第8讲欧氏空间、正交基

(α , β ) = 0 ,
即 arc cos (α , β ) =0 || α || || β ||
则称向量 α 与 β 相互正交 , 记为 α ⊥ β 。
两个向量正交的充要条件
设 α 和 β 为欧氏空间 E n 中的两个非零向量 , 则
α ⊥ β ⇐⇒ <α , β > =
π
2
。
规定零向量与任何向量正交。 规定零向量与任何向量正交。
(α , β ) = 1× 3 + 2 ×1 + 2 × 5 + 3 × 1 = 18 ,
故 (α , β ) 18 < α , β > = arccos = arccos || α || || β || 3 2×6
= arccos
2 π = 。 2 4
两个向量正交的定义
设 α 和 β 为欧氏空间 E n 中的两个非零向量 , 若
向量 α 的长度 || α || 具有以下性质 :
1. 正定性 : || α || ≥ 0 , 当且仅当α = 0 时 , || α || = 0 ;
2. 齐次性 : ||kα || = | k | || α || ;
3. 三角不等式 : || α + β || ≤ || α || + || β || 。
( i = 1, 2, L, k ) 。
这与 λ 1 , λ2 ,L, λk 不全为零矛盾。该矛盾说明了:
欧氏空间中的正交向量 组是线性无关的。 显然 , 正交向量组所含向量的个数不大于所在空间 V 的维数。
欧氏空间中的标准正交向量组 设 α1 , α 2 , L , α m 是欧氏空间 E n 中的一组正交向量组 ,
与 (α , β ) 2 = (α , α )( β , β ) 比较 , 立即可知 :
α = kβ
当且仅当α 与 β 线性相关时 , 柯西不等式中等号成立。
二. 向量的正交性
欧氏空间中向量间的夹 角
欧氏空间 E n 中, 两个非零向量 α 与 β 间的夹角
(α , β ) <α , β > = arccos , < α , β >∈ [0, π ] 。 || α || || β ||
(α , k1 β1 + k 2 β 2 ) = k1 (α , β1 ) + k 2 (α , β 2 ) ;
3. 正定性 : (α , α ) ≥ 0 , 当且仅当α = 0 时等号成立。
例
若 α = (2, 0, 3, 5, 2) , β = (−1, 8, 2, − 2, 0 ) , 则 (α , β ) = 2 × (−1) + 0 × 8 + 3 × 2 + 5 × (−2) + 2 × 0 = − 6。 ( β ,α ) = (−1) × 2 + 8 × 0 + 2 × 3 + (−2) × 5 + 0 × 2 = − 6。
关于λ 的二次三项式
b2 − 4a c ? 0
由二次三项式的知识可得
(α , β ) 2 < (α ,α )( β , β ) 。
即 α 与 β 线性无关时 , 柯西不等式成立。
2. 证明等号成立
因为 ∀ k ∈ R , 有
( kβ , β ) 2 = (kβ , β )(kβ , β )
= k 2 ( β , β )( β , β ) = (kβ , kβ )( β , β ) ,
第四节 欧几里得空间
一. 欧几里得空间 二. 向量的正交性
三. 向量空间 R n 的正交基
四. 正交化方法
一. 欧几里得空间 向量的内积 ∀ α = ( x1 , x2 ,L, xn ) 和 β = ( y1 , y2 , L, yn ) ∈ R n , 称
∑x y
i =1 i
n
i
= x1 y1 + x2 y2 + L + xn yn
为向量 α 和 β 的内积 , 记为 (α , β ) 或 α ⋅ β 。 一般泛指内积时 , 记为 ( ⋅ , ⋅ ) 。
内积的运算性质
1. 对称性 : (α , β ) = ( β , α ) ; 2. 双线性性 : (k1α1 + k 2α 2 , β ) = k1 (α1 , β ) + k 2 (α 2 , β ) ,
∆
例
设 α = ( 1, 2, 2, 3) , β = (3, 1, 5, 1 ) , 求 < α , β > 。
因为
解
|| α || = (α , α ) =
12 + 2 2 + 2 2 + 32 = 3 2 ,
