第八章 欧氏空间和酉空间

1. 酉空间定义及性质∙ 欧氏空间是定义了内积的实线性空间, 酉空间实际上就是复数域上的欧氏空间. 其定义如下:设V 是复数域上的线性空间, 在V 上定义了一个二元复函数, 称为内积, 记作(α, β), 它具有以下性质: (1) , 这是表示的共轭复数.(2) (),k αβ=k (),αβ(3) (),αβγ+= (),αβ+(),βγ(4) (),αα是非负实数, 且(),αα=0当且仅当α=0其中α, β,γ是V 中任意的向量, k 为任意复数. 这样的线性空间称为酉空间.∙ 例. 复数域上的n 维行向量空间C n 中, 对向量α=(a 1, a 2,…, a n ), β=(b 1,b 2, …,b n )定义内积则C n 就成为一个酉空间.∙酉空间的结构和性质的讨论与欧氏空间雷同, 先将酉空间的主要性质列于下面, 但要注意与欧氏空间之间的异同之处. (1) 内积对于第二个变量是半线性的, 即(2) 定义向量α的长度为 . 于是 |α|=0 当且仅当α=0(3) 柯西─施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式成立, 即|(α,β)|≤|α| |β|而且, 当且仅当α, β线性相关时等号成立.(4)两个非零向量α, β的夹角为(5)若(α,β)=0,则称α与β正交. 若非零向量组a1, a2,…, a s中向量两两正交,即当i≠j时有(αi,αj)=0, 则称为正交向量组, 它们是线性无关的向量组.(6)酉空间的基ε1, ε2,…, εn若满足(εi, εj)=δij , 1≤i,j≤n则称为标准正交基.在标准正交基下, 向量的坐标有如下形式: 设向量α在标准正交基下的坐标为X=(x1,x2,…,x n)´, 则在标准正交基下, 向量的内积有如下形式: 设向量α和β在标准正交基下的坐标分别为X=(x1,x2,…,x n)´, Y=(y1,y2,…,y n)´, 则(7)设A是n×n复矩阵, 且满足, 则称A为酉矩阵.若A, B都是酉矩阵, 则A-1,AB也是酉矩阵; 又|A|=1.从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵为酉矩阵.(8)对n维酉空间的任一组基a1, a2,…, a n,用施密特正交化方法,可找到标准正交基ε1, ε2,…, εn, 使得L(ε1, ε2,…, εk)=L(a1, a2,…, a k), 1≤k≤n .(9)设W是酉空间V的子空间,则定义W的正交补为W⊥={a∈V |a⊥W}如果V是有限维酉空间, 则。

第八章 欧氏空间（讲授7学时）一、教学目标：1、深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角‘正交及度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系与区别。

2、正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

3、正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。

4、正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补性质。

5、深刻理解和掌握任一个对称矩阵均可正交相似与一个对角阵，并掌握求正交矩阵的方法。

能用正交变换化实二次型为标准形。

二、教学内容：欧几里德空间的定义与性质、标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

三、教学重点：标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

四、教学难点：标准正交基、正交变换、对称矩阵的标准形。

五、教学方法：讲授法六、教学过程(一)、欧式空间的基本概念、标准正交基1、内积：设V 是实数域R 上的线性空间，映射:f V V R ⨯→满足○1对称性：,,f f V αββααβ∀∈()=(),, ○2线性性：,,,,,f k l kf lf V k l R αβγαγβγαβγ+∀∈∀∈()=()+(),,, ○3非负性：,,0f V f αααααα≥∀∈=⇔=()0,且()0 则称f 为V 的内积。

2、欧式空间：定义了内积的线性空间V 称为欧式空间，不同的内积就是不同的欧氏空间。

3、长度与夹角：设V 是欧式空间○1称为α的长度，记作：α，显然00.= ○2夹角：非零向量αβ,，称(,)arccos αβαβ在π[0,]内的夹角为α与β的夹角，记作：,αβ<>.4、标准正交基：○1设V 是欧式空间，若(,)0αβ=，称α与β，记作：αβ⊥。

○2正交向量组：设V 是欧式空间，非零向量组12,,,,n V ααα∈ 满足(,)0i j αα=， (,,1,2,,),i j i j n ≠= 称12,,,n ααα 为正交向量组。

