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第7章习题解答7—1判断题（对的打√，不对的打×)1。
数字电路分为门电路和时序逻辑电路两大类。
（× )2。
边沿触发器和基本RS触发器相比，解决了空翻的问题.（×）3. 边沿触发器的状态变化发生在CP上升沿或下降沿到来时刻，其他时间触发器状态均不变。
（√）4. 基本RS 触发器的输入端就是直接置0端和直接置1端。
（√)23 的计数器。
（×）5。
3位二进制计数器可以构成模为16。
十进制计数器最高位输出的周期是输入CP脉冲周期的10倍。
（√）7. 构成一个7进制计数器需要7个触发器。
（×）8．当时序电路存在无效循环时该电路不能自启动.( √)9。
寄存器要存放n位二进制数码时，需要n2个触发器。
(×）10．同步计数器的计数速度比异步计数器快。
（√）11。
在计数器电路中，同步置零与异步置零的区别在于置零信号有效时，同步置零还需要等到时钟信号到达时才能将触发器置零，而异步置零不受时钟的控制。
（√）12。
计数器的异步清零端或异步置数端在计数器正常计数时应置为无效状态。
（√）13。
自启动功能是任何一个时序电路都具有的。
（× )14。
无论是用置零法还是用置数法来构成任意N进制计数器时，只要置零或置数控制端是异步的,则在状态循环过程中一定包含一个过渡状态；只要是同步的，则不需要过渡状态。
（√）15。
用置零法或置位法可以设计任意进制的计数器.(×）7—2 由或非门组成的基本RS触发器如图7—38所示，已知R、S的电压波形，试画出与之对应的Q和Q的波形。
图7—38 题7-2图解:由或非门组成的基本RS触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示：或非门RS 触发器特性表 题7—2 波形图7—3由与非门组成的基本RS 触发器如图7-39所示，已知R 、S 的电压波形,试画出与之对应的Q 和Q 的波形。
图7-39 题7-3图解：由与非门组成的基本RS 触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示:与非门RS 触发器特性表 题7—3波形图7-4已知如图7-40所示的各触发器的初始状态均为0，试对应画出在时钟信号CP 的连续作用下各触发器输出端Q 的波形。
10.1 状态变量和状态方程(1)状态及状态变量的概念状态：电路状态指在任何时刻必需的最少量的信息，它们和自该时刻以后的输入（激励）足以确定该电路此后的性状。
状态变量：描述电路状态的一组变量，这组变量在任何时刻的值表明了该时刻电路的状态。
状态变量的选取方法：电路变量选取不是唯一的，对于动态电路，动态变量的个数与动态元件的个数相同，常取电感中的电流和电容上的电压作为动态变量。
10.1 状态变量和状态方程(2)状态方程图示电路，以电容上的电压和电感中的电流为状态变量列出方程：写成矩阵形式：10.1 状态变量和状态方程状态方程标准形式：——n维状态变量列向量——n维状态变量列向量对时间的一阶导数V——r维输入（激励）列向量B——为nXr阶常数矩阵10.1 状态变量和状态方程(3)输出方程对电路的输出变量列写的方程即为输出方程。
例如，如图示，我们关心的是电流i和R2电阻上的电压，则输出方程为：写成矩阵形式：输出方程的一般形式：式中，X,Y分别是状态变量和输出变量列向量；C,D是常数矩阵。
10.2 状态方程列写方法(1)观察法对简单电路通过观察列写状态方程。
方法是：对含C的结点列写KCL，对含L的回路列写KVL。
如图所示，对结点①列KCL对回路1列KVL:即：写成矩阵形式：10.2 状态方程列写方法(2)叠加法基本思路：用电压源代替电容，用电流源代替电感，然后用叠加定理求电容中的电流和电感中的电压。
如图右上图所示，用电压源替代电容用电流源替代电感后得到右下图。
10.2 状态方程列写方法10.2 状态方程列写方法(3)拓扑法对复杂电路，借助网络图论列写状态方程，称为拓扑法。
拓扑法基本思路：A、将图中的每个元件看成一条支路。
B、选一棵常态树：树支包含的有电压源支路和电容支路和一些必要的电阻支路，不含任何电感支路和电流源支路。
当电路存在由电压源和电容构成的回路以及不存在由电感的电流源构成的割集时，这样的常数树是存在的。
§11-6 状态方程
一、状态：指在某给定时刻描述网络所需要的一组最少量信息，它连同从该时刻开始的任意输入，便可以确定网络今后的性状。
二、状态变量：描述系统所需要的一组最少量的变量。
三、状态方程：以状态变量为未知量的一组一阶微分方程。
状态变量[,]T
c L X u i =取
1
11
C
L L L c s
C L L c L s du C
i dt di
L Ri u u dt
du i dt C di R u i u dt L L L
==--+==--+
写成矩阵形式
.
