第一课时 基本不等式
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基本不等式教学设计(第一课时)阮 晓 锋一、教学目标1.知识与技能目标: 学会推证基本不等式,了解基本不等式的应用。
2.过程与方法目标:通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式;3.情感与价值目标:通过学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索其证明过程; 难点:在几何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式.三、教学过程:1.设置情景,引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标,会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。
探究一:在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗?问题1:它们有相等的情况吗?何时相等?结论:一般地,对于正实数a 、b ,我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2.代数证明,推出结论问题2:你能给出它的代数证明吗?(请同学们用代数方法给出这个不等式的证明.)证明(作差法):∵,当时取等号. (在该过程中,可发现a,b 取值可以是全体实数)问题3:当 a,b 为任意实数时,上式还成立吗?重要不等式:对任意实数a 、b ,我们有ab b a 222≥+(当且仅当a=b 时等号成立)特别地,若a>0且b>0可得ab b a ≥+,即ab b a ≥+2(当且仅当a=b 时等号成立) 基本不等式:若a>0且b>0,则ab b a ≥+2(当且仅当a=b 时等号成立) 深化认识:(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数,则基本不等式又可叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3.动手操作、几何证明,相见益彰探究二:先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠).假设两个正方形的面积分别为a 和b (b a >),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?(通过学生动手操作,探索发现)探究三:如图,AB 是圆O 的直径,点C 是AB 上一点,AC=a ,BC=b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ,连接AD 、BD .根据射影定理可得:ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ,于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时,即a=b 时等号成立. (进一步加强数形结合的意识,提升思维的灵活性)4.应用举例,巩固新知例1.(1)用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?(2)一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?(通过例1的讲析,总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化) 方法:一般地,对于R y x +∈,我们有:(1)若xy=p (p 为定值),则当且仅当a=b 时,x+y 有最小值xy 2; (2)若x+y=s (s 为定值),则当且仅当a=b 时,xy 有最大值2s 41. 上述应用基本不等式求最值的方法可简记为:在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小,和定积最大”。
《2.2 基本不等式(第一课时)》教学设计1.理解基本不等式2b a ab +≤ (a >0,b >0),会利用不等式性质证明,发展逻辑推理素养; 2.了解基本不等式的几何解释,发展直观想象素养;3.结合具体实例,形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型,发展数学运算核心素养.教学重点:基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题.教学难点:基本不等式的证明和运用基本不等式求最值.PPT 课件,及GEOGEBRA 制作的动画课件.一、创设情境★资源名称: 【情景演示】基本不等式引入★使用说明:本资源以欧拉智改羊圈的小故事为出发点,引出基本不等式的知识.注:此图片为视频截图,如需使用资源,请于资源库调用.问题1:请同学们阅读课本第44页,说一说今天我们将要学习的内容是什么?在不等式中起着怎样的作用?师生活动:学生自主阅读课本,思考并回答,教师给予简单总结.预设的答案:基本不等式是一种重要而基本的不等式类型,与乘法公式在代数运算的地位一样,在解决不等式问题中有重要的作用,它之所以被称为“基本不等式”,主要是因为它可以作为不等式论的基本定理,成为支撑其他许多非常重要结果的基石。
