2＝0，则m+2n值为0 ．【分析】根据非负数的性质列式计算求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，m+2＝0，n﹣1＝0，解得m＝﹣2，n＝1，所以，m+2n＝﹣2+2×1＝0．故答案为：0．3．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac＝﹣1 ．【分析】根据x轴上点的坐标特点可设出A、B两点的坐标为（x1，0），（x2，0），根据△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，再由抛物线与y轴的交点可求出C点的坐标，由射影定理即可求出ac的值．【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1•x2＝＜0，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），由射影定理知，|OC|2＝|AO|•|BO|，即c2＝|x1|•|x2|＝||，故|ac|＝1，ac＝±1，由于＜0，所以ac＝﹣1．故答案为：﹣1．4．（8分）已知a n＝（﹣1）n+1，当n＝1时，a1＝0，当n＝2时，a2＝2，当n＝3时，a3＝0，…，则a 1+a2+a3+…+a＝2008 ．【分析】由已知可得a 1+a2＝2，a3+a4＝2，…，a2n﹣1+a2n＝2，则有a1+a2+a3+…+a＝1004（a1+a2），代入即可求解．【解答】解：由已知可得a1+a2＝2，a3+a4＝2，…，a2n﹣1+a2n＝2，∵a 1+a2+a3+…+a＝1004（a1+a2）＝2008，故答案为2008．5．（8分）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是0°＜α＜45°．【分析】根据正弦函数值随锐角的增大而增大，可得答案．【解答】解：由sinα＜cosα，得0°＜α＜45°，故答案为：0°＜α＜45°．6．（8分）直角三角形ABC中，∠C＝90°且tan B＝2tan A﹣1，则∠B＝45°．【分析】根据正切的定义得到tan B＝，tan A＝，根据题意列出方程，解方程得到a ﹣b，根据等腰直角三角形的概念解答．【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，则tan B＝，tan A＝，∴＝2×﹣1，整理得，2a2﹣ab﹣b2＝0，（2a+b）（a﹣b）＝0，解得，a ＝b，∴∠B＝45°，故答案为：45°．7．（8分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则a n＝3n+1 ．（用含n 的代数式表示）所剪次数 1 2 3 4 …n正三角形个数4 7 10 13 …a n【分析】从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n﹣1）＝3n+1．【解答】解：故剪n次时，共有4+3（n﹣1）＝3n+1．8．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3m，则m＝﹣．【分析】先求出二元一次方程组的解为，再由x+y＝m得到m﹣＝3m，即可求出m的值．【解答】解：二元一次方程组的解为，∵x+y＝3m，∴m﹣＝3m，∴m＝﹣，故答案为﹣9．（8分）设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实数根，当m＝时，x12+x22有最小值，最小值是．【分析】由根与系数的关系知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实根，∴△＝（﹣4m）2﹣4×2×（2m2+3m﹣2）≥0，可得m≤，又x1+x2＝2m，x1x2＝，∴x12+x22＝2（m﹣）2+＝2（﹣m）2+，∵m≤，∴﹣m＞0，∴当m＝时，x12+x22取得最小值为2（﹣）2+＝．故答案为，．10．（8分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是．【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两种品牌的彩电都齐全的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有20种等情况数，其中两种品牌的彩电都齐全的12种，则两种品牌的彩电都齐全的概率是＝；故答案为：．11．（8分）对于正数x，规定f（x）＝，计算f（）+f（）+…+f（）+f （）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）＝2007.5 ．【分析】根据题意得到f（x）+f（）＝1，原式结合后相加即可求出值．【解答】解：根据题意得：f（x）+f（）＝+＝+＝＝1，f（1）＝0.5，则原式＝[f（）+f（2008）]+[f（）+f（2007）]+…+[f（）+f（2）]+f （1）＝2007.5，故答案为：2007.512．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是3＜r≤4或r＝2.4 ．【分析】此题注意两种情况：（1）圆与AB相切时；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．【解答】解：如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．根据勾股定理求得AB＝5．分两种情况：（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴3＜r≤4或r＝2.4．13．（8分）若ab＝1，则的值为 1 ．【分析】对所求的代数式利用分式加减法则化简整理得原式＝，然后将ab＝1代入即可求出代数式的值．【解答】解：原式＝＝，将ab＝1代入得，原式＝1．填空答案为：1．14．（8分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为．【分析】利用切割线定理求出BF，然后求出OE，利用勾股定理求出圆的半径OC即可．【解答】解：连结BC并延长，交圆于F，过O作OE⊥BF，∵BA是圆O的切线，切点为A，由切割线定理可知：AB2＝BC•BF，∵BC＝DC＝3，AB＝6，∴BF＝12，CF＝9，∴DE＝，OD＝2，∴OE＝＝＝，CE═，OC＝＝＝．故答案为：．二、选择题（每小题6分，共24分）15．（6分）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈【分析】根据圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长＝4C选择．