|| β || = ( β , β ) = 32 + 12 + 52 + 12 = 6 ,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（3） ）
——线性代数 线性代数 第八讲 欧氏空间
脚本编写：彭亚新
教案制作：彭亚新
第三章 向量空间 第四节 本节教学要求： ▲ 了解向量的内积和向量正交的概念。 ▲ 知道欧氏空间的概念。 ▲ 了解向量空间的正交基的概念。 ▲ 能熟练地将向量空 间的一般基转换为相应的正交基。 欧氏空间
勾股定理
|| α + β || 2 = || α || 2 + || β || 2 。
α
在R 中, L 。 L
n
例
欧氏空间 E n 中两两相互正交的一组非零向量
α1 , α 2 , L , α k
称为 V 的一个正交向量组。 证明 : 欧氏空间中的正交向量 组是线性无关的。
证
如果正交向量组 α1 , α 2 , L, α k 是线性相关的 , 则有
(α , β ) 2 ≤ (α , α )( β , β ) , ∀α , β ∈ V ,
其中 , 等号当且仅当α 与 β 线性相关时成立。
证
1. 若 α 与 β 线性无关 , 则对任意实数 λ , λα + β ≠ 0 ,
且 (λα + β , λα + β ) = || λα + β || 2 > 0 , 故有
例
设 α , β 是欧氏空间 E n 中的两个向量 , 且 α ⊥ β , 证明: || α + β || 2 = || α || 2 + || β || 2 。
证
因为 ∀ξ ∈ V , 有 (ξ , ξ ) = || ξ || 2 , 故 || α + β || 2 = (α + β , α + β )
若 n 阶方阵 A 满足
AT A = E ,
| E | = 1,
故 | A | = ± 1。
则称 A 为正交矩阵。
正交矩阵必满秩。
由正交矩阵的定义可知下列条件等价 :
1. A 为正交矩阵 ;
2. AAT = E ; 3. AT = A−1 ; 4. A−1 也是正交矩阵。
例
证明: 若 n 阶方阵 A 和 B 均为正交矩阵 ,
则 || β − α ||= (b1 − a1 ) 2 + (b2 − a2 ) 2 + L + (bn − an ) 2 。
欧氏空间 E n 中向量间的距离
设 α , β ∈ E n , 称非负数
d (α , β ) = || β − α ||
为 E n 中向量 α 与 β 的距离。
∆
例
证明：在欧氏空间 E n 中柯西不等式成立
(α , α ) = 2 × 2 + 0 × 0 + 3 × 3 + 5 × 5 + 2 × 2 > 0 (正定性) 。
双线性性请自己举例验证。
欧几里得空间
定义了内积 ( ⋅ , ⋅ ) 的向量空间 R n , 称为
n 维欧几里得空间, 简称为欧氏空间, 记为 E n。
在欧氏空间中, 向量与点被视为等同的。
(λα + β , λα + β ) = (λα + β )(λα ) + (λα + β ) β
= λ2 (α , α ) + λ ( β , α ) + λ (α , β ) + ( β , β ) a c b = λ2 (α ,α ) + 2λ (α , β ) + ( β , β ) > 0 。
行
A 为正交矩阵 ⇐⇒ (α i , α j ) =
0, 1,
i≠ j, i= j,
i , j = 1, 2, L, n 。
记
a11 a12 a21 a22 A= L L an1 an 2
L L L L
a1n a2 n = [ β1 β 2 L β n ] , 则 L ann
λ 1α1 + λ2α 2 + L + λkα k = 0 ,
其中 , 常数 λ 1 , λ2 , L , λk 不全为零。
任取向量 α i ( i = 1, 2,L , k ) , 作内积如下
(α i , λ 1α1 + λ2α 2 + L + λkα k ) = (α i , 0) 。
(α i , λ 1α1 + λ2α 2 + L + λkα k ) = (α i , 0)
如果正交基 β1 , β 2 , L , β n 中的每个向量均为单位
向量 , 则称该正交基为标准正交基 (或称为规范基 ) 。
基
最大无关组
由向量构成的矩阵的秩
我们将引进正交矩阵来描述标准正交基的问题。
正交矩阵
重要啊！ 重要啊！