2020届人教B版(文科数学) 解三角形 单元测试

解三角形一、单选题1．在ABC ∆中，B=30︒，C=45︒， c=1，则最短边长为（ ）A C ．12D【答案】B【解析】由题意，易知B C A <<，所以b 最小．由正弦定理，得sin sin c B b C == 2．已知ABC ∆中，2=a ，3=b ， 60=B ，那么=∠A （ ）A ． 45B ． 90C ． 135或 45D ． 150或 30 【答案】A 【解析】试题分析：利用正弦定理，B bA a sin sin =得：22360sin 2sin sin 0===bB a A ，由于b a <，则B A <，于是045=A ，选A. 考点：利用正、余弦定理解三角形.【易错点评】利用正弦定理求三角形的内角，当求出b a <22sin =A 时，容易得出045=A 或 135，这时务必要研究角A 的范围，由于，则B A <，说明角A 为锐角，所以045=A .3．已知ABC ∆满足a b >，则下列结论错误的是（ ）A ．AB > B ．sin sin A B >C ．cos cos A B <D ．sin2sin2A B > 【答案】D【解析】由大边对大角，可知A B >，所以A 正确； 由正弦定理可知， sin sin A B >，所以B 正确；由A B >，且cos y x =在()0,π单调递减，可知cos cos A B <，所以C 正确； 当90,30A B ==时， a b >，但sin2sin2A B <，所以D 错误。

故选D 。

点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用。

本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率。

4．在∆ABC 中，,30,,1=∠==A x b a 则使∆ABC 有两解的x 的范围是（ ）A 、)332,1( B 、),1(+∞ C 、)2,332( D 、)2,1( 【答案】D 【解析】试题分析：结合图形可知，三角形有两解的条件为,sin b x a b A a =><，所以01,sin 301b x x =><，12x <<，故选D 。

2020学年八年级上数学（人教版）《三角形》单元测试(6）1注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写学号，再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液。

一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列长度的三条线段中,能组成三角形的是（※）（A）3，5 ，8 （B）8，8，18 （C）3，4， 5 （D）3，40，82. 能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（※）（A）角平分线（B）中线（C）高（D）角平分线、中线、高都可以3. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（※）（A）90 º（B）120 º（C）160 º（D）180 º第3题4. 若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（※）（A）9 （B）8 （C）7 （D）65．如图四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（※）A6.三角形的一个外角是锐角,则此三角形的形状是（※）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）无法确定7. 从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（※）(A). n个 (B)（n-1）个 (C) (n-2)个 (D) (n-3)个8. 装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。

若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有（※）(A) 1种 (B) 2种 (C) 3种 (D) 4种9. 已知△ABC中，AB=5，AC=7，则BC边上的中线的长度 a的取值范围是（※）（A）1＜a＜6 （B）5＜a＜7 （C）2＜a＜12 （D）10＜a＜1410.在△ABC中,若a=2x,b=4x,c=12,则x的取值范围是（※）（A）4<x<12 （B）x>2 （C）x<12 （D）2<x<6二、填空题（每题3分，共18分）11. 在△ABC中,∠A=100°,∠B = 30°,则∠C = ※ .12. 等腰三角形的两边长分别为6cm,2cm,则该三角形的周长是※ .13.如图，若∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠ACE＝※ ..14. 如果正n 边形的每个内角都等于150°，那么n= ※ . 此多边形内角和为 ※ .15、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠ 4的值为 ※ .16. 如图，在△ABC 中,DE = DF,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,△ABC 面积是282cm ,AB ＝20cm,AC ＝8cm, 则DE 的长为 ※ . 三、解答题（共72分）17.（6分）如图，在△ABC 中，∠ACB 是钝角，按要求画图.（1）画出△ABC 的角平分线BD ； （2）画出△ABC 的BC 边上的高AE ； （3）画出△ABC 的AB 边上的中线CF.18.（6分）（1）一个n 边形的内角和是 ※ ,外角和是 ※ .. （2）一个正多边形的内角和为1800°,求这个正多边形的边数？第13题第16题图AED FABC（3）一个多边形的内角和比它外角和的2倍还大180°,求这个多边形的边数？19.（8分）（1）已知△ABC三个内角的度数之比为1∶2∶3，求这个三角形是什么三角形？（2）已知△ABC三个外角的度数之比为1∶2∶3，求这个三角形是什么三角形？20.（8分）已知在△ABC中，∠A＝2∠B-10°，∠B＝∠C+20°。

