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欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
第八章欧氏空间计划课时：22学时 (P335—360)§8.1 欧氏空间的定义及基本性质（4学时）教学目的及要求：理解内积、长度、夹角、正交、距离的定义，掌握柯西一施瓦兹不等式。
通过本节的学习，使学生逐步掌握由特殊的例子抽象出一般概念的方法。
教学重点、难点：内积的定义、柯西一施瓦兹不等式本节内容分为下面四个问题讲授：一．内积及欧氏空间的定义1. 内积及欧氏空间的定义定义1（内积及欧氏空间的定义P336）注意：(1) .通过这个定义让学生逐步学会从具体例子抽象出一般概念的方法。
(2). 让学生体会公理化定义的特点。
(3). 内积的定义是本章的难点之一。
例1 （P336）例2 （P336）例3 （P336）例4 （P336）2. 向量的长度定义2（向量的长度P337）例5 （P336）例6 （P336）例7 （P336）长度的性质： | kα|＝|k||α|.单位向量二. 柯西一施瓦兹不等式定理8.1.1注意：Cauchy不等式与Schwarz不等式这两个看似完全不同的不等式在高等代数课程中达到了高度的统一。
例8 （P338）例9（P338）三. 两向量的夹角、正交、距离定义3（P338-339）定义4 （P339）作业：P356-P357习题八1（1），2，3，4，5.§8.2 度量矩阵与正交基（4学时）教学目的及要求：理解度量矩阵、规范正交基、正交矩阵的定义及相应的理论，掌握在规范正交基下内积的算法与正交化方法教学重点、难点：正交化方法本节内容分为下面三个问题讲授：一. 度量矩阵(1). 内积的计算(2).度量矩阵定理8.2.1 （P 309）例1 (P 341)二. 规范正交基(1). 规范正交基的定义注意：一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵.(2). 在规范正交基下内积、坐标的算法(3). 规范正交基的求法—正交化过程.定理8.2.3注意：1.Schmidt 正交化方法肯定了)1(≥n n 维欧氏空间的规范正交基的存在性。
第一章 预备知识第一节 n 维欧氏空间1．向量空间所谓数域上的向量空间是指一个交换群V ，其元素称为向量，群的运算记为加法，并且定义了数F F λ∈与向量v V ∈的乘法v λ，满足以下条件：(1) ()v v v λµλµ+=+；(2) ()()v v λµλµ=；(3) 121()v v v v 2λλλ+=+；(4) ，其中1v v =,F λµ∈，12,,v v v V ∈。
如果在V 中存在个元素n 1,,n δδ"，使得V 中任意一个元素v 都能够表示成1,,n δδ"的线性组合111nni n i i v λδλδλδ==++=∑"i F λ，∈， 并且这样的表达式是唯一的，则称{}i δ为空间V 的一个基底，基底{}i δ中元素的个数与基底的选择无关，称为域上的向量空间V 的维数。
n F 注：以后讨论中。
F =\例子：n 维欧氏空间。
n \2．维欧氏向量空间n 假定V 是维向量空间，若在V 上给定一个对称的、正定的双线性函数，即它满足下列条件：n ,:V V ×<>→\(1) ；1212,,,v v v v v v v <+>=<>+<>(2) 1212,,v v v v λλ<>=<>>；(3) ；1221,,v v v v <>=<(4) 且等号只在,0v v <>≥0v =时成立，其中12,,,v v v V λ∈\∈，则称(,,)V <>为维欧氏向量空间。
满足上述条件的双线性函数称为欧氏内积，通常记成n ,<> 1212,v v v v ⋅=<>设(,为n 维欧氏向量空间，则在V 上能够取基底{,)V <>}i δ，使得1,,,0,.i j ij i j i j δδδ=⎧<>==⎨≠⎩这样的基底称为V 中的单位正交基底。
9.欧氏空间1.（华南理工大学2006）4R正交基，其中1111111111222211A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭。
解 分析：设m n A R ⨯∈的列向量为12,,,n ααα ，则12(,,,)n A ααα= ， 列空间12,,,Im n W A ααα=<>= 。
0Ti i x Wx W x x αα⊥∈⇔⊥⇔⊥⇔=0Ker T TA x x A ⇔=⇔∈，从而有(Im )K er TWA A⊥⊥==，这表明：将A 改成T A ，又可以得到以上是两个非常重要的结论，在很多地方都用的上。
具体到本题：相当于求Ker TA 也就是求齐次线性方程组0T A x =的解空间的一个 标准正交基，这是一个标准问题。
先求0T A x =的一个基础解系：121331,2002αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；任何将12,αα正交化、单位化得121414,14140707ββ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
2.（中山大学2006）设由向量123(1,1,2,1),(3,1,4,1),(1,1,0,1)T T Tααα=-=-=-生成的子空间为W ，求一个线性方程组，使得它的解空间为恰好W 。
解 设矩阵()123,,A ααα=，则Im WA =()Im K er T A A⊥=。
