高中数学必修5第一章正弦定理、余弦定理单元测试卷

正弦定理和余弦定理测试题姓名 学号一、选择题1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A=3π，a=3，b=1，则 c 等于（ ）A. 1B. 2C. 13-D. 32. 已知△ABC 中，a=1，b=3，A=︒30，则角B 等于（ ）A. ︒60B. ︒60或︒120C. ︒30或︒150D. ︒1203. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且2223a bc c b =++，则A 等于（ ）A. ︒60B. ︒30C. ︒120D. ︒1504. 在△ABC 中，已知222c bc b a ++=，则角A 为（ ）A. 3πB. 6πC. 32πD. 3π或32π 5. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+， 则角B 的值为（ ）A. 6πB. 3πC. 6π或65πD. 3π或32π 6. 在△ABC 中，已知a=7，b=10，c=6，则△ABC 的形状是（ ）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形7. 在△ABC 中，若Cc B b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形8. 在△ABC 中，2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是 ( )A.等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形9. 在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=5：7：8，则B 的大小是（ ） A. 3π B. 6π C. 32π D. 3π或32π 10. 在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=3：2：4,则cosC 的值为 ( )A. 32B. 32-C. 41D. 41- 11. 满足条件a=4,b=23,A=︒45的△ABC 的个数是 ( )A. 1个B. 2个C. 无数个D. 不存在12. △ABC 的周长为20，面积为310，A=︒60，则BC 边长为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题13. 在△ABC 中，若B=︒30，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积是 .14.在△ABC 中，已知BC=8，AC=5，△ABC 的面积为12，则cos2C= .15. 在△ABC 中，a ：b ：c=2：6：(3+1),则△ABC 的三个内角的度数为 .16.在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC 的值为 .三、解答题17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，B=3 ，cosA=54，b=3. （1）求sinC 的值；（2）求△ABC 的面积.18.在△ABC 中，AC=2，BC=1，cosC=43. （1）求AB 的值； (2)求sin （2A+C ）的值.19. 在△ABC 中，a=3，b=2，A=︒60，求c 及cosC 的值.20.已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，它们的对边分别为a 、b 、c ，若m =（cosB ，sinC ），n =（cosC ，-sinB ），且m ·n =21. （1）求A ；(2)若a=32，△ABC 的面积S=3，求b+c 的值.21. 在△ABC 中,cosB=135-,cosC=54.(1)求sinA 的值; (2)设△ABC 的面积为233,求BC 的长.22. 三角形ABC 中的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ac b c a +=+222，且a ：c=（3+1）：2，求角C 的大小.。

