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![高等代数考研复习[欧氏空间]](https://img.taocdn.com/s1/m/83070506763231126edb11d2.png)
第九章 欧式空间习题1．(填空)设n εεε,,,21 为n 维欧氏空间V 中的基,在此基下向量βα,坐标分别为),,,(21n a a a 与 ),,,(21n b b b ,则内积∑==ni i i b a 1),(βα的充分必要条件是 。
（n εεε,,,21 是V 的标准正交基）2．(填空)21,V V 是有限维欧氏空间的子空间，存在0,2≠∈ααV ，使得1V ⊥α的充分条件是子空间的维数之间满足 。
（）维（）维（21V V <3．对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是 （对角线上的元素为±1）。
4．（证明）设A 与B 是欧氏空间V 的两个线性变换，并且对任意V ∈α有))(),(())(),((ααααB B A A =，证明A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
证明：A V 与BV 均是欧氏空间V 的子空间，因而对于V 的内积来说作成欧氏空间。
令V B A f ∈∀→ααα),()(:，则f 是一个映射；因为任取V ∈βα,， 若),()(βαA A = 得 ,0)(=-βαA ))(),((0))(),((βαβαβαβα--==--∴B B A A ，从而有,0)(=-βαB 即),()(βαB B =可证f 是单射，又是满射，现证f 是线性的； R k V A A A ∈∀∈∀),()(),(βα，有)()(())()((βαβαβα+=+=+B A f A A f ))(())(()()(βαβαA f A f B B +=+=)()()()(())((αααααkf kB k B k A f kA f ====，再证f 保持内积不变；V ∈∀βα,，有))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαA A a A A A A A ++=++ ))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαB B B B B B B B ++=++= 所以))(),(())(),((βαβαB B A A =即))(),(())((),(((βαβαB B A f A f =))(),((βαA A =，从而f 是同构映射，A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧式风格的设计理念欧式风格设计理念是一种以欧洲古典文化为基础的室内设计风格。
它注重细节、讲究对称、强调尊贵和优雅。
下面将从四个方面来介绍欧式风格的设计理念。
第一，注重细节。
欧式风格注重室内空间的每一个细节，在每一处都能感受到经过精心打磨和设计的痕迹。
比如在墙壁的装饰上，可以使用镶嵌木饰或者精美的壁画；在家具上，可以加入花纹、雕刻和金属镶嵌，提升整体的质感和品质；而在地板和天花板上，可以运用瓷砖、大理石和精雕细琢的吊顶，打造独特的效果。
第二，讲究对称。
欧式风格强调对称美，追求整体的协调和平衡。
房间中的家具和摆件通常会成对出现，例如两边的座椅、两个电视柜等，这样可以给人一种平衡感和秩序感。
而且，墙壁上的装饰物和织物也通常会以对称的方式摆放，增强整个空间的统一感和美感。
第三，强调尊贵和优雅。
欧式风格设计追求宏伟和庄重，给人一种豪华的感觉。
富丽堂皇的吊灯、雕塑、壁画等装饰物被广泛运用，使整个空间充满独特的韵味。
家具的设计也常常给人一种优雅的感觉，经典的弧线和华丽的花纹都是欧式风格所独有的元素。
第四，追求实用性和舒适性。
尽管欧式风格注重细节和装饰，但它并不忽略实用性和舒适性。
欧式风格的家具大多采用实木材质，强调实用而精致的设计。
沙发、床和椅子设计合理，舒适度高，可以让人们享受到舒适的休息和生活。
总结来说，欧式风格的设计理念注重细节、讲究对称、强调尊贵和优雅，追求实用性和舒适性。
它通过精心的装饰、对称的摆放、豪华的材料和舒适的家具设计，打造出宏伟、庄重、细腻的室内空间。
无论是家居装修还是公共建筑，欧式风格都能带给人们一种独特而精致的感觉。
线性空间和欧式空间第六章线性空间和欧式空间§1线性空间及其同构一线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）；交换律2）()()；结合律3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）1；存在1元6）k(l)(kl).数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）(kl)kl；数的分配律8）k()kk.元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；,,等表示集合V中任意元素。
例1．元素属于数域K的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为Mm,n(K)。
例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3．n维向量空间K是线性空间。
n1例4．向量空间的线性映射的集合HomK(K,K)是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00，k00，(1)4．若k0，则k0或者0。