这样问题就归结为：求齐次线性方程组0T A x =的解空间的一个基础解系1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 0101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 这个基础解系生成的空间就是Ker T A ，而它的正交补也就是W ，恰好是和以上两个向量都正交的向量全体，这正好就是齐次线性方程组123240x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的解空间，因此123240x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩就是要求的线性方程组。
3.（南开大学2006）设线性方程组123451245123452303220390x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-+=⎩ 的解空间为V 。
第一章 欧式空间1 向量空间的概念(1) 定义1.1：实数域上的向量空间指的是一个交换群，群运算为加法 满足： R y x,,,∈∈∀以及V w v()(yv x v xy = ；v v =1；xw xv w v x +=+)(;yw xw w y x +=+)((2) 向量空间的基若有V e e n ∈....1且对V v ∈∀ 都存在R x x n ∈....1 使∑=ii iv xv ，称n e e (1)是向量空间的基。
称})....{(1R x x x R i n n ∈=为数组空间 显然V 和n R 是一一对应的。
(3) 欧式向量空间：定义了一个对称正定的双线性函数的向量空间成为欧式向量空间，记为),,(><V ，<，>是双线性函数满足：>>=<<v w w v ,,0,>≥<v v 且00,=⇔>=<v v v若V e e n ∈....1是基，且ji j i e e δ>=<, 称n e e ....1为标准正交基。
另外∑∑==jj j ii ie y w e x v , 则ii y x w v >=<,例1.1：验证>>=<<w v wT vT ,,，特别有：vT v =,T 是正交阵。
2 欧式空间：(1)定义：设S 是一点集，固定S O ∈，若对S P ∈∀，→OP 与V 中唯一一个向量对应。
而且定义其长度><=→→→OP OP OP ,,则称S 是欧式向量空间，O 称为原点。
→OP 称为向量。
记为n E (2) 3E 中向量的运算 ①内积定义：),(cos b a b a b a ∠=⋅.显然：b a b a ⊥⇔=⋅031....e e 是基且两两垂直，称}....,{31e e O =σ是正交标架，),,(321x x x e xv i i i==∑),,(321x x x 称为v 的坐标。
第七讲 欧式空间及特殊矩阵对称矩阵与正定矩阵一 .实对称矩阵A 正定的充分必要条件 1.任意的,0n x R x ∈≠，都有0T x Ax > 2.A 的所有顺序主子式都大于零 3.A 的所有主子式都大于零 4.A 的所有特征值都大于零5.存在唯一的正定矩阵B ，使得2T A B B B ==6.存在可逆矩阵P ，使得T A P P =(A 与单位矩阵合同)1.A 是n 阶实矩阵，0A =,证明：TA A kE +正定当且仅当0k >证明：对任意的,0n x R x ∈≠，()()TTTT x AA kE x Ax Ax kx x +=+其中()0,0TTAx Ax x x ≥>，所以T A A kE +正定当且仅当对任意的,0n x R x ∈≠，()()0TT T T x A A kE x Ax Ax kx x +=+>当且仅当0k >2. A 是m n ⨯实矩阵，m n <，证明：TAA 正定当且仅当()r A m = 证明：TAA 正定当且仅当对任意的,0m x R x ∈≠，()()0TTTTT xAA x A x A x =>，当且仅当对任意的,0mx R x ∈≠,0TA x ≠，当且仅当TA 的列向量线性无关，当且仅当()r A m =.3. A 是n 阶正定矩阵，B 是n m ⨯实矩阵， ()r B m =，证明：(0)TB AB kE k +≥正定. 证明：A 是n 阶正定矩阵，存在可逆矩阵C ，使得T A C C =，T T TB AB kE BC CB kE +=+ 对任意的mx R ∈，()()()()TTTT T T T xBAB kE x x B C CB kE x CBx CBx kx x +=+=+由于()r B m =，C 可逆，所以()r CB m =,所以对,0mx R x ∈≠,()0CB x ≠ 所以任意的,0mx R x ∈≠，()()0,0TT CBx CBx kx x >≥所以()()()0TTTT xBAB kE x CBx CBx kx x +=+>，即(0)T B AB kE k +≥正定.4. A 是n 阶实对称矩阵，证明：234A A E -+正定证明：2222393734342424A A E A A E E A E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A 是实对称矩阵，所以234A A E -+337224TA E A E E ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的,0n x R x ∈≠，()233734224T T Tx A A E x x A E A E E x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=--+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦337224TT A E x A E x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中33770,02244T TT x A E A E E x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+≥>⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以()2340TxAA E x -+>，即234A A E -+正定.