2018届人教A版 正余弦定理的应用举例 单元测试

课时达标检测（四) 正、余弦定理在三角形中的应用一、选择题1．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ,则cos θ是（ ）A 。

35B ．－错误!C ．±错误!D ．±错误!解析：选C ∵S △ABC ＝错误!AB ·BC sin ∠ABC＝错误!×2×5×sin θ＝4，∴sin θ＝45. 又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±错误!＝±错误!.2．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8,b ＝83，则△ABC 的面积为( ）A ．32错误!B ．16C ．323或16D ．323或16错误!解析：选D 在△ABC 中，由正弦定理错误!＝错误!，得sin B ＝错误!＝错误!＝错误!,又b ＞a ，∴B ＝60°或120°。

当B ＝60°时，C ＝180°－30°－60°＝90°，∴S△ABC＝错误!×8×8错误!＝32错误!；当B＝120°时，C＝180°－30°－120°＝30°，∴S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!×8×8错误!×错误!＝16错误!。

3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且S△ABC＝错误!,则边BC的长为（)A.错误!B．3C。

错误!D．7解析：选A ∵S△ABC＝12AB·AC sin A＝错误!，∴AC＝1,由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.即BC＝3。

4．△ABC的周长为20,面积为103,A＝60°，则BC的边长等于( ）A．5 B．6C．7 D．8解析：选C 如图,由题意得错误!由②得bc＝40，由③得a2＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc＝（20－a）2－3×40，∴a＝7.5．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为错误!m2,则此人这时离开出发点的距离为（）A．3 m B。

2018届高考数学正弦定理、余弦定理的应用复习题及答案
5 c 高三数学（理）一轮复习教案第五编平面向量、解三角形总第25期
§55 正弦定理、余弦定理的应用
基础自测
1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,c点的俯角为70°，则∠BAc=
答案130°
2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为
答案 =
3在△ABc中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinc=2sinAcsB,则△ABc是三角形
答案等边
4已知A、B两地的距离为10 ,B、c两地的距离为 =5，
∴AB= ()∴A、B之间的距离为
例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 ，从B到c方位角是110°，距离是3 ，从c到D,方位角是140°，距离是（9+3 ）试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）解示意图如图所示，连接Ac，在△ABc中，
∠ABc=50°+(180°-110°)=1(70°+30°)=14cs
∴=S△Pc+S△PcD= ×1×2sin + （5-4cs ）=2sin( - )+
∴当 - = ，即 = 时，ax=2+
所以四边形PDc面积的最大值为2+
巩固练习
1某观测站c在A城的南偏西60°)=sin cs60°-cs sin60°。

后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )课时作业3应用举例时间：45分钟 满分：100分1. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成 60°勺视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，贝J B 、C 间的距离是 ()A . 10^3海里 C . 5迈海里【答案】 D【解析】 如图，/A = 60° /B = 75° 贝JZC = 45 °, 由正弦定理得:BCAB si nA 10x sin60 BC= sinC = sin452. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C ,测出AC 的距离为50m , / ACB = 45° / CAB = 105°B . 10/6海里 D . 5^6海里课堂训练—30 =150 ° ZCBO = 45 ° AB=35 ,【答案】 A【解析】 因为ZACB = 45° ZCAB = 105°所以ZABC = 30°根 据正弦定理可知'sin%=sin 監，即爲=馬，解得AB=5072m ,选 A.3. 从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°从电视 塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45° A , B 间距离是35m ,【答案】 如图所示，塔高为0C ,贝JZOAC = 60° 从OB = 180°A . 5Oj2m C . 25 辺m则此电视塔的高度是m.【解析】A设电视塔高度为hm,则OA=^h, OB= h,在△KOB中由余弦定理可得AB2= OA2+ OB2—2OA OB cos/AOB,即352=（誓h）2 + h2—2x¥hx hx （—乎）解得h= 5佰.4.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45° °如果此船不改变航向，继续向南航行, 有无触礁的危险?【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小,再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可.【解析】 在△ABC 中，BC= 30,ZB= 30°,ZACB= 135°,•••zBAC = 15「「亠亠5 BC AC 卄30 AC 由正弦疋理snB ,即：sin15匸sin30/.AC = 60COS15 =°0cos(45 — 30 )=60(cos45 coS30 斗 sin45 sin30 ) = 15(V 6+V 2),•••A 到 BC 的距离为 d = ACsin45 = 15&3 + 1)〜40.98 海里 >38 海 里，所以继续向南航行，没有触礁危险.课后作业、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）A .北偏东10°B .北偏西10°C .南偏东10°D .南偏西10°如图所示，/ ECA = 40° ZFCB = 60°, ZACB = 180°—40 -60 = 80 :180 ° — 80••AC= BC ,.・.ZA=/ABC = ------ 2 --- = 50°,.・.ZABG= 180 —Z CBH-ZCBA = 180°— 120°— 50°= 10°.故选 B.2. 某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这【答案】 C1 1 1【解析】 $△= 2^ 20X 30X sin150 =十 20X 30X=150(m 2),•••购买这种草皮需要150a 元，故选C.【答案】【解析】 EGCH种草皮需要A . 450a 元C . 150a 元3. 有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的 前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30。