第4单元 三角函数及解三角形一．选择题1.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α的终边在第二象限，故选B.[答案] B2.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π2，∴θ＝π3.答案：D3.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：∵y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位即可得到y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12的图象，故选A. 答案：A4.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a B.3a C.2aD ．2a[解析] 如图所示，由余弦定理可知，AB 2＝a 2＋a 2－2a ·a ·cos120°＝3a 2得AB ＝3a .故选B.[答案] B5．(2018·湖南张家界一中月考)为了得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的图象，只需将g (x )＝2sin x 的图象( )A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移π9个单位长度B ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移π3个单位长度C ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再将所得图象向右平移π3个单位长度D ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再将所得图象向右平移π9个单位长度[解析] 将g (x )＝2sin x 的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，得y ＝2sin3x 的图象；再将所得图象向右平移π9个单位长度，得f (x )＝2sin3⎝⎛⎭⎫x －π9＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的图象．故选D.[答案] D6.(2017·广东肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731[解析] 由题意得cos α＝－45，则sin2α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan2α＝－247，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan2α＋tan π41－tan2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. [答案] D7.(2018·西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N )图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈ )，∴ω＝6k ＋2(k ∈ )，∴ωmin ＝2，故选B.答案：B8.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．3[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得5＝b 2＋4－83b ，即3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)．故选D.[答案] D9.在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C.答案：C10.(2018·开封模拟)设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a解析：∵a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°， b ＝tan 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b . 答案：C 二、填空题11.(2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长)，则△ABC 的形状为 ．答案：直角三角形解析：因为cos 2B 2＝a ＋c 2c ，所以2cos 2B2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c ，所以a 2＋c 2－b 22ac＝a c，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形． 12.(2017·广东广州市高三综合测试)江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.[解析] 如图，由题意知，OA ＝30， ∠OAM ＝45°，∠OAN ＝30°， ∠MON ＝30°.在Rt △AOM 中，OM ＝OA · tan ∠OAM ＝30·tan45°＝30.在Rt △AON 中，ON ＝OA ·tan ∠OAN ＝30·tan30°＝10 3. 在△MON 中，由余弦定理得MN ＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON ·cos ∠MON ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． [答案] 10 313.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小值是 ．解析：f (x )＝sin 2x ＋sin x ·cos x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12，当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1时， f (x )min ＝1－22. 答案：1－2214.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 ． [解析] 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2， 解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. [答案] 1－ 5三 、解答题 15．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． [解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.16. (2017·苏州期中)已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x ．(1) 若0≤x≤π2 ，求函数f(x)的值域；(2) 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，且f(A)＝32，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B)的值． 解：(1)f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x ＝(sin x ＋3cos x)cos x ＝sinx cos x ＋3cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.由0≤x≤π2，得π3≤2x ＋π3≤4π3，∴－32 ≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴ 0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32≤1＋32，∴ 函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. (2)由f(A)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋32＝32， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝0， 又0＜A ＜π2，∴ π3＜2A ＋π3＜4π3，∴ 2A ＋π3＝π，解得A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7，解得a ＝7.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝217.∵ b ＜a ，∴ B ＜A ，∴ cos B ＝ 277，∴ cos(A －B)＝cos Acos B ＋sin Asin B ＝12×277＋32×217＝5714.。

