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常用的概率分布类型及其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。
描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率：0≤P≤1。
X的期望 E（X）=PX的方差 D（X）=P（1—P）2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：X的期望 E（X）=（a+b）/2X的方差 D（X）=（b-a）2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。
X的分布概率为：X=0，1，……X的期望 E（X）=nd/NX的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。
二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。
X的概率分布为：0<p<1x=0，1，……，nX的期望 E（X）=npX的方差 D（X）=np（1-p）3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击，它和Δt 的起点无关。
概率分布基础之离散总结概率分布是描述随机变量可能取值的可能性的数学模型。
离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可数个数值的概率分布。
本文将对离散概率分布进行基础总结，包括离散概率分布的定义、特征以及常见的离散概率分布模型。
一、离散概率分布的定义离散概率分布是指在一定条件下，随机变量取不同离散数值的概率分布。
它由两部分组成：随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
概率必须满足两个条件：非负性和概率和为1。
二、离散概率分布的特征1. 概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）：离散概率分布的概率质量函数是指随机变量取各个离散数值的概率。
它是一个非负函数，对于任意一个可能的取值k，概率质量函数P(k)表示随机变量取值为k的概率。
2. 期望值（Expectation）：离散概率分布的期望值是指随机变量的加权平均值，权重即为每个取值的概率。
期望值可以理解为在大量重复实验中，随机变量的平均取值。
3. 方差（Variance）：离散概率分布的方差是指随机变量取值与期望值之间的差异程度。
方差越大，随机变量的取值相对较分散；方差越小，随机变量的取值相对较集中。
三、常见的离散概率分布模型1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散概率分布模型，描述了只有两个可能结果的随机试验。
例如，抛硬币的结果只有正面和反面两种可能，每种可能的概率为p和1-p。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种多次伯努利试验的概率分布模型。
在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布描述了成功次数的概率分布。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布是用于描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布模型。
泊松分布适用于事件间独立且发生概率很小的情况，例如单位时间内发生的交通事故数、电话呼叫数等。
概率分布的特征与计算概率分布是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的取值和其对应概率的关系。
概率分布的特征包括均值、方差、偏度和峰度等，在统计学和实际应用中有着重要的作用。
本文将介绍概率分布的特征以及如何计算它们。
一、概率分布的特征1. 均值：概率分布的均值是衡量随机变量取值集中趋势的指标。
对于离散型随机变量，均值的计算公式是E(X) = Σ(xP(x))，其中 x 为随机变量的取值，P(x) 为对应取值的概率。
对于连续型随机变量，均值的计算公式是 E(X) = ∫(x*f(x))dx，其中 f(x) 为概率密度函数。
2. 方差：概率分布的方差衡量随机变量取值的离散程度。
方差的计算公式为 Var(X) = E((X-E(X))^2)，其中 E(X) 为随机变量的均值。
3. 偏度：概率分布的偏度描述了分布曲线的对称性。
偏度为0表示分布为对称分布，大于0表示分布右偏，小于0表示分布左偏。
计算偏度的公式为 Skewness = E((X-E(X))^3)/(Var(X))^1.5。
4. 峰度：概率分布的峰度衡量了分布曲线的陡峭程度。
峰度大于3表示分布尖峭，峰度小于3表示分布平坦。
计算峰度的公式为 Kurtosis = E((X-E(X))^4)/(Var(X))^2。
二、概率分布的计算1. 二项分布：二项分布用于描述在 n 次重复且相互独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
计算二项分布的均值的公式是 E(X) = np，方差的公式是 Var(X) = np(1-p)，其中 n 为试验次数，p 为每次试验成功的概率。