正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题图3－8－91．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－9)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里图3－8－103．(2013·广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是() A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里图3－8－114．如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714图3－8－125．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()A．10 m B．30 m C．10 3 m D．10 6 m二、填空题6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．7．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．图3－8－138．如图3－8－13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________．三、解答题图3－8－149．(2013·佛山调研)如图3－8－14，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？图3－8－1510．如图3－8－15，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．图3－8－1611．(2013·惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－16所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】在△ABC中，由正弦定理BCsin 30°＝ABsin 45°，AB＝50 2.【答案】 A2．【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．【答案】 C3．【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin 45°×sin 30°＝10 2.【答案】 A4．【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝21 7.【答案】 A5．【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC＝206×2 2＝203(m)．在Rt△CBD中，CD＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)．【答案】 B二、填空题6．【解析】如图，依题意甲楼高度AB＝20tan 60°＝203米，又CM＝DB＝20米，∠CAM ＝60°.所以AM＝CM·1tan 60°＝2033米，所以乙楼的高CD＝203－2033＝4033米．【答案】403 37．【解析】如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16.【答案】168．【解析】设AB＝h，在△ABC中tan 60°＝h BC，∴BC＝33h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC ＝BCsin∠BDC，即30sin 135°＝33hsin 30°，解得h＝15 6.【答案】15 6三、解答题9．【解】在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝DB2＋DC2－BC22DB·DC＝－17，所以cos∠ADC＝17，sin∠ADC＝437，在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314，由正弦定理ADsin∠ACD ＝CD sin A，所以AD＝2132×5314＝15，故这时此车距离A城15千米．10．【解】 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线， 所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B ，D 间的距离约为0.33 km.11．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝356－320cos C ， ① 在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝392－392cos C ， ② 由①②得：356－320cos C ＝392－392cos C ， 整理可得，cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°， 又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ， 所以△ABD 是等边三角形， 故AB ＝14，即A 、B 两点的距离为14. (2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ， 因为AD ·BD ＞AC ·BC ， 所以S △ABD ＞S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．因此小李的设计符合要求．。

正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求ac的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-= 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。

正余弦定理的综合应用1.【河北省唐山一中2018届二练】在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值．2. 【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在中，点在边上，且，，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.3. 【海南省2018届二模】已知在中，，，分别为内角，，的对边，且 .（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的取值范围．5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在中，角对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．6. 【福建省南平市2018届第一次质检】在中,分别为角的对边，且.（1）若，求及；（2）若在线段上，且，求的长.7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△中，，，分别是角，，的对边，，且．（1）求角；（2）求边长的最小值．8. 【河北衡水中学2017届上学期一调，17】（本小题满分12分）在中，，，分别为角，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值．正余弦定理的综合应用答案1【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得，再根据正弦定理得，即（2）由的面积为，得，再根据余弦定理得，解得，因此结合正弦定理得2.【解析】（Ⅰ）如图所示，，故，设，则，.在中，由余弦定理,即，解得，.（Ⅱ）在中，由，得，故，在中，由正弦定理，即，故，由，得，.3. 【解析】（1）由及正弦定理得，，即，又，所以，又，所以.（2）由（1）知，又，易求得，在中，由正弦定理得，所以.所以的面积为.4【解析】（Ⅰ）由已知得，即有因为，∴．又，∴．又，∴，∴（Ⅱ）由余弦定理，有．因为，有又，于是有，即有5【解析】（1）由已知，得，由余弦定理，得，所以，又，故；（2）由（1）知，由正弦定理，得，所以或（舍去）从而，所以的面积为．6【解析】（Ⅰ）∵，，，在△ABC中，由正弦定理，∴，又，所以，则C为锐角，所以，则，所以7【解析】（I）由已知即△中，，故（Ⅱ）由（I）因此由已知故的最小值为1. 8【解析】（1），，即，则，．又在中，．则，解得，或，当时，，则，均为钝角，与矛盾，故舍去，故，则．。