三.同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间.AHomK(V,V)是一个线性映射.如果A 是一一映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
8欧式空间234 第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广，然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念，而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象，再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的，即 ||||cos ξηξηθ⋅=⋅，||ξ表示ξ的长度，θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积，因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在nR 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记235作(,)αβ，具有以卡性质：,,V αβγ∀∈,k R ∀∈ 1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥, 等号成立当且仅当0α= (,)αβ叫做向量α与β的内积，V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 1212(,,,)',(,,,)'nnna a ab b b R αβ∀==∈L L ，规定α与β的内积为1122(,)'n na b a b a b αβαβ=+++=L ，则nR 作成一个欧氏空间。
如果定义 11122(,)2n na b a b na b αβ=+++L ，不难验证，nR 对1(,)αβ也作成一个欧氏空间。
这就是说，一个向量空间可以定义不同的内积作成不同的欧氏空间。
一般，我们说1(,)αβnR 都是指对内积(,)αβ而言的欧氏空间。
例2 在闭区间[,]a b 上的所有实连续函数所成的向量空间[,]C a b 中，对于(),()[,]f x g x C a b ∈，定义内积236 (,)()()ba f g f x g x dx=⎰由定积分的性质不难证明，内积的性质都满足，[,]C a b 作成一欧氏空间。
可以举出很多各式各样的欧氏空间。
容易证明下面欧氏空间的一些基本性质：1) (0,)(,0)0αα==;2) 若 (,)0αα=，则0α=； 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+;5) 1111(,)(,)r s r si i j j i j i ji j i j a b a b αβαβ=====∑∑∑∑;的在几何空间中，向量α的长度为(,)αα类似地，我们在一般的欧几里得空间中引进定义 2 非负实数(,)ααα的长度，记为||α。
向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： ||||||k k αα=，事实上，2||(,)(,)|(,)||||k k k k k k αααααααα====长度为1的向量称为单位向量。
如果α是一个非零向量，1||αα 就是一个单位向237量，用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化。
在解折几何中，向量α与β的夹角的余弦可以通内积来表示：(,)cos ||||αβθαβ=，为了在一般旳欧氏空间中能引人夹角的概念，我们需要证明不等式(,)1||||αβαβ≤。
定理1 ：,αβ∀，有 |(,)|||||αβαβ≤ 当且仅当,αβ线性相关时等号成立。
证明 若,αβ线性相关，则0α=，或k βα=，总有2(,)(,)(,)αβααββ=若,αβ线性无关，则不论t 取何值 0t αβ+≠，从而(,)0t t αβαβ++>，2(,)2(,)(,)0t t αααβββ++>，二次三项式的判别式2(2(,))4(,)(,)0αβααββ-<，即 2(,)(,)(,)αβααββ< |(,)|||||αβαβ<若等号成立，,αβ必线性相关。
定理1中的不等式称为柯西-布涅柯夫斯基不等式，也有的书称为柯西-施瓦兹不等式。
238 结合具体例子我们来看这个不等式的应用。
应用到例1中nR 就是，22222211221212n nn na b a b a b a a a b b b +++++++++L L L 应用到例2中[,]C a b 就是，()()1122()()()()b bba a af xg x dx f x dx g x dx =⎰⎰⎰例312,,,n a a a R∀∈L ，有 222121||()nin i a n a a a =+++∑L 。
证明 在nR 中，取12(1,1,,1),(||,|},,||)na a a ξη==L L ，应用柯西-布涅柯夫斯基不等式即可。
定义3 非零向量,αβ的夹角,αβ定义为(,),arccos ||||αββαβ=， 0,αβπ≤≤。
关于长度具有三角不等式：||||||αβαβ+≤+，事实上，2||(,)(,)2(,)(,)αβαβαβαααβββ+=++=++ 222||2||||||(||||)ααββαβ≤++=+，开平方得||||||αβαβ+≤+ 定义4 若(,)0αβ=，则说,αβ是正交的。
由定义可以看出两个向量非零向量正交，则,arccos02πβ==，也就是说、,αβ是垂直的，可以记为α⊥β，只有零向量才与自身正交，除此之外，任意非零向量均不能与自身正交。
239在欧氏空间中勾股定理也成立，即：当α⊥β时，222||||||αβαβ+=+。