2019-2020年高中数学 第一章 解三角形测评（A 卷）新人教B 版必修5 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，∠C＝120°，则sinA∶sinB 的值是A.53B.35C.37D.57答案：A 由正弦定理知sinA ∶sinB ＝a ∶b ＝5∶3.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，∠B＝120°，则a 等于 A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案：D 由正弦定理6sin120°＝2sinC ，∴sinC ＝12.∴∠C ＝30°.∴∠A ＝30°.∴a ＝c ＝ 2.3．在△AB C 中，a ＋b ＋10c ＝2(sinA ＋sinB ＋10sinC)，∠A＝60°，则a 等于A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．不确定答案：A 由正弦定理易得△ABC 的外接圆半径为1， ∴asinA ＝2R ＝2.∴a ＝2sinA ＝ 3.4．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B＝60°，那么∠A 等于A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°答案：C 由正弦定理，得2sinA ＝3sinB ，∴sinA ＝23·sin60°＝22.∵a<b ，∴∠A<∠B.∴∠A ＝45°.5．在△ABC 中，已知a ＝2，则bcosC ＋ccosB 等于A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案：C bcosC ＋ccosB ＝b·a2＋b2－c22ab ＋c·a2＋c2－b22ac ＝2a22a ＝a ＝2. 6．在△ABC 中，∠A＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为A ．43sin(B ＋π3)＋3 B ．4sin(B ＋π3)＋3C ．6sin(B ＋π3)＋3D ．6sin(B ＋π6)＋3答案：D 令AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，a ＋b ＋c ＝3＋b ＋c ＝3＋2R(sinB ＋sinC)＝3＋3sin π3[sinB＋sin(120°－B)]＝3＋63(sinB ＋32cosB ＋12sinB)＝3＋6sin(B ＋π6)． 7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a2＋c2－b2)·tanB＝3ac ，则∠B 的值为A.π3B.2π3C.π6D.π3或2π3答案：D 由(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac 得a2＋c2－b22ac ＝3cosB 2sinB， 即cosB ＝32·cosB sinB ， ∴sinB ＝32. 又∠B ∈(0，π)， ∴∠B ＝π3或2π3. 8．在△ABC 中，a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案：A9．伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个距离32a 的军事基地C 和D ，测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，则伊军这两支精锐部队间的距离是 A.64a B.62a C.38a D.32a 答案：A ∵∠ADC ＝∠ACD ＝60°，∴△ADC 是正三角形． ∴AC ＝32a.在△BDC 中，由正弦定理得 BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC，即BC＝32a·1222＝64a.∴在△ABC中由余弦定理得AB2＝(32a)2＋(64a)2－2·32a·64acos45°＝38a2，∴AB＝64a.10．如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是A．2 3 B.436 C.3417 D.2321答案：D 设正三角形边长为a，AB与l2夹角为θ，易知，1＝asinθ，2＝asin(60°－θ)；于是2asinθ＝a·sin(60°－θ)，∴32cosθ－52sinθ＝0.∴tanθ＝35，cosθ＝527.∴sinθ＝327.∴a＝273＝2321.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝72，那么BC＝__________.答案：9 如图，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形．AE＝2AD＝7，在△ACE 中，cos ∠ACE ＝72＋42－722×7×4＝27， ∴cos ∠BAC ＝－27. 在△ABC 中，BC2＝72＋42＋2×7×4×27＝81， ∴BC ＝9.12．已知平面上有四点O 、A 、B 、C ，满足O A ＋O B ＋O C ＝0，O A ·O B ＝O B ·O C ＝O C ·O A ＝－1，则△ABC 的周长是__________．答案：3 6 由已知，得O 是△ABC 的外心，|O A |＝|O B |＝|O C |，又O A ·O B ＝O B ·O C ＝O C ·O A ＝－1，故∠AOB ＝∠BOC ＝∠BOA ＝2π3，|O A |＝|O B |＝|O C |＝2，∴△AOB 为等腰三角形．在△AOB 中，AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 2π3＝6， ∴AB ＝ 6.∴△ABC 的周长为3 6.13．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m⊥n，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则∠B＝________.答案：π6∵m ⊥n ，∴3cosA －sinA ＝0. ∴32cosA －12sinA ＝0. ∴cos(A ＋π6)＝0. ∵∠A ＋π6∈(π6，7π6)， ∴∠A ＋π6＝π2. ∴∠A ＝π3. 由正弦定理acosB ＋bcosA ＝csinC 可化为sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin2C ，∴sin(A ＋B)＝sin2C.而sinC ＝sin(A ＋B)≠0，∴sinC ＝1.∴∠C ＝90°.∴∠B ＝π2－∠A ＝π6. 14．在△ABC 中，三个角∠A，∠B，∠C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bccosA＋cacosB ＋abcosC 的值为__________．答案：612 在△ABC 中，由余弦定理cosA ＝b2＋c2－a22bc ，有bccosA ＝b2＋c2－a22，同理accosB ＝a2＋c2－b22，abcosC ＝a2＋b2－c22， ∴原式＝a2＋b2＋c22＝612.三、解答题(本大题共5个小题，共54分)15．(10分)在△ABC 中，(1)若a ＝6，b ＝2，c ＝3＋1，求∠A、∠B、∠C 及S△ABC；(2)已知b ＝4，c ＝8，∠B＝30°，求∠C、∠A 与a.答案：解：(1)由余弦定理，得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝22＋(3＋1)2－62×2×(3＋1)＝12， ∴∠A ＝60°，cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝22， ∴∠B ＝45°. ∴∠C ＝180°－60°－45°＝75°，∴S △ABC ＝12bc·sinA＝12×2×(3＋1)sin60°＝3＋32. (2)由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝8sin30°4＝1. 又30°<∠C<150°，∴∠C ＝90°. ∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C)＝180°－120°＝60°.∴a ＝c2－b2＝4 3.16.(10分)(xx 全国高考卷Ⅰ，文18)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c.已知a2－c2＝2b ，且sinB ＝4cosAsinC ，求b.答案：解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b ，b ≠0， 所以b ＝2ccosA ＋2.①由正弦定理得b c ＝sinB sinC， 又由已知得sinB sinC＝4cosA ， 所以b ＝4ccosA.②故由①②解得b ＝4.17．(10分)(xx 海南、宁夏高考，理17)为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．答案：解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理AM ＝dsin α2sin(α1＋α2)； 第二步：计算AN.由正弦定理AN ＝dsin β2sin(β2－β1)； 第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝AM2＋AN2－2AM ×ANcos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理BM ＝dsin α1sin(α1＋α2)； 第二步：计算BN.由正弦定理BN ＝dsin β1sin(β2－β1)； 第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝BM2＋BN2＋2BM ×BNcos(β2＋α2).18．(12分)在锐角三角形中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＝223. (1)求tan2B ＋C 2＋sin2A 2；(2)若a ＝2，S△ABC＝2，求b 的值．答案：解：(1)在锐角△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，sinA ＝223， ∴cosA ＝13，则tan2B ＋C 2＋sin2A 2＝sin2B ＋C 2cos2B ＋C 2＋sin2A 2 ＝1－cos(B ＋C)1＋cos(B ＋C)＋12(1－cosA) ＝1＋cosA 1－cosA ＋13＝73. (2)∵S △ABC ＝2，又S △ABC ＝12bcsinA ＝12b·c·223＝2， ∴bc ＝3.将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入a2＝b2＋c2－2bccosA ，得b4－6b2＋9＝0，解得b ＝ 3.19．(12分)已知k 是正整数，钝角三角形的三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c.(1)若方程x2－2kx ＋3k2－7k ＋3＝0有实根，求k 的值；(2)对于(1)中的k 值，若sinC ＝k 2，且有关系式(c －b)sin2A ＋bsin2B ＝csin2C ，试求角A 、B 、C 的度数．答案：解：(1)∵方程x2－2kx ＋3k2－7k ＋3＝0有实根，∴Δ＝4k2－4(3k2－7k ＋3)≥0，即2k2－7k ＋3≤0.∴12≤k ≤3，又k ∈N ＋. ∴k ＝1,2,3.(2)在钝角△ABC 中，0<sinC<1，∴k ＝1，sinC ＝22. ∴∠C ＝45°或∠C ＝135°.∵(c －b)sin2A ＋bsin2B ＝csin2C ，由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，得(c －b)a2＋b3－c3＝0，即(b －c)(b2＋c2－a2＋bc)＝0，∴b ＝c 或b2＋c2－a2＋bc ＝0.当b ＝c 时∠B ＝45°或135°，这与△ABC 为钝角三角形矛盾，∴b2＋c2－a2＋bc ＝0.由余弦定理得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－12， ∴∠A ＝120°，∠C ＝45°，∠B ＝180°－(∠A ＋∠C)＝15°.。