一、选择题【2016年大连八中、二十四中联考】1、函数)6cos()3sin()(x x x f -+=ππ的最小正周期是（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．π4【答案】B 【解析】21cos 2()3()sin()cos()sin()cos ()sin ()3632332x f x x x x x x πππππππ++⎡⎤=+-=+-+=+=⎢⎥⎣⎦21cos(2)32x π=++，所以最小正周期为22T ππ==，故选B. 【2016黑龙江师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考】2、若点()ααsin ,cos P 在直线x y 2-=上，则)22cos(πα+的值等于（ ）A ．54-B ．54C ．53-D ．53 【答案】B【2016广西一模】3、已知＜α＜π，3sin2α=2cos α，则cos （α﹣π）等于（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cos α，∴sin α=，cos α=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cos α=﹣（﹣）=，故选：C ．【2016甘肃兰州实战考试】4、24sin 225α=，02πα<<，)4πα-的值为（ ）A ．15- B ．15 C ．75- D ．75【答案】D.cos())sin cos 4πααααα-=+=+， 又∵249(sin cos )12sin cos 1sin 225ααααα+=+=+=，02πα<<， ∴7sin cos 5αα+=，故选D ．【2016辽宁大连双基测试】5、ABC ∆中，2,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =（ ）（A （B ） （C ） （D 【答案】D【2016甘肃兰州实战】6、在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若sin 3sin b A c B =， 3a =，2cos 3B =，则b =（ ）A ．14B ．6C 【答案】D.【解析】由题意得，sin 3sin 331b A c B ab bc a c c =⇒=⇒=⇒=，∴22222cos 9123163b ac ac B b =+-=+-⋅⋅⋅=⇒=，故选D ． 【2016天津红桥区二模】7、钝角中，内角所对的边分别为，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【2016广西一模】8、已知函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．)623sin(43)(π+=x x fB ．)5154sin(54)(+=x x fC ．)665sin(54)(π+=x x fD ．)5132sin(54)(-=x x f【答案】B【解答】解：由函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的图象可得0＜A ＜1，T=＞2π，求得0＜ω＜1．再根据f （2π）＜0，结合所给的选项， 故选：B ．【2016山东济南3月模拟】9、函数)2,0)(sin(2)(πϕϕ<>+=w wx x f 的部分图像如图所示，则)1217()0(π+f 的值为A 32-B 32+C 231- D 231+【答案】A【解析】由题意可知T=π,22==ππw ，3πϕ-=，代入求值即可得到)1217()0(π+f =32-. 【2016山东滨州二模】10、将函数x x f 2sin 2)(=的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象.若对满足4)()(21=-x g x f 的21,x x ，有6min21π=-x x ，则=ϕ（ ） A ．125π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【2016四川绵阳三诊】11、若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()4f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；③()f x 在3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， 则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()cos 8f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2cos 2f x x x =-C ．()sin cos f x x x =D ．()sin 2cos 2f x x x =+ 【答案】D【解析】根据题意，函数应满足：①()x f 的最小正周期为π；②对任意的R x ∈，都有()04=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x f π，用8π+x 替换式中的x 可得088=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx f x f ，即函数的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,8π对称；③()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,83ππ上是减函数；对于A,()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=8cos πx x f 的周期为π2=T ，不符合①，故不满足题意；对于B ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=42sin 22cos 2sin πx x x x f ，不符合②，故不满足题意；对于C ，()x x x x f 2sin 21cos sin ==，不符合②，故不满足题意；对于D ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=42sin 22cos 2sin πx x x x f ，符合①②③，满足题意,故选D.【2016辽宁抚顺一中四模】12、关于函数()3sin(2)13f x x π=-+（x R ∈），下列命题正确是（ ）A ．由12()()1f x f x ==可得12x x -是π的整数倍；B ．()y f x =的表达式可改写成3cos(2)16y x π=++；C ．()y f x =的图象关于点(,1)6π对称； D ．()y f x =的图象关于直线34x π=对称. 【答案】C二、填空题【2016重庆巴蜀中学3月月考】1、函数]43,0[),3cos(sin 2)(ππ∈-=x x x x f 的最小值为______. 【答案】0【解析】由已知()2sin (cos cossin sin )33f x x x x ππ=+2sin cos x x x =+1sin 2cos 2)2x x =+-sin(2)3x π=-+，因为3[0,]4x π∈，所以72[,]336x πππ-∈-，sin(2)3x π-的最小值为sin()3π-=，从而()f x 最小值为0+=． 【2016广西一模】2、已知三角形ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S=a 2﹣（b ﹣c ）2，b+c=8，则S 的最大值是 ．【答案】1764【2016山东潍坊一模】3、已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC= ．【答案】【解析】∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a 2+b 2﹣c 2=，∴由余弦定理可得：cosC===．【2016黑龙江师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考】4、已知ABC ∆满足3π=A ，0)(=⋅+→→→BC AC AB ，点M 在ABC ∆外，且22==MC MB ，则MA 的取值范围是 . 【答案】[]1,3【2016辽宁抚顺一中四模】5、在ABC ∆中，cos cos cos cos 2b C c B a C c A +=+=，且cos sin a C C b c =+，则ABC ∆的面积为________.【解析】∵cos cos cos cos b C c B a C c A +=+，∴sin cos sin cos sin cos sin cos B C C B A C C A +=+，即sin()sin()B C A C +=+，sin sin A B =，所以A B =．222222cos cos 22a b c b c a a C c A b b+-+-+=+2b ==，所以2a =．由cos sin a C C b c +=+得4sin()26C c π+=+，当3πC =时，2c =符合题意．所以11sin 22sin 223πS ab C ==⨯⨯⨯=．【2016北京东城区二模】6、已知函数，关于此函数的说法正确的序号是__． ①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④．【答案】①②④三、解答题【2016年大连八中、二十四中联考】1、在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且满足CB c b a cos cos 2=-. （1）求角C 的大小；（2）设函数23sin sin 2cos cos sin 2)(2-+=C x C x x x f ，求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域. 【答案】（1）3π；（2）]1,23[-【解析】（1）CBc b a cos cos 2=-，B c C b a cos cos )2(=-∴， C B C B C A sin cos cos sin cos sin 2+=∴A CBC A sin )sin(cos sin 2=+=∴.A ∠ 是ABC ∆的内角，0sin ≠∴A ，1cos 2=∴C ，3π=∠∴C .………………………………………………6分 （2）由（1）可知3π=∠C ，)sin 21(232sin 21)(2x x x f --=∴ x x 2cos 232sin 21-=)32sin(π-=x ………………………………………………………8分 由]2,0[π∈x ，32323πππ≤-≤-∴x ，1)32sin(23≤-≤-∴πx ∴函数()f x 的值域为]1,23[-.……………………………………12分. 【2016北京东城区二模】2、已知函数()，且函数的最小正周期为． (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)=2． (Ⅱ)最大值为f()=3；最小值为f()=0．【2016天津红桥区二模】3、已知（1）求函数的最小正周期及在区间的最大值；（2）若，求的值。

