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高等代数教案第 章欧氏空间

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第八讲 欧氏空间

第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为

3-4 欧氏空间

3-4 欧氏空间
的内积. 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积 • 向量空间带有内积运算 就称为欧氏空间 向量空间带有内积运算, 就称为欧氏空间 欧氏空间.
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内积的性质 维向量, 为实数, 设 a, b, c 为 n 维向量 k 为实数 则有 (1) [a, b] = [b, a]; (2) [ka, b] = k [a, b]; (3) [a + b, c] = [a, c] + [b, c]; (4) [a, a] ≥ 0, 等号成立的充分必要条件是 a = 0. 2 2 [a, a] = a1 +L+ an 向量的内积 设有 n 维向量 a = (a1, …, an), b = (b1, …, bn), 记
R A
a
e3
O e1
e2
Q
P
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A′
结束 铃
定理2 定理 n 的一个规范正交基, 设 e1,…, er 为 R 的子空间 V 的一个规范正交基 … n 对 R 中任一向量 a, 记 a′ = [a, e1]e1 +L+ [a, er ]er 正交, 中每个向量都正交. 则 a − a′ 与 V 正交 即 a − a′ 与 V 中每个向量都正交 ′ ′ R • 称 a′ 为向量 a 在向量空间 V ′ 上的正交投影向量 正交投影向量. 上的正交投影向量 A • 几何背景
提示: 提示 对于立体向量 a, b [a, b] = || a || ⋅ || b || cosϕ 其中ϕ 为向量 a 与 b 的夹角
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• 非零向量 a 的单位化 或规范化 向量 单位化(或规范化)向量 1 o a = a || a || 同向(即夹角为零 的单位向量. 即夹角为零)的单位向量 表示与 a 同向 即夹角为零 的单位向量 同时正交的单位向量. 例1 求与 a = (1,1,1), b = (1,−2,1)同时正交的单位向量 − 同时正交的单位向量 同时正交, 解 设非零向量 x = (x1, x2, x3) 与 a, b 同时正交 则有

9.1 欧氏空间定义及性质

9.1 欧氏空间定义及性质

定义 4 称向量 , ( V) 正交，记成 (, ) 0 .
由定义 3 可知， (, ) cos ，故非零向量, 具有如
下结论： , 互相垂直 夹角 为 90 度 cos 0 .
这里正交的定义与解析几何中正交定义是一致的.
(α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) .
6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ)
(α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α)
= (α,β) + (α,γ) .
7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的α∈V )
3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) 4) (α,α)≥0 ，并且α = 0 当且仅当 (αα) = 0 这时，称V是欧几里德空间.
公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称 为恒正性. 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功） 的基本属性.
在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概 念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的， 故称为欧氏空间.
r
r
(a11, b11) (a22, b11) (arr , b11) (aii, b11) aib1(i, 1)
i1
i1
r
r
(a11, b22 ) (a22, b22 ) (arr , b22 ) (aii , b22 ) aib2 (i , 2 )
x1 = x2 = ···= xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x12 + ···+ xn2 = 0.

高等代数课件 第八章

高等代数课件 第八章
由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.

欧氏空间（Eulerspace）

欧氏空间（Eulerspace）

欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。

欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

欧式空间

欧式空间

欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。

欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

欧氏空间


惠州学院数学系
事实上，我们有

2
0
1dx 2 ,
0
2
, 若m n, cos mx cos nxdx 0, 若m n,
, 若m n, sin mx sin nxdx 0, 若m n,
0
2
惠州学院数学系

2
0
cos mx sin nxdx cos nxdx sin nxdx 0
f ( x), g ( x),
b
有不等式
b 2
a f ( x) g ( x)dx a f
( x)dx
g a
b
2
( x)dx .
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
惠州学院数学系
| i | i, A (aij ) nn
求 A 的行列式 | A | 的值.
惠州学院数学系
i
的长度
8.2 正交基
一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
n
a1 , a 2 , a n , b1 , b2 , , bn 有不等式
(a1b1 a n bn ) 2 (a1 a n ) 2 (b1 bn ) 2
(7)
(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
惠州学院数学系
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数

高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质

称为n维向量x与y的夹角 .
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .

第八章欧氏空间欧氏空间的定义及基本性质.doc

第八章欧氏空间计划课时：22学时 (P335—360)§8.1 欧氏空间的定义及基本性质（4学时）教学目的及要求：理解内积、长度、夹角、正交、距离的定义，掌握柯西一施瓦兹不等式。

通过本节的学习，使学生逐步掌握由特殊的例子抽象出一般概念的方法。

教学重点、难点：内积的定义、柯西一施瓦兹不等式本节内容分为下面四个问题讲授：一．内积及欧氏空间的定义1. 内积及欧氏空间的定义定义1（内积及欧氏空间的定义P336）注意：(1) .通过这个定义让学生逐步学会从具体例子抽象出一般概念的方法。