第八章 欧氏空间和酉空间§8.1向量的内积1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立: (1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||41||41,22ηξηξηξ--+=在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量)0,,0,1,0,,0()( i i =ε,n i ,,2,1 =的夹角.3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量)4,5,2,3()2,2,1,1()0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交.4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明,如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β.7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量.行列式><><><><><><><><><=n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要n ααα,,,21 线性相关.8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:><><ααβα,,2和><><βββα,,2都是0≤的整数.证明:βα,的夹角只可能是6543,32,2ππππ或. 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 ,23322211(||nni ia a a a n a++++≤∑= ). §8.2 正交基1．已知)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α)1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基．2．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组．3．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 4．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令},2,1,10,|{1n i x x V K ni i i i =≤≤=∈=∑=γξξK 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?5．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:∑=≤mi i122||,ξα.6．设V 是一个n 维欧氏空间.证明)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ⊆,那么⊥⊥⊆12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W7．证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W的最短距离等于222000||cb a cz by ax ++++．8．证明,实系数线性方程组∑===nj i j ijn i b x a1,,2,1,有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21 β与齐次线性方程组∑===nj j jin i x a1,,2,1,0的解空间正交.9．令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量．令}0,|{>=<∈=αξξαV P ．αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2π≥的非零向量一定线性无关．[提示:设},,,{21r βββ 是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==ri i i c 10β,那么适当编号,可设0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==rs j j j s i i i c c 11ββγ,证明0=γ.由此推出0=i c )1(r i ≤≤.]10．设U 是一个正交矩阵.证明:)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1; )(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么λ1也是U 的一个特征根;)(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.11.设02cos≠θ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001U . 证明,U I +可逆,并且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+--010*******tan ))((1θU I U I12.证明:如果一个上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n a a a a a a a a a a A 000000333223221131211是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1. §8.3正交变换1．证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.2．设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ下不变.3．设V 是一个欧氏空间,αV ∈是一个非零向量.对于V ∈ξ,规定ααααξξξτ><><-=,,2)(.证明,τ是V 的一个正交变换,且ιτ=2,ι是单位变换.线性变换τ叫做由向量α所决定的一个镜面反射.当V 是一个n 维欧氏空间时,证明,存在V 的一个标准正交基,使得τ关于这个基的矩阵有形状:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010000100001 在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义.4．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有,)(),(ηησξσ=证明σ是V 的一个线性变换,因而是一个正交变换.5．设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状1)(23-+-=tx tx x x f这里31≤≤-t .6．设},,,{21n ααα 和},,,{21n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)( ==βασ.)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατ 所生成的子空间与由n ββ,,2 所生成的子空间重合.7．令V 是一个n 维欧氏空间.证明:)(i 对V 中任意两不同单位向量βα,,存在一个镜面反射τ,使得βατ=)(. )(ii V 中每一正交变换σ都可以表成若干个镜面反射的乘积.[提示:为了证明)(ii ,利用)(i 和习题6.]8．证明:每一个n 阶非奇异实矩阵A 都可以唯一地表示成UT A =的形式,这里U 是一个正交矩阵,T 是一个上三角形实矩阵,且主对角线上元素都是正数.[提示:非奇异矩阵A 的列向量n ααα,,,21 作成n 维列空间n R 的一个基.对这个基施行正交化,得出n R 的一个规范正交基},,,{21n γγγ ,以这个规范正交基为列的矩阵U 是一个正交矩阵,写出},,,{21n γγγ 由},,,{21n ααα 的表示式,就可以得出矩阵T.证明唯一性时,注意8.2习题12.] §8.4 对称变换和对称矩阵1．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.2．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001013．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.4．n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V ∈βα,,)(,),(βσβασ-=.证明:)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵))(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么σ一定是斜对称线性变换.)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.5．令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I +可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.6．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:)(i ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ; )(ii ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=114441784817A。

第八章欧氏空间计划课时：22学时 (P335—360)§8.1 欧氏空间的定义及基本性质（4学时）教学目的及要求：理解内积、长度、夹角、正交、距离的定义，掌握柯西一施瓦兹不等式。

通过本节的学习，使学生逐步掌握由特殊的例子抽象出一般概念的方法。

教学重点、难点：内积的定义、柯西一施瓦兹不等式本节内容分为下面四个问题讲授：一．内积及欧氏空间的定义1. 内积及欧氏空间的定义定义1（内积及欧氏空间的定义P336）注意：(1) .通过这个定义让学生逐步学会从具体例子抽象出一般概念的方法。

(2). 让学生体会公理化定义的特点。

(3). 内积的定义是本章的难点之一。

例1 （P336）例2 （P336）例3 （P336）例4 （P336）2. 向量的长度定义2（向量的长度P337）例5 （P336）例6 （P336）例7 （P336）长度的性质： | kα|＝|k||α|.单位向量二. 柯西一施瓦兹不等式定理8.1.1注意：Cauchy不等式与Schwarz不等式这两个看似完全不同的不等式在高等代数课程中达到了高度的统一。

例8 （P338）例9（P338）三. 两向量的夹角、正交、距离定义3（P338-339）定义4 （P339）作业： P356-P357习题八 1（1），2，3，4，5.§8.2 度量矩阵与正交基（4学时）教学目的及要求：理解度量矩阵、规范正交基、正交矩阵的定义及相应的理论，掌握在规范正交基下内积的算法与正交化方法教学重点、难点：正交化方法本节内容分为下面三个问题讲授：一. 度量矩阵(1). 内积的计算(2).度量矩阵定理8.2.1 （P 309）例1 (P 341)二. 规范正交基(1). 规范正交基的定义注意：一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵.(2). 在规范正交基下内积、坐标的算法(3). 规范正交基的求法—正交化过程.定理8.2.3注意：1.Schmidt 正交化方法肯定了)1(≥n n 维欧氏空间的规范正交基的存在性。