高等代数课件北大三版第八章欧氏空间.ppt
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第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.5
等价. 然后对 D1 ( ) 重复上述讨论.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1 的方幂是按逆升幂次排列为止.
再依次对 2 , , r 作同样处理. 最后便得到与 D ( ) 等价的对角阵 D ( ).
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
三、初等因子的求法
1、(引理1)若多项式 f 1 ( ), f 2 ( ) 都与 g 1 ( ), g 2 ( ) 互素，则
f 1 ( ) g 1 ( ),
2
2, 1, 1
得A的不变因子为：
d 3 ( x ) ( 1) ( 2),
2
d 2 ( x ) d 1 ( x ) 1.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 相同的不变因子.
d 1 ( x ) ( 1 ) d 2 ( x ) ( 1 )
k 11
( 2 )
k 12
( r )
k1 r
, , .
k 21
( 2 )
k 22
( r )
k2 r
d n ( x ) ( 1 )
kn1
( 2 )
f ( ) | f 2 ( ) g 2 ( ),
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
存在一个角ψ使
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
高等代数课件 第八章
由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
高等代数教案第 章欧氏空间
（线性双射），其次，它保持向量的内积不变. 因而欧氏空间的同构映射保持向量的长度不变，保持
第 4 页 共 21 页
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
第 2 页 共 21 页
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
第 4 页 共 21 页
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
高等代数 第八章 空间问题.ppt
( gz
q),
(f)
yz zx xy 0
由（d） w (1 )(1 2 ) g (z q )2 B
(g)
2E(1 )
g
为了确定常数B，必须利用位移边界条件。假定半空间体
在距边界为h处没有位移，则由位移边界条件
(w)zh 0 代入
B (1 )(1 2 ) g (h q )2
2E(1 )
g
(h)
w (1 )(1 2 ) [q(h z) g (h2 z2 )]
E(1 )
2
例题 半空间体受重力及均布压力
应力分量和位移分量都已经完全确定，并且所有一切条 件都满足。从而得到的结果是正确解答。
分力
dF 1 d dy
ba
例题
代入半空间体的沉陷公式，对ξ 和y进行积分。
= 2 y2 1/ 2
设k点在矩形之外，则沉陷为：
1 2 xa/ 2 b/ 2
ki
E xa/2 b/2
1 d dy 2 y2
ki
1 2 Ea
考虑其平衡条件
Fz 0, z zz 2 rdr+F=0。
(c)
0
由于轴对称，其余平衡条件自动满足。
例题
半空间体在边界上受法向集中力
布希内斯克解答如下：
ur
1 F
2 ER
rz R2
1
R
2 r
z
uz
1 F
2 ER
2 1
z 轴对称问题
y
z
球对称问题
§8-1 概 述
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.2
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c；
③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的( )倍， ( )是一个多项式.
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的
矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1
O
P(i, j)
1
0L 1
i行
M 1L 0
j行
1
O 1
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
1
O
1
LL
LL
L L
L L
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
r() L L
[1,i ]
L a11 L
L
(
L
)
L L L
L L L
B( ).
B( ) 的左上角元素 r( )符合引理的要求，
故 B( ) 为所求的矩阵.
ii) 在A( )的第一行中有一个元素 a1i ( )不能被a11( )
对 A( ) 作下述初等行变换:
a11( ) L
A(
)
L
ai1(
L
)
L L
L
a1 j ( ) L
L L
aij ( )
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c；
③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的( )倍， ( )是一个多项式.
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的
矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1
O
P(i, j)
1
0L 1
i行
M 1L 0
j行
1
O 1
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
1
O
1
LL
LL
L L
L L
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
r() L L
[1,i ]
L a11 L
L
(
L
)
L L L
L L L
B( ).
B( ) 的左上角元素 r( )符合引理的要求，
故 B( ) 为所求的矩阵.
ii) 在A( )的第一行中有一个元素 a1i ( )不能被a11( )
对 A( ) 作下述初等行变换:
a11( ) L
A(
)
L
ai1(
L
)
L L
L
a1 j ( ) L
L L
aij ( )
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数欧氏空间的定义与基本性质
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
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8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角
8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的： 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的
长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与
b2
f (x)g(x)dx
(x)dx (x)dx.
a
a
a
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
惠州学院数学系
例8 设 , 为欧氏空间V 中任意两个
非零向量.证明:
(1) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为0; (2) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为π;
定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于
V中任意一对向量 , 有一个确定的记作 ,
的实数与它们对应，并且下列条件被满足：
1) , , 2) , , , 3) a , a ,
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
第八章 欧氏空间
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵
课外学习9：实现正交化过程的新方法
在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。 ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)
惠州学院数学系
8.1 向量的内积
一、内容分布
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
惠州学院数学系
例1 在 Rn 里,对于任意两个向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 Rn 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.
我们规定
b
f , g a f (x)g(x)dx.
根据定积分的基本性质可知,内积的公理
1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.