(2). 让学生体会公理化定义的特点。

(3). 内积的定义是本章的难点之一。

例1 （P336）例2 （P336）例3 （P336）例4 （P336）2. 向量的长度定义2（向量的长度P337）例5 （P336）例6 （P336）例7 （P336）长度的性质： | kα|＝|k||α|.单位向量二. 柯西一施瓦兹不等式定理8.1.1注意：Cauchy不等式与Schwarz不等式这两个看似完全不同的不等式在高等代数课程中达到了高度的统一。

例8 （P338）例9（P338）三. 两向量的夹角、正交、距离定义3（P338-339）定义4 （P339）作业：P356-P357习题八1（1），2，3，4，5.§8.2 度量矩阵与正交基（4学时）教学目的及要求：理解度量矩阵、规范正交基、正交矩阵的定义及相应的理论，掌握在规范正交基下内积的算法与正交化方法教学重点、难点：正交化方法本节内容分为下面三个问题讲授：一. 度量矩阵(1). 内积的计算(2).度量矩阵定理8.2.1 （P 309）例1 (P 341)二. 规范正交基(1). 规范正交基的定义注意：一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵.(2). 在规范正交基下内积、坐标的算法(3). 规范正交基的求法—正交化过程.定理8.2.3注意：1.Schmidt 正交化方法肯定了)1(≥n n 维欧氏空间的规范正交基的存在性。

