概率论八大分布

第1 章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布x 2 x1P(x 1 X x 2 )2 1ba其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。

X 的分布函数为1 e x,x 0,F (x)记0,住积分公式：0,x<0。

x n e xdx n!几何 分布 均匀 分布P(X k) q p,k 1,2,3, ，其中 p ≥ 0， q=1-p 。

随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p) 。

设随机变量 X 的值只落在 ［a ，b ］内，其密度函数f(x)在［a ，b ］上为常数 1，即 ba1, f (x)b a,0,a ≤x ≤b其他，b) 。

0，x<a ，xaxbaa ≤x ≤bF(x) f(x)dx1，x>b 。

则称随机变量 X 在［a ，b ］ 上服从均匀分布，记为 X~ U(a ， 分布函数为 当 a ≤x 1<x 2≤b 时， X 落在区间( x 1,x2)内的概率为指数 分布x0 x0正态分布设随机变量X 的密度函数为1(x )212f(x) e 2 2 2其中、0为常数，则称随机变量X 服从参数为、的正态分布或高斯2( Gauss)分布，记为X ~ N( , )。

x，f (x)具有如下性质：1° f (x)的图形是关于x对称的；12° 当x时，f( ) 1为最大值；2 则(t X2)2的分布函数为2 2dt。

若X ~ N(1, )F(x)2参数0记为(x)x，e1时的正态分布称为标准正态分布，记为X ~ N(0,1)，其密度函数x2e2t2e2dt分布函数为1。

(x) 21(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

1Φ (-x) ＝ 1- Φ (x) 且Φ (0) ＝。

2 X2如果X ~N( , ) ，则~N(0,1) 。

P(x1 X x2)x22x11。

离散型已知X 的分布列为X x1,x2,L, x n, LP(X x i) p1, p2, L, p n, LY g( X )的分布列( y i g(x i ) 互不相等)如下：YP(Y y i )若有某些g(x ig(x1), g(x2), L, g(x n), L ，，则应将对应的p i相加作为g(x i) 的概率。

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。

其在实际中的应用。

关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。

它是一种“定性”类型的概念。

为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。

称这种变数为随机变数。

本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。

定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P Xx x=∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。

它是一个普通的函数。

成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。

更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。

称它的分布为离散型分布。

【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。

称这种随机变数的分布为退化分布。

一个退化分布可以用一个常数a 来确定。

（2）X 可能取的值只有两个。

确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。

如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。

因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。

特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。

概率论中的分布
概率论中的分布是指在一定条件下，随机变量可能取到不同数值的概率分布情况。

概率分布可分为离散和连续两种类型。

离散分布是指随机变量只能取到有限个或可数个数值的分布情况，如伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

连续分布则是指随机变量可以取到任意实数值的分布情况，如正态分布、指数分布、均匀分布等。

除此之外，还有一些常见的分布，如伽玛分布、负二项分布、beta分布等。

在实际应用中，经常需要根据已知数据对分布进行拟合或推断参数，以便对未知数据进行预测或分析。

因此，对不同的分布类型及其特点进行了解和掌握是非常重要的。

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概率论八大分布的期望和方差
概率论是数学中一个很重要的分支，它通过概率来研究不确定性事件发生的规律。

其中，概率论8大分布描述了多次实验和事件中，可能出现的概率位置及其期望等统计量，被广泛用于对数据的拟合和预测。

首先说明的是正态分布，即平均数和方差成正比的分布，它的期望为μ，标准差为σ，因此它的方差为σ²。

接下来介绍的是指数分布，它是描述数据发生在某一时刻及其之前的分布，其期望是1/λ，方差也为1/λ²，其中λ>0。

三角分布是描述一个实验发生三次时的分布，其期望是a+b+c/3，方差为abcb/36。

威布尔分布的期望是α/(1+α)，方差为α/((1+α)²(1+2α))。

泊松分布是按概率论中常用的概率模型，其期望是λ，方差也为λ。

F比例的期望依赖于自由度的不同，给定两个自由度为m和n的差异，它的期望为m/n，方差为2m²n²/((m+n)²(m+n+2))。

相间分布是另一种概率模型，它描述了一个试验出现在某个位置的概率，它的期望为μ+σ/2，及其方差为(σ/2)²。

最后要介绍的是Gamma分布，它由α和β决定，其期望为αβ，方差为
αβ²。

以上是概率论8种分布的期望和方差。

科学家们利用这些概念，处理概率性事件作出合理的决策，从而取得成果。

从长远来看，熟悉概率论8大分布的期望和方差，对于科学家精确处理概率性问题有着至关重要的作用。

概率论——常⽤分布伯努利试验 伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独⽴地进⾏的⼀种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发⽣或者不发⽣。

我们假设该项试验独⽴重复地进⾏了 n 次，那么就称这⼀系列重复独⽴的随机试验为 n 重伯努利试验，或称为伯努利概型。

单个伯努利试验是没有多⼤意义的，然⽽，当我们反复进⾏伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的⾮常有⽤的信息。

如果⽆穷随机变量序列 X1,X2,… 是独⽴同分布 (i.i.d.) 的，⽽且每个随机变量 X i 都服从参数为 p 的伯努利分布, 那么 随机变量 X1,X2,… 就形成参数为 p 的⼀系列伯努利试验。

同样，如果 n 个随机变量 X1,X2,…,X n 独⽴同分布，并且都服从参数为 p 的伯努利分布，则随机变量 X1,X2,…,X n 形成参数为 p 的 n 重伯努利试验。

下⾯举⼏个例⼦加以说明，假定重复抛掷⼀枚均匀硬币，如果在第 i 次抛掷中出现正⾯，令 X i=1 ；如果出现反⾯X i=0，那么，随机变量 X1,X2,… 就形成参数为 p=12 的⼀系列伯努利试验，同样，假定由⼀个特定机器⽣产的零件中 10% 是有缺陷的，随机抽取n 个进⾏观测，如果第 1 个零件有缺陷，令 X i=1 ; 如果没有缺陷，令 X i=0,i=1,2,…,n ， 那么，随机变量 X1,X2,…,X n 就形成参数为 p=110 的 n 重伯努利试验。

离散分布⼆项分布 定义：在 n 次独⽴重复的伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发⽣的概率为 p。

⽤ X 表⽰ n 重伯努利试验中事件 A 发⽣的次数，则 X 的可能取值为 0，1，…，n ，且对每⼀个 k（0≤k≤n），事件 X=k 即为 “ n 次试验中事件 A 恰好发⽣ k 次”，随机变量 X 的离散概率分布即为⼆项分布（Binomial Distribution）。