◆ 课前准备◆ 教学过程◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标师生活动:学生思考后回答.教师总结:由于分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明:一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式,当推导到一个明显成立的条件之后,指出“显然×××成立”.设计意图:利用不等式的性质,用分析法证明基本不等式,同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式,提高学生逻辑推理的数学素养.3.基本不等式的几何解释问题4:如图,AB 是圆的直径,点C 是AB 上一点,AC =a ,BC =b ,过点C 作垂直于AB 的弦DE ,连接AD ,BD .你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?师生活动:如图1,连接OD ,教师引导学生先寻找图中的不等关系,利用动画,观察从弦DE 长和圆的直径AB 这两个几何元素在变化中的不等关系,及半弦CD ≤OD ,并将此不等关系用符号表示.学生独立思考,并说出思路:半径OD 为2b a +,利用射影定理可得弦DE 长的一半CD 为ab ,由OD CD ≤ ,得到2b a ab +≤.教师评价并总结,基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释.当且仅当弦DE 过圆心时,二者相等.设计意图:让学生观察图形,先将图形中的不等关系找出来,再用代数语言表示,从而获得基本不等式的几何解释,提高学生数学直观的核心素养.★资源名称: 【数学探究】基本不等式a+b ≥2根号(ab )★使用说明:本资源通过交互式动画展示了基本不等式的几何意义,运用本资源,可以吸引学生的学习兴趣,增加教学效果,提高教学效率.注:此图片为“动画”截图,如需使用资源,请于资源库调用.图1b a B A C DE O。
第一课时基本不等式1. 定理1对任意实数a , b ,必有a 2 + b 2^2ab ,且等号成立当且仅当 a = b. 2. 定理2a -kb 如果a 和b 是正实数,那么a ;b》.ab,且等号成立当且仅当 a=b. 3. 基本不等式的解释(1)几何角度:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⑵数列角度:两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项.[小问题大思维]a —Lb __ 1. a 2+ b 2> 2ab 和a ——b》・.丽成立的条件是否相同?若不同,请举例说明. [提示]成立的条件不同,前者成立的条件是a 与b 都为实数;而后者成立的条件是 a与b 都为非负数.例如(一1)2 + ( — 2)2> 2X ( — 1) x ( — 2)是成立的.而二1y 二2A . — 1 — 2是不成立的.2•基本不等式中的 a , b 可以是任意值为正数的代数式吗? [提示]a , b 可以是任意正数,也可以是代数式.基本不等式的理解给出下面四个推导过程:① ••• a , b 为正实数,••• ?+2寸?¥= 2;② ••• x , y 为正实数,• lg x + lg y >2 Ig x Ig y ;④••• x , y € R , xy<0 ,10. 3 基本不等式及其应用抽象问题情境化.新知无师自通[读教材填要点]高频考点题组化.名师一点就通③••• a€ R, a ^ 0,「. 4+ a Aa「a a =4;[解析]①T a , b 为正实数,••• b , a 为正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确; a b② 虽然x , y 为正实数,但当x € (0,1)或y € (0,1)时,lg x 或lg y 是负数,•②的推导过程是错误的;③ ••• a € R , 0,不符合基本不等式的条件,2 ^a = 4是错误的.④由xyvO ,得y , y均为负数,但在推导过程中将整体y +y 提出负号后, -y ,- y 均变为正数,符合均值不等式的条件,故④正确. [答案]D 理谭总窗基本不等式aj ^b> ab(a >0, b >0)反映了两个非负数的和与积之间的关系•对它的准 确掌握要抓住以下两个方面:(1) 定理成立的条件:a 、b 都是非负数, (2) “当且仅当”的含义. ①当a = b 时,ab 的等号成立, 即 a = b ? a7^b = ab ;②仅当a = b 时,a; b》,ab 的等号成立,I (KN 阵C .③④a +b 2 二 y +y 其中正确的推导为( A .①②D .①④1下列不等式的推导过程正确的是解析:正确的只有②.因为:对于①,由X>0,不能确定COSX>0 ,不能使用基本不等式.于②,X 与4均为负数,将负数 X 与4转化为正数—X ,--,然后再利用基本不等式求解,知 X X X 其正确.对于③,当且仅当 X 2+ 2=# ,即X 2+ 2= 1时等号成立,而 X 2 + 2工1,所以③X + 2不正确.答案:②利用基本不等式进行简单的证明U 已知 a , b, c € R +,且 a +b +c = 1.求证:[证明]■/ a , b , c € R +, a + b + c = 1,同理b -1>穿,c -1>警,由上述三个不等式两边均为正,分别相乘.1当且仅当a = b = c = 3时取等号.3 理障思结I利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以 “已知”看“可知”,逐步推向“未(2)注意事项:① 多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;①若x>0,则②若XVO ,则 ③ x 2+ 3+1X ^+2 =x 2+ 2+X+8.COSX+ X + 4=X 2 1 X + 2 丽 + 1= 3.1-1 A 穿亍2f= 8②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;③ 对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用.