【解答】解：如图，设圆的周长是C，则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长＝4C，则这个圆共转了4C÷C＝4圈．故选：A．16．（6分）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1 B．≤m C．≤m≤1 D．＜m≤1【分析】方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2﹣2x+m＝0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2﹣2x+m＝0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2﹣x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的△＝4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得m＞．∴＜m≤1．故选：D．17．（6分）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A．2 B．1 C．k≠2且k≠一2 D．无法确定【分析】先将分式方程化为整式方程，解得x＝k，根据题意可得x≠±1，从而求出k 的值．【解答】解：去分母得，x（x+1）﹣k＝x（x﹣1），解得x＝k，∵方程不会产生增根，∴x≠±1，∴k≠±1，即k≠±2．故选：C．18．（6分）如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．65°和115°D．130°和50°【分析】连接OC，OB，当点P在优弧BC上时，由圆周角定理可求得∠P＝65°，当点P在劣弧BC上时，由圆内接四边形的对角互补可求得∠BPC＝115°．故本题有两种情况两个答案．【解答】解：连接OC，OB，则∠ACO＝∠ABO＝90°，∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，应分为两种情况：①当点P在优弧BC上时，∠P＝∠BOC＝65°；②当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝180°﹣65°＝115°；故选：C．三、解答题（共64分）19．（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝1+，b＝1﹣【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式＝＝＝当，时，原式＝．20．（12分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG＝a，FH＝b，四边形EFGH的面积为S．（1）求证：sinθ＝；（2）试用a，b，S来表示正方形ABCD的面积．【分析】（1）设EG于FH相交于点O，过E作EM⊥FH于M，过G点作GN⊥FH于N，则S ＝S△EFH+S△FHG，得出S＝EM•FH+GN•FH＝ab•sinθ，即可得出结论；（2）过E、F、G、H分别对正方形ABCD作对边的垂线，则四边形PQRT、四边形AETH、四边形EBFP、四边形CFQG、四边形DGRH都是矩形，设正方形ABCD的边长为x，PQ＝y，QR＝z，由勾股定理得y＝，z＝，由矩形的性质得出S△AEH＝S△THE，S△＝S△FPE，S△CFG＝S△QGF，S△DGH＝S△RHG，则S正方形ABCD+S矩形PQRT＝2S四边形EFGH，即x2+yz＝2S，EBF代入即可得出结果．【解答】（1）证明：设EG于FH相交于点O，过E作EM⊥FH于M，过G点作GN⊥FH于N，如图1所示：则S＝S△EFH+S△FHG，∴S＝EM•FH+GN•FH＝EO•sinθ•FH+OG•sinθ•FH＝（EO+OG）•sinθ•FH＝EG•FH •sinθ＝ab•sinθ，∴sinθ＝；（2）解：过E、F、G、H分别对正方形ABCD作对边的垂线，如图2所示：则四边形PQRT、四边形AETH、四边形EBFP、四边形CFQG、四边形DGRH都是矩形，设正方形ABCD的边长为x，PQ＝y，QR＝z，由勾股定理得：y＝，z＝，由矩形的性质得：S△AEH＝S△THE，S△EBF＝S△FPE，S△CFG＝S△QGF，S△DGH＝S△RHG，∴S正方形ABCD+S矩形PQRT＝2S四边形EFGH，∴x2+yz＝2S，即x2+•＝2S，解得：x2＝，∴正方形ABCD的面积用a、b、S表示为：．21．（12分）抛物线的解析式y＝ax2+bx+c满足如下四个条件：abc＝0；a+b+c＝3；ab+bc+ca ＝﹣4；a＜b＜c．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．P 是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD＝1.5时，试比较S△AOD与S△DPC的大小．【分析】（1）因为a不等于0故分别令c＝0以及b＝0时求出a，c的值．（2）令y＝0求出A，B两点的坐标．做PG⊥x轴于G，利用线段比求出m值，然后可求出各有关线段的值．最后求解．【解答】解：（1）∵a≠0，abc＝0，∴bc＝0＜1＞当b＝0时由，得，解得或，∵a＜b＜c，∴，（不合意，舍去）∴a＝﹣1，b＝0，c＝4．（2分）＜2＞当c＝0时由，得，解之得或．∵a＜b＜c，∴和都不合题意，舍去．（3分）∴所求的抛物线解析式为y＝﹣x2+4．（4分）（2）在y＝﹣x2+4中，当y＝0时，x＝±2∴A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），过P作PG⊥x轴于G，设P（m，n）∵点P在抛物线上且在第一象限内，∴m＞0，n＞0，n＝﹣m2+4∴PG＝﹣m2+4，OA＝2，AG＝m+2（5分）∵OD∥PG，OD＝1.5∴，即解得（不合题意，舍去），∴OG＝（7分）∵当x＝0时，y＝4，∴点C的坐标为（0，4）∴DC＝OC﹣OD＝4﹣1.5＝2.5 S△PDC＝CD•OG＝×S△AOD＝AO•OD＝×1.5×2＝∴S△PDC＞S△AOD．（8分）22．（14分）如图△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D 与AB切于点E．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）设⊙D与BC交于点F，当CF＝2时，求CD的长；（3）设CD＝a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．