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第十章 气体动理论主要内容
一.理想气体状态方程： m PV RT M
'=； P nkT = 8.31J R k mol =；231.3810J k k -=⨯；2316.02210A N mol -=⨯；A R N k =
二. 理想气体压强公式
23kt p n ε= ε=213=22kt mv kT 分子平均平动动能
三. 理想气体温度公式
21322kt mv kT ε==
四.能均分原理
1. 自由度：确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目。
2. 气体分子的自由度
单原子分子 (如氦、氖分子)3i =；刚性双原子分子5i =；刚性多原子分子6i =
3. 能均分原理：在温度为T 的平衡状态下，气体分子每一自由度上具有的平均动都相等，其值为1
2
kT
五. 理想气体的内能（所有分子热运动动能之和）
1.1mol 理想气体=⋅=22A i i E N kT RT 3. 一定量理想气体()2i m E RT M
νν'==
六．麦克斯韦速率发布函数（可能会命题计算题，各种表达式的物理含义要牢记） 1()N
f v N v =d d , 速率在v 附近，单位速率区间内分子数占总分子数的百分率。
归一化条件：0()1f v v ∞=⎰d ,
=
=≈
平均速率：v ==≈ 最概然速率
：p v =≈
七．碰撞频率：
2z d nv =
平均自由程：λ=。
状态方程和相变是物理学中非常重要的概念。
状态方程描述了物质在不同条件下的状态，包括温度、压力、体积等参数，而相变则描述了物质从一个状态转变为另一个状态时所发生的变化。
本文将详细介绍的相关知识，以及它们在生活中的应用。
一、状态方程的定义和意义状态方程是描述物质状态的基本方程。
它通常表示为P（压力）、V（体积）、T（温度）之间的关系式，即P=f(V,T)或V=f(P,T)或T=f(P,V)。
其中，P、V、T称为状态参量。
状态方程是物态方程的简称，常见的物态方程有理想气体状态方程、范德华状态方程等。
状态方程的意义在于，通过一些参数的变化，可以描述物质从一个状态到另一个状态的变化过程。
例如，随着温度升高、压力降低，水会从液态变为气态；反之，随着温度降低、压力升高，水会从气态变为液态。
这些变化过程都可以通过状态方程进行描述。
二、常见的状态方程理想气体状态方程是最基本的状态方程之一。
它可以用于描述处于高温、低密度条件下的气体状态，满足PV=nRT（其中，n为物质的摩尔数，R为气体常数）。
在标准状况下，理想气体状态方程可以进一步简化为PV=RT。
然而，当温度和压力较高时，理想气体状态方程就不再适用，因为气体分子之间会发生相互作用，产生一定的吸引力和排斥力。
在这种情况下，需采用更加复杂的状态方程，如范德华状态方程、毛维－安德鲁状态方程等。
三、相变的定义和分类相变是指物质从一个状态（相）转变为另一个状态的过程，常见的相有固态、液态和气态。
相变分为两种类型：一种是温度和压力的变化对相的稳定性产生影响，如水从冰态到液态的融化过程，或水从液态到气态的沸腾过程；另一种是质量的变化对相的稳定性产生影响，如水在加热时的汽化过程。
相变还可以分为一次相变和二次相变。
一次相变，在过程中物质的内能发生跃变，如水从冰态到液态的融化过程。
二次相变，在过程中物质的内能发生连续的变化，如铁的铁磁相变。
四、状态方程与相变的应用在生活中有很多应用，以下是几个例子。
第十章 气体动理论一、选择题参考答案1． (B) ；2． (B )；3． (C) ；4． (A) ；5． (C) ；6． (B )；7． (C )； 8． (C) ；9． (D) ；10． (D) ；11． (C) ；12． (B) ；13． (B) ；14． (C) ；15． (B) ；16．(D) ；17． (C) ；18． (C) ；19． (B) ；20． (B) ；二、填空题参考答案1、体积、温度和压强，分子的运动速度（或分子的动量、分子的动能）2、一个点；一条曲线；一条封闭曲线。