或A 是n 阶实对称矩阵， ()()222343434TT T A A EA A E A A E -+=-+=-+所以234A A E -+为实对称矩阵.设若λ是A 的一个实特征值，则234λλ-+是234A A E -+的特征值.又237024λ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以234A A E -+的特征值都大于零，所以234A A E -+正定.5. A 为n 阶反对称矩阵，证明：2A -半正定.证明：T A A =-,2TA A A -=,所以任意的,0mx R x ∈≠，()()()()20TT T T x A x x A A x Ax Ax -==>，2A -半正定.6. A 为n 阶正定矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵，证明：2A B -正定.证明：B 为n 阶实反对称矩阵，所以2B -半正定，A 为正定矩阵，所以2A B -正定. 7.()ij n n A a ⨯=为正定矩阵，12,,,n b b b 均为非零实数，证明()ij i j n n B a bb ⨯=也正定证明：11n n b b B A b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 与A 合同，A 正定，所以B 正定.8.A 、B 都为n 阶实对称矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，证明：存在可逆矩阵Q ，使=T Q BQ E ,T Q AQ 为对角矩阵（这里E 为n 阶单位矩阵）证明：A 、B 都为n 阶实对称矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵P ,使得T B P P =,即()1111T T P BP P BP E --==，设111TP AP A =，则1A仍为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵T ,11T n T A T λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，同时TT E T E =,令 1Q TP =，则=T Q BQ E ,T Q AQ 为对角矩阵.9.A 是n 阶半正定矩阵，B 是n 阶正定矩阵，证明：A B B +≥,当且仅当0A =时取等号.证明:B 为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵P ,使得TB P P =, 即()1111TT PBP P BP E --== (其中11P P -=)，设111T PAP A =，则1A 仍为n 阶半正定矩阵，所以存在正交矩阵T ,11(0,1,2,,)Ti n T A T i n λλλ⎛⎫⎪=≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ，由于T 是正交矩阵，同时有T T ET E =,令 1Q PT =，则=T Q BQ E ,TQ AQ 1n λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以11TT T n QA B Q Q AQ Q BQ E λλ⎛⎫⎪+=+=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭,1111T T TA B P P B Q QP P +≥===.10. A 是n 阶实对称矩阵，B 为m 阶正定矩阵，证明：存在非零矩阵H ，使得TB HAH -正定.证明：B 为m 阶正定矩阵，所以存在m 阶正交矩阵P ,使得1,T Tm B P P P P μμ⎛⎫ ⎪==∑ ⎪⎪⎝⎭ 记1(0)m μμ≥≥> , A 为n 阶实对称矩阵，()r A r =，所以存在n 阶正交矩阵Q ,使得1,T n A Q Q λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1,n λλ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭不妨设{}1m a x i iλλ=如果n m >，取()10T H P H Q =,其中1m mH ⨯⎫⎪⎪⎪=⎝则()11111T T TT m m k B HAH P H H P P P k μμ-⎛⎫⎪-=∑-Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭ ，其中11,m λλ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭()11111T T T Tm m k B HAH P H H P P P k μμ-⎛⎫⎪-=∑-Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭10(=1,2,,)2mi