解三角形一、单选题1．在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABC S ∆=A 、2B 、22C 、13+D 、()1321+【答案】C 【解析】 试题分析：2221051sin sin 22a c cc B A C =∴=∴==()11sin 260453122S ac B ∴==⨯⨯+=+ 考点：正弦定理及三角形面积公式2．△ABC 中，角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ， S 表示三角形的面积，若sin sin sin a A b B c C +=， ()22214S a c b =+-，则对△ABC 的形状的精确描述是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】D【解析】试题分析：因为sin sin sin a A b B c C +=，由正弦定理可知222a b c +=，所以ABC ∆为直角三角形，又由三角形的面积公式，可知()22211sin 24ac B a c b =+-，即222sin cos 2a c b B B ac +-==，解得4B π∠=，综上所述，可得ABC ∆为等腰直角三角形，故选D ．考点：三角形的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了三角形的综合问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等知识点综合问题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中根据正弦定理，得出ABC ∆为直角三角形，在利用三角形的面积公式和余弦定理，得出4B π∠=是解答关键．3．在△ABC 中,内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2a =,b+c=7,cosB=14-,则c =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【解析】由题意结合余弦定理222cos 2a c b B ac +-=可得： 224144c b c +-=-，①由7b c +=可知： 7b c =-，② 代入①式可得：()2247144c c c+--=-，求解关于边长的方程可得： 3c =. 本题选择A 选项.4．已知在ΔABC 中, sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为 A ．14-B ．14C ．23-D ．23【答案】A【解析】因为sin :sin :sin 3:2:4A B C =， 所以::3:2:4a b c =.所以2223241cosC .2324+-==-⨯⨯本题选择A 选项.5．在△ABC 中，周长为7．5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论： ①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A其中成立的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3 【答案】C 【解析】 试题分析：令sin sin sin a b ck A B C===,sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ∴===． ::sin :sin :sin sin :sin :sin 4:5:6a b c k A k B k C A B C ∴===． 7.5a b c ++=,4567.52,7.5 2.5,7.53151515a cmb cmc cm ∴=⨯==⨯==⨯=．所以①③正确．故C 正确．考点：正弦定理． 6．的三内角A,B,C 所对边长分别是，若sinB−sinA sinC=√3a+ca+b，则角的大小为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得sinB−sinA sinC=√3a+c a+b⇒b−a c=√3a+c a+b⇒c 2+a 2−b 2=−√3ac ⇒cosB =c 2+a 2−b 22ac=−√32∵0<B <π∴B =5π6，选B考点：正弦定理，余弦定理7．设ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c .若2a =， c =，1sin 2A =，且b c <，则B =（ ） A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π3【答案】A【解析】因b c <， a c <,故由1sin 2A =可得30A =，由正弦定理可得：sin sin sin sin a c c A C A C a =⇒==，解之得120C =，即23C π=，则2366B ππππ=--=，应选答案A 。