课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例层级(一) “四基”落实练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°.又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m, 2 0 3 m C ．10(3－2)m, 20 3 mD.1532 m ，2033m 解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠ CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010(m)， AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22.又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为3m ，那么x 的值为_______．解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余 弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°， ∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝3或2 3. 答案：23或 37.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236) 解析：由题意可知，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ， 由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×－22≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.68.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示，AC ＝100 2 m ．在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°解得AM ＝100 3 m ．在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×23＝150(m)． 层级(二) 能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C解出c .故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x . 依据正弦定理可得2sin 60°＝xsin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°， 即α＝30°时，影子最长． 答案：30°3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米， AP ＝x .在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217s ．A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH . (声音的传播速度为340 m/s)解：(1)由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2BA ·AC cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 所以A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°， 所以CH ＝AC tan ∠CAH ＝140 3 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树 顶端点C 的仰角大小为75°. (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4. 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°， 解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. 所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m. 层级(三) 素养培优练1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A (如图2)距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ .测得PQ 的高度约为25米，并从P 点测得A 点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点、P 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，M ，Q 三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．59B ．60C ．65D ．68解析：选A 如图所示，由题意得∠AMB ＝75°，∠PMQ ＝30°，∠AMP ＝75°，∠APM ＝60°，∠PAM ＝45°，在△PMQ 中，PM ＝PQsin ∠PMQ＝50，在△PAM 中，由正弦定理得AM sin ∠APM ＝PMsin ∠PAM，AM sin 60°＝50sin 45°，所以AM ＝256， 在△ABM 中，AB ＝AM ·sin ∠AMB ＝256×sin 75° ＝256×6＋24， 所以AB ＝150＋5034≈150＋50×1.734＝236.54＝59.125，所以赛道造型最高点A 距离地面的高度约59.2．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理，可得S ＝900t 2＋400－2×30t ×20cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意可知(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 化简得，v 2＝400t2－600t 900＝400 1t －342＋675. 由于0<t ≤12，所以1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/时． (3)存在．由(2)知，v 2＝400t2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)， 于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即6002－1 600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<v <30， 所以v 的取值范围是(153，30)．。

第六节 正弦定理和余弦定理———————————————————————————————— [考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)； (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( ) (4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C .( )[解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A .(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定C [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c2R ＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A.2B. 3 C ．2D ．3D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23， 解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.π3或2π3[由正弦定理asin A＝bsin B，代入可求得sin B＝32，故B＝π3或B＝2π3.]5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．23[由题意及余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2＋16－122×4×c＝12，解得c＝2，所以S＝12bc sin A＝12×4×2×sin 60°＝2 3.]在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【导学号：31222129】[解]设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.6分又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.9分在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.12分[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．[变式训练1] (1)(2017·郑州模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， 且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.(1)A (2)2113 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.(2)在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.](1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)(2016·安徽安庆二模)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)D (2)A [(1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A.][规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．[变式训练2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形B [法一：由已知得2sin A cos B ＝sinC ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .](2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.2分又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.5分(2)由(1)知b2＝2ac.7分因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.9分所以△ABC的面积为12×2×2＝1.12分[规律方法]三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[变式训练3](2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解](1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，3分故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.5分(2)由已知得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6.9分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.12分[思想与方法]1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.[易错与防范]1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：2.课时分层训练(二十二)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()【导学号：31222130】A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2.]2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()【导学号：31222131】A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.34C.32D.32B [依题意得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34，故选B.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310B.1010C.55D.31010D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a 3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a，在△ABC 中，由正弦定理得asin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010，故选D.] 二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 63 [由正弦定理可得1532＝10sin B ，所以sin B ＝33，再由b ＜a ，可得B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝63.] 7．(2016·青岛模拟)如图3-6-1所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3-6-13 [∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD －2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3， ∴BD ＝ 3.]8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________. 【导学号：31222132】32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.] 三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35. 【导学号：31222133】(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.5分(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，7分 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C ，所以sin C ＝41717.12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．[解] (1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sin B sin C5.3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc5，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. ∵A 是△ABC 的内角， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.6分 (2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc5， ∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.8分 又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4， ∴△ABC 的面积S 的最大值为4.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3 C.π4D.π6C [∵b ＝c ，∴B ＝C . 又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2. 由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )， 即sin 2A ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )， 整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A2≠0， ∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4.]2．如图3-6-2，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________．图3-6-2562 [在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3， 由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12，所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB＝ADsin B ，所以AB ＝562.]3．在△ABC 中，cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根． (1)求角C ；(2)当a ＋b ＝10时，求△ABC 周长的最小值．[解] (1)因为2x 2－3x －2＝0，所以x 1＝2，x 2＝－12.2分 又因为cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根， 所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.5分(2)由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(a ＋b )2－ab ，7分 则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5)2＋75，当a ＝5时，c 最小且c ＝75＝53，此时a ＋b ＋c ＝10＋53， 所以△ABC 周长的最小值为10＋5 3.12分。

