第7章动态电路状态变量分析

第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。

◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。

当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。

+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。

在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。

此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。

当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。

Chapter 7 一阶电路主要内容1.动态电路的方程及其初始条件；2.一阶电路（RC 电路、RL 电路）的时间常数；3.零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量；4.三要素法；5.阶跃响应、冲激响应。

§7-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。

2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。

根据KCL 、KVL 和支路方程式（VAR ）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。

一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC 电路、RL 电路）。

3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。

换路：电路或参数的改变引起的电路变化。

0=t ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 +0；-=0t ：换路前的最终时刻； +=0t ：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL ，KVL 和VAR 建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。

用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。

电路独立初始条件：)0(+C u 和 L i )0(+。

二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎰⎰ξξξξd tt i C t u t u d tti t q t q C C C C C C 0000)(1)()()()()(取 +-==0 ,00t t , 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰+-+--+-+ξξξξd i c u u d i q q C C C C C C 0000)(1)0()0()()0()0(若有限）( M i C ≤， 则 0)(00=⎰+-ξξd i C ，且⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(C C C C u u q q 电容上电荷和电压不发生跃变！① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+,)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。

直流电路的动态分析一般思路为：（1）确定电路的外电阻R 外总如何变化；① 当外电路的任何一个电阻增大（或减小）时，电路的总电阻一定增大（或减小） ② 若电键的闭合使串联的用电器增多，总电阻增大；若电键的闭合使并联的支路增多，总电阻减小。

（2）根据闭合电路欧姆定律r R E I +=外总总确定电路的总电流如何变化；（3）由U 内=I 总r 确定电源内电压如何变化；（4）由U 外=E －U 内确定电源的外电压如何（路端电压）如何变化）；（5）由部分电路欧姆定律确定干路上某定值电阻两的电压如何变化；（6）确定支路两端电压如何变化以及通过各支路的电流如何变化（可利用串联电路的电压关系、并联电路的电流关系）。

基本方法一、“先总后分”。

即先判断总电阻和总电流如何变化：例1、如图，当R 3变小时，R 1 、R 2上的电流、电压及灯泡的亮度如何变化？ 本题中，引起变化的是电阻R 3，当光照强度增强时，其阻值变小。

根据串并联电路的电阻关系可知，电路的总电阻变小。

这类题还有个特点，就是电源电动势恒定的，所以根据闭合电路欧姆定律可得：总总R E I =，总电阻变小则总电流增大。

二、“先干后支”。

即先分析干路部分，再分析支路部分：分析时要注意电源内阻必须考虑，且电源内阻是在干路上，根据部分电路欧姆定律有：r I U 总内=，总电流增大，则内阻上电压增大。

同理有：11R I U R 总=，则R1两端的电压增大，即电压表读数增大。

最后由外内U U E +=和并外U U U R +=1可判断并联部分的电压是减小的。

三、“先定后变”。

即先分析定值电阻所在支路，再分析阻值变化的支路： 并联部分有两个支路，其中R 2是定值电阻，那么，通过R 2的电流I 2为：22R U I 并=，并联部分电压变小，则I 2变小。

电阻R 3和灯泡所在的支路阻值是变化的，故不能直接由电压的变化判断其电流的变化。

需根据并联电路电流关系来判断，即由32I I I +=总得23I I I -=总，再由前面的分析可知，I 3是增大的，因此灯泡会变亮。

动态电路的分析与计算动态电路是指根据电压和电流的变化情况，进行分析和计算的电路。

在动态电路中，电压和电流是随时间变化的，因此需要进行动态分析，即考虑电路中的时间响应。

动态电路有许多应用，如信号处理、通信系统、数据传输以及计算机等。

动态电路的分析方法主要有微分方程法和拉普拉斯变换法。

微分方程法以电路中的基本元件为基础，根据基尔霍夫定律和基本电路方程建立微分方程组，通过求解微分方程组来获得电路的时间响应。

拉普拉斯变换法则是将时间域的电路方程转化为复频域的代数方程，通过频域分析来求解电路的输出响应，最后再进行反变换得到时间响应。

对于动态电路的计算，通常需要计算电路的传输函数、单位冲激响应或者零输入响应等。

电路的传输函数是指输出与输入之间的关系，可以用于计算输出的频率响应和稳态响应。

单位冲激响应是指当输入是单位冲激信号时，电路的输出响应。

零输入响应是指当输入为零时，电路的输出响应。

在进行动态电路分析和计算时，需要考虑电路中的各种元器件的动态特性和非线性特性。

例如，电容和电感有时会引起频率依赖的阻抗，这需要在计算中进行考虑。

此外，对于非线性元件，可以使用小信号模型或者通过数值方法进行求解。

动态电路的分析和计算通常使用电路模拟软件或者数值分析软件进行。

这些软件可以提供丰富的模型和工具，使得电路的分析和计算更加方便和准确。

例如，SPICE软件可以模拟电路的动态响应，并给出电路的各种性能参数和波形图。

总的来说，动态电路的分析和计算是电路理论和实验的重要组成部分。

通过合理使用分析方法和计算工具，可以获得电路的时间响应和频率响应等信息，为电路设计和优化提供依据。

教案课程: 电路分析基础内容: 第七章一阶电路课时:12学时教师：刘*教学环节教学过程复习引入新课讲述新课简单回顾上次课的知识点。

通过第六章的学习，我们注意到电容和电感的一个重要特性是，它们都具有存储能量的能力。

可以确定一个电感或电容释放或得到能量时产生的电流和电压。

在这一章我们将学习由电源、电阻、电容（或电感）组成的电路。

多媒体课件展示：第七章一阶电路一、设置悬念、激发探究在日常生活中需要闪光灯的场合非常多。

照相机在光线比较暗的条件下照相，需要用闪光灯照亮场景一定时间，将影像记录在胶卷或存储设备上。

一般来说，照相机闪光灯电路需要重新充电后才能再照下一张照片。

还有些场合使用按一定时间间隔自动闪光的闪光灯作为危险警告，例如，高的天线塔、建筑工地和安全地带等。

那么类似这样的电路应该如何分析呢？我们在这一章就将详细学习。

二、动态电路及初始条件多媒体课件展示：7.1 动态电路的方程及其初始条件1.动态电路：电容元件和电感元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的，所以称为动态元件。

当电路中含有动态元件时被称为动态电路。

特点：当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。

这个变化过程称为电路的过渡过程。

动态电路的过渡过程：多媒体课件展示。

换路：电路结构、状态发生变化（①支路接入或断开；②电路参数变化）。

过渡过程产生的原因：电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。

2. 动态电路的方程动态电路的方程：多媒体课件展示。

结论：（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数。

一阶电路：一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。

动态电路的分析方法：（1）根据KVl、KCL和VCR建立微分方程；（2）求解微分方程。

3. 电路的初始条件(1) t = 0＋与t = 0－的概念认为换路在 t=0时刻进行换路前一瞬间则：0－换路后一瞬间＋初始条件为t = 0＋时电路中所求变量（电压或电流）及其各阶导数的值，也称为初始值。