※ 推 荐 ※ 下 载 ※第九单元 解三角形注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC △中，下列等式总能成立的是（ ）． A ．cos cos a C c A = B ．sin sin b C c A = C ．sin sin a C c A =D ．sin sin ab C bc B =2．在ABC △中，“21sin =A ”是“30A =︒”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，若60A =︒，3=BC ，2=AC ，则角B 的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．135︒D ．45︒或135︒4．在ABC △中，3BC =，4CA =，且BC CA ⋅=-ABC △的面积是（ ） A ．6B．C ．3D5．在ABC △中，π3A =，3BC =，则ABC △的周长为（ ）A．π33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B．π36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．π6sin 33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．π6sin 36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．在ABC △中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，S 为三角形的面积，已知22()S a b c =--，则cos A =（ ） A ．817B ．1517C ．1315D ．13177．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为（ ）A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时8．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A ．π(0,]6B ．π[,π)6C ．π(0,]3D ．π[,π)39．在ABC △中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则ABC △是（ ）． A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形10．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人（ ） A ．不能做出这样的三角形B ．能做出一个锐角三角形C ．能做出一个直角三角形D ．能做出一个钝角三角形11．已知锐角A 是ABC △的一个内角，a ，b ，c 是三边，若221sin cos 2A A -=，则有（ ） A ．2b c a +>B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥12．在ABC △中，cos cos )4cos cos B B C C B C --=，且4=+AC AB ，则BC 的取值范围为（ ） A ．()4,2 B ．(]4,2 C ．[)4,2 D ．[]4,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知x 中，若120C =︒，则222sin sin sin sin sin C B A BA--= ．14．设12+a ，a ，12-a 为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ．15．在ABC △中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且满足cos 2A ，3AB AC ⋅=，6b c +=，则a = ．16．在ABC △中，已知A B C >>且2A C =，A ，B ，C 所对的边为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等差数列且4b =，则a c -= ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）※ 推 荐 ※ 下 载 ※，21AB BC ⋅=-（1）求ABC △的面积； （2）若7a =，求角C ．B 点北偏西30︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西30︒且与B 点相距20海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为710海里/小时，该求援船到达D 点需要多长时间？19．(12分)在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，※ 推 荐 ※ 下 载 ※且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+- （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin =+C B ，试判断ABC △的形状．20．(12分)在ABC △中，设内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c，向量14⎫=⎪⎪⎝⎭m ，(cos ,sin )A A =-n，+m n ． （1）判定ABC △的形状；（2）若2b =，a ，求ABC △的外接圆与内切圆的面积比．※ 推 荐 ※ 下 载 ※21．(12分)在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且ac a b C 53cos +=． （1）求A sin ，（2）若28=a ，10=b ，求BA 在BC 上的投影．22．(12分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45︒且与点A相距位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=090θ︒<<︒）且与点A相距其中C ．（1）求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明由．※ 推 荐 ※ 下 载 ※教育单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第九单元 解三角形一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C 【解析】由正弦定理CcA a sin sin =可得sin sin a C c A =，故选C ． 2．【答案】B 【解析】由1sin 2A =，且A 为ABC △为三角形的内角，∴30A =︒或150A =︒，故选B ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin AC A B BC ⋅=，∵AC BC <，∴B A <，即60B <︒， ∴45B =︒，故选B ． 4．【答案】C【解析】设ACB θ∠=，∵cos(π)34cosBC CA BC CA θθ⋅=⋅-=-⨯=-cos θ， ∵0πθ<<，∴1sin 2θ=，∴111sin 343222ABC S BC CA θ=⋅=⨯⨯⨯=△，故选C ． 5．【答案】D【解析】用特例法取90B ︒＝验证即可；或由正弦定理3ππ2πsin sin sin sin 333a b cBB ++=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，可求得2π1sin sin 3sin sin 32a b c B B B B B ⎤⎫⎛⎫++=++-=+++⎪⎥ ⎪⎪⎝⎭⎦⎭ 3π3sin 6sin 326B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，故选D ． 6．【答案】B【解析】22222()2S a b c a b c bc =--=--+，又1sin 2S bc A =，∴2221sin 22bc A a b c bc =--+，由余弦定理知，2222cos b c a bc A +-=， ∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，即sin 4(1cos )A A =-，∴217cos 32cos 150A A -+=， 解得15cos 17A =或cos 1A =（舍去），故选B ．7．【答案】B【解析】设t 小时后，B 城市处于危险区内，则有余弦定理得：222(20)4022040cos4530t t +-⨯⨯︒≤．化简得：072842≤+-t t，∴2221=+t t ，4721=⋅t t ，从而121t t -， 故选B ． 8．【答案】C【解析】∵222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，∴由正弦定理得，222a b c bc ≤+-，即222b c a bc +-≥，∴222122b c a bc +-≥，即1cos 2A ≥，∵A 是三角形的内角，∴π03A <≤，故选C ．9．【答案】D【解析】由余弦定理得22222222222()()()()222ab a c b ac a b c b c b c a ac ab bc+-+--+--=， ∴22222222222()()()()b a c b c a b c b c b c a c b bc+-+--+--=，整理得222a c b =+或c b =，故选D ． 10．【答案】D【解析】假设能做出ABC △，设ABC △的面积为S ，则三条高113，111，15对应的边分别为26a S =，22b S =，10c S =，由余弦定理得，222222(22)(10)(26)23cos 022*******b c a S S S A bc S S +-+-===-<⨯⨯，∴A ∠为钝角，故选D ．11．【答案】C【解析】∵221sin cos 2A A -=，∴1cos22A =-，又A 为锐角，∴π3A =，∴1cos 2A =， 由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴222222222244442336()3()()a b c bc b c bc b c bc b c b c b c =+-=++++-=++-≥+， 即2a b c ≥+，故选C ． 12．【答案】C 【解析】)cos cos 4cos cos B BC C B C --=3sin sin cos cos sin)cos cos 4cos cosB C B C B C B C B C ⇔++=)3cos()sin B C B C A A ⇔+=-+⇔=，∴3tan =A ，60A =︒，∴22222cos ()3163BC AB AC AB AC A AB AC AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=-⋅， ∵202AB AC AB AC +⎛⎫<⋅≤ ⎪⎝⎭，∴40≤⋅<AC AB ，∴1642<≤BC ，42<≤BC ，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】1【解析】∵120C =︒，∴222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，※ 推 荐 ※ 下 载 ※∴222222sin sin sin sin 1sin C B A B c b ab A a ----==．14．【答案】(2,8)【解析】∵210a ->，∴12a >，∴最大边为21a +，∴21a +对的角为钝角， ∴222(21)(21)02(21)a a a a a-+-+<-，解得80<<a ．又∵2121a a a -+>+，∴2a >， ∴28a <<． 15．【答案】【解析】∵cos 2A =，∴223cos 2cos 12125A A =-=⨯-=⎝⎭，∵3AB AC ⋅=， ∴cos 3bc A =，则5bc =，又6b c +=，∴15b c =⎧⎨=⎩或51b c =⎧⎨=⎩，故2222cos a b c bc A =+-325125205=+-⨯⨯=，∴a ==16．【答案】85【解析】由sin sin a c A C =且2A C =得，2sin cos sin a c C C C =，∴cos 2a C c=，又222cos 2a b c C ab +-=，∴22222a a b c c ab +-=，又28a c b +==，解得4a c ==，或245a =，165c =，∵A B C >>，∴a c >， 故24168555a c -=-=．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）14；（2）45︒．【解析】（1）∵21AB BC ⋅=-，21BA BC ⋅=，cos BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅∴35ac =，∵ABCS = （2）∵35ac =，7a =，∴5c =，由余弦定理得，2222cos32b a c ac B =+-=，∵c b <且B 为锐角，∴C 一定是锐角，∴45C =︒． 18．【答案】1小时．【解析】由题意知45DAB ∠=︒，60DBA ∠=︒，∴75ADB ∠=︒． 在ADB △中，有sin 45sin75BD AB =︒︒，∴sin 4510sin75AB BD ︒==︒，又120CBD∠=︒，∴100CD == 因为求援船的航行速度为710海里/小时，所以求援船到达D 点需要1小时．19．【答案】）（1）60︒；（2）正三角形．【解析】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-，由正弦定理得c b c b c b a )2()2(22-+-=，即222a c b bc -+=，∴212cos 222=-+=bc a c b A ，∴60A =︒． （2）∵180A B C ++=︒，∴180120B C A +=︒-=︒． 由3sin sin =+C B ，得sin sin(120)B B +︒-∴3sin 120cos cos 120sin sin =-+B B B，∴3cos 23sin 23=+B B ，∴1cos 21sin 23=+B B ，即sin(30)1B +︒=，∵120B C +=︒，∴0120B ︒<<︒， ∴3030150B ︒<+︒<︒，∴3090B +︒=︒，∴60B =︒，∴60A B C ===︒， 所以ABC △为正三角形．20．【答案】（1）直角三角形；（2）3+【解析】（1）∵1cos ,sin 4A A⎫+=+-⎪⎪⎝⎭m n且+=m n ，∴2213cos sin 44A A ⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即223113cos sin sin161624A A A A ++-+=11sin 22A A -=-， 即π1cos 62A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角，∴π2A =，故ABC △为直角三角形．（2）由（1）知222b c a +=，又2b =，a ，∴2c =，a =∴ABC △外圆的半径12R a ==22b c ar +-==∴面积比为223)22(2222+=-=r R ． 21．【答案】（1）45；（2． 【解析】（1）∵3cos 5b c C a a =+，∴3cos 5a Cbc =+，由正弦定理得3sin cos sin sin 5A C B C =+，∴3sin cos sin()sin 5A C A C C =++，即3sin cos sin cos cos sin sin 5A C A C A C C =++，∴3cos sin sin 05A C C +=，∵(0,π)C ∈，sin 0C >，∴3cos 5A =-，∴4sin 5A =．（2）由正弦定理得Bb A a sin sin =，∴410sin sin b A B a ⨯===※ 推 荐 ※ 下 载 ※∵ac a b C 53cos +=，由余弦定理得222325a b c b cab a a +-=+，把28=a ，10=b 代入，解得2=c ．所以BA 在BC 上的投影为cos cos BA B c B == 22．【答案】（1）(海里/小时)；（2）会，见解析．【解析】（1）如图，240=AB ，1310=AC ，其中BAC θ∠=，2626sin =θ， 由于090θ︒<<︒，所以cos θ==， 由余弦定理得BC =， 3=海里/小时)． （2）如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ，在ABC △中，由余弦定理得， 222222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠===⋅，从而sin ABC ∠==， 在ABQ △中，由正弦定理得：sin sin 45AB ABC AQ ABC ∠=︒-∠（）， 由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15QE AE AQ =-=． 过点E 作BC EP ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt QPE △中，所以若该船不改变航行方向继续行驶，船会进入警戒水域．。