10011C c s L L du u dt C u i di R L dt L L X AX BU ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣⎦=+标准形式
状态变量的选择不唯一, 也可12[,][,
]T
C
C du X x x u dt
==取 1
22
212211
()C C S C S dx x dt
d u du dx R x x u LC RC u u dt LC L LC dt dt
==--+++= 写成标准形式
()C u t
11
2201011S dx x dt u R dx x LC L LC dt ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-
-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
四、状态方程的列写 1, 直观法
1
c C du i dt C =对仅含一条电容支路的节点列KCL 方程 1L L
di u KVL dt L
=对仅含一条电感支路的节点列方程
例1：列写如下图所示电路的状态方程。
解：选取单一电感回路，如图l 1、l 2所示；状态变量1
2
[,]T L L X i i =取
12
2
1
1112
112221211s
s L L L di R i u L dt
di R i R i u L dt
i i i i i +
=++==+=
整理并消去中间变量i 1、i 2，得
1122122225s s
L L L L L L d u dt d u dt
i i i i i i =--+=--+
写成标准形式
R R 2L
21L H
1122221251s L L L L d dt u d dt i i i i ⎡⎤⎢⎥⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
例2：列如下图所示电路的状态方程。
解：选取单一电容节点列写KCL 方程，状态变量12[,]T
C C X u u =取
1112212324()1
4()
s C C C C C C C du u u u i dt du u u dt
++-==-
整理得
1
122
12
41
233
44s C C C C C C du u u i dt du u u dt
=-++=-
写成标准形式
1
2.
41233440s C C u X i u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦
例3：列写如下图所示电路的状态方程和以u n1、 u n2为变量的输出方程。
(
s i 4S
n u ()s u t
u
解：状态变量12[,,]T
L C C X u u i =取。
选取单一电容节点列写KCL 方程和单一电感回路列写KVL 方程，
1
212232L s L L
L
C C C C du i i dt
du
u i i dt
di u u u dt
+=-++=++=
1
2 ()1
s C C u i u u t u =
=- 整理并消取中间变量，得
1
1
2
212112232L
L s L
s
C C C
C C C du u i dt du u i u dt di u u u dt
=-+=--+=--+ 写成标准形式
112210101101221302s L L C C C C du dt u du u u dt i di dt ⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-
-+⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
121212
2
[,]T n n n n C C C Y u u Y CX DU u u u u u ==+==+取
输出方程写成标准形式
121211000100n S
n L C C u u u u u i ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
2：系统法
常态网络：不含有由纯电容与理想电压源构成的回路； 不含有由纯电感与理想电流源汇集成的节点。
特有树： 将所有的电容支路与电压源支路取为树支；
将所有的电感支路与电流源支路取为连支。
系统法: 选一个特有树后，列写状态方程的步骤如下：
①对由电容树支构成的基本割集列KCL 方程； ②对由电感连支构成的基本回路列KVL 方程；
③对KVL 方程中出现的电阻树支作对应的基本割集列KCL 方程； ④对KCL 方程中出现的电阻连支作对应的基本回路列KVL 方程； ⑤消去中间变量，整理方程，写成标准形式。
例4：列写如下图所示电路的状态方程。
解：画出原电路的图，选择特有树，列方程。
1
01001
1*0c
s L c
L c L s s s c L c L s s
s L s c du i i i dt du di
u i u i u u u dt
dt di u
u i u i
i i dt i u u ⎫+--=⎪⎪=-++-⎪-++=⎪⎬
⎪=--+++-=⎪⎪⎪-+=⎭
L
L
11111111c s c s L L u u dt i i di dt ⎢⎥--⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
五、状态方程的求解： .
X AX BU =+ 解法1：时域解法
.
.
00: ()*()
()*()*()*()()*()*()(0)*()(0)*()*(0)*At At At At At t t
At t At t
At t
At At At X t e k t X t Ae k t e k t Ae k t BU k t e BU
k t dt e BUdt
k t k e BUdt k t k e BUdt
X t e k e e BUdt
-----==+=+==-==+=+∴⎰
⎰⎰⎰⎰设解则
解法2：拉氏变换解法
.
X AX BU =+
111()(0)()()()()(0)()
()()*(0)()*()()[()]
sX s X AX s BU s sI A X s X B s X s sI A X sI A BU s X t L X s ----=+-=+=-+-=两边取拉氏变换
1212:(0)0,(0)0,()10() ,s L L L L i i u t t V i i ε===例已知。
求。
解： 列写状态方程
2L i
1H
1122221251s L L L L i dt u di i dt ⎢⎥⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
用拉氏变换法解状态方程
11
()()()
2
2110 *2
515211
10 *221(2)(5)45
4116 2216X s sI A BU s s s s s s s s s s s s s s --=-+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤--⎢⎥
++=⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥++⎣⎦
取反拉氏变换可得
1662()54()A ()22t t t
t L L i t e e X t i t e e ----⎡⎤⎡⎤
--==⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
⎣⎦。