课时作业A 组 基础对点练1．若两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB ．2a kmC ．2a kmD ．3a km解析：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝a 2＋a 2－2×a ×a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a (km)，即灯塔A 与灯塔B 的距离为3a km. 答案：D2．(2017·江西联考)某位居民站在离地20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( ) A ．20(1＋33)m B ．20(1＋3)m C ．10(2＋6)m D ．20(2＋6)m解析：如图，设AB 为阳台的高度，CD 为小高层的高度，AE 为水平线．由题意知AB ＝20 m ，∠DAE ＝45°，∠CAE ＝60°，故DE ＝20 m ，CE ＝203m.所以CD ＝20(1＋3)m.故选B.答案：B3．(2017·武汉武昌区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A．14 h B．15 hC．16 h D．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×22，令OB2≤4502，即4t2－1202t＋1 575≤0，解得302－152≤t≤302＋152，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302＋152－302－152＝15(h)，故选B.答案：B4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/h解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理⎝⎛⎭⎪⎫110v2＝⎝⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v＝6 2.答案：B5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在点B测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理，得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，整理得h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50 m ，故水柱的高度是50 m.答案：A6．(2017·德州检测)某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S 的距离为________海里．解析：根据题意知，在△ABS 中，AB ＝24，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝45°，由正弦定理，得BS sin 30°＝24sin 45°，∴BS ＝1222＝122，故货轮到灯塔S 的距离为122海里．答案：12 27．(2017·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．解析：由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°，∠ABS ＝45°－15°＝30°，∴∠ASB ＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得1 000sin 30°＝AB sin 135°，∴AB ＝1 0002，∴BC ＝AB 2＝1 000.答案：1 0008．(2017·北京朝阳区质检)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m 的铁塔AA 1和BB 1.已知从塔AA 1的底部看塔BB 1顶部的仰角是从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的正切值为________；塔BB 1的高为________m.解析：设从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角为α，则AA 1＝60tan α，BB 1＝60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A 1AC ∽△CBB 1，∴AA 130＝30BB 1，∴AA 1·BB 1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900，∴tan α＝13，tan 2α＝34，BB 1＝60tan 2α＝45.答案：13 459．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝AB sin ∠ACB ， ∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)(m)． ∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7350(m)．故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．10．已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解析：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝1003，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝5 5.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米．B组能力提速练1．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC ＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号)解析：在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80 2.在△ABC 中，BC sin 30°＝AB sin 45°，∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60°＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600. ∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒．2．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 21.8°≈3314解析：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6. 在△ABC 中，根据正弦定理，得BC sin ∠CAB＝AB sin 120°， 所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮．3．(2017·武汉联考)如图，有两条夹角为60°的公路AB ，AC 经过村庄A ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，并在两条公路边上分别建仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．记∠AMN ＝θ.(1)将AN ，AM 用含θ的关系式表示出来．(2)如何设计(即AN ，AM 为多长时)，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP 最大)?解析：(1)△AMN 中，易得∠ANM ＝120°－θ，由正弦定理得MN sin 60°＝AN sin θ＝AM sin (120°－θ)， 又MN ＝2，所以AN ＝433sin θ，AM ＝433sin(120°－θ)＝433sin(θ＋60°)(2)在△AMP 中，由余弦定理得AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(θ＋60°)＋4－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪音对居民的影响最小，此时AN ＝AM ＝2千米．。

