第一课时 基本不等式

2.2基本不等式第一课时基本不等式课标要求素养要求1.掌握基本不等式ab≤a＋b2(a>0，b>0).2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.新知探究如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？提示由图可知①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.1.∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.特别地，如果a>0，b>0，我们用a，b分别代替上式中的a，b，可得ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时等号成立.通常称此不等式为基本不等式，其中，a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.拓展深化[微判断]1.a ＋b2≥ab 对任意实数a ，b 都成立.(×)提示 只有当a >0且b >0时，a ＋b2≥ab 才能成立. 2.若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .(√) 3.若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.(√) [微训练]当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________(填序号). ①b a ＋ab ≥2；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .解析 根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确. 答案 ③ [微思考]1.不等式a 2＋b 22≥ab 和a ＋b2≥ab 中“＝”成立的条件相同吗？ 提示 不相同.前者仅需a ＝b 即可，后者要求a ＝b ≥0. 2.“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义是什么？ 提示 a ＝b ⇔a 2＋b 22＝ab ；a ＝b >0⇔a ＋b2＝ab .题型一 与基本不等式有关的比较大小问题【例1】 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A.a <b <ab <a ＋b2 B.a <ab <a ＋b2<b C.a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b解析 法一 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，排除A ，C 两项.又ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，排除D 项，故选B.法二 取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a <ab <a ＋b 2<b . 答案 B规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a >0，b >0.【训练1】 比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).解析x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1.即x ＝0时，等号成立. 答案 ≥题型二 用基本不等式证明不等式 角度1 无附加条件的不等式证明【例2－1】 已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .解 ∵a ，b ，c >0，∴利用基本不等式可得a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.角度2 有附加条件的不等式证明【例2－2】 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9. 证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.规律方法 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.【训练2】 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －bb ＋a ＋b －c c >3.证明 因为a ，b ，c 全不相等， 所以b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等， 所以b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2， 三式相加得，b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋bc －1>3，即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3. 题型三 利用基本不等式直接求最值【例3】 (1)当x >0时，求12x ＋4x 的最小值； (2)当x <0时，求12x ＋4x 的最大值；(3)已知4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值. 解 (1)∵x >0，∴12x >0，4x >0. ∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83， ∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3. (2)∵x <0，∴－x >0. 则12－x＋(－4x )≥212－x·（－4x ）＝83， 当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号.∴12x ＋4x ≤－8 3.∴当x <0时，12x ＋4x 的最大值为－8 3. (3)4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即a ＝4x 2＝36时取等号， ∴a ＝36.规律方法 在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.【训练3】 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )·(1＋y )的最大值为( ) A.16B.25C.9D.36解析 因为x >0，y >0，且x ＋y ＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.答案 B一、素养落地1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养，通过运用基本不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.2.两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，a＋b2＝ab；另一方面：当a＋b2＝ab时，也有a＝b.二、素养训练1.下列不等式成立的是()A.ab≤a2＋b22 B.ab≥a2＋b22C.a＋b≥2abD.a＋b≤2ab解析a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤a2＋b22，故选A.答案 A2.若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A.12 B.a2＋b2C.2abD.a解析a2＋b2＝(a＋b)2－2ab>(a＋b)2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝12.a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，∴a2＋b2>2ab.∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大. 答案B3.若x >0，则x ＋1x ________2(填“＝”，“≥”，“≤”，“>”，“<”). 解析 x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.答案 ≥4.若a ，b >0，且a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号).①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b ≥2.解析 对于①，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；对于②，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；对于③，a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；对于④，1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋a 2b ＋b 2a ≥1＋2b 2a ·a2b ＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确. 答案 ①③④5.已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1， 证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b ) ≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立.基础达标一、选择题1.不等式a2＋4a2≥4中，等号成立的条件是()A.a＝4B.a＝ 2C.a＝－ 2D.a＝±2解析此不等式等号成立的条件为a2＝4a2，即a＝±2，故选D. 答案 D2.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是()A.s≥tB.s>tC.s≤tD.s<t解析∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.答案 A3.已知x<0，则x＋1x－2有()A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为－4D.最小值为－4解析∵x<0，∴－x>0，∴x＋1x－2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x）＋1（－x）－2≤－2－2＝－4.当且仅当－x＝－1x时，即x＝－1时“＝”成立.答案 C4.已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是()A.a2＋b2B.2abC.2abD.a＋b解析因为0<a<1，0<b<1，所以a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，所以2ab<a2＋b2<a＋b.又因为a＋b>2ab(因为a≠b)，所以a＋b最大，故选D.答案 D5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()A.a<v<abB.v＝abC.ab<v<a＋b2 D.v＝a＋b2解析设甲、乙两地的距离为s，则v＝2ssa＋sb＝21a＋1b.由于a<b，∴1a ＋1b<2a，∴v>a，又1a＋1b>21ab，∴v<ab.故a<v<ab，选A. 答案 A二、填空题6.已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是________.解析x2＝a＋b＋2ab2，y2＝a＋b＝a＋b＋a＋b2.∵a＋b>2ab(a≠b)，∴x2<y2，∵x，y>0，∴x<y.答案x<y7.已知a>b>c，则（a－b）（b－c）与a－c2的大小关系是________.解析∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴a－c2＝（a－b）＋（b－c）2≥（a－b）（b－c），当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号.答案（a－b）（b－c）≤a－c 28.给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件有________(填序号).解析当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只需a，b同号即可，∴①③④均可以.答案①③④三、解答题9.设a>0，b>0，且a＋b＝1a＋1b，证明：a＋b≥2.证明由a>0，b>0，则a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，由于a＋b>0，则ab＝1，即有a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取得等号，∴a＋b≥2.10.已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－ab－bc－ac≥0. 证明∵a，b，c都是正数，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，a＋c≥2ac，∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(ab＋bc＋ac)，∴a＋b＋c≥ab＋bc＋ac，即a＋b＋c－ab－bc－ac≥0.(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)能力提升11.设a，b为非零实数，给出下列不等式：①a2＋b22≥ab；②a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22；③a＋b2≥aba＋b；④ab＋ba≥2.其中恒成立的是________(填序号).解析由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；a 2＋b 22＝2（a 2＋b 2）4＝（a 2＋b 2）＋（a 2＋b 2）4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝（a ＋b ）24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知②正确； 当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b＝－12，可知③不正确； 当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确.答案 ①②12.设x >0，求证：x ＋22x ＋1≥32. 证明 ∵x >0，∴x ＋12>0，x ＋22x ＋1＝x ＋1x ＋12＝x ＋12＋1x ＋12－12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－12＝32.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时，等号成立.创新猜想13.(数学文化)三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图证明( )A.如果a >b ，b >c ，那么a >cB.如果a >b >0，那么a 2>b 2C.对任意正实数a 和b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立D.如果a >b ，c >0那么ac >bc解析 可将直角三角形的两直角边长取作a ，b ，斜边为c (c 2＝a 2＋b 2).则外围的正方形的面积为c 2，也就是a 2＋b 2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab . 对任意正实数a 和b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立.答案 C14.(多选题)设a >0，b >0，下列不等式中恒成立的是( )A.a 2＋1>aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4C.(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4 D.a 2＋9>6a 解析 由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，故A 恒成立； 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋b a ＋a b ≥2ab ·1ab ＋2b a ·ab ＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab ，b a ＝a b ，即a ＝b ＝1时，“＝”成立，故B 恒成立；由于(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4. 当且仅当a b ＝b a ，即a ＝b 时，“＝”成立，故C 恒成立，a 2＋9≥6a ，当且仅当a＝3时，“＝”成立.答案 ABC。