3. kT 21 4、1:1；4:1 5、kT 23；kT 25；mol /25M MRT 6、12.5J ；20.8J ；24.9J 。
7、1:1；2:1；10:3。
8、241092.3⨯9、3m kg 04.1-⋅10、（1）⎰∞0d )(v v v Nf ；（2）⎰∞0d )(v v v f ；（3）⎰21d )(212v v v v v Nf m 11、氩；氦12、1000m/s ； 21000m/s13、1.514、215、12M M三、计算题参考答案1．解：氧气的使用过程中，氧气瓶的容积不变，压强减小，因此可由气体状态方程得到使用前后的氧气质量，进而将总的消耗量和每小时的消耗量比较求解。
已知atm 1301=p ，atm 102=p ，atm 13=p ；L 3221===V V V ，L 4003=V 。
质量分布为1m ，2m ，3m ，由题意可得RT Mm V p 11=RT Mm V p 22= RT M m V p 333=所以该瓶氧气使用的时间为h)(6.94000.132)10130(3321321=⨯⨯-=-=-=V p V p V p m m m t 2．解：设管内总分子数为N ，由V NkT nkT p ==有 1210611)(⨯==.kT pV N （个）空气分子的平均平动动能的总和= J 10238-=NkT 空气分子的平均转动动能的总和 = J 106670228-⨯=.NkT 空气分子的平均动能的总和 = J 10671258-⨯=.NkT3．解：（1）根据状态方程RT MRT MV m p RT M m pV ρ==⇒=得 ρp M RT = ，pRT M ρ= 气体分子的方均根速率为1-2s m 49533⋅===ρp M RT v （2）气体的摩尔质量为1-2m ol kg 108.2⋅⨯==-p RTM ρ所以气体为N 2或CO 。
状态方程及其在物理化学中的应用在物理化学中，状态方程是一组数学公式，它们描述物质在不同温度、压力和体积下的状态。
这些方程可以用来预测物质的行为，特别是当它们受到不同的条件限制时的行为。
在这篇文章中，我们将讨论状态方程及其在物理化学中的应用。
一、状态方程的定义在物理化学中，状态方程是描述物质状态的数学公式。
它们通常是基于一些参数的函数，这些参数包括温度、压力和体积。
通过改变一个或多个参数，可以改变物质的状态，例如从液体到气体或固体到液体。
不同的状态方程适用于不同的物质和条件。
二、各种状态方程1. 理想气体状态方程理想气体状态方程是由克拉普龙和梅耶在中提出的，描述了理想气体的状态。
理想气体是一种理论上存在的气体，它符合以下条件：a) 分子之间没有相互作用力；b) 分子占据的体积可以忽略不计；c) 分子是一个点质点。
因此，理想气体的状态方程可以表示为：PV=nRT其中P表示气体的压力，V表示气体的体积，n表示气体的摩尔数，R表示气体常数，T表示气体的绝对温度。
2. 范德瓦尔斯状态方程范德瓦尔斯状态方程是由荷兰物理学家范德瓦尔斯提出的，它可以描述非理想气体的状态。
范德瓦尔斯方程修正了理想气体的状态方程，使得它适用于具有分子相互作用力的气体，包括液态和固态。
范德瓦尔斯方程可以表示为：(P+a/V^2)(V-b)=nRT其中a和b是范德瓦尔斯参数，它们描述了气体分子之间的相互作用力和气体分子占据的体积。
当气体分子之间的相互作用力很弱时，a和b都趋近于零，范德瓦尔斯方程就退化成理想气体状态方程。
3. 等温吉布斯能变法等温吉布斯能变法是用于气体和液体的状态方程，它基于吉布斯能的概念，使用温度和压力作为参数来描述物质状态。
与理想气体状态方程和范德瓦尔斯方程不同，等温吉布斯能变法不要求分子占据的体积可以忽略不计。
等温吉布斯能变法可以表示为：G=H-TS=-RTln(P)其中G是吉布斯能，H是焓，S是熵，R是气体常数，T是温度，P是压力。
10.1 状态变量和状态方程(1)状态及状态变量的概念状态：电路状态指在任何时刻必需的最少量的信息，它们和自该时刻以后的输入（激励）足以确定该电路此后的性状。
状态变量：描述电路状态的一组变量，这组变量在任何时刻的值表明了该时刻电路的状态。
状态变量的选取方法：电路变量选取不是唯一的，对于动态电路，动态变量的个数与动态元件的个数相同，常取电感中的电流和电容上的电压作为动态变量。