正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。

解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。

由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。

因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。

再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。

所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。

2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。

解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。

把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。

因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。

当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。

必修5正、余弦定理应用举例同步练习题（含答案新人教A
版）
5 必修5正、余弦定理应用举例同步练习题（含答案新人教A版）
时目标
1．了解数学建模的思想；
2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．
1．基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般说，基线越长，测量的精确度越高．
2．方位角指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α
3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．
一、选择题
1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( ) A．南偏西45°10′ B．南偏西44°50′
c．南偏东45°10′ D．南偏东44°50′
答案 c
2．已知两灯塔A和B与海洋观测站c的距离都等于a ，灯塔A 在观测站c的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站c的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a B3a
c2a D．2a
答案 B
解析∠AcB＝120°，Ac＝Bc＝a，
∴由余弦定理得AB＝3a
3．海上有A、B两个小岛相距10 n ile，从A岛望c岛和B岛。

余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°,此人往金字塔方向走了80米到达点B,测得金字塔顶端的仰角为45°,则金字塔的高度最接近于(忽人的身高)( ) A.110米 B.112米 C.220米 D.224米选A.如图,令CD为金字塔,AB=80米.设CD=h米,则由已知得(80+h)×=h,h=40(+1)≈109(米).从选项来看110米最接近.2.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为( )A.10 mB.20 mC.20 mD.40 m选D.设AB=x m,则BC=x m,BD=x m,在△BCD中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°,所以x2-20x-800=0,所以x=40(m).3.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是( )A.5 mB.10 mC.5 mD.10 m解题指南在△BCD中,由正弦定理求出BC⇒在Rt△ABC中求得AB.选B.在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC= 30°,由正弦定理,得=,BC==10.在Rt△ABC中,tan 60°=,AB=BCtan 60°=10(m).4.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10 000 m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为( ) A.2 500(-1) m B.5 000 mC.4 000 mD.4 000 m选A.如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10 000,所以∠ACB=45°.由正弦定理,得=,又cos 75°=,所以BD=·cos 75°=2 500(-1)(m).5.如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN为( )A.100 mB.150 mC.200 mD.250 m选B.在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°由正弦定理得=,因此,AM=100m.在Rt△MNA中,AM=100m,∠MAN=60°,由=sin 60°,得MN=100×=150 m.二、填空题(每小题5分,共10分)6.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3 mm,BC=2 mm, AB= mm,则∠ACB=________.在△ABC中,由余弦定理的推论得cos∠ACB==-.因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=.答案:7.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200 m,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,则塔高AB=____m.在Rt△ABC中,∠ACB=45°,设AB=h m,则BC=h m,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,所以BD=h m,在△BCD中,∠CBD=30°,CD=200 m,由余弦定理可得40 000=h2+3h2-2h·h·,所以h=200,所以塔高AB=200 m.答案:200三、解答题(每小题10分,共20分)8.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距6海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东(θ+30°)的方向沿直线前往B处营救,求sin θ的值.连接BC,由已知得AC=6,AB=10,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos 120°=100+36-2×10×6×=196,所以BC=14,由正弦定理得=,即=,解得sin C=,所以sin θ=.9.如图,为测量竖直旗杆CD高度,在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4 m的两点A,B,在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上,旗杆顶部D 的仰角为60°;在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上,旗杆顶部D的仰角为45°,求旗杆CD高度.设CD=x,在Rt△BCD,∠CBD=45°,所以BC=x,在Rt△ACD,∠CAD=60°,所以AC==,在△ABC中,∠CAB=20°,∠CBA=10°,所以∠ACB=180°-20°-10°=150°,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 150°,又AB=4,即(4)2=x2+x2+2··x·=x2,解得x=12.所以旗杆高12米.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D点测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为( ) A.15米 B.5米 C.10米 D.12米选C.如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h,在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,由余弦定理,得OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,即(h)2=h2+102-2h×10×cos 120°,所以h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( ) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m选A.如图,设水柱的高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2×h×100×cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50或h=-100(舍去),故水柱的高度是50 m.3.(多选题)一船向正北航行,看见正西方向有相距10 n mi l e的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,此时离最近的灯塔为a n mi l e,设这艘船的速度是每小时v n mi l e,则( ) A.a=5 B.a=10C.v=10D.v=10选BC.如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在Rt△ABC中,求得AB=5,BC=5,所以这艘船的速度是=10(n mile/h),即v=10.4.如图是一个斜拉桥示意图的一部分,AC与BD表示两条相邻的钢缆,A,B与C,D 分别表示钢缆与桥梁与主塔上的铆点,两条钢缆的仰角分别为α,β,为了便于计算,在点B处测得C的仰角为γ,若AB=m,则CD= ( )A. B.C. D.选D.在△ABC中,由正弦定理,可得=,可得BC=,在△BCD中,由正弦定理,可得=,CD=·BC=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.两船同时从A港出发,甲船以每小时20 n mi l e的速度向北偏东80°的方向航行,乙船以每小时12 n mi l e的速度向北偏西40°方向航行,一小时后,两船相距______n mi l e.如图,△ABC中,AB=20,AC=12,∠CAB=40°+80°=120°,由余弦定理,得BC2=202+122-2×20×12·cos 120°=784,所以BC=28(n mi l e).答案:286.有一长为10 m的斜坡,它的倾斜角是75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延伸________m.如图,在△ABC中,由正弦定理,得=,所以x=10(m).答案:10三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P(观察站高度忽不计),上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°方向,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向,俯角为60°的C处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米?(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?(1)在Rt△PAB中,∠APB=60°,AP=1,所以AB=APtan 60°=.在Rt△PAC中,∠APC=30°,所以AC=APtan 30°=.在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,所以BC===.则船的航行速度为÷=2(千米/时).(2)在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB===,sin∠CDA=sin(∠ACB-30°)=sin∠ACB·cos 30°-cos∠ACB·sin 30°=×-=.由正弦定理得=,所以AD===.故此时船距岛A有千米.8.某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点.(1)求PC间的距离;(2)在点C测得油井的方位角是多少?解题指南(1)在△ABP中,根据正弦定理,求BP,再利用勾股定理算出PC的长,即可算出P,C两地间的距离;(2)根据内错角相等可证明CP∥AB,从而可得出结论.(1)在△ABP中,AB=30×=20,∠APB=30°,∠BAP=120°,根据正弦定理得:=⇒BP=20,在△PBC中,BC=30×=20,由已知∠PBC=90°⇒PC=40.(2)在△PBC中,∠PBC=90°,BC=20,PC=40,所以sin∠BPC=,所以∠BPC=30°.因为∠ABP=∠BPC=30°,所以CP∥AB.所以在点C测得油井P在C的正南40海里处.补偿训练位于A处的雷达观测站,发现其北偏东45°,与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ(0°<θ<45°)的C处,AC=5.在离观测站A的正南方某处E,cos∠EAC=-.(1)求cos θ.(2)求该船的行驶速度v(海里/小时).解题指南(1) 先根据同角三角函数关系得sin∠EAC,再根据θ=-∠EAC,并利用两角差余弦公式得结果.(2)根据余弦定理求BC,再除以时间得速度.(1)因为cos∠EAC=-,所以sin∠EAC==,cosθ=cos=cos·cos∠EAC+sin·sin∠EAC=-×+×=.(2)利用余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosθ=125,所以BC=5, 该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里,该船的行驶速度v==15(海里/小时).。