事实上， 222||(,)2(,)(,)||||αβαααβββαβ+=++=+。
这个结果可推广到n 个向量正交的情形。
定义5 设12,,,nαααL 是数域F 上的n 维向量空间V 的一组基，(,)ij i ja αα=111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M M L则称A 为基12,,,nαααL 的度量矩阵。
由 (,)(,)ijijjijia a αααα===，故A A '=。
,V ξη∀∈，有11221122n nn nx x x y y y ξαααηααα=+++=+++L L 1111(,)(,)n n n ni j i j ij i jj i j i x y a x y ξηαα======∑∑∑∑，若令12n x x X x ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭M ，12n y y Y y ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭M ，则(,)X AY ξη'=，当0ξ≠，则000X ⎛⎫ ⎪ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭M ，有(,)0X AX ξξ'=>，由此可知，度量矩阵是正定的。
240 定理2 不同基下的度量矩阵是合同的。
证明：设12,,,nβββL 是V 的另一组基，1212(,,,)(,,,)n n Tβββααα=L L ，设111212122212n n n n nn t t t t t t T t t t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M M L ，则1ni li ll t βα==∑，1n jkj kk t βα==∑111111(,)(,)(,)nnnnnni j li l kj k l k li kj lk li kjl k l k l k t t t t a t t ββαααα=========∑∑∑∑∑∑则()11(,)'n n i j lk li kj n nl k n nB a t t T AT ββ⨯==⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑。
§2 正交组、标准正交基定义1 欧氏空间V 的一组两两正交的非零向量组叫做一个正交组，如果一个正交组中的向量都是单位向量，则这正交组叫做一个标准正交组；在n 维欧氏空间V 中，由n 个两两正交的向量组成的基称为正交基，若这n 个向量都是单位向量，则称为标准正交基。
定理1 正交组是线性无关的。
证明 设12,,,rαααL 是一个正交组，若有24112,,,r k k k R∈L ，使得11220r r k k k ααα+++=L依次用iα与上式作内积，得 (,)0iiik αα=，(,)0iiαα≠，故0ik =。
由此可得推论1 n 维欧氏空间V 中，由n 个向量组成的正交组就是正交基。
由n 个单位向量组成的正交组就是标准正交基。
标准正交基12,,,nαααL 满足1,(,)0,iji ji jαα=⎧=⎨≠⎩这说明标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，故一个基是标准正交基⇔ 这个基的度量矩阵是单位矩阵。
例1 1122,nnV x x x ξξααα∀∈=+++L11(,)(,)(,)(,)iiiiinniix x x x ξααααααα=++++=L L 即 1122(,)(,)(,)nnξξααξααξαα=+++L 。
若1122n ny y y ηααα=+++L ，则112211(,)(,)nni i j j n ni j x y x y x y x y X Y ξηαα=='==+++=∑∑L 。
设V 是数域F 上的n 维向量空间，任一组线性无关的向量均能扩充为V 的一组242 基，将其正交化，然后单位化即可得到标准正交基。
类似于第三章的推导，可以得出标准正交基的施米特正交化方法：若12,,,nαααL 是一组线性无关的向量，令112122111313233121122121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n n βααββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββββββββ----==-=--=----L L L L L L L L L L L L L L L LL则12,,,nβββL 两两正交，再单位化，令121212,,,n nnβββηηηβββ===L ，即为要求的标准正交向量组。
定理2 1) 由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵; 2) 若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而其中一组基为标准正交基，那么另外一组基也是标准正交基。
证明1) 设12,,,nαααL 与12,,,nβββL 是向量空间V 的两组标准正交基，且2431212(,,,)(,,,)n n Uβββααα=L L ，()ij n nU u ⨯= 1,(,)0,iji ji jββ=⎧=⎨≠⎩因为 1122i i i ni nu u u βααα=+++L ，1122j j j nj nu u u βααα=+++L即11221,(,)0,i ji j ni nj i j i j u uu u u u i jββ=⎧+++==⎨≠⎩L而1122i ji jni nju u u u u u +++L 是'U U 的第(,)i j 元素，故'U U E =，即为正交矩阵。
