电路 状态方程

§11-6 状态方程一、状态：指在某给定时刻描述网络所需要的一组最少量信息，它连同从该时刻开始的任意输入，便可以确定网络今后的性状。

二、状态变量：描述系统所需要的一组最少量的变量。

三、状态方程：以状态变量为未知量的一组一阶微分方程。

状态变量[,]Tc L X u i =取111CL L L c sC L L c L s du Ci dt diL Ri u u dtdu i dt C di R u i u dt L L L==--+==--+写成矩阵形式.10011C c s L L du u dt C u i di R L dt L L X AX BU ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+标准形式状态变量的选择不唯一, 也可12[,][,]TCC du X x x u dt==取 122212211()C C S C S dx x dtd u du dx R x x u LC RC u u dt LC L LC dt dt==--+++= 写成标准形式()C u t112201011S dx x dt u R dx x LC L LC dt ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦四、状态方程的列写 1, 直观法1c C du i dt C =对仅含一条电容支路的节点列KCL 方程 1L Ldi u KVL dt L=对仅含一条电感支路的节点列方程例1：列写如下图所示电路的状态方程。

解：选取单一电感回路，如图l 1、l 2所示；状态变量12[,]T L L X i i =取12211112112221211ss L L L di R i u L dtdi R i R i u L dti i i i i +=++==+=整理并消去中间变量i 1、i 2，得1122122225s sL L L L L L d u dt d u dti i i i i i =--+=--+写成标准形式R R 2L21L H1122221251s L L L L d dt u d dt i i i i ⎡⎤⎢⎥⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦例2：列如下图所示电路的状态方程。

10.1 状态变量和状态方程(1)状态及状态变量的概念状态：电路状态指在任何时刻必需的最少量的信息，它们和自该时刻以后的输入（激励）足以确定该电路此后的性状。

状态变量：描述电路状态的一组变量，这组变量在任何时刻的值表明了该时刻电路的状态。

状态变量的选取方法：电路变量选取不是唯一的，对于动态电路，动态变量的个数与动态元件的个数相同，常取电感中的电流和电容上的电压作为动态变量。

10.1 状态变量和状态方程(2)状态方程图示电路，以电容上的电压和电感中的电流为状态变量列出方程：写成矩阵形式：10.1 状态变量和状态方程状态方程标准形式：——n维状态变量列向量——n维状态变量列向量对时间的一阶导数V——r维输入（激励）列向量B——为nXr阶常数矩阵10.1 状态变量和状态方程(3)输出方程对电路的输出变量列写的方程即为输出方程。

例如，如图示，我们关心的是电流i和R2电阻上的电压，则输出方程为：写成矩阵形式：输出方程的一般形式：式中，X,Y分别是状态变量和输出变量列向量；C,D是常数矩阵。

10.2 状态方程列写方法(1)观察法对简单电路通过观察列写状态方程。

方法是：对含C的结点列写KCL，对含L的回路列写KVL。

如图所示，对结点①列KCL对回路1列KVL:即：写成矩阵形式：10.2 状态方程列写方法(2)叠加法基本思路：用电压源代替电容，用电流源代替电感，然后用叠加定理求电容中的电流和电感中的电压。

如图右上图所示，用电压源替代电容用电流源替代电感后得到右下图。

10.2 状态方程列写方法10.2 状态方程列写方法(3)拓扑法对复杂电路，借助网络图论列写状态方程，称为拓扑法。

拓扑法基本思路：A、将图中的每个元件看成一条支路。

B、选一棵常态树：树支包含的有电压源支路和电容支路和一些必要的电阻支路，不含任何电感支路和电流源支路。

当电路存在由电压源和电容构成的回路以及不存在由电感的电流源构成的割集时，这样的常数树是存在的。

答案10.1解：0<t时，电容处于开路，故V 20k 2m A 10)0(=Ω⨯=-C u由换路定律得：V 20)0()0(==-+C C u u换路后一瞬间，两电阻为串联，总电压为)0(+C u 。

所以m A 5k )22()0()0(1=Ω+=++C u i再由节点①的KCL 方程得：m A5m A )510()0(m A 10)0(1=-=-=++i i C答案10.2解：0<t时电容处于开路，电感处于短路，Ω3电阻与Ω6电阻相并联，所以A3)363685(V45)0(=Ω+⨯++=-i，A 2)0(366)0(=⨯+=--i i LV 24)0(8)0(=⨯=--i u C由换路定律得：V24)0()0(==-+C C u u ，A 2)0()0(==-+L L i i由KVL 得开关电压：V8V )2824()0(8)0()0(-=⨯+-=⨯+-=+++L C i u u答案10.3解：0<t 时电容处于开路，0=i ，受控源源电压04=i ，所以V 6.0V 5.1)69(6)0()0()0(1=⨯Ω+Ω===--+u u u C C>t 时，求等效电阻的电路如图(b)所示。