核心热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，8；2018·全国Ⅲ，6；2017·浙江，17；2017·山东，16；2017·全国Ⅱ，14直观想象、逻辑推理三角恒等变换2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4；2017·全国Ⅰ，15；2016·全国Ⅰ，14逻辑推理、数学运算解三角形2018·全国Ⅰ，17；2018·全国Ⅱ，6，2017·全国Ⅰ，17；2018·北京，15；2018·天津，15；2016·全国Ⅰ，17逻辑推理、数学运算教材链接高考——三角函数的图象与性质[教材探究](引自人教A版必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)题目9已知函数y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x.(1)求函数的递减区间；(2)求函数的最大值和最小值.题目10已知函数f(x)＝cos4x－2sin x cos x－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.[试题评析]两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.探究提高 1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π(k ∈Z )， 故ω＝6k ＋2(k ∈Z ). 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32. 教你如何审题——三角恒等变换、三角函数与平面向量【例题】 (2019·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. [审题路线][自主解答]解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ， 所以b ＝3a ，故b ＝3.由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12.由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC→＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【尝试训练】 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②得b ＝3，c ＝2. 满分答题示范——解三角形【例题】 (12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A . (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长. [规范解答][高考状元满分心得]❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出12ac sin B ＝a 23sin A 就有分，第(2)问中求出cos B cos C －sin B sin C ＝－12就有分.❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A ；第(2)问由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9.❸计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos B cos C －sin B sin C ＝－12化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.[构建模板]【规范训练】(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin 45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝2 5.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝2 5.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.1.已知函数f(x)＝sin x－23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.2.(2019·济南调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)及A ∈(0，π)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35， 故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.3.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17且B ∈(0，π)，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314，在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72.在△ABD 中，由余弦定理得， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，因此△ABC 的中线AD ＝1292.4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长.解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12.(2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3.又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ，∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ， ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， 即S △ABC 的最大值为 3.6.(2019·信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.解(1)∵(a＋b＋c)(sin B＋sin C－sin A)＝b sin C，∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12.又A∈(0，π)，所以A＝2 3π.(2)根据a＝3，A＝23π及正弦定理得bsin B＝csin C＝asin A＝332＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C.∴S＝12bc sin A＝12×2sin B×2sin C×32＝3sin B sin C.∴S＋3cos B cos C＝3sin B sin C＋3cos B cos C ＝3cos(B－C).故当B＝C＝π6时，S＋3cos B cos C取得最大值 3.。

必修 5《解三角形》测试卷一、选择题（12×5=60）1、 在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有 2 个解的是 （ ）A . b=10，A= ，C=B .a=60，c=48，B=60C .a=7，b=5，A=80D .a=14，b=16，A=452、在 ABC 中，A 60, a 43, b 4 2 ，则B 等于（ ）A.45或135B.135C.45D. 以上答案都不对3、 ABC 中， 是（ ）sin A : sin B : sin C = 2 : 6 : ( 3 + 1)，则三角形的最小内角A.60B.45C.30D.以上答案都不对4、 在 ABC 中，A = 60，b=1，面积为3 ，求a b c sin A sin B sin C的值为（）A.2 39 3B.13C.２13D.39 35、在△ABC 中，三边长 AB=7，BC=5，AC=6，则 AB • BC 的值 为（ ）A. 19B. -14C. -18D. -196、 A 、B 是△ABC 的内角，且 cos A sin B 5 5 13，则 sin C 的值为（）A.63 15或 65 65B.6365C.16 63或 65 65D.16657、ABC 中，a=2，A= 30 ，C= 45，则 ABC 的面积为（ ）45 703 ，A.2B.2 2C.3 + 1D.1 2( 3 +1)ABCsin B si n Ccos 2A 2，则是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形9、已知 ABC 中， AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是（） A. 0 C6B. 0 C2 C.6C2D.6C310、若以 2，3， x 为三边组成一个锐角三角形，则 x 的取值范围 是（ ）A. 1<x<5B.5 < x < 5C.1 < x < 13D.5 < x < 1311 、 在ABC中 ， 已 知a 8, B 60 , C 75， 则b（ ）（A ）42（B ）4 3（C ）46（D ）32312、在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别 为 30°、60°，则塔高为（）A.400 3米B.400 3 3米C. 2003 米D. 200 米二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13、三角形两条边长分别为 3cm ，5c m ，其夹角的余弦是方程5 x 27 x 6 0 的根，则三角形面积为。