例4 令H是一切平方和收敛的实数列
(x1, x2,..., xn ), xn2 n 1
所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标
量与向量的乘法:
η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间．
3．掌握 , 2 , , 及其它不等式，并会用它来证明另
一些不等式
三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;
, 2 , , 的灵活运用.
2.不等式
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8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
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8.1.3 向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与 1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r 的任意一个线性组合也正交.
惠州学院数学系
思考题1：设 , 是 n 维欧氏空间V 中
两个不同的向量,且 | || | 1,
(a1b1 anbn )2 (a1 an )2 (b1 bn )2 (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
惠州学院数学系
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
f (x), g(x), 有不等式
f g b
b2
例2 在 Rn 里,对于任意向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
不难验证, Rn 也作成一个欧氏空间.
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例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数
所成的向量空间, f (xa1, a2 ), (b1,b2 ) 为向量空间
中任意两向量,证明: R 2 对
, ma1b1 na2b2
作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0.
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8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角
定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数
, 的算术根 ,
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设 (x1, x2,...), ( y1, y2,), a R.
规定 (x1 y1, x2 y2 ,...); a (ax1, ax2 ,...)
向量 (x1, x2,...), ( y1, y2,) 的内积由公式
, xn yn n1
给出，那么H是一个欧氏空间.
叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号
表示： ,
定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量
,. 有不等式
, 2 , ,
(6)
当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.
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定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义：
cos ,
例5 令 R n 是例1 中的欧氏空间.R n中向量 (x1, x2 ,..., xn ) 的长度是
, x12 x22 ... xn2
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和
任意实数a,有
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a a, a a2 , a
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.
例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等Rn 式(6)推出,对于任意实数 a1, a2 ,an , b1, b2 ,, bn 有不等式
证明: , 1.
思考题2：在欧氏空间 R n 中,设
i (ai1, ai2 ,, ain )(i 1,2,, n)
两两正交,且 i 的长度
| i | i, A (aij )nn
求 A 的行列式 | A | 的值.
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8.2 正交基
一、内容分布
8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念
8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角
8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的： 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的
长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与
b2
f (x)g(x)dx
(x)dx (x)dx.
a
a
a
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
惠州学院数学系
例8 设 , 为欧氏空间V 中任意两个
非零向量.证明:
(1) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为0; (2) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为π;
定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于
V中任意一对向量 , 有一个确定的记作 ,
的实数与它们对应，并且下列条件被满足：
1) , , 2) , , , 3) a , a ,
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
第八章 欧氏空间
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵
课外学习9：实现正交化过程的新方法
在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。 ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)
惠州学院数学系
8.1 向量的内积
一、内容分布
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
惠州学院数学系
例1 在 Rn 里,对于任意两个向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 Rn 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.
我们规定
b
f , g a f (x)g(x)dx.
根据定积分的基本性质可知,内积的公理
1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.
例4 令H是一切平方和收敛的实数列
(x1, x2,..., xn ), xn2 n 1
所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标
量与向量的乘法:
η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间．
3．掌握 , 2 , , 及其它不等式，并会用它来证明另
一些不等式
三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;
, 2 , , 的灵活运用.
2.不等式
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8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
惠州学院数学系
8.1.3 向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与 1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r 的任意一个线性组合也正交.
惠州学院数学系
思考题1：设 , 是 n 维欧氏空间V 中
两个不同的向量,且 | || | 1,
(a1b1 anbn )2 (a1 an )2 (b1 bn )2 (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
惠州学院数学系
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
f (x), g(x), 有不等式
f g b
b2
例2 在 Rn 里,对于任意向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
不难验证, Rn 也作成一个欧氏空间.
惠州学院数学系
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数
所成的向量空间, f (xa1, a2 ), (b1,b2 ) 为向量空间
中任意两向量,证明: R 2 对
, ma1b1 na2b2
作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0.
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8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角
定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数
, 的算术根 ,
惠州学院数学系
设 (x1, x2,...), ( y1, y2,), a R.
规定 (x1 y1, x2 y2 ,...); a (ax1, ax2 ,...)
向量 (x1, x2,...), ( y1, y2,) 的内积由公式
, xn yn n1
给出，那么H是一个欧氏空间.
叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号
表示： ,
定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量
,. 有不等式
, 2 , ,
(6)
当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.
惠州学院数学系
定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义：
cos ,
例5 令 R n 是例1 中的欧氏空间.R n中向量 (x1, x2 ,..., xn ) 的长度是
, x12 x22 ... xn2
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和
任意实数a,有
惠州学院数学系
a a, a a2 , a
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.
例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等Rn 式(6)推出,对于任意实数 a1, a2 ,an , b1, b2 ,, bn 有不等式
证明: , 1.
思考题2：在欧氏空间 R n 中,设
i (ai1, ai2 ,, ain )(i 1,2,, n)
两两正交,且 i 的长度
| i | i, A (aij )nn
求 A 的行列式 | A | 的值.
惠州学院数学系
8.2 正交基
一、内容分布
8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念