2. 泊松分布：泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
计算泊松分布的均值和方差的公式都是λ，其中λ 表示单位时间或单位面积内事件平均发生次数。
3. 正态分布：正态分布是自然界中常见的分布，也称为高斯分布。
正态分布的均值、方差、偏度和峰度都具有特定的数值。
均值为μ，方差为σ^2，偏度为0，峰度为3。
概率分布知识点归纳总结一、概率分布的基本概念1. 随机变量随机变量是指对随机现象的结果进行数量化时，所得的变量。
它反映了随机现象的数量特征，可以是离散变量或连续变量。
离散变量是只能取有限个或可数多个数值的变量，如掷骰子所得点数；连续变量是在某个区间内可以取任意值的变量，如身高、体重等。
2. 概率函数概率函数描述了随机变量取值的概率情况，它可以分为离散型概率函数和连续型概率函数。
离散型概率函数通常用概率质量函数（PMF）表示，它表示了随机变量取各个可能值的概率；连续型概率函数通常用概率密度函数（PDF）表示，它表示了随机变量在某个区间内取值的概率密度。
3. 概率分布概率分布是指随机变量在各个取值上的概率分布情况。
离散概率分布可以通过概率质量函数来描述，连续概率分布可以通过概率密度函数来描述。
概率分布具有一些重要的性质，如和为1、非负性等。
二、常见的概率分布1. 离散概率分布（1）① 二项分布二项分布描述了n次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功的概率。
（2）② 泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数，k为事件发生的实际次数。
（3）③ 几何分布几何分布描述了第一次成功发生的概率分布，即在多次独立的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p，其中k为首次成功所需的试验次数，p为成功的概率。
2. 连续概率分布（1）① 正态分布正态分布是统计学中最重要的分布之一，它在自然界和人类社会中都有广泛的应用。
它的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2 * σ^2))，其中μ为期望值，σ为标准差。
附录一常见分布汇总一、二项分布二项分布Binomial Distribution,即重复n次的伯努利试验Bernoulli Experiment,用ξ表示随机试验的结果, 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是;二、泊松poisson分布1、概念当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np;通常当n≧10,p≦时,就可以用泊松公式近似得计算;2、特点——期望和方差均为λ;3、应用固定速率出现的事物;——在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客,以固定的平均瞬时速率λ或称密度随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间面积或体积内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布三、均匀分布uniform设连续型随机变量X的分布函数Fx=x-a/b-a,a≤x≤b则称随机变量X服从a,b上的均匀分布,记为X~Ua,b;四、指数分布Exponential Distribution1、概念2、特点——无记忆性1这种分布表现为均值越小,分布偏斜的越厉害;2无记忆性当s,t≥0时有PT>s+t|T>t=PT>s 即,如果T是某一元件的寿命,已知元件使用了t小时,它总共使用至少s+t小时的条件概率,与从开始使用时算起它使用至少s 小时的概率相等;3、应用在电子元器件的可靠性研究中,通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果五、正态分布Normal distribution1、概念2、中心极限定理与正态分布说明了正态分布的广泛存在,是统计分析的基础中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;有限的任意一个总体中抽取样本量为n的样本,当n充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布;3、特点——在总体的随机抽样中广泛存在;4、应用——正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础定理一：设X1,X2,X3.;;Xn是来自正态总体Nμ,δ2的样本,则有样本均值X~Nμ,δ2/n——总体方差常常未知,用t分布较多六、χ2卡方分布与方差有关chi-square distribution1、概念若n个相互独立的随机变量ξ、ξ、……、ξn ,均服从标准正态分布也称独立同分布于标准正态分布,则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布chi-squaredistribution,其中参数n称为注意假设随机干扰项呈正态分布;因此,卡方分布可以和RSS残差平方和联系起来;用RSS/δ2,所得的变量就是标准正态分布,就服从卡方分布;2、卡方分布的特点1分布的为自由度 n,记为 E = n;这个容易证明2分布的为2倍的自由度2n,记为 D = 