2021年高中数学 1.1正弦定理和余弦定理练习题（含解析）新人教版必修5一、填空题1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－a 2≥bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，π32．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析 由(a ＋b )2－c 2＝4及余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝43.答案 433．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 解析 由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B ， 即sin B ＝12.又C 为钝角，所以B必为锐角，所以B＝π6，所以A＝π6.故a＝b＝1.答案14.在△ABC中,已知30,则B等于________.解析根据正弦定理得sin.∴C=45或C=135.当C=45时,B=105; 当C=135时,B=15.答案 105或155．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C＝________.解析设AB＝a，∴BD＝23 a，BC＝2BD＝43 a，cos A＝AB2＋AD2－BD22AB·AD＝2a2－43a22a2＝13∴sin A＝1－cos2A＝22 3由正弦定理知sin C＝ABBC·sin A＝34×223＝66.答案6 66．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________.解析 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4. 答案 π47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则角A 的大小为________．解析 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.答案π38．已知△ABC 中，AB ＝2，C ＝π3，则△ABC 的周长为________(用含角A 的三角函数表示)．解析 由正弦定理，得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2sin A sin π3＋2sin Bsinπ3＋2 ＝43sin A ＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋2＝23sin A ＋2cos A ＋2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋2.答案 4sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋29．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 △ABC 的面积为________．解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是由cos 120°＝b 2＋b －42－b ＋422b b －4＝－12，解得b ＝10，S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案 15310. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 角大小为________．解析 由a 2－b 2＝3bc ，c ＝23b ，得a 2＝7b 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32，所以A ＝π6. 答案π611.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则的值等于 ,AC 的取值范围为 . 解析 设.由正弦定理得 ∴.由锐角△ABC得0,又0<180,故30cos AC=2cos∴.答案 212．△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为32，那么b＝________.解析由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.平方得a2＋c2＝4b2－2ac.又△ABC的面积为32，且B＝30°，故由S△ABC＝12ac sin B＝12ac sin 30°＝14ac＝32，得ac＝6，所以a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理cos B＝a2＋c2－b22ac＝4b2－12－b22×6＝b2－44＝32.解得b2＝4＋2 3.又因为b为边长，故b＝1＋ 3.答案1＋313．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ba＋ab＝6cos C，则tan Ctan A＋tan C tan B的值是________． 解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b a ＋a b＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2.而tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c2＝4.答案 4 二、解答题14．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc . (1)求A ；(2)若B －C ＝90°，c ＝4，求b .(结果用根式表示)解析 (1)由条件，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由⎩⎨⎧B ＋C ＝120°，B －C ＝90°得B ＝105°，C ＝15°.由正弦定理得b sin105°＝4sin15°，即b ＝4sin105°sin15°，∴b ＝4tan75°，∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝1＋tan30°1－tan30°＝2＋3，∴b ＝8＋4 3.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a . (1)求cos A 的值； (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值． 解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13. (2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79， sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2， cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．解析 (1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.所以sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解析 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)，所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin Asin B，即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， 即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，即sin C ＝2sin A ，所以sin Csin A＝2.(2)由(1)知sin C sin A ＝2，所以有ca＝2，即c ＝2a ，又因为△ABC 的周长为5， 所以b ＝5－3a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×14，解得a ＝1， 所以b ＝2.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且cos 〈AB →，AC →〉＝14.(1)求sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝4，b ＋c ＝6，且b ＜c, 求a ，c 的值．解析 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A＝12[1－cos(B ＋C )]＋(2cos 2A －1) ＝12(1＋cos A )＋(2cos 2A －1) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1＝－14. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ， 即16＝36－52bc ，∴bc ＝8.由⎩⎨⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，b ＜c ，可求得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4.39356 99BC 馼X21134 528E 劎23729 5CB1 岱30426 76DA 盚33552 8310 茐40780 9F4C 齌c2149653F8 司Os`$8\。

人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）设a,b,c分别是的三个内角A,B,C所对的边，若,则是的（）A . 充分不必要条件；B . 必要不充分条件；C . 充要条件；D . 既不充分也不必要条件；2. （2分） (2016高二下·南阳开学考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且△ABC的面积的最大值为，则此时△ABC的形状为（）A . 锐角三角形B . 直线三角形C . 等腰三角形D . 正三角形3. （2分） (2016高一下·海珠期末) 在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C﹣ sinBsinC，则角A的取值范围是（）A . （0， ]B . [ ，π）C . （0， ]D . [ ，）4. （2分） (2017高二上·汕头月考) △ABC中，已知，则A的度数等于（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·雅安模拟) 已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（）A .B .C .D .6. （2分）如图，巡航艇在海上以的速度沿南偏东的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A，其方向是南偏东，航行到达C处，观测灯塔A的方向是北偏东，则巡航艇到达C处时，与灯塔A的距离是A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·阜阳月考) 满足的△ABC恰有一个，那么的取值范围（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·兰州期中) 在△ 中，分别为角的对边，已知，，面积，则等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，若∠ABC＝，，则sin∠BAC＝（）A .B .C .D .10. （2分）如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为（）A .B .C .D .11. （2分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）A . 2B .C .D .12. （2分）在锐角中，分别是角的对边，， .求的值（）；A .B .C .D .13. （2分）一艘客船上午9:30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 海里，则灯塔S在B处的（）A . 北偏东75°B . 北偏东75°或东偏南75°C . 东偏南75°D . 以上方位都不对14. （2分）蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地和，测得红军的两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）A .B .C .D .15. （2分）已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则 ________.17. （1分）(2016·天津模拟) 在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|BC|=________．18. （1分） (2016高一下·蓟县期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+bc+c2 ，则∠A=________．19. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：⑴（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab⑵sinA=2cosBsinC⑶b=acosC，c=acosB⑷有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题________．20. （1分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，若，则A＝________。

一、选择题：1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．(xx·江西)E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.344．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋3 6．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则( )A．b＋c＝2a B．b＋c<2ª C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a7、若的内角满足，则A. B． C． D．8、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形9、的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D)10、已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则A． B． C． D．12、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=(A)1 （B）2 （C）—1 （D）二、填空题：13、在中，若，则的大小是___________.14、在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，则sinB＝ .15、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．三、解答题：17。