等效电阻Ω=++-==5)36(4i ii i i u R 时间常数s 1.0i ==C R τ0>t 后电路为零输入响应，故电容电压为：V e 6.0e )0()(10/t t C C u t u --+==τΩ6电阻电压为：V e 72.0)d d (66)(101t Ctu Ci t u -=-⨯Ω-=⨯Ω-=)0(>t答案10.4 解：<t 时电感处于短路，故A 3A 9363)0(=⨯+=-L i ，由换路定律得： A 3)0()0(==-+L L i i求等效电阻的电路如图(b)所示。

(b)等效电阻Ω=+⨯+=836366i R ，时间常数s 5.0/i ==R L τ 0>t 后电路为零输入响应，故电感电流为 A e 3e )0()(2/t t L L i t i --+==τ)0(≥t电感电压V e 24d d )(21t Lti Lt u --==)0(>t Ω3电阻电流为A e 23632133t L u i u i --=Ω+⨯Ω=Ω=Ω3电阻消耗的能量为：W3]e 25.0[1212304040233=-==Ω=∞-∞-∞Ω⎰⎰t t dt e dt i W答案10.5解：由换路定律得0)0()0(==-+L L i i ，达到稳态时电感处于短路，故A 54/20)(==∞L i求等效电阻的电路如图(b)所示。

电路的状态空间表达式通常基于状态变量和输入/输出变量来描述电路的行为。

这些变量可以是电路中的电压、电流、电荷或磁通等。

状态空间表达式包括状态方程、输出方程和初始条件。

状态方程描述了电路中状态变量的动态行为，其形式为：
dx/dt = Ax + Bu
其中，x是状态向量，A是状态矩阵，B是输入矩阵，u是输入向量。

输出方程描述了电路的输出与状态变量和输入之间的关系，其形式为：
y = Cx + Du
其中，y是输出向量，C是输出矩阵，D是直接矩阵。

初始条件可以表示为：
x(0) = x0
其中，x0是初始状态向量。

需要注意的是，电路的状态空间表达式可能会因为电路的具体形式和所选择的状态变量而有所不同。

因此，在实际应用中，需要根据具体电路的特点和要求选择合适的状态变量和建立相应的状态空间表达式。

第7章一阶电路和二阶电路的时域分析状态方程的概念 会写电路的状态方程状态方程√ 状态方程的列写 √ 输出方程的列写 √状态变量的选择 状态方程的求解（时域或频域求解） × 输出方程的求解（时域或频域求解） ×2010/11/1电路 自动化科学与电气工程学院11、状态和状态变量 状态 电路在tk时刻的状态是指在该时刻电路所必须具 有的一组独立完备数据，这组数据不仅反映了tk 时刻以前所有输入对电路的作用效果，而且结 合（tk，t）期间的输入就能够完全确定t时刻电 路的特性。

2010/11/1电路 自动化科学与电气工程学院2状态变量一组独立的网络变量(1)这组变量在t=t0时刻的值和从t=t0开始的输入能唯一 决定这组变量在任何时刻t>t0时的值。

(2) t时刻的这组变量值和t时刻的输入值能唯一决定网 络的任一变量在时刻t的值。

则这组变量称为状态变量,由这组变量构成的集合称为网 络的状态。

通常选独立的电容电压和电感电流作为网络的 状态变量2010/11/1 电路 自动化科学与电气工程学院 32. 状态方程和输出方程tRLiLuCd uC C = iL dtuSuRuLCd uC 1 = iL d 2 uC d uC + RC + uC = uS LC dt C 2 dt dt d iL 1 R 1 = − u C − iL + u S dt L L Ld iL uS = RiL + L + uC dtt >0⎡ d uC ⎤ ⎡ ⎢ dt ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ d iL ⎥ ⎢ − 1 ⎢ dt ⎥ ⎢ L ⎣ ⎦ ⎣2010/11/11 ⎤ ⎡0⎤ C ⎥ ⎡ uC ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ + 1 [uS ] R ⎥ ⎣ iL ⎦ ⎢ ⎥ − ⎣L⎦ ⎥ L⎦电路 自动化科学与电气工程学院4⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = A ⎢ x ⎥ + B [ uS ] ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦状态方程的标准形式：χ=A χ+B ν状态方程是状态向量的一阶微分方程，描述了 电路中有记忆元件的输入－输出关系，体现了 电路的动态特性。