第九章解三角形测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a∶b∶c=4∶3∶2,则2sin A-sin Asin2A=()A.37B.57C.97D.107解析由题意2sin A-sin Asin2A =2sin A-sin A2sin A cos A=2A-A2A cos A,因为a∶b∶c=4∶3∶2,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得cos C=(16+9-4)A22×4×3A2=78,则2sin A-sin Asin2A=(8-3)A4×78A=107.故选D.2.如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100米B.50√3米C.50(√3+1)米D.50√2米AB=h,△ABC中,∠ACB=45°,BC=h,在△ADB中,tan∠ADB=AA+100=√33,解得h=50(√3+1)米.故选C.3.若sin AA =cos AA=cos AA,则△ABC是()A.等边三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一内角是30°的等腰三角形解析因为sin AA=cos AA,所以a cos B=b sin A ,所以由正弦定理得2R sin A cos B=2R sin B sin A ,2R sin A ≠0.所以cos B=sin B ,所以B=45°.同理C=45°,故A=90°.4.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD ,则cos ∠DAC=( ) A.2√55B.√55C.3√1010D.√1010,不妨设BC=CD=1,则AB=2,过点D 作DE ⊥AB ,垂足为点D.易知四边形BCDE 是正方形,则BE=CD=1, 所以AE=AB-BE=1.在Rt △ADE 中,AD=√AA 2+AA 2=√2,同理可得AC=√AA 2+AA 2=√5, 在△ACD 中,由余弦定理得 cos ∠DAC=AC 2+AA 2-AA 22AA ·AA=2=3√1010.故选C .5.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为( )海里/小时. A.2√6B.4√6C.8√6D.16√6PM=64,∠MPN=120°,在△PMN 中,由正弦定理得AAsin∠AAA =AAsin∠AAA ,即64sin45°=AAsin120°,得MN=32√6,所以船的航行速度为AA14-10=8√6(海里/小时).故选C .6.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若b sin 2A+√2a sin B=0,b=√2c ,则A A的值为( ) A.1B.√33C.√55D.√77b sin2A+√2a sin B=0,所以由正弦定理可得sin B sin2A+√2sin A sin B=0, 即2sin B sin A cos A+√2sin A sin B=0. 由于sin B sin A ≠0,所以cos A=-√22,因为 0<A<π,所以A=3π4,又b=√2c ,由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2b cos A=2c 2+c 2+2c 2=5c 2,所以AA =√55.故选C .7.一游客在A 处望见在正北方向有一塔B ,在北偏西45°方向的C 处有一寺庙,此游客骑车向西行1 km 后到达D 处,这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°,则塔B 与寺庙C 的距离为( ) A.2 kmB .√3 kmC.√2 kmD .1 km,先求出AC ,AB 的长,然后在△ABC 中利用余弦定理可求解.在△ABD 中,AD=1,可得AB=√3.在△ACD 中,AD=1,∠ADC=105°,∠DCA=30°, 所以由正弦定理得AA sin∠AAA=AAsin∠AAA,所以AC=AA ·sin∠AAA sin∠AAA=√6+√22. 在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB ·cos45°=8+4√34+3-2×√6+√22·√3·√22=2,所以BC=√2.故选C .8.如图,某建筑物的高度BC=300 m,一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ为()A.100 mB.200 mC.300 mD.100 m,可得Rt△ABC中,∠BAC=60°,BC=300,所以AC=AAsin60°=√32=200√3;在△ACQ中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°-45°-60°=75°,所以∠QCA=180°-∠AQC-∠QAC=45°.由正弦定理,得AAsin45°=AAsin60°,解得AQ=200√3×√22√32=200√2,在Rt△APQ中,PQ=AQ sin45°=200√2×√22=200m.故选B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.在△ABC中,a,b分别是角A,B的对边,a=1,b=√2,A=30°,则角B为()A.45°B.90°C.135°D.60°或135°,可得sin B=A sin AA =√2sin30°=√22,又由a<b,且B∈(0°,180°),所以B=45°或135°.故选AC.10.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°B满足c sin60°<b<c,选项C满足b sin45°<a<b,所以B,C有两解;对于选项A,可求B=180°-A-C=65°,三角形有一解;对于选项D,由sin B=A·sin AA,且b<a,可得B为锐角,只有一解,所以三角形只有一解.故选BC.11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的是()A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin CABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知:在A中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc cos A,故A正确;在B中,由正弦定理得:Asin A =Asin A,∴a sin B=b sin A,故B正确;在C中,∵a=b cos C+c cos B,∴由余弦定理得:a=b×A2+A2-A22AA +c×A2+A2-A22AA,整理,得2a2=2a2,故C正确;在D中,由余弦定理得a cos B+b cos A=a×A2+A2-A22AA +b×A2+A2-A22AA=c≠sin C,故D错误.故选ABC.12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是()A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆半径为8√77a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,解得a=4t,b=5t,c=6t,t>0,可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确;由c为最大边,可得cos C=A2+A2-A22AA=16A2+25A2-36A2 2·4A·5A =18>0,即C为锐角,故B错误;由cos A=A2+A2-A22AA=25A2+36A2-16A22·5A·6A=34,cos2A=2cos2A-1=2×916-1=18=cos C ,由2A ,C ∈(0,π),可得2A=C ,故C 正确;若c=6,可得2R=A sin A=√1-64=√7,△ABC外接圆半径为8√77,故D 正确.故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边的长分别为a ,b ,c ,已知a=1,sin A=√210,sin C=35,则c= .解析由正弦定理Asin A=Asin A ,得c=A sin A sin A=1×35√210=35×√2=3√2.√214.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值是 .cos A=A 2+A 2-A 22AA ,所以bc cos A=12(b 2+c 2-a 2).同理,ac cos B=12(a 2+c 2-b 2),ab cos C=12(a 2+b 2-c 2).