单元提分卷（1）正弦定理和余弦定理1、若ABC △的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则ABC △是( ) A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形2、在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若30,120,A B b =︒=︒=则a =( )B. 23、在ABC ∆中, 120BAC ∠=︒,AD 为角A 的平分线, 2AC =,4AB =,则AD 的长是( ) A.43B.43或2 C.1或2 D.834、已知ABC ∆中,a 比b 大2, b 比c 大2,3则ABC ∆的面积为( ) A.1534B.154 C.2134 D.9345、如图,在四边形ABCD 中, 120B C ∠=∠=︒,4AB =,2BC CD ==,则该四边形的面积等于( )B.C.D.6、在ABC ∆中, 60,1A b ==,则sin aA等于( )A.3D. 337、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若2,6,120?c b B ===,则ABC ∆的面积等于( ) 6B. 1 3 D.228、ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2224ABC b c a S ∆+-=,则角A 的大小为( )A.6π B. 4πC. 34πD. 56π9、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且34acosC csinA =,若ABC ∆的面积10,4,S b ==则a 的值为( )A.233 B. 253C. 263D. 28310在中,,,且的面积为,则的长为( )A.B. C.D.11、若ABC ∆的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==,则cos ?B = ( )15B.34D.111612、在ABC ∆中, 30A ∠=︒,BC =D 是AB 边上的一点, CD =CBD ∆的面积为1,则AC 边的长为__________13、在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知ABC ∆的面积为2b c -=,1cos 4A =-,则a 的值为__________14、若ABC ∆2,60BC C ==︒,则边AB 的长度等于__________.15、锐角ABC ∆的面积为4,3,BC CA ==则AB =__________16、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且3,2,b c ABC ==∆,则sinA =__________答案以及解析1答案及解析： 答案：B 解析：2答案及解析： 答案：D 解析：3答案及解析： 答案：A 解析：如图,由已知条件可得60DAC DAB ∠=∠=, ∵2,4AC AB ==,ACD ABD ABC S S S ∆∆∆+=,∴1112424222222AD AD ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯,解得43AD =,故选A.4答案及解析： 答案：A 解析：由题目条件,知4,2,a c b c =+=+故角A 为ABC ∆中的最大角,即 sin A =解得60?A = (舍去)或120A =︒.由余弦定理,得()()()222241120,222c c c cosA cos c c ++-+=︒==-+解得3c =,所以5,b =所以124ABC S bcsinA ∆==5答案及解析： 答案：B解析：四边形的面积为ABD ∆与BCD ∆两部分的和,连接BD ,由余弦定理知23BD =1sin12032BCD S BC CD ∆=⋅︒=1203090ABD ∠=︒-︒=︒,∴1432ABD S AB BD ∆=⋅=∴.6答案及解析： 答案：A 解析： 由1sin 32ABC S bc A ∆==4c =.由余弦定理得2222 1168 6013,a b c bccos A cos =+-=+-︒=所以a =sin a A ==7答案及解析： 答案：C 解析：sin C=,∴1,2sinC =∴30C =︒或150 (舍去). ∵120,30,B A =︒∴=︒∴1130222ABC S bcsinA sin ∆==︒=8答案及解析： 答案：B 解析：2221sin 42ABCb c a S bc A ∆+-==2222sin b c a bc A ⇒+-=,又根据余弦定理2222cos b c a bc A +-=, ∴2sin 2cos sin cos bc A bc A A A =⇒=,∴4A π=.9答案及解析： 答案：B 解析：由34,acosC csinA =得4sin 3cos a c A C =.又由正弦定理sin cos a cA C=,得4cos 3cos c c C C =33,,45tanC sinC ∴=∴=又110,4,52S bcsinA b csinA ===∴=.根据正弦定理,得5sin 253,sin 53c A a C ===故选B.10答案及解析： 答案： A 解析：∵,∴,∴,∴，∴,故选A.11答案及解析： 答案：D解析：由正弦定理可得3,22b ac a ==, 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,① 将3,22b a c a ==代入①式,解得11cos 16B =.12答案及解析： 答案：2 解析：13答案及解析： 答案：8解析：由1cos 4A =-得115sin 1164A =-=,由1sin 3152bc A =得24bc =,又因为2b c -=,解得6b =,4c =,由余弦定理得222146246644a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以8a =.14答案及解析： 答案：2解析：在ABC ∆中, 11sin 2sin 6022S BC AC C AC AC =⋅⋅=⨯⨯⨯︒==所以2AC =.顶角为60的等腰三角形为等边三角形,所以2AB =.15答案及解析：解析：由三角形面积公式得134? 2sin C sinC ⨯⨯==又∵ABC ∆为锐角三角形,∴60C =︒根据余弦定理2116924313,2AB AB =+-⨯⨯⨯==16答案及解析： 答案：23解析：。