【分析】（1）因为点E为切点，则得到∠AED＝90°，已知有一组公共角，则根据有两组角相等的两个三角形相似可推出△ADE∽△ABC；（2）连接DF，则DE＝DF，设CD＝x，则AD＝6﹣x，根据相似三角形的对应边成比例可得到DE的长，再利用勾股定理求得DF的长，则解方程即可得到CD的长；（3）取a＝3，（可取＜a＜6的任意一个数），则AD＝3，根据DE＜AD即可得到DE＜DC从而得到⊙D与BC没有公共点．【解答】（1）证明：∵点E是切点∴∠AED＝90°∵∠A＝∠A，∠ACB＝90°∴△ADE∽△ABC；（2）解：连接DF，则DE＝DF设CD＝x，则AD＝6﹣x∵△ADE∽△ABC∴∴DE＝在RT△DCF中DF2＝x2+CF2＝x2+4∴＝x2+4x2+3x﹣4＝0∴x＝1，x＝﹣4（舍去）∴CD＝1（当CD＝1时，0＜x＜6，所以点D在AC上）；（3）解：取a＝3，（可取＜a＜6的任意一个数）则AD＝AC﹣CD＝3，∵DE＜AD，∴DE＜DC，即d＞r，则⊙D与BC相离，∴当a＝3时，⊙D与BC没有公共点．23．（16分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）因为直线y＝x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE＝DC．∵点D在直线y＝x+1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x＝2．即x2﹣3x+2＝0．解之，得x1＝2，x2＝1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE的函数关系式为y＝x+b．∵直线CE经过点C（1，0），∴0＝1+b，∴b＝﹣1．∴直线CE的函数关系式为y＝x﹣1．∴得x2﹣3x+2＝0．2019年四川省南充高中自主招生数学考试试卷解析版解之，得x1＝2，x2＝1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．21 / 21。

2019年四川省南充市中考数学试题及答案（Word 解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. （2018四川南充，1，3分）计算－2+3的结果是（ ）A.－5B. 1C.-1D. 5 2. （2018四川南充，2，3分）0.49的算术平方根的相反数是（ ）A.0.7B. －0.7C.7.0±D. 03. （2018四川南充，3，3分） 如图，△ABC 中，AB=AC,∠B=70°，则∠A 的度数是（ ）A.70°B. 55°C. 50°D. 40°4. （2018四川南充，4，3分）“一方有难，八方支援。

”四川省芦山县遭遇强烈地震灾害，我市某校师生共同为地震灾区捐款201800元用于灾后重建，把201800用科学记数法表示为 （ ）A.1.35×106B. 13.5×105C. 1.35×105D. 13.5×1045. （2018四川南充，5，3分）不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--+23x 321x 1x 3＞的整数解是（）A.－1，0,1B. 0,1C. －2，0,1D. －1,1 6. （2018四川南充，6，3分） 下列图形中，∠2＞∠1 （）第6题7. （2018四川南充，7，3分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。

将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （ ）A. 51B. 52C. 53 D. 548. （2018四川南充，8，3分）如图，函数y 1=xk 1与 y 2=k 2x 的图象相交于点A （1,2）和点B ，当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是（ ）D ab(a ∥b) C 21BAABC第3题目A. x ＞1B. －1＜x ＜0C. －1＜x ＜0 或x ＞1D. x ＜－1或0＜x ＜19. （2018四川南充，9，3分）如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B ′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是 （ ）A.12B. 24C. 123D. 16310. （2018四川南充，9，3分） 如图1，把矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm ；②当0＜t ≤5时；y=52t 2；③直线NH 的解析式为y=－25t+27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=429秒。

2019-2020年南充市高级中学初升高自主招生数学模拟试卷 共3套试卷，150分的模拟数学试卷共3套，对参加自主招生的学生有一定的指导意义和辅助作用，但不是决定性的作用，祝大家考试顺利。

第一套：满分150分2019-2020年南充市高级中学初升高自主招生数学模拟卷一、选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．已知0<mn 且10-1-1++>>>n m n m ，那么n ，m ，n 1，mn 1+的大小关系是（ ）A ．n m n n m <+<<11B ．n n m n m <<+<11 C.n n m m n 11<<<+ D ．nn m n m 11<<+< 2．如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin ∠A 的值为（ ）A.56 B ．65 C. 334 D ．61615 3．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，E 为CD 中点，AC=2，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD 的长为（ ）A ．21B ．5-13+C ．21-3 D ．1-5 4．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展平后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论：①AE=AG ；②tan ∠AGE=2；③S △DOG =S 四边形EFOG ；④四边形ABFG 为等腰梯形；⑤BE=2OG ，则其中正确的结论个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．