证明:■/ a , b , c 均为正实数,>2(当且仅当a = 3c 时等号成立),a 3c共+ 2b>2(当且仅当2b = 3c 时等号成立), 2b 3c3c ;+隱+ 3b 卜6(当且仅当a = 2b = 3c 时等号成[随堂体验落实]1 •如图所示,4个长为a ,宽为b 的长方形,拼成一个正方形 中间围成一个小正方形 A i B i C i D i ,则以下说法中错误的是( )2A • (a + b) > 4abB. 当a = b 时,A i , B i , C i , D i 四点重合 2C. (a — b) w 4ab2•已知a , b , c求证:如 3C — a +a + 3c — 2b 2ba + 2b — 3c3c••• 2b + — > 2(当且仅当 a 2ba = 2b 时等号成立),将上述三式相加得+虧+建一1 > 3(当且仅当a = 2b = 3c 时等号成立),2b + 3c —aa + 3c — 2 匕+a + 2b — 3c3c> 3(当且仅当 a = 2b = 3c 时等号成立)•□ I ANGHUA随堂练习常态化,当堂强化所学2b -1 +3ca1D .当Ovx w 2时,x —-无最大值 解析:选 B x>0, y/X + 予,于=2, 当且仅当 x = 1,即x = 1时,等号成立.3.已知a>0, b>0 ,则a-+b, Ob , :'色护,a +¥中最小的是(a + bj _令 a = 4, b = 2,则 2 = 3, ab =・.8,, 2 i-r a + b由1 —w abww_+1 a b4.设a>0, b>0 ,给出下列不等式; ①a 2 + 1>a ;②[a+寸加+ b 戸4;③(a + b) g + * A 4;④ a 2 + 9>6a ;1⑤ a 2 + 1+ 2+1>2.a 十|其中恒成立的是 _________解析:•/ a 2 + 1> 2 a 2 1= 2a ,且 a>0, ••• 2a>a ,「.①正确; ••• a + ->2a 』=2,b + 7>2b 1= 2,a ; ab ; b• [a +1 .'!b+ b A 4,当且仅当a = 1, b = 1时等号成立,故②正确; •/ (a + b)£ + b = 1 + 1 + b +2+ 2pbb = 4,当且仅当a = b 时等号成立,故③正确;•••a 2+ 9> 2 a 2 9 = 6a ,当且仅当a = 3时等号成立,故当 a = 3时,a 2 + 9= 6a ,故④不 正确;a +b 2B. abD.2ab a + b解析:法一:选D特殊值法.3…鬻最小2ab a + b A.2ab = a + b+-,可知•/ a 2 + 1 +ah当且仅当a= 0时等号成立,又a>0,所以等号不成立,故⑤正确.C.abv^!^ D . ab>a + b答案:①②③⑤5.设a , b, c 都是正数,求证: 匹+ 些+ ab> a + b + c. a b c证明: T a , b , c 都是正数, bc ca "a , ~b ,詈也都是正数. 訐2c ,ca , ab 、c + —> 2a , b c匹+ ab> 2b a c 三式相加得2学+ (+ a (b > 2(a + b + c), 即 bc+ ca + ab> a + b + c.a b c[感悟高手解题]已知a , b, c 为正实数,且 a + b + c = 1. 求证:1+1+ 專 9. a b c[证明]法一:•/ a , b , c 为正实数..1,1,1 a + b + c , • •_+「+_= --------- + a b c aa +b +c + b a + b + cc=3+ b+ c+ a+ c+ a+ ba a bb c c =3+£+訪占分 g + 少3+ 2+ 2 + 2= 9.111 1 即1+1 + 9,当且仅当a = b = c = 1时,等号成立. a b c 3 法二:•/ a , b , c 为正实数,C.abv^!^ D . ab>a + baB . 0<b<1=1 + b + c + a + 1 + c + a + b+ 1 a a b b c c =3+£+ 訪(a + 訪(b +穿3+ 2+ 2+2= 9• a +b +1>9,当且仅当a =b =c =1时,等号成立.、选择题1.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是课下训绘经典化,贵在触类旁連( )A . a — b<0 111 • 1+1 +1= (a + b + c)a b c 1a -k b解析:选 C ••• a>b>0 ,A —2_>. ab2.已知a>b>1 且P= Ig a Ig b, Q= *(lg a+ Ig b), R= lg—,贝卩()A. RvPvQB. PvQvRC. QvPvRD. PvRvQ解析:选 B ■/ a>b>1, Ig a>lg b>0,|g a+|g b>^|ga Ig b.▼ a+ b j—又T〒> ab,-R= lg a■^b>lg ab= *(lg a+ Ig b) = Q.••• R>Q>P.3.