2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.7 正弦定理和余弦定理真题演练集训 理 新人教A 版1．[2014·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1 ，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案：B解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1 ，BC ＝2，所以sin B ＝22， 所以B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案： 3解析：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.答案：2113解析：解法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2113.解法二：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113.解法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113.解法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613.故b ＝AD ＋DC ＝2113.4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ，C ∈(0，π)． 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.5. [2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[审题视角] (1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab ，再结合余弦定理联立方程求出a ＋b ，进而求得△ABC 的面积．[解] (1)由已知及正弦定理得，2cos C sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C ，①2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7. 故a 2＋b 2＝13，从而 a ＋b 2＝25.②所以△ABC 的周长为5＋7. 满分心得1．(1)题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类． (2)题中②处不能结合余弦定理将(a ＋b )视为整体进行求解而走入误区．2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．。

必修5正、余弦定理应用举例同步测试题（含答案新人教A版）必修5正、余弦定理应用举例同步测试题（含答案新人教A版）课时目标 1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题． 2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题． 1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示) 2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为12absin C.一、选择题 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A．α>βB．α＝βC．α<βD．α＋β＝90° 答案 B 2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( ) A．203 m，4033 m B．103 m,20 3 m C．10(3－2) m,203 m D.1523 m，2033 m 答案 A 解析h甲＝20tan 60°＝203(m)． h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( ) A．30＋303 m B．30＋153m C．15＋303m D．15＋33m 答案 A 解析在△PAB中，由正弦定理可得－＝PBsin 30°， PB＝60×12sin 15°＝30sin 15°， h＝PBsin 45°＝(30＋303)m. 4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A．2h米 B.2h米 C.3h米 D．22h米答案 A 解析如图所示， BC＝3h，AC＝h，∴AB＝3h2＋h2＝2h. 5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进2003 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( ) A．200 m B．300 m C．400 m D．1003 m 答案 B 解析如图所示，600•sin 2θ＝2003•sin 4θ，∴cos 2θ＝32，∴θ＝15°，∴h＝2003•sin 4θ＝300 (m)． 6．平行四边形中，AC＝65，BD＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A．16 B．17.5 C．18 D．18.53 答案 A 解析设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17， a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65. 解得：a＝5，b＝4，cos α＝35或a＝4，b＝5，cos α＝35，∴S▱ABCD＝ab sin α＝16. 二、填空题 7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案北偏东30°3a 解析如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°，由正弦定理知BCsin∠CAB＝ACsin B，∴1sin∠CAB＝3sin 120°，∴sin∠CAB＝12，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB•BCcos 120° ＝a2＋a2－2a2•－12＝3a2，∴AC＝3a. 8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为103，则其周长为________．答案20 解析设AB＝8k，AC＝5k，k>0，则 S＝12AB•AC•sin A＝103k2＝103. ∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cos A ＝82＋52－2×8×5×12＝49. ∴BC＝7，∴周长为：AB＋BC＋CA＝20. 9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案27π5 解析不妨设三角形三边为a，b，c且a＝6， b＝c＝12，由余弦定理得： cos A＝b2＋c2－a22bc＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A＝ 1－782＝158. 由12(a＋b＋c)•r＝12bcsin A得r＝3155. ∴S内切圆＝πr2＝27π5. 10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案23 解析设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos 120°，解得t＝23或t＝－512(舍)．三、解答题 11．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD. 解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 根据正弦定理得：ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，即－α＝α－β，∴AC＝BCcos αα－β＝hcos αα－β在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hcos αsin βα－β即山高CD为hcos αsin βα－β．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．解连接BD，则四边形面积 S＝S△ABD＋S△CBD＝12AB•AD•sin A＋12BC•CD•sin C. ∵A＋ C＝180°，∴sin A＝sin C. ∴S＝12(A B•AD＋BC•CD)•sin A＝16sin A. 由余弦定理：在△ABD 中，BD2＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A，在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cos C＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C. 又co s C＝－cos A，∴cos A＝－12.∴A＝120°. ∴四边形ABCD的面积S＝16sin A＝83. 能力提升 13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B 处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．解作DM∥AC交BE于N，交CF于M. DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298(m)， D E＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130(m)， EF＝－＋BC2＝902＋1202＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE•EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 即∠DEF的余弦值为1665. 14．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解如图所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45° ∵AB ＝30，∴BC＝30，BD＝30ta n 30°＝303. 在△BCD中， CD2＝BC2＋BD2－2BC•BD•cos 30°＝900，∴CD＝30，即两船相距30 m. 1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．。