时序逻辑电路一、选择题：1、相同计数器的异步计数器和同步计数器相比,一般情况下( )A. 驱动方程简单B. 使用触发器个数少C. 工作速度快D. 以上都不对2、n级触发器构成的环形计数器,其有效循环的状态数是( )A. n个B. 2个C. 4个D. 6个3、下图所示波形是一个( C )进制加法计数器的波形图。

试问它有( A )个无效状态。

A .2； B. 4 ； C. 6； D. 12CPQ1Q2Q34、设计计数器时应选用（）。

A．边沿触发器 B．基本触发器C．同步触发器 D．施密特触发器5、一块7490十进制计数器中,它含有的触发器个数是( )A. 4B. 2C. 1D. 66、n级触发器构成的扭环形计数器,其有效循环的状态数是( )A. 2n个B. n个C. 4个D. 6个7、时序逻辑电路中一定包含（）A.触发器B.组合逻辑电路C.移位寄存器D.译码器8、用n个触发器构成计数器，可得到的最大计数长度为（）A. 2n C.2n D.n9、有一个移位寄存器，高位在左，低位在右，欲将存放在其中的二进制数乘上(4)10,则应将该寄存器中的数（）A.右移二位B.左移一位C. 右移二位D.左移一位10、某时序逻辑电路的状态转换图如下，若输入序列X=1001时，设起始状态为S1，则输出序列Z=（）X/Z 0/11/0 S1 S2 0/01/1A. 0101 .1011 C11、、一位8421BCD码计数器至少需要（）个触发器A. 4B. 3C.512、利用中规模集成计数器构成任意进制计数器的方法有( ABC )A.复位法 B .预置数法 C .级联复位法 13、在移位寄存器中采用并行输出比串行输出 （ ）。

A.快B.慢C.一样快D.不确定14、用触发器设计一个24进制的计数器，至少需要( )个触发器。

A. 5 .4 C D. 315、在下列逻辑电路中，不是组合逻辑电路的有（ ）。

A. 寄存器B.编码器C.全加器D. 译码器 16、一个 4 位移位寄存器可以构成最长计数器的长度是（ ）。

时序逻辑电路分析例题解：1、列出驱动方程:丿严K严1J2= K2= AQ{+A Q2、列出状态方程：将驱动方程代入JK触发器的特性方程。

=JQ1 + K'Q得: Q\ = Q\Q； = AQ[Q!2 + + A0Q3、列出输出方程：Y = AQ；Q^A,Q.Q24、列出状态转换表：(1)当A二1 时：根据：Q；=Q(； O；=a@+QQ；= Q[Qi得：(2)当A二0 时:根据：e；=Q[；6、说明电路实现的逻辑功能：此电路是一个可逆4进制(二位二进制)计数器，CLK是计数脉冲输入端，A 是加减控制端，Y是进位和借位输出端。

当控制输入端A为低电平0时，对输入的脉冲进行加法计数，计满4个脉冲，Y输出端输出一个高电平进位信号。

当控制输入端A为高电平1时，对输入的脉冲进行减法计数，计满4个脉冲，Y输岀端输出一个高电平借位信号。

2、如图所示时序逻辑电路，试写出驱动方程、状态方程，画出状态图，说明该电路的功能。

解：驱动方程J.=X®Q^{J,=X ㊉Q；；A=I k=i状态方程er* =(X ㊉0 広"=XQ；'Q'^ + XQ；l Q；；Q；r =(X ㊉Q；'= XQ；'Q；； + XQ；Q；；输出方程Z = （x㊉0也1、状态转换表，如表所示。

状态转换图，略。

2、这是一个3进制加减讣数器，当X二0时为加计数器，计满后通过Z向高位进位；X二1时为减计数器，计满后通过Z向高位借位；能自启动。

例30）,要求（1）画出状态转换图。

（2）画出时序图。

（3）说明是多少进制计数器。

答：(1)(2)时序图4、分析下图所示时序逻辑电路，写出电路的驱动方程、状态方程和输出方程, 画岀电路的状态转换图，说明电路实现的的逻辑功能。

A为输入变量。

解：(1)列写方程驱动方程：触发器的驱动方程为：D、= Q[ D2 = A㊉© ㊉Q2（2）列写方程驱动方程：触发器的特性方程为：Q"=D将驱动方程代入特性方程可得状态方程为：CLK-CPQ = D = Q{Q； = 2 = A ㊉© ㊉Q（3）列写输出方程：Y = A（Q i Q2+AQ；Q,2（4）列出状态转换表：当A二1时：根据：Q； =Q；； 0；= 00+00；Y = Q\Q1得:当A=0时:根据：Q： = Q；；Y = 得:（5）画状态转换图:（6）说明电路实现的逻辑功能：（2分）此电路是一个可逆4进制计数器，CLK是计数脉冲输入端，A是加减控制端，Y 是进位和借位输出端。