设0vavb,且a + b= 1,在下列四个数中最大的是()1A.QB. bC. 2abD. a2+ b2解析:选 B T abv J;b|2,「. abv*, • 2abv1./a2+ b2 a;b /a2;b 1r h>a i->o ,• p T>2‘•a2;b2>±••• b—(a2;b2)= (b- b2)- a2= b(1 - b)- a22=ab—a = a(b—a)>0 ,•b>a2;b2,「. b 最大.4.已知m= a;a—2(a>2), n = 1x2—2 (xv0),贝U m, n之间的大小关系是()A. m>nB. mvnC. m= n解析:选A•/ m = (a—2);a;2>2 a —2 a“三;2= 4(a>2), n = 22— < v22=4,「. m>n.、填空题5.已知a>b>c,则=J [a—b b—c与直才的大小关系是 ___________解析:■/ a>b>c,「. a—b>0, b—c>0 ,答案: a — b b — c w ^2^6. ______________________________________________________ 若正数a , b 满足ab = a + b + 3,贝U ab 的取值范围是 _________________________________________ .解析:■/ a>0, b>0 且 ab = a + b + 3 ••• ab -3= a + b 》2 ab. •••( ab)2 3— 2 ab — 3>0. • ( ab — 3)( ab + 1) > 0. ••、;ab — 3》0. • ab > 9. 答案:[9,+R ) 7. 当x>2时,有x +匕 =x — 2+亠;+ 2>2 -x — 2 • \ + 2= 4,则当且仅当 xx — 2x — 2' 7x — 2_______ 时,等号成立.解析:根据基本不等式等号成立的条件可知当且仅当 x — 2 = 壬,即(x — 2)2= 1时等号成立,又因为x>2,所以x = 3.答案:38.设正数x , y , z 满足(x + y)(x + z)= 2,贝U xyz(x + y + z)的最大值是 ____________2 解析:■/ (x + y)(x + z)= 2, • x + xy + xz = 2— yz.2• xyz(x + y + z)= yz(x + xy + xz)a —> a — b b — c .当且仅当yz= 2— yz,即yz = 1时取等号. 答案: 、解答题9.已知 x>0, y>0 ,且 x + 2y = 1,求证: 证明:■/ x>0, y>0,且 x + 2y = 1,• 1+ 1 = x + 2y + x + 2y x y x y=3+ 2y + x> 3 + 2 ?•=3+ 2 2,当且仅当2y= xx y即x = 2y 时取等号.又;x + 2y = 1,■'■ x = *.;2 — 1, y = 2 2 2时取等号. 10.已知a , b , c 为不等正实数,且 abc = 1. 求证:w+w+^/c<a +b +c 证明:;a +討2 2 c,b +牙2br 2 a,1+ 2 - = 2 b , c a ac b+C 戸 2(W +T b^ Vc ),111 即1+b +逅+ f\f b+ y/C.111••• a , b , c 为不等正实数,• yft + ^b^^c<a + b +;.第二课时基本不等式的应用[读教材填要点]基本不等式与最值 已知x , y 都是正数, 和定积2最大 右x + y = s (和为疋值),则当x = y 时,积xy 取得最大值厶积定和 若xy = p (积为定值),则当x = y 时,x + y 取得最小值 血p最小[小问题大思维]两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?[提示]不一定.应用基本不等式求最值时还要求等号能取到.如:;sin x^h=4,等号不成立,取不到最小值.高频若点题组优.名师一点就通••• 2 抽象问题情境化,新知无师自通sin x与盘,x€ (0, n )两个都是正数,乘积为定值.但是由0<sin x < 1 知 sin x 丰 2,所以 sin x +B A2⑵已知关于x 的不等式2x + x —a ,7在x€(a,+-)上恒成立,求实数a 的最小值・ a 4+ 4b 4+ 1 2 寸 4a 4b 4 + 1 4a 2b 2+ 1 1 / 1[解】(1)因为ab >o ,所以—品 > ―五 == 4ab +不》24ab^a 2= 2b 2, 4 4a 4+ 4b 4+ 1时取等号,故a 一b 一的最小值是4. ab 答案:42⑵•/ 2x + ------ > 7在x € (a ,+s )上恒成立,x — a2--2(x — a) +,7 — 2a.x — a设 f(x)= 2(x — a) + —,x — a则原问题可转化为当 x € (a , + )时,有 7 — 2a < f(x)min ,■/ x € (a , + g ),••• x — a>0./• f(x)= 2(x — a)+~,22 x — a • = 4.x — a \ ''x — a2当且仅当2(x — a)= ——,即x — a = 1, x = a + 1时等号成立.x — a--x € (a,+ g)时,f(x)min =4.•- 7— 2a W 4,• a ,3. • a 的最小值为3.21.应用基本不等式的条件: “一正、二定、三相等”.(1) “ 一正”,所求最值的各项都是正值.(2) “二定”,含变量的各项的和或者积必须是常数.ab ab4,当且仅当$ ab =1利用基本不等式求函数最值 ab(1)(2017天津(3) “三相等”,具备不等式中等号成立的条件,使函数取得最大值或者最小值.7+ 2 10 20当且仅当?