正弦定理和余弦定理要点梳理1．正弦定理其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r.3．余弦定理：222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－.余弦定理可以变形为：cos A ＝222b c a2bc+-，cos B ＝222a c b 2ac +-，cos C ＝222a b c 2ab+-.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角． 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ 1 .2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.3．在△AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C )A ．2 2B ．8 2 C. 2 D.222sin sin sin a b cR A B C===题型分类 深度剖析题型一 利用正弦定理求解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断． 解: 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32.∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin C sin B ＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．变式训练1 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则A ＝6π解析 ∵A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3. 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12.题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝b2a c-+.（1）求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2A2cos+cos A=02. (1)求角A 的值； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2A 2cos+cos A=02，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12. ∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bcsin A ＝ 3.题型三 正、余弦定理的综合应用例3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边22sin )()sin ,A C a b B -=-已知△ABC 外接圆半径为（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 面积的最大值.解: （1）∵△ABC 22sin )()sin ,A C a b B -=-且22))(,A C a b B -=-即∴由正弦定理得：22(),a c a b b -=-即222,a b c ab +-=由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-=2ab ab =12=，(0,)C π∈Q ，.3C π∴=（2）max 2S =+探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．变式训练3在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ， 即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．思想方法 感悟提高方法与技巧1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．2．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明．4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．过关精练一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 2．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°3．在ABC ∆中，ABC S bc ABC ∆∆,35,20==的外接圆半径为3，则=a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．234．在ABC ∆中，已知,45,1,2ο===B c b 则a 等于（ ）A ．226- B ．226+ C1 D ．23-5．在ABC ∆中2,3,3,AB AC BA AC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则A ∠等于（ ）A ．120°B ．60°C ．30°D ．150° 6．在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ， 则这个三角形的最大角为（ ）A ．ο30 B ．ο90 C ．ο120 D ．ο60 7．在△ABC 中,已知三边之比4:3:2::=cb a ，则=-CB A 2sin sin 2sin （ ）A ．1B ．2C ．2-D ．21 8．ABC ∆中，边c b a ,,的对角分别为A 、B 、C ，且A=2B ，32a b =，cos B =（ ）A ．21B ．31C ．32D ．43二、填空题9．在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是 三角形10．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________. 11．在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A 、B 、C ，且B C A C A 222sin sin sin sin sin =⋅-+。

人教新课标A版高中数学必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理同步测试（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=3，b=2，，则c=（）A . 4B .C . 3D .2. （2分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A . （0，]B . （0，]C . [，π）D . [，π）3. （2分）在中，如果有，则的形状是（）A . 等腰三角形或直角三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形4. （2分） (2019高三上·安徽月考) 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km，5 km，灯塔A在观察站C的北偏东方向上，灯塔B在观察站C的南偏东方向上，则灯塔A与B的距离为（）A . 6 kmB .C . 7 kmD .5. （2分） (2018高二上·莆田月考) 在中，若，，，则（）A .B .C .D .6. （2分）在△ABC中，已知a=8，B=， C=，则b等于（）A .B .C .D .7. （2分）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则∠C=（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·通辽月考) 在△ABC中，已知b＝20，c＝，C＝60°，则此三角形的解的情况是（）A . 有一解B . 有两解C . 无解D . 有解但解的个数不确定9. （2分） (2017高一下·彭州期中) △ABC的三个内角A，B，C对应的边分别a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°10. （2分）在△ABC中，其中有两解的是（）A . a=8,b=16,A=30°B . a=30,b=25,A=150°C . a=72,b=50,A=135°D . a=30,b=40,A=60°11. （2分）如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高三上·辽宁期中) 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，· ＝1，则BC＝（）．A .B .C . 2D .13. （2分）在直角中,,P为AB边上的点,若,则的取值范围是（）A .B .C .D .14. （2分）如图，在倾斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的倾斜度为15°，向山顶前进100 m后，又从点B测得倾斜度为45°，假设建筑物高，设山坡对于地平面的倾斜度为，则（）.A .B .C .D .15. （2分） (2017高二上·中山月考) 在中，角，，的对边分别为，，，且，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2016高一下·江阴期中) 在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的长度为________．17. （1分） (2016高二上·宜春期中) 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点，C使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东15°方向走10米到位置，测得∠BDC=45°，若AB⊥平面BCD，则塔AB的高是________米．18. （1分） (2018高一下·四川期中) 在中，，是上一点，，且，则 ________．19. （1分）(2017·太原模拟) 在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB=∠DBE=∠DEB，则DC=________．20. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：⑴（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab⑵sinA=2cosBsinC⑶b=acosC，c=acosB⑷有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分）(2017·奉贤模拟) 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90° ，求CB；（结果用α，β，b表示）22. （5分）(2020·海南模拟) 在平面直角坐标系中，点 .（1）若，求实数的值；（2）若，求的面积.23. （5分）(2018·商丘模拟) 在中，内角所对的边分别为，若，且 .（1）求证：成等比数列；（2）若的面积是2，求边的长.24. （5分） (2016高二上·郑州期中) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积S．25. （5分） (2016高三上·苏州期中) 已知函数f（x）=2sin（x+ ）•cosx．（1）若0≤x≤ ，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）= ，b=2，c=3，求cos （A﹣B）的值．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分) 21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、第11 页共11 页。