某中学学生会为了考察该校1800名学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从“篮球、排球、乒乓球、足球及其他”等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，下列判断：①本次抽样调查的样本容量是60；②在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角是60°；③该校学生中喜欢“乒乓球”的人数约为450人；④若被抽查的男女学生数相同，其中喜欢球类的男生占喜欢球类人数的56.25%，则被抽查的学生中，喜欢“其他”类的女生数为9人．其中正确的判断是（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有①③④D ．只有③④6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=21∠BOD ，则⊙O 的半径为（ ）A ．42B ．5C ．4D ．37．已知关于x 的不等式组恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．2332≤≤aB ．23≤≤34aC ．23≤34a <D ．23≤34<a 8．如图，二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OB=OC ，下列结论：①b ＞1且b ≠2；②b 2﹣4ac ＜4a 2；③a ＞21；其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE•AB ．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④10．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）A ．43B ．31C ．21D ．41 二、填空题：（每题6分，共48分）11．已知：对于正整数n ，有()11-1111+=+++n n n n n n ，若某个正整数k 满足()32111 (4)33413223121121=++++++++++k k k k ，则k= ． 12．如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为90m ，则这栋楼高为 （精确到0.1 m ）．13．已知关于x 的不等式kx ﹣2＞0（k ≠0）的解集是x ＜﹣3，则直线y=﹣kx +2与x 轴的交点是 ． 14．⊙O 的半径为1，弦AB=2，弦AC=3，则∠BAC 度数为 ．15．（5分）有五张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a ，则使关于x 的方程2--1x ax +2=x-21有正整数解的概率为 16．（5分）已知，如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，OD 交AC 的延长线于E ，OA=1，AE=3．则下列结论正确的有 ． ①∠B=∠CAD ；②点C 是AE 的中点；③BD AD =AE ED ；④tan B=31-10．17．（5分）如图，在△ABC 中，AB=8，AC=6，AD 为BC 边上的中线，将△ADC 绕点D 旋转180°，得到△EDB ，则中线AD 长的取值范围是 ．18．（5分）在反比例函数y=x10（x ＞0）的图象上，有一系列点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n +1，若A 1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n +1作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1= ，S 1+S 2+S 3+…+S n = ．（用n 的代数式表示）．三、 解答题：（52分）19．（12分）已知：如图，正方形ABCD 的边长是1，P 是CD 的中点，点Q 是线段BC 上一动点，当BQ 为何值时，以A 、D 、P 为顶点的三角形与以Q 、C 、P 为顶点的三角形相似．20．（12分）如图，已知，A （0，4），B （﹣3，0），C （2，0），D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数y=xk 的图象经过D 点． （1）证明四边形ABCD 为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在y=xk 的图象（x ＞0）上一点N ，y 轴正半轴上一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．21．（14分）如图所示，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，B 是⊙O 上一点，且PA=PB ，连接AO 、BO 、AB ，并延长BO 与切线PA 相交于点Q ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ ；（3）设∠AOQ=α，若54cos =α，OQ=15，求AB 的长．22．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：π+=x y 43与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，﹣1），抛物线c bx x y ++=221经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）．（1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0＜t ＜4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．第一套：满分150分2019-2020年南充市高级中学初升高自主招生数学模拟卷参考答案一、选择题：1．解：∵mn ＜0，∴m ，n 异号，由1﹣m ＞1﹣n ＞0＞n +m +1，可知m ＜n ，m +n ＜﹣1，m ＜0，0＜n ＜1，|m |＞|n |，|m |＞2，假设符合条件的m=﹣4，n=0.2 则n 1=5，n +m 1=0.2﹣41=﹣201 则﹣4＜﹣201＜0.2＜5故m ＜n +m 1＜n ＜n1．故选：D ．2．解：如图，由勾股定理，得 AB=22BD AD +=2256+=61，sin ∠A=AD DB =615=61615， 故选：D ．3．解：如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，过点B 作BG ⊥CD 于G ，在Rt △BEG 中，∠BED=45°，则GE=GB ．在Rt △AFC 中，∠A=45°，AC=2，则AF=CF=。