=,时,等号成立. 以上三个条件,在应用基本不等式求最值时必须同时具备. 2•此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点,它需要一定的灵活性和技巧性•常用技巧有 “拆项”、“添项”、“常值代换”等.3•等号取不到时,注意利用求函数最值的其他方法,如利用单调性、数形结合、换元 法、判别式法等.弐之芹11 •⑴求函数y = 2x + -(xvO)的最大值;=—2 2,当且仅当2(— x)=—,即2x 2= 1, x 时取等号,…ymax = 一 2-.;2.⑵•/ 0vx<3,^ 1— 3x>0.1当且仅当3x = 1— 3x ,即x = 6时取等号,ymax = a?.利用基本不等式解有条件的最值问题空二也= 已知x>0 , y>0,2x + 5y = 20,求寸+片的最小值.y = 3 3x(1 — 3x)< 1 J3x ]2 1戸———=12,(2)求函数 y = x(1 — 3x) 0<x< 1的最大值.[解] 因为 x>0, y>0,2x + 5y = 20,2x + 5y = 20,A 签解得所以1+1的最小值为7+210x y 20现障思第利用基本不等式解有条件的最值问题:首先要利用已知条件构建基本不等式所满足的 条件,拆分、配凑是常用的技巧,然后要注意基本不等式等号成立的条件是否成立.2. (1)若 a>0, b>0,且 ab + a + 2b = 30,求 y = ab 的最大值; 16⑵已知a>b>0,求a 2+的最小值.b(a — b )解:⑴法一:(消元法):由ab + a + 2b = 30, •- b= 30-a a(a<30).• y = ab = 30a — a.令 t = a + 2,贝U a = t — 2,2十a当且仅当t =罕,即t = 8, a = 6时取等号,此时 b = 3.法_ : T ab + a + 2b = 30, — a + 2b = 30 — ab.a + 2b 》2 *2ab ,「・ 30 — ab 》2:j2ab ・ 令 ab = t ,则 30 —12>2 2t ,解得 t w 18. --ab W 18,即 ymax = 18,当且仅当 a = 2b 及 ab + a + 2b = 30,可得 a = 6, b = 3.⑵•/ a>b>0, • a — b>0.a —b + b a_ 4,当且仅当a - b = b ,即卩a = 2b 时,等号成立.•y = a 2+爲—7》a 2+64》2啓16,…b(a — b)W • - y _ 34 — t + t W 34 — 2t 6:_ 18,12 /• tan / ACB W一当且仅当x=竽,即x = 2.5时,tan / ACB 取得最大值为 ¥•5•••/ ACB 为锐角,正切函数在 0, n 上递增, •••当x = 2.5时,视角最大.珂障思结应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是:(1)先理解题意,设变量•设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; ⑵建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4) 写出正确答案.3.某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为 160平方米的水产养殖网箱,为了避免混养,箱中要安装一些筛网,如平面图所示•如果- 64当且仅当a 2= 6,即a = 2 2时,等号成立.a2 16故当a = 2 2, b = .2时,a 2+门匚亍有最小值16.基本不等式在实际问题中的应用—J巨幅壁画最高点离地面 14 m ,最低点离地面 2 m ,若从离地面1.5 m 处观赏此画,问离墙多远时,视角最大. [解]如图,设 AD = 14 m , BD = 2 m , OD = 1.5 m .如图建立坐标 系,则 A(0,12.5), B(0,0.5). 设C (X ,0),则k AC =號严=12.5 x0.5 — 0 0.5 k BC ="0^7 一 V ,tan / ACB =整+ 12.5x x 12 0.5 12.5 x x6.25' x •/ x>0,6.25 x6.25x=5.网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长112元,筛网(图中虚线部分)的建造单价为 每米长96元,网箱底面建造单价为每平方米100元,网衣及筛网的厚度忽略不计.(1)把建造网箱的总造价 y (元)表示为网箱的长 x (如图所示,单位为米)的函数,并求出 最低造价;(2)若要求网箱的长与宽都不能超过 15米.则当网箱的长与宽各为多少米时,可使总造价最低(精确到0.01米).240.256x =— 即x = 16时,取得最小值.Xx < 15,⑵•/ x >0,••• 102< x W 15.譽 15, 3设 g(x)=x + 256(x € 103,15]) 任取 x 1, x 2€ 1。