高等代数教案(北大版)第九章 欧式空间

第九章
Euclid 空间
Euclid 空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性 运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的 长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立 Euclid 空间的一个基本目的，其中内积 的概念起了关键作用， 它使得 Euclid 空间具有更丰富的几何内容。 Euclid 空间的理论在解析 几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。 教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引 入度量，建立 Eulicd 空间。通过本章的学习，让学生了解并领会 Eulicd 空间的定义及基本 性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握 标准正交基的求法、 无关向量组扩充为标准正交基的 Schmidt 正交化方法、 同构的充要条件、 正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求 法。 教学重点：Eulicd 空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标 准形。 教学难点： 正交变换、对称变换和正交子空间。 教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。 教学内容：
§2
一、概念
标准正交基
定义 1 正交向量组：欧氏空间 V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就 称为正交向量组. 规定：单个非零向量组成的向量组是正交向量组. 性质 证明 正交的向量组必线性无关 设α1, α2,…, αm是一正交向量组，即(αi, αj)=0, i≠j.
令k1α1+k2α2+…+kmαm=0, 在等式两边用 α i 作内积：
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（线性双射），其次，它保持向量的内积不变. 因而欧氏空间的同构映射保持向量的长度不变，保持
第 4 页 共 21 页
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
第 2 页 共 21 页
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
1. 欧氏空间的概念
定义 8.1 设V 是实数域 R 上的线性空间，对于V 中的任意向量α, β ，定义实数 (α , β ) 与之对应，
) )
(
βi
,
βi
)
=
0
(i
=
1,
2,
⋅⋅
⋅,
k
−1)
.
第 5 页 共 21 页
于是， β1, β2 ,⋅⋅ ⋅, βk 两两正交，符合定理要求. 证毕.
m
∑ (α , β ) = aibi = α T β . i =1
可以验证，它满足内积的 4 条公理，因此 Rn 构成一个欧氏空间. 以后我们说欧氏空间 Rn 时，永远都
是指的如本例所定义的内积.
例 8.2 令 C [a,b] 表 示 区 间 [a,b] 上 的 全 体 连 续 实 函 数 所 成 的 向 量 空 间 . 对 任 意
β2
)
β
= α,
β β
β β
.
若 β 是一个单位向量，则α 在向量 β 上的投影向量就是 (α, β ) β . 不难看出，
α ⊥ β ⇔ (α, β ) = 0 .
在欧氏空间 Rn 中， n 维单位向量互相正交，即 ei ⊥ ej (i ≠ j ) .
定理 8.1 设V 是一个欧氏空间，对任意向量α, β ∈V , k ∈ R ，都有 （1） kα = k α ；
显然 aij = a ji (i, j = 1, 2,⋅⋅⋅, n) ，即度量矩阵是对称阵. 如果已知一个基的度量矩阵，那么任意两
个向量的内积就被唯一决定了，这就是说，度量矩阵决定向量内积.
nn
∑ ∑ 特别地， α 2 = (α,α ) =
aij xi x j = xT Ax .
i =1 j =1
定义 8.4 设V ,V ′ 是实数域 R 上的两个欧氏空间，如果存在V 到V ′ 的一个双射σ ，满足
§8.2 标准正交基
1. 正交向量组 定义 8.2 欧氏空间中的非零向量组，如果它们两两正交，则称它是一个正交向量组. 我们称一个
单位正交向量组为标准正交向量组（或规范正交向量组）.
正交向量组有如下性质
性质 1 单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 性质 2 正交向量组是线性无关的.
性质 3 在 n 维欧氏空间中，两两正交的向量不可能超过 n 个. 性质 4 设α1,α2 ,⋅ ⋅⋅,αm 是正交向量组，则
并且满足如下运算律：
（1）(α , β ) = ( β ,α ) ； （2）(α + β ,γ ) = (α ,γ ) + (β ,γ ) ； （3）(kα, β ) = k (α , β ) ； （4） (α ,α ) ≥ 0 ，等号当且仅当α = 0 时成立， 其中α, β ,γ 是V 中的任意向量， k 是任意实数，则称 (α , β ) 为向量α, β 的内积，称V 为欧几里德
β1, β2 ,⋅⋅⋅, βm ，使得每一个 βk 都可由α1,α2,⋅⋅⋅,αk (k = 1, 2,⋅⋅⋅, m) 线性表示.
证令
β1
= α1， β2
=
α2
−
( β1,α2 ) ( β1, β1 )
β1 .
由
(
β1
,
β
2
)
=
(
β1
,α
2
)
−
( β1,α2 ( β1, β1
) )
(
β1,
β1
)
=
0
α1 + α2 + ⋅⋅ ⋅ + αm 2 = α1 2 + α2 2 + ⋅ ⋅⋅ + αm 2 . 特别地，若向量α , β 正交，则 α + β 2 = α 2 + β 2 ，这就是所谓的勾股定理.
定理 8.3 设α1,α2 ,⋅ ⋅⋅,αm 是欧氏空间V 的一个线性无关的向量组，则一定存在一个正交向量组
βk−1 .
由假设知每一个 βi 都是α1,α2,⋅⋅⋅,αi−1 (i = 1, 2,⋅⋅⋅, k −1) 的线性组合，因此， βk 是α1,α2,⋅⋅⋅,αk 的线
性组合. 又因为 β1, β2 ,⋅⋅ ⋅, βk−1 两两正交，所以
(
βi
,
βk
)
=
(
βi
,α
k
)
−
( βi ,αk (βi , βi
故
(α, β ) < α β .
（3） α + β 2 = (α + β ,α + β )
= (α,α ) + 2(α, β ) + (β , β )
≤ α 2 +2α β + β 2
≤(α
+
β
)2 .
例 8.4 在欧氏空间 Rn 中，由定理 8.1（2）可以得到，对任意实数 a1, a2 , ⋅⋅ ⋅, an , b1, b2 ,⋅ ⋅⋅, bn 都有不
（3） kiαi , l jβ j =
kil j αi , β j .
i=1
j=1
i=1 j=1
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
定义 8.2 非负实数 (α,α ) 称为向量α 的长度（又叫向量α 的模），记为 α ，即 α = (α ,α ) ， 或 α 2 = (α,α ) .
，则
n×n
nn
∑ ∑ (α, β ) =
aij xi y j = xT Ay ，
i =1 j =1
其 中 x = ( x1, x2 ,⋅⋅⋅, xn )T , y = ( y1, y2,⋅⋅⋅, yn )T 分 别 是 向 量 α, β 的 坐 标 . 我 们 称 n 阶 矩 阵 A 为 基
ε1, ε2 ,⋅ ⋅⋅, εn 的度量矩阵.
第八章 欧氏空间
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
Ⅰ.授课题目 §8.1 欧氏空间的概念 §8.2 标准正交基 §8.3 正交阵与实镜象阵 §8.4 正交变换 §8.5 对称矩阵与对称变换
Ⅱ.教学目的与要求 1. 理解欧氏空间的相关概念； 2. 掌握向量的正交性以及标准正交基的概念和性质，掌握标准正交化方法； 3. 掌握正交阵的相关概念和性质； 4. 掌握正交变换的概念和性质； 5. 会将实对称阵正交对角化.
等式
( )( ) ( ) a1b1 + a2b2 + ⋅⋅⋅ + anbn 2 ≤ a12 + a22 + ⋅⋅⋅ + an2 b12 + b22 + ⋅⋅⋅ + bn2 .
当且仅当 a1 = a2 = ⋅ ⋅⋅ = an 时取等号，这就是著名的柯西（Cauchy）不等式.
b1 b2
bn
例 8.5 在欧氏空间 C [a,b] 中，对区间[a,b] 上的任意连续 f ( x), g ( x) ，由定理 8.1（2）得到
知 β2 与 β1 正交，显然 β2 是α1,α2 的线性组合.
假设1 < k ≤ m ，满足定理要求的 β1, β2 ,⋅⋅ ⋅, βk−1 都已作出. 取
βk
= αk
−
( β1,αk ) ( β1, β1 )
β1
−
(β2,αk ) (β2, β2 )
β2
−⋅⋅⋅−
(βk−1,αk ) ( ) βk−1, βk−1
这里α, β ,γ 是欧氏空间中的任意向量. 在解析几何中，不等式（3）的含义是：三角形两边之和大于
第三边.
最后指出，如果V1 是欧氏空间V 的一个子空间，那么V1 对于V 的内积也作成一个欧氏空间.
2. 欧氏空间的度量矩阵与同构映射
设V 是一个 n 维欧氏空间，ε1,ε2,⋅⋅⋅,εn 是V 的一个基，对于V 的任意两个向量α, β ，设 α = x1ε1 + x2ε2 + ⋅ ⋅⋅ + xnεn ， β = y1ε1 + y2ε 2 + ⋅⋅ ⋅ + ynε n ，