2019年高中学校自主招生数学试卷一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或205．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．27．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是．12、＝．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为．18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑【分析】先判断出共有6种颜色，再根据与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红判断出白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红判断出绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白判断出红的对面是黑，从而得解．【解答】解：由图可知，共有黑、绿、白、红、蓝、黄六种颜色，与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红，所以，白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红，所以，绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白，所以，红的对面是黑，综上所述，涂成绿色一面的对面的颜色是黄．故选：C．2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b＝a+3，c＝b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为4、1，即可得出a＝±4、b＝±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．【解答】解：∵|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，∴b＝a+3，c＝b+5，∵原点O与A、B的距离分别为4、1，∴a＝±4，b＝±1，∵b＝a+3，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∵c＝b+5，∴c＝4．∴点O介于B、C点之间．故选：C．3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b 可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．【分析】y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），可求抛物线与x轴的两个交点坐标，所以|A n B n|＝﹣，代入即可求解；【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．2【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．7．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理可求BC，AC的值，通过证明△ACB∽△PCQ，可得，可得CQ＝，当PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条【分析】联立直线y＝px与直线y＝x+10，求出p的取值范围即可求得结果．【解答】解：联立直线y＝px与直线y＝x+10，，得px＝x+10，x＝，∵x为整数，p也为整数．∴P的取值范围为：﹣9≤P≤11，且P≠1，P≠0．而.10＝2×5＝1×10，0＜P≤11，有四条直线，P≠0，﹣9≤P＜0，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE＝60°＝∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S＝S四边形CMGN，易求后者的面积．四边形BCDG③过点F作FP∥AE于P点．根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD．∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A＝∠BDF＝60°．又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°．∴∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM＝CN，∵，∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S＝2S△CMG，四边形CMGN∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．故选：D．二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是4037x2019．【分析】根据题目中的式子可以系数为连续的奇数，未知数x的次数从1次、2次依次递增，从而可以得到第2019个单项式，本题得以解决．【解答】解：∵x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…∴第n个式子是（2n﹣1）x n，当n＝2019时，对应的式子为4037x2019，故答案为：4037x2019．12．＝612.5 ．【分析】仔细观察，知原式还可以是．又+＝1，（+）+（+）＝2，+＝3，…依此类推可知，将原式倒过来后再与原式相加，问题就转化为．【解答】解：设s＝，①又s＝，②①+②，得2s＝1+2+3+4+…+49，③2s＝49+48+47+…+2+1，④③+④，得4s＝50×49＝2450，故s＝612.5；故答案为：612.5．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为（256，0）．【分析】先根据伸长的变化规律求出OP8的长度，再根据每8次变化为一个循环组，然后确定出所在的位置，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍解答即可．【解答】解：由题意可得，OP0＝1，OP1＝2×1＝2，OP＝2×2＝22，2OP＝2×22＝23，3OP＝2×23＝24，4…OP＝2×27＝28＝256，8∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8，∴每8次变化为一个循环组，∴P8在x4的正半轴上，P8（256，0），故答案为（256，0）．