2.2基本不等式第一课时基本不等式课标要求素养要求1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a>0,b>0).2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.通过学习掌握基本不等式及其简单应用,重点发展数学运算、逻辑推理素养.新知探究如图,是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计,颜色的明暗使其看起来像一个风车.问题依据会标,你能找到一些相等或不等关系吗?提示由图可知①a2+b2=(a-b)2+2ab;②a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,取“=”.1.∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.特别地,如果a>0,b>0,我们用a,b分别代替上式中的a,b,可得ab≤a+b2,当且仅当a=b时等号成立.通常称此不等式为基本不等式,其中,a +b2叫做正数a ,b 的算术平均数,ab 叫做正数a ,b 的几何平均数.2.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.拓展深化[微判断]1.a +b2≥ab 对任意实数a ,b 都成立.(×)提示 只有当a >0且b >0时,a +b2≥ab 才能成立. 2.若a >0,b >0且a ≠b ,则a +b >2ab .(√) 3.若a >0,b >0,则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22.(√) [微训练]当a ,b ∈R 时,下列不等关系成立的是________(填序号). ①b a +ab ≥2;②a -b ≥2ab ;③a 2+b 2≥2ab ;④a 2-b 2≥2ab .解析 根据a 2+b 22≥ab ,a +b2≥ab 成立的条件判断,知①②④错,只有③正确. 答案 ③ [微思考]1.不等式a 2+b 22≥ab 和a +b2≥ab 中“=”成立的条件相同吗? 提示 不相同.前者仅需a =b 即可,后者要求a =b ≥0. 2.“当且仅当a =b 时,等号成立”的含义是什么? 提示 a =b ⇔a 2+b 22=ab ;a =b >0⇔a +b2=ab .题型一 与基本不等式有关的比较大小问题【例1】 设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( ) A.a <b <ab <a +b2 B.a <ab <a +b2<b C.a <ab <b <a +b2D.ab <a <a +b2<b解析 法一 ∵0<a <b ,∴a <a +b2<b ,排除A ,C 两项.又ab -a =a (b -a )>0,即ab >a ,排除D 项,故选B.法二 取a =2,b =8,则ab =4,a +b 2=5,所以a <ab <a +b 2<b . 答案 B规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a >0,b >0.【训练1】 比较大小:x 2+2x 2+1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).解析x 2+2x 2+1=x 2+1+1x 2+1≥2,当且仅当x 2+1=1x 2+1.即x =0时,等号成立. 答案 ≥题型二 用基本不等式证明不等式 角度1 无附加条件的不等式证明【例2-1】 已知a ,b ,c >0,求证:a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c .解 ∵a ,b ,c >0,∴利用基本不等式可得a 2b +b ≥2a ,b 2c +c ≥2b ,c 2a +a ≥2c ,∴a 2b +b 2c +c 2a +a +b +c ≥2a +2b +2c ,故a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c ,当且仅当a =b =c 时,等号成立.角度2 有附加条件的不等式证明【例2-2】 已知a ,b ,c 为正数,且a +b +c =1,证明:1a +1b +1c ≥9. 证明 1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b +a +b +c c =3+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b +⎝ ⎛⎭⎪⎫c a +a c +⎝ ⎛⎭⎪⎫c b +b c≥3+2+2+2=9.当且仅当a =b =c =13时,等号成立.规律方法 在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.【训练2】 已知a ,b ,c 是全不相等的正实数,求证:b +c -a a +a +c -bb +a +b -c c >3.证明 因为a ,b ,c 全不相等, 所以b a 与a b ,c a 与a c ,c b 与bc 全不相等, 所以b a +a b >2,c a +a c >2,c b +bc >2, 三式相加得,b a +c a +c b +a b +a c +bc >6, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +c a -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫c b +a b -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫a c +bc -1>3,即b +c -a a +a +c -b b +a +b -c c >3. 题型三 利用基本不等式直接求最值【例3】 (1)当x >0时,求12x +4x 的最小值; (2)当x <0时,求12x +4x 的最大值;(3)已知4x +ax (x >0,a >0)在x =3时取得最小值,求a 的值. 