正弦定理、余弦定理单元专项检测一、选择题：（每小题5分，共40分）(A) (B) (C) (D)1．在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15°2．在△ABC 中，若a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°3．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( )(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150°5．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定6．在平行四边形ABCD 中，AC= 3 BD, 那么锐角A 的最大值为 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°7. 在△ABC 中，若cos 2aA =cos 2bB =cos 2cC ，则△ABC 的形状是 ( )(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定二、填空题（每小题5分，共20分）9．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .11.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。

人教新课标A版高中数学必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理同步测试D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2018高二上·新乡月考) △ABC中，若，则△ABC的形状为（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等边三角形D . 锐角三角形2. （2分）在⊙O中,弦,圆周角则⊙O的直径等于（）A .B .C .D .3. （2分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A .B .C .D . 24. （2分）在中，边a,b,c所对的角分别为A,B,C，a=7,b=3,c=5，则A=（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一下·山西月考) 在中，、、分别为、、所对的边，，则（）A .B .C .D . .6. （2分） (2017高一下·芜湖期末) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a= ，b= ，∠A= ，则∠B=（）A .B . 或C . 或D .7. （2分） (2019高一下·吉林月考) 若锐角的面积为，且，，则（）A . 6B . 7C . 8D . 98. （2分） (2017高一下·邢台期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA= ，B= ，b=1，则a等于（）A .B . 1C .D . 29. （2分）给出下列四个命题：（1）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB，则;（2）设是两个非零向量且，则存在实数λ，使得；（3）方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；（4）且a3-3b>b3-3a,则a>b；其中正确的个数有A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个10. （2分）在中，若，则是（）A . 有一内角为30°的直角三角形B . 等腰直角三角形C . 有一内角为30°的等腰三角形D . 等边三角形11. （2分）在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是（）A . 等边三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 锐角三角形12. （2分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）A . 2B .C .D .13. （2分） (2019高二上·四川期中) 设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则（）A .B .C .D .14. （2分）蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地和，测得红军的两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）A .B .C .D .15. （2分）设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个公共点，则的值等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知一个三角形的三边长分别为3,5,7，则该三角形的最大内角为________17. （1分） (2016高三上·沈阳期中) 如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD上的两点，已知∠CAD=θ，∠CED=2θ，∠CFD=4θ，AE=600，EF=200 ，则CD=________．18. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：①（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab②sinA=2cosBsinC③b=acosC，c=acosB④有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题________．19. （1分）(2017·太原模拟) 在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB=∠DBE=∠DEB，则DC=________．20. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：⑴（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab⑵sinA=2cosBsinC⑶b=a cosC，c=acosB⑷有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分） (2017高二上·张掖期末) 如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40m的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，求AB的距离．22. （5分）(2018·淮南模拟) 在锐角中， .（1）求角；（2）若，求的面积.23. （5分） (2016高一下·内江期末) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3 ，b﹣c=2，cosA=﹣．（1）求a和sinC的值；（2）求cos（2A+ ）的值．24. （5分）(2016高三上·浙江期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A．（1）求角A的大小；（2）若，求b+c的最大值．25. （5分） (2018高二下·邯郸期末) 如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分) 21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、第11 页共11 页。