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为y＝（x＞0）【分析】由于t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2＝2，又x＝10t1，y＝10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解答】解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO ＝∠OCB＝60°，已知了OA＝，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC＝OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，∴OB＝OA＝×＝．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB＝45°，则OD＝BD＝OB＝．Rt△BCD中，∠OCB＝60°，则CD＝BD＝1．∴OC＝CD+OD＝1+．故答案为：1+．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝6，根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的周长是16+12．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为13 ．【分析】通过化简解析式能确定直线经过定点（﹣5，12），原点与定点的距离是原点到直线的最大距离；【解答】解：y＝kx+5k+12＝k（x+5）+12，∴直线经过定点（﹣5，12），∴原点与定点的距离是原点到直线的最大距离13；故答案为13；18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为 6 ．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【解答】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z ＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．【解答】解：原式＝••＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．【分析】（1）根据根与系数的关系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，，代入可得关于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px ﹣3p2+5＝q的两根；由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，进而得到关于p的方程，解出p即可求出q的值．【解答】解：（1）若q＝0，则方程为x2+2px﹣3p2+5＝0．因该方程有两个不同的实数x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，解得p2＞；由，得，解得p＝5或．（注意5﹣3p2≠0）因为p2＞，所以p＝5．（2）显然q＞0．方程可写成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因该方程有三个不同的实数根，即函数与y2＝±q的图象有三个不同的交点，∴可得：，即q＝4p2﹣5．x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．则x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得，解得p2＝2＞，所以，q＝4p2﹣5＝3．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC ≌△BAF（SAS），可得结论．【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连结BF，DF，CF，∵P是CD中点，∴CP＝DP，∴四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，∴∠FDB＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，在△ABC和△BAF中，∵，∴△ABC≌△BAF（SAS），∴AF＝BC，∴AP＝AF＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由DC2＝CE•CA和∠ACD＝∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD＝∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，所以∠CDB＝∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC＝DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到＝2，则PC＝2CD＝4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值，得出P点坐标．【解答】解：（1）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ，又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴＝，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴＝，∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴＝，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'＝OC'＝PC，∴BP＝AC'，∵AC′＝PB＝t，PE＝OB＝6，AQ＝m，EC′＝11﹣2t，∴＝，∵m＝t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝故点P的坐标为（，6）或（，6）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，试求t的取值范围．【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，∴m＝2，∴P（2，2），∴n＝2×2＝4，∴这个反比例函数的解析式为y＝；（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a ＝时，t＝，∴a＞时，t＞．。