解 (1)∵x >0,∴12x >0,4x >0. ∴12x +4x ≥212x ·4x =8 3. 当且仅当12x =4x ,即x =3时取最小值83, ∴当x >0时,12x +4x 的最小值为8 3. (2)∵x <0,∴-x >0. 则12-x+(-4x )≥212-x·(-4x )=83, 当且仅当12-x =-4x 时,即x =-3时取等号.∴12x +4x ≤-8 3.∴当x <0时,12x +4x 的最大值为-8 3. (3)4x +ax ≥24x ·a x =4a ,当且仅当4x =ax ,即a =4x 2=36时取等号, ∴a =36.规律方法 在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件是否具备.【训练3】 已知x >0,y >0,且x +y =8,则(1+x )·(1+y )的最大值为( ) A.16B.25C.9D.36解析 因为x >0,y >0,且x +y =8,所以(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+⎝⎛⎭⎪⎫x+y22=9+42=25,因此当且仅当x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25.答案 B一、素养落地1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养,通过运用基本不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.2.两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘=’”这句话的含义要有正确的理解.一方面:当a=b时,a+b2=ab;另一方面:当a+b2=ab时,也有a=b.二、素养训练1.下列不等式成立的是()A.ab≤a2+b22 B.ab≥a2+b22C.a+b≥2abD.a+b≤2ab解析a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,ab≤a2+b22,故选A.答案 A2.若0<a<b且a+b=1,则下列四个数中最大的是()A.12 B.a2+b2C.2abD.a解析a2+b2=(a+b)2-2ab>(a+b)2-2·⎝⎛⎭⎪⎫a+b22=12.a2+b2-2ab=(a-b)2>0,∴a2+b2>2ab.∵0<a <b 且a +b =1,∴a <12.∴a 2+b 2最大. 答案B3.若x >0,则x +1x ________2(填“=”,“≥”,“≤”,“>”,“<”). 解析 x >0时,x +1x ≥2x ·1x =2,当且仅当x =1x ,即x =1时取等号.答案 ≥4.若a ,b >0,且a +b =2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是________(填序号).①ab ≤1;②a +b ≤2;③a 2+b 2≥2;④1a +1b ≥2.解析 对于①,ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22=1,当且仅当a =b 时取等号,故①正确;对于②,(a +b )2=a +b +2ab =2+2ab ≤4,当且仅当a =b 时取等号,得a +b ≤2,故②错误;对于③,a 2+b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22=1,故a 2+b 2≥2成立,故③正确;对于④,1a +1b =12(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =1+a 2b +b 2a ≥1+2b 2a ·a2b =2,当且仅当a =b 时取等号,故④正确. 答案 ①③④5.已知a ,b ,c 为正数,且a +b +c =1, 证明:(1-a )(1-b )(1-c )≥8abc .证明 (1-a )(1-b )(1-c )=(b +c )(a +c )(a +b ) ≥2bc ·2ac ·2ab =8abc .当且仅当b =c =a =13时,等号成立.基础达标一、选择题1.不等式a2+4a2≥4中,等号成立的条件是()A.a=4B.a= 2C.a=- 2D.a=±2解析此不等式等号成立的条件为a2=4a2,即a=±2,故选D. 答案 D2.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是()A.s≥tB.s>tC.s≤tD.s<t解析∵b2+1≥2b,∴a+2b≤a+b2+1.答案 A3.已知x<0,则x+1x-2有()A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4解析∵x<0,∴-x>0,∴x+1x-2=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(-x)+1(-x)-2≤-2-2=-4.当且仅当-x=-1x时,即x=-1时“=”成立.答案 C4.已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,下列各式中最大的是()A.a2+b2B.2abC.2abD.a+b解析因为0<a<1,0<b<1,所以a2<a,b2<b,所以a2+b2<a+b,又a2+b2>2ab(因为a≠b),所以2ab<a2+b2<a+b.又因为a+b>2ab(因为a≠b),所以a+b最大,故选D.