i i i k i m μμμλλ-=-> 如果n m <，取10T H H P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1n nH ⨯⎫⎪⎪⎪=⎝则1111TTT Tm m k H H O B HAH P P P P O O k μμ-⎛⎫⎡⎤⎛⎫Λ ⎪-=∑-=⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭ ⎪⎣⎦-⎝⎭，其中i n ≤时，102mi i i i k μμμλλ-=->，n i m <≤时，00i i i k μμ-=->， 综上TB HAH -正定.11. A 、B 都为n 阶正定矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定矩阵证明：()TT TAB B A BA AB ===,所以AB 是对称矩阵.A 为n 阶正定矩阵，所以存在正定矩阵P ,使得2A P =， 所以112TP ABP P P BP PBP P BP --===,所以AB 与TP BP相似，而TP BP 正定，所以特征值都大于零，所以AB 的特征值都大于零，又AB 是对称矩阵，所以，AB 亦为正定矩阵.12. A 、B 都为n 阶正定矩阵，证明：1）方程0A B λ-=的根均大于零2）方程0A B λ-=的根均1当且仅当A B =证明：A 为n 阶正定矩阵，1A -也为n 阶正定矩阵，所以存在正定矩阵P ,使得12AP -=，所以1112T P A BP P P BP PBP P BP ---===,所以1A B -与TP BP 相似，而TP BP 正定，所以特征值都大于零，所以1A B -的特征值都大于零.1）1A B A E A B λλ--=-，A 为正定矩阵，0A >，所以方程0A B λ-=的根即为10E A B λ--=的根，即为1A B -的特征值，所以方程0A B λ-=的根均大于零.2）如果方程0A B λ-=的根均1当且仅当1A B -的特征值均为1，由于1A B -与T P BP 相似，而TP BP 正定，所以1A B -可对角化，所以1A B -的特征值均为1当且仅当1A B E -=,当且仅当A B =.13.设B 为n 阶实矩阵，而TE B B -为正定矩阵，证明：若λ是B 的一个实特征值，则1λ<证明：若λ是B 的一个实特征值，设x 为B 的对应λ的单位特征向量，则Bx x λ=，由于0x ≠，且T E B B -为正定矩阵，所以()()()210TT T T x E B B x x x Bx Bx λ-=-=->，λ是实数，所以1λ<.14. A 为n 阶可逆的对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，AB BA =，证明：A +B 可逆证明：1A B A E A B -+=+，由于AB BA =，所以11A B BA --=，所以()()1111TTT A BB A BA A B ----==-=-,所以1A B -是反对称矩阵，所以1A B -的特征值都是零或纯虚数，所以1-不是1A B -的特征值，所以110E A B --⋅-≠，所以10A B A E A B -+=+≠，即A +B 可逆.15. A 为n 阶实正定矩阵， 1) 证明:TAG a ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭正定的充分必要条件为10T a A ββ-->； 2)讨论：A 为n 阶实正定矩阵，C 为s 阶方阵时，TAB G BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭正定的充分必要条件.证明:因为11100101T T T EA AE A Aa a A ββββββ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以10,0TT AAa a A ββββ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭合同,所以TA G a ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭正定的充分必要条件为100T A a A ββ-⎛⎫ ⎪-⎝⎭正定.即100T A a A ββ-⎛⎫⎪-⎝⎭所有顺序主子式均大于零，由于A 为n 阶正定矩阵,所以其顺序主子式均大于零. 所以100T A a A ββ-⎛⎫⎪-⎝⎭正定的充分必要条件为11000T T A A A a A ββββ--⎛⎫=> ⎪-⎝⎭,即110T T a A a A ββββ---=->. 2）A 为n 阶实正定矩阵，C 为s 阶方阵时，T A B G B C ⎛⎫=⎪⎝⎭正定的充分必要条件：1T C B A B --正定与1）类似有T A B G B C ⎛⎫=⎪⎝⎭正定的充分必要条件为100T A C B A B -⎛⎫⎪-⎝⎭正定.即100T A C B A B -⎛⎫⎪-⎝⎭所有其顺序主子式均大于零，由A 正定知当k n ≤时G 的k 顺序主子式都大于0，当k n >时，100T A C B A B -⎛⎫⎪-⎝⎭的k 顺序主子式为k n k nA A C C --=其中k n C -为1T C B A B --的k n -阶顺序主子式，所以T AB G BC ⎛⎫=⎪⎝⎭正定的充分必要条件为0(1,,)k n k nA A C k n n s C --=>=++ ，充分必要条件0(1,,)k n C k n n s ->=++ ，即1T C B A B --正定.16.