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由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
例1 在 Rn 里,对于任意两个向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
证 取 1 1, 那么 2 是 1 的线性组合，且
1 0. 其次取
2 2
2 , 1 1, 1
1
那么 2 是 1,2 的线性组合，并且因为1, 2
线性无关，所以2 0.
又由
2 , 1
2 , 1
2 , 1 1, 1
所以 2与1 正交。
1, 1 0
假设1＜k≤m，而满足定理要求的 1, 2 ,, k1
1 ,0, 2
1 2
第三步，取
3 3
3,1 1,1
1
3, 2 2, 2
2
3 3,1 1 3, 2
(2,0,3)
5 3
1, 3
1, 3
1 3
1 2
1, 2
1, 2
1 2
5 , 5 , 5 6 3 6
再令
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|
3 3
|
1, 6
2, 6
1 6
于是 1, 2 , 3 就是 R3 的一个规范正交基。
,. 有不等式
, 2 , ,
(6)
当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.
定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义：
cos ,
例5 令 Rn 是例1中的欧氏空间. Rn 中向量
(x1, x2 ,..., xn ) 的长度是
, x12 x22 ... xn2
3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念 及基本性质，并会求某些子空间的正交补．
4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系． 5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论． 三、重点难点：
正交向量组、n 维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空间的正交补
的概念及基本性质;施密特正交化方法
基。先取 1 1.借助几何直观，为了求出 2,
我们考虑线性组合 2 a1, 从这里决定实数a， 使 2 a1与1 正交，由
0 2 a1, 1 2 , 1 a 1, 1
及 1 0 得
a 2 , 1 1, 1
取
2 2
2 , 1 1, 1
1
那么 2, 1 0, 又因为 1, 2
线性无关，所以对于任意实数 a
1 (1,1,1),2 (0,1,2),3 (2,0,3)
施行正交化方法得出 R3 的一个标准正交基.
解:
第一步，取
1
1 | 1
|
1, 3
1, 3
1 3
第二步，先取
2 2
2,1 1,1
1 2 2,1 1
(0,1,2)
3
1, 3
1, 3
1 3
(1,0,1)
然后令
2
|
2 2
|
练习1 设 1 (1,0,2,0), 2 (0,2,0,3),3 (2,6,4,9),
试把 L(1,2 ,3 )的基扩充成 R 4的一个基,并将它规
x1, x2 ,, xn 是ξ关于 {1, 2 ,, n} 的坐标。
由于{1,2 ,,n}是规范正交基，我们有
n
,i x j j ,i xi j 1
（3）
这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的第i个坐标
等于ξ与第i个基向量的内积；
其次，令 y11 y22 ynn
那么 , x1 y1 x2 y2 xn yn （4）
1 2 3 1, 1,2 2 ,3 3 ,1 0.
例2 考虑定义在闭区间 [0,2 ]上一切连续函数
所作成的欧氏空间C[0,2（] 参看8.1例3），函数组
(1) 1，cosx, sinx, … ,cosnx ,sinnx,…
构成C[0,2 ] 的一个正交组。
2
事实上，我们有： 0 1dx 2 ,
第八章 欧氏空间
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵
一、内容分布
8.1 向量的内积
8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角
8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的
1．理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的 长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向 量ξ与η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间． 3．掌握 , 2 , , 及其它不等式，并会用它来证明另外一 些不等式
, ma1b1 na2b2
作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0.
二、向量的长度、两非零向量的夹角
定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数
, 的算术根 , 叫做ξ的长度，向量ξ的
的长度，向量ξ的长度用符号 表示：
,
定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量
1, cos nx 1,sin nx 0,
cos mx, cos nx sin mx,sin nx
cos mx,sin nx
0,若m n,
把(1)中每一向量除以它长度，我们就得C[0,2π]
的一个标准正交组:
1 , 1 cos x, 1 sin x,..., 1 cos nx, 1 sin nx,...
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ和任意实
数a,有
a a, a a2 , a
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度等于a
的绝对值与ξ的长度的乘积.
例6 考虑例1的欧式空间Rn，由不等式(6)推出：
对于任意实数 a1, a2 ,an , b1, b2 ,, bn，有不等式 (a1b1 anbn )2 (a1 an )2 (b1 bn )2 (7)
2
, 若m n,
0 cos mxcos nxdx 0, 若m n,
2
0
sin
mx
sin
nxdx
,
0,
若m 若m
n, n,
2
2
2
0 cos mx sin nxdx 0 cos nxdx 0 sin nxdx 0
所以 1,1 2 , cos nx, cos nx sin nx,sin nx ,
(x1 y1, x2 y2 ,...); a (ax1, ax2 ,...)
向量 (x1, x2,...), ( y1, y2,) 的内积由公式
, xn yn n1
给出，那么H是一个欧氏空间.
练习1 (a1, a2 ), (b1,b2 )为向量空间
中任意两向量,证明: R2 对
易证,关于内积的公理被满足,因而 Rn
对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.
例2 在 Rn里,对于任意向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
不难验证, Rn 也作成一个欧氏空间.
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 所成的向量空间, f (x), g(x) C[a,b]，我们规定
如果V 的一个正交基还是一个规范正交组，那
么就称这个基是一个规范正交基。
例2 欧氏空间 Rn 的基是
(i)
i (0,,0, 1,0,,0), i =1,2,…,n,
是 Rn 的一个规范正交基.
如果{1, 2 ,, n}是n 维欧氏空间V的一个
规范正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可
以唯一写成 x11 x22 xnn.
都已作出，取
k k
k , 1 1, 1
1
k , k1 k 1 , k 1