答案 D5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()A.a<v<abB.v=abC.ab<v<a+b2 D.v=a+b2解析设甲、乙两地的距离为s,则v=2ssa+sb=21a+1b.由于a<b,∴1a +1b<2a,∴v>a,又1a+1b>21ab,∴v<ab.故a<v<ab,选A. 答案 A二、填空题6.已知a,b是不相等的正数,x=a+b2,y=a+b,则x,y的大小关系是________.解析x2=a+b+2ab2,y2=a+b=a+b+a+b2.∵a+b>2ab(a≠b),∴x2<y2,∵x,y>0,∴x<y.答案x<y7.已知a>b>c,则(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是________.解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0.∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号.答案(a-b)(b-c)≤a-c 28.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使ba+ab≥2成立的条件有________(填序号).解析当ba,ab均为正数时,ba+ab≥2,故只需a,b同号即可,∴①③④均可以.答案①③④三、解答题9.设a>0,b>0,且a+b=1a+1b,证明:a+b≥2.证明由a>0,b>0,则a+b=1a+1b=a+bab,由于a+b>0,则ab=1,即有a+b≥2ab=2,当且仅当a=b时取得等号,∴a+b≥2.10.已知a,b,c都是正数,求证:a+b+c-ab-bc-ac≥0. 证明∵a,b,c都是正数,∴a+b≥2ab,b+c≥2bc,a+c≥2ac,∴a+b+b+c+a+c≥2(ab+bc+ac),∴a+b+c≥ab+bc+ac,即a+b+c-ab-bc-ac≥0.(当且仅当a=b=c时,等号成立)能力提升11.设a,b为非零实数,给出下列不等式:①a2+b22≥ab;②a2+b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a+b22;③a+b2≥aba+b;④ab+ba≥2.其中恒成立的是________(填序号).解析由重要不等式a2+b2≥2ab,可知①正确;a 2+b 22=2(a 2+b 2)4=(a 2+b 2)+(a 2+b 2)4≥a 2+b 2+2ab 4=(a +b )24=⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22,可知②正确; 当a =b =-1时,不等式的左边为a +b 2=-1,右边为ab a +b=-12,可知③不正确; 当a =1,b =-1时,可知④不正确.答案 ①②12.设x >0,求证:x +22x +1≥32. 证明 ∵x >0,∴x +12>0,x +22x +1=x +1x +12=x +12+1x +12-12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12·1x +12-12=32.当且仅当x +12=1x +12,即x =12时,等号成立.创新猜想13.(数学文化)三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示,我们教材中利用该图证明( )A.如果a >b ,b >c ,那么a >cB.如果a >b >0,那么a 2>b 2C.对任意正实数a 和b ,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时等号成立D.如果a >b ,c >0那么ac >bc解析 可将直角三角形的两直角边长取作a ,b ,斜边为c (c 2=a 2+b 2).则外围的正方形的面积为c 2,也就是a 2+b 2,四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab . 对任意正实数a 和b ,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时等号成立.答案 C14.(多选题)设a >0,b >0,下列不等式中恒成立的是( )A.a 2+1>aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b ≥4C.(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b ≥4 D.a 2+9>6a 解析 由于a 2+1-a =⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+34>0,故A 恒成立; 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b =ab +1ab +b a +a b ≥2ab ·1ab +2b a ·ab =4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab =1ab ,b a =a b ,即a =b =1时,“=”成立,故B 恒成立;由于(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =2+b a +a b ≥2+2b a ·a b =4. 当且仅当a b =b a ,即a =b 时,“=”成立,故C 恒成立,a 2+9≥6a ,当且仅当a=3时,“=”成立.答案 ABC。