高中数学专题复习
《解三角形正弦余弦定理的运用》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =
（ ） A ．3
π B ．23π C ．34π D ．56
π（汇编年高考安徽（文）） 2．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）
A ．111A
B
C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形(汇编安徽理)
3．锐角三角形的内角A 、B 满足1tan tan sin 2A B A
-=，则有（ ） （A ）sin 2cos 0A B -=（B ）sin 2cos 0A B +=（C ）sin 2sin 0A B -=（D ）。

课时达标检测（三）正、余弦定理在实际中的应用一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为（)A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图．知α＝β，故应选B。

2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km)，灯塔A 在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间的距离为( )A.2a kmB.错误!a kmC．a km D．2a km解析：选A △ABC中,AC＝BC＝a km，∠ACB＝90°,AB＝错误!a km。

3．有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m）是( )A．5 B．10C．10错误!D．10错误!解析：选C 如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中,利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m,由正弦定理，得BB′＝错误!＝错误!＝10错误!（m）．∴坡底延伸10错误!m时,斜坡的倾斜角将变为30°。

4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( ）A.错误!海里/小时B．34错误!海里/小时C.1722海里/小时D．34错误!海里/小时解析：选A 如图所示，在△PMN中，错误!＝错误!，∴MN＝错误!＝34错误!，∴v＝错误!＝错误!错误!（海里/小时）．5.如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10错误!海里，则乙船每小时航行( )A．10 2 海里B．20错误!海里C．30海里D．30 2 海里解析：选D 如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝30错误!×错误!＝10错误!＝A2B2，∴△A1A2B2为正三角形，∴A1B2＝10 2.在△A1B1B2中,易知∠B1A1B2＝45°，∴B1B错误!＝400＋200－2×20×10错误!×错误!＝200，∴B1B2＝10错误!，∴乙船每小时航行30错误!海里．二、填空题6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A,C两地距离为________km.解析：如图所示,由题意可知AB＝33,BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3错误!×2×cos 150°＝49，AC＝7。

正、余弦定理在三角形中的应用【知识梳理】三角形的面积公式（1）S＝错误!a·h a(h a表示a边上的高)．(2）S＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B.【常考题型】题型一、三角形的面积计算【例1】在△ABC中，已知C＝120°，AB＝2错误!，AC＝2，求△ABC的面积．［解］由正弦定理知ABsin C＝错误!，即错误!＝错误!，所以sin B＝错误!，由于AB＞AC，所以C＞B，故B＝30°。

从而A＝180°－120°－30°＝30°。

所以△ABC的面积S＝12 AB·AC·sin A＝错误!·2错误!·2·sin30°＝ 3.【类题通法】1．求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．2．事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝错误!ab sin C ＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解）求三角形面积,反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．【对点训练】1．(1）在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64错误!，则c ＝________。

(2）在△ABC中，若a＝3,b＝2,c＝4，则其面积等于________．解析：(1）由已知得S△ABC＝错误!·bc·sin A，即643＝错误!×16×c×sin60°，解得c＝16。

（2）由余弦定理得cos A＝错误!＝错误!＝错误!，所以sin A＝错误!＝错误!，于是S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!×2×4×错误!＝错误!.答案：（1)16 （2）错误!题型二、三角形中的恒等式证明问题【例2】在△ABC中，求证:错误!＝错误!。