所以bc cos A+ac cos B+ab cos C=12(a 2+b 2+c 2)=612.15.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:a 2-2ab cos C+b 2=c 2,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数x ,y ,z ,满足x 2+xy+y 2=9,y 2+yz+z 2=16,z 2+zx+x 2=25,则xy+yz+zx= .ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,在△ABC 内取点O ,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3,设OA=x ,OB=y ,OC=z ,利用余弦定理得出△ABC 的三边长,由此计算出△ABC 的面积,再利用S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC 可得出xy+yz+zx 的值.设△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 在△ABC 内取点O ,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3,设OA=x ,OB=y ,OC=z ,由余弦定理得c 2=x 2-2xy ·cos ∠AOB+y 2=x 2+xy+y 2=9,∴c=3. 同理可得a=4,b=5,∴a 2+c 2=b 2,则∠ABC=90°,△ABC 的面积为S △ABC =12ac=6, 另一方面S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC=12xy sin2A 3+12yz sin2A 3+12zx sin2A 3=√34(xy+yz+zx )=6,解得xy+yz+zx=8√3.√316.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ,B ,灯塔B 位于灯塔A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A 的北偏西75°,与A 相距3√2海里的D 处;乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向,与B 相距5海里的C 处,此时乙船与灯塔A 之间的距离为 海里,两艘轮船之间的距离为 海里.ABC 为等边三角形,所以AC=5.∠DAC=180°-75°-60°=45°,在△ADC 中,根据余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos ∠DAC =18+25-2×3√2×5×(√22)=13,解得CD=√13.√13四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a sin B+1=b sin A+2cos C. (1)求角C 的大小;(2)若a=2,a 2+b 2=2c 2,求△ABC 的面积.因为由正弦定理得Asin A =Asin A ,所以a sin B=b sin A ,∴2cos C=1,cos C=12.又0<C<π,∴C=π3.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab ,∴4+b 2=2(4+b 2-2b ),解得b=2. ∴S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin π3=√3.18.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin 2B+sin 2C=sin 2A+sin B sin C. (1)求角A 的大小;(2)若cos B=13,a=3,求c 的值.由正弦定理可得b 2+c 2=a 2+bc ,则cos A=A 2+A 2-A 22AA=12,因为A ∈(0,π),所以A=π3. (2)由(1)可知,sin A=√32, 因为cos B=13,B 为三角形的内角,所以sin B=2√23,故sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=√32×13+12×2√23=√3+2√26, 由正弦定理A sin A =Asin A ,得c=A sin A sin A=√32×√3+2√26=1+2√63.19.(12分)要测量对岸两点A ,B 之间的距离,选取相距200 m 的C ,D 两点,并测得∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,求A ,B 两点之间的距离.ACD 中,因为∠ACD=30°,∠ADC=105°,所以∠DAC=180°-30°-105°=45°.由正弦定理得AAsin45°=AAsin30°,且CD=200,所以AD=100√2.同理,在△BCD 中,可得∠CBD=45°, 由正弦定理得AA sin120°=AAsin45°,所以BD=100√6.在△ABD 中,∠BDA=105°-15°=90°, 由勾股定理得AB=√AA 2+AA 2=200√2, 即A ,B 两点间的距离为200√2.20.(12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b+c=2a ,3c sin B=4a sin C. (1)求cos B 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.由正弦定理A sin A =Asin A ,则3cb=4ac ,所以b=43a.而b+c=2a ,则c=23a. 故由余弦定理得cos B=A 2+A 2-A 22AA=A 2+49A 2-169A 22A ·23A =-14.(2)因为cos B=-14, 所以sin B=√154. 所以sin2B=2sin B cos B=-√158, cos2B=2cos 2B-1=-78.所以sin (2A +π4)=√22(sin2B+cos2B ) =√22×(-√158-78)=-7√2+√3016.21.(12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距4(3+√3)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距16√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为24海里/小时.(1)求BD的长;(2)该救援船到达D点所需的时间.由题意可知:在△ADB中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,则∠ADB=105°.由正弦定理AAsin∠AAA =AAsin∠AAA,得4(3+√3)sin105°=AAsin45°.由sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=√6+√24,代入上式得DB=8√3.(2)在△BCD中,BC=16√3,DB=8√3,∠CBD=60°,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos60°=(16√3)2+(8√3)2-2×16√3×8√3×12=242,∴CD=24,∴t=AA =2424=1.即该救援船到达D点所需的时间为1小时.22.(12分)如图,在△ABC中,C=π4,角B的平分线BD交AC于点D,设∠CBD=θ,其中tan θ=12.(1)求sin A;(2)若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =28,求AB 的长.由∠CBD=θ,且tan θ=12, ∵θ∈(0,π2),∴sin θ=12cos θ,sin 2θ+cos 2θ=14cos 2θ+cos 2θ =54cos 2θ=1,∴cos θ=√5,sin θ=√5. 则sin ∠ABC=sin2θ=2sin θcos θ =2×√5×√5=45,∴cos ∠ABC=2cos 2θ-1=2×45-1=35, sin A=sin [π-(π4+2A )]=sin (π4+2A ) =√22sin2θ+√22cos2θ=√22×(35+45)=7√210. (2)由正弦定理,得AA sin A =AA sin∠AAA ,即10=AA 45, 所以BC=7√28AC.又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28,所以|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28√2, 由上两式解得AC=4√2,又由AA sin A =AA sin∠AAA ,得√22=AA 45, 解得AB=5.。