2n;3如果互相独立,则：独立可加减服从分布,自由度；服从分布,自由度为3、图形特点4、应用定理二,设X1,X2,X3.;;Xn是来自正态总体Nμ,δ2的样本,则有样本均值X~Nμ,δ2/n1正态分布以及卡方分布是F检验的基础;大量的检验用到了F检验：F检验、三大检验;七、t学生分布用样本方差s来标准化——Student'st-distribution1、概念适用于δ2未知理解把样本标准正态化的U变换前提是方差已知,但总体方差是未知的,所以用样本方差来代替总体方差;根据中心极限定理,抽样服从方差为总体方差除以n 的正态分布;由于在实际工作中,往往σ是未知的,常用s作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换,统计量t 值的分布称为t分布u变换指把变量转换为标准正态分布思考为什么样本方差比总体方差要小因为一个是总体方差,一个是样本均值的方差;不同2、特点1与标准正态分布曲线相比,自由度v 越小,t 分布曲线愈平坦,曲线中间愈低,曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v 愈大,t 分布曲线愈接近正态分布曲线,当自由度v=∞时,t 分布曲线为标准正态分布曲线;定理三：设X1,X2,X3.;;Xn 是来自正态总体N μ,δ2的样本,则有样本均值X~N μ,δ2/n,S 为样本方差 ）（μ1-n t ~n /S X 注意S 是样本方差;中心极限定理说的是样本均值的方差;八、F 分布F-distribution1、概念F 分布定义为：设X 、Y 为两个独立的随机变量,X 服从自由度为k1的卡方分布,Y 服从自由度为k2的卡方分布,这2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布2、特点1它是一种非对称分布；2它有两个自由度,即n1 -1和n2-1,相应的分布记为F n1 –1, n2-1, n1 –1通常称为分子自由度, n2-1通常称为分母自由度；3F 分布是一个以自由度和为参数的分布族,不同的自由度决定了F 分布的形状;4F 分布的性质：5残差平方和之比通常与F分布有关;九、逻辑分布logistic分类评定模型——最早应用最广的离散选择模型1、概念2、特点用作增长曲线并为二进制响应建模;在生物统计和经济领域使用;Logistic 分布由尺度和位置参数描述;Logistic 分布没有形状参数,也就是说其概率密度函数只有一个形状;下列图形显示了不同参数值对 Logistic 分布的效应;尺度参数的效应位置参数的效应Logistic 分布的形状与正态分布的形状相似,但 Logistic 分布的尾部更长;十、伽马分布1、概念——伽玛分布Gamma Distribution是统计学的一种连续概率函数;Gamma分布中的参数α称为形状参数shape parameter,β称为scale parameter;假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间, 密度函数为特征函数为伽马分布的可加性当两随机变量服从Gamma分布,且单位时间内频率相同时,Gamma数学表达式若随机变量X具有概率密度其中α>0,β>0,则称随机变量X服从参数α,β的伽马分布,记作Gα,β.九、extreme value distribution 极值分布十、DF分布与ADF分布——用于时间序列平稳性的单位根检验;八、pareto分布十、weibull分布。
概率分布及其特征概率论是数学中一门极为重要的学科，它与统计学紧密相关，是科学研究中经常用到的一种方法。
在概率论中，概率分布是一个非常重要的概念。
概率分布是指随机变量可能取到的各个取值及其发生的概率。
在本文中，我将深入探讨概率分布及其特征。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量只会取到一系列离散值，比如整数值或字符值。
对于离散型概率分布，我们通常使用概率质量函数来表示。
概率质量函数的作用是描述一个离散型随机变量的所有取值及其对应的概率。
通常用P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
对于离散型概率分布，概率质量函数具有以下两个特征：1.0<=P(X=x)<=1。
每个特定值的概率不会大于1或小于0。
2.所有P(X=x)之和等于1。
所有可能的离散值的概率之和为1。
即∑P(X=x)=1。
常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量可能取到的所有值都在某个区间内，而不是离散的特定值。
对于连续型概率分布，我们通常使用概率密度函数来表示。
概率密度函数的作用是描述连续型随机变量在一个区间内可能取到的所有值的分布情况。
通常用f(x)表示在x处的密度函数值。
对于连续型概率分布，概率密度函数具有以下两个特征：1.密度函数值大于等于0。
任何给定的x值的概率密度函数值必须大于等于0。
因为概率密度函数表示概率在某个范围内的值的概率大小。
2.区间内所有密度函数值的积分等于1。
概率密度函数描述的是区间中所有可能的值的密度，因此在该区间内所有密度函数值的积分必须等于1。
常见的连续型概率分布包括正态分布、指数分布、均匀分布等。
三、期望期望是概率分布的一个重要特征，它表示随机变量在一组样本中所期望的平均值。
期望可以是一个数值，也可以是一个随机变量。
以离散型概率分布为例，期望可以表示为：E(X)=∑x P(X=x)×x其中，P(X=x)代表随机变量X等于x的概率。