若Q 是n 阶正定矩阵，x 为n 阶为实非零列向量，证明：10()1T T x Q xx x -<+<. 证明：Q 是n 阶正定矩阵，对任意的x 为n 阶为实列向量，显然T Q xx +为正定矩阵，所以1()T Q xx -+为正定矩阵，所以1()0T T x Q xx x -+≥.因为110()()()1101T T T T TE Q xx x E Q xx x x Q xx x --⎛⎫⎛⎫+-+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1()001()T T T Q xx x Q xx x -⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 而00()011011T T TE x EQ Q xx x xx -⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以001Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1T TQ xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭合同，由于001Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭正定，所以()1T TQ xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭也正定，而TQ xx +正定，所以()1T TQ xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭正定当且仅当11()0T T x Q xx x --+>，即1()1T T x Q xx x -+<. 17.A 为秩为r 的半正定矩阵，则存在行满秩矩阵P ,使得TA P P =∑,其中1(0,1,2,,),T i r r i r PP E λλλ⎛⎫ ⎪∑=>== ⎪⎪⎝⎭. 证明：由于A 为秩为r 的半正定矩阵，所以存在正交矩阵Q ,使得000TA Q Q ∑⎛⎫=⎪⎝⎭其中1r λλ⎛⎫ ⎪∑= ⎪⎪⎝⎭，所以()00000r TT r E A Q Q Q E Q ∑⎛⎫⎛⎫==∑ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()0rP E Q =，则P 是行满秩矩阵，且T A P P =∑18.A 是n 阶可逆矩阵，则A 可以分解为一个正交矩阵与一个正定矩阵的乘积 证明：A 可逆，则TA A 正定，所以存在正交矩阵P ，使得1,(0,1,2,,)T Ti n P A AP i n λλλ⎛⎫ ⎪=>= ⎪ ⎪⎝⎭所以22T TP A AP ⎫⎪==∑⎪ ⎝，故11T T P A AP E --∑∑= 令1AP Q -∑=,则T Q Q E =,所以Q 为正交矩阵，且()T T T A Q P QP P P =∑=∑其中T QP 为正交矩阵，TP P ∑为正定矩阵.19. A 是n 阶实对称矩阵，证明：()r A n =当且仅当存在n 阶实矩阵B ,使得TAB B A +是正定矩阵.证明： ()r A n =，取B A =,即有TAB B A +是正定矩阵.反之，存在n 阶实矩阵B ,使得TAB B A +是正定矩阵，如果()r A r n =<，由A 是n 阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ,使得000rTA P P Λ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中1,r λλ⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪⎝⎭1(0,1,)i r λ≠= ，令任取n 阶实矩阵B ，令1234T B B B P P B B ⎛⎫=⎪⎝⎭,则12123434000000TrrT T T TT B B B B AB B A P PP P P PP P B B B B ΛΛ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1120TTr r r T r B B B P P B ⎛⎫Λ+ΛΛ=⎪Λ⎝⎭，由于r n <，所以1120T r r r T r B B B B ⎛⎫Λ+ΛΛ ⎪Λ⎝⎭不正定，所以TAB B A +不可能是正定矩阵.关于对称变换1.()(),,αβαβ=A A2.A 是对称变换的充分必要条件为：A 关于标准正交基的矩阵是对称矩阵.1.设V 为n 维欧式空间，2()37g x x x =-+，A 是V 的一个对称变换，证明：对任意非零向量α，都有(,())0g αα>A证明：对任意非零向量α，都有()2(,())(,37)g αααα=-+A AA E2319(,)24αα⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E E 3319(,)(,)224Tαααα⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A A E E 3319(,)(,)0224αααα⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A E E2. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，{}1,,V V A a a a a =={}2V V A a a a =- ，证明： 12V V V =证明：令=-B A E ，{}{}11,0V V A B a a a a -==?，2V V B =所以12,V V 都是V 的子空间，所以12V V V + 显然.且12dim dim V V n += 任意12V V I a Î，由于由2V a Î所以存在V b Î，使得A a b b =-， 1V a Î， 所以A a a = ，即2A A A A a b b a b b =-==-，所以22A A b b b =-.()()()()(),,,2,,ααββββββββββ=--=-+A A A A A()()()()()()2,2,,,2,2,0βββββββββββββ=-+=-+-=A A =A A ，所以0α=，故{}120V V I =，所以1212V V V V += ，又12dim dim V V n +=，所以12V V V = .3. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，证明：()10-A 是V A 的正交补证明：任意()10V α-∈ AA ，则0,α=A 且存在,V β∈使得αβ=A()()(),,,0αααβαβ===A A ，所以0α=，故(){}100V -= A A ，所以()()1100V V --+=⊕AA A A ，又()1dim 0dim V n -+=A A ，所以()1dim 0V n -⎡⎤+=⎣⎦A A ,故()10V V -⊂+A A ，又()10V V -+⊂A A 所以()10V V -=⊕AA .对任意的()10,V αγ-∈∈AA ，则0,α=A 且存在,V βγβ∈=A()()(),,,0αγαβαβ===A A ，所以()10V -⊥A A ，故()10-A 是V A 的正交补.4. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，证明：对V 中任意非零向量α，(),0A a a >的充分必要条件是A的特征值都是正实数.证明：设若λ是A 的一个特征值，设α为A 的对应λ的特征向量，则αλα=A ， 所以()()()()()(),,,,,,A A a a l a a l a a a a a l a l a a ===== ，由于0,a ¹ 所以(),0a a ¹，所以l l =，所以A 的特征值都是实数. 又()(),,0A a a l a a => 而(),0a a >，所以0l >.5. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，求证：对任意,0V αα∈≠，都有(),0A a a <的充分必要条件为A的特征值均为负数.证明：设若λ是A 的一个特征值，设α为A 的对应λ的特征向量，则αλα=A ， 所以()()(),,,0A a a l a a l a a ==< ，而(),0a a >，所以0l <.6.设A 是n 维欧式空间V 上的一个线性变换，*p A 也是V 上的变换，且对任意的,V αβ∈，都有()(),,p A A a b a b *=证明：1）*p A 是线性变换；2）A 的核等于*p A 的值域的正交补证明：1）对任意的,V αβ∈，()(),()αβαβαβαβ******+--+--p p p p p p A A A A A A =()()(),()(),αβαβαβαβαβα********+--+-+--p p p p p p p p A A A A A A A A()(),αβαββ****-+--p p p p A A A A ()()(),()(),αβαβαβαβαβα******⎡⎤⎡⎤=+--+-+--⎣⎦⎣⎦p p p p p p A A A A A A A A ()(),0αβαββ***⎡⎤-+--=⎣⎦p p p A AA A*p A 是V 上的变换，所以()V αβαβ***+--∈p p p A A A ，且()0αβαβ***+--=p p p A AA ，所以()αβαβ***+=+p p p A A A对任意的,V k P α∈∈，()(),()k k k k αααα****--p p p p A A A A()()(),()(),k k k k k k αααααα******=---p p p p p p A A A A A A()()(),()(),0k k k k k k αααααα****⎡⎤⎡⎤=---=⎣⎦⎣⎦p p p p A A A A A A ()0k k αα**-=p p A A ，所以*p A 是V 上的变换，所以()()k k V αα**-∈p p A A ，且()0k k αα**-=p p A A ，所以()k k αα**=p p A A所以*p A 是线性变换.2）设{}1120,V V V -*==p A A任意{}1120,V V V αγ-*∈=∈=p A A ，存在V b Î，使得*A g b =()()()*,,,0αγαβαβ===A A ，所以2V α⊥∈，任意2V α⊥∈，则对任意V β∈，()()*,,0αβαβ==A A ，由β的任意性， 有(),0αα=A A ，所以0α=A ，所以1V α∈，所以12V V ⊥=正交矩阵1. A 为n 阶正交矩阵，0A <,证明：0A E +=证明：设λ是A 的一个特征值，α为A 的对应λ的单位特征向量，则A αλα=所以()()()1T T T T A A A A αααααα===,又()()2T T A A ααλλααλ==，所以21λ=.又因为A 为实矩阵，则A 的非实复特征值以共轭复数形式成对出现，设A 的非实复特征值为(1,2,,)k k a b i k l ±= ，实特征值为(1,2,,)j j t λ= ，则1j λ=±所以()()()221111l t l t k k k k j k k j k j k j A ab i a b i a b λλ=====+-=+∏∏∏∏，所以0A <时，(1,2,,j j t λ= 中有奇数个1-，即1-是A 的特征值，所以0A E +=. 2.A 、B 都为n 阶正交矩阵，0A B +=，证明：0A B +=证明：由于正交矩阵Q 满足TQ Q E =,所以正交矩阵的行列式为1±. A 、B 都为n 阶正交矩阵，且0A B +=，所以 A B =-，不妨设1,1A B ==-由于正交矩阵之积还是正交矩阵，所以1A B -还是正交矩阵，且111A B A B --==-，所以1A B A E A B -+=+，由上题1-是1A B -的特征值，所以1A B A E A B -+=+.3. A 为n 阶正交矩阵，且1是A -的s 重特征值，证明：()1s A =-.4. 设A 为n 阶正交矩阵，且只有一个实特征值，12,,,n ααα 为n 个线性无关的n 维列向量，证明：0A <的充分必要条件为()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 线性相关 证明：设λ是A 的一个特征值， α为A 的对应λ的单位特征向量，则A αλα= 所以()()()1T T T T A A A A ααα===,又()()2T T A A ααλ==， 所以21λ=.因为A 为实矩阵，则A 的非实复特征值以共轭复数形式成对出现，设A 的非实复特征值为(1,2,,)k k a b i k l ±= ，又A 只有一个实特征值实特征值为λ，则1λ=± 由于()()()2211l lk k k k k k k k A ab i a b i a b λλ===+-=+∏∏，所以0A <时，1λ=-，即1-是A 的特征值，所以0A E +=，以12,,,n ααα 为列作矩阵()12,,,n ααα ，由于12,,,n ααα 线性无关，所以()12,,,n ααα 可逆，所以()()()12,,,n r A E r A E n ααα+=+< .即()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 的秩小于n ，所以()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 线性相关.5. 设A 为n 阶正交矩阵， 12,,,n ααα 为n 个线性无关的n 维列向量，若()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 线性无关，证明：1A =6. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个正交变换，{}1,,V V A a a a a =={}2V V A a a a =- ，证明： 12V V V =证明：令=-B A E ，{}{}11,0V V A B a a a a -==?，2V V B =所以12,V V 都是V 的子空间，所以12V V V + 显然.且12dim dim V V n +=任意12V V I a Î，由于由2V a Î所以存在V b Î，使得A a b b =-， 1V a Î，所以A a a = ，即2A A A A a b b a b b =-==-，所以22A A b b b =-.()()()()()()()222,,,,,,,ααααββββββββββββ==--=--+A A A A A A A A A A ()()()()()()22,,,,2,,βββββββββββββ=--+=--A A A A A()()()2,,20ββββββ=---==A A ，所以0α=，故{}120V V I =，所以121V V V V += ，又12dim dim V V n +=，所以12V V V = .7.设A 是n 维欧式空间V 上的一个变换，满足（1）()00=A ；（2）任意的,,V αβαβαβ∈-=-A A,证明：1）A 保持长度；2）A 保持内积； 3）A 是线性变换证明：1）由于任意的,,V αβαβαβ∈-=-A A，取0β=即有,V ααα∈=A ，所以A 保持长度.2）22,,V αβαβαβ∈-=-A A ，所以()2,αβαβαβ-=--A A A A A A ()()(),2,,αααβββ=-+A A A A A A ()222,ααββαβ=-+=-A A()22,ααββ=-+，所以()(),,αβαβ=A A3）()()(),αβαβαβαβ+--+--A A A A A A ()()(),αβαβ=++A A ()()()2,)2(,)2(,αβααββαβ-+-++A A A A A A (),)(,ααββ++A A A A ()()(),2,)2(,)2(,,)(,0αβαβαβααββαβααββ=++-+-++++=所以()0αβαβ+--=A A A ，所以()αβαβ+=+A A A()()()()()()()()()2,,2,,k k k k k k k k k αααααααααα--=-+A A A A A A A A A A ()()()()2,2,,0k k k k k αααααα=-+=，所以()0k k αα-=A A ，即()k k αα=A A 所以A 是线性变换.8.设A 为n 阶实矩阵，且其特征值均为实数，若A 的所以1阶和2阶主子式之和为0，证明：0n A =。