10.1 状态变量和状态方程(2)状态方程图示电路，以电容上的电压和电感中的电流为状态变量列出方程：写成矩阵形式：10.1 状态变量和状态方程状态方程标准形式：——n维状态变量列向量——n维状态变量列向量对时间的一阶导数V——r维输入（激励）列向量B——为nXr阶常数矩阵10.1 状态变量和状态方程(3)输出方程对电路的输出变量列写的方程即为输出方程。
例如，如图示，我们关心的是电流i和R2电阻上的电压，则输出方程为：写成矩阵形式：输出方程的一般形式：式中，X,Y分别是状态变量和输出变量列向量；C,D是常数矩阵。
10.2 状态方程列写方法(1)观察法对简单电路通过观察列写状态方程。
方法是：对含C的结点列写KCL，对含L的回路列写KVL。
如图所示，对结点①列KCL对回路1列KVL:即：写成矩阵形式：10.2 状态方程列写方法(2)叠加法基本思路：用电压源代替电容，用电流源代替电感，然后用叠加定理求电容中的电流和电感中的电压。
如图右上图所示，用电压源替代电容用电流源替代电感后得到右下图。
10.2 状态方程列写方法10.2 状态方程列写方法(3)拓扑法对复杂电路，借助网络图论列写状态方程，称为拓扑法。
拓扑法基本思路：A、将图中的每个元件看成一条支路。
B、选一棵常态树：树支包含的有电压源支路和电容支路和一些必要的电阻支路，不含任何电感支路和电流源支路。
当电路存在由电压源和电容构成的回路以及不存在由电感的电流源构成的割集时，这样的常数树是存在的。
状态方程的参数简介状态方程是描述动态系统行为的数学模型，它通过表示系统的状态和状态变化的方程来描述系统的演化规律。
状态方程的参数是指在状态方程中出现的变量和常数。
这些参数决定了系统的特性和行为，对于系统的分析和控制至关重要。
在本文中，我们将介绍状态方程的基本概念和常见形式，然后详细讨论状态方程的参数，包括变量和常数的定义、物理意义、取值范围以及对系统行为的影响。
状态方程的基本概念状态方程描述了系统的状态随时间的演化规律。
一般来说，状态方程可以写成如下形式：dx/dt = f(x, u, t)其中，x是系统的状态向量，u是系统的输入向量，t是时间，f是状态方程的右侧函数。
状态方程可以是线性或非线性的，具体形式取决于系统的性质和特点。
状态方程的参数包括状态向量x中的变量和常数，以及右侧函数f中的变量和常数。
下面我们将分别讨论这些参数的定义和物理意义。
状态向量的参数状态向量x是描述系统状态的一组变量。
它的具体定义和物理意义取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的状态向量及其参数的例子：•位置向量：描述物体在空间中的位置，参数包括物体在三个坐标轴上的位置变量（例如x、y、z）。
•速度向量：描述物体在空间中的速度，参数包括物体在三个坐标轴上的速度变量（例如v_x、v_y、v_z）。
•电路变量：描述电路中的电流和电压，参数包括电流和电压变量（例如i、v）。
状态向量的参数在状态方程中起到了关键的作用。
它们决定了系统的状态空间的维度和范围，以及状态变化的规律。
不同的参数可以对系统的行为产生不同的影响。
右侧函数的参数右侧函数f描述了状态向量x随时间的变化规律。
它的具体定义和物理意义也取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的右侧函数及其参数的例子：•线性函数：描述线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和常数矩阵。
•非线性函数：描述非线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和非线性函数。
自动控制原理状态方程知识点总结自动控制原理中的状态方程是描述系统动态行为的一种数学模型。
通过分析系统的输入和输出，可以利用状态方程来预测系统的响应和稳定性。
本文将对状态方程的基本概念、求解方法以及应用进行总结。
一、状态方程的基本概念状态方程（State Equation）是指用代表系统参数和输入的变量来描述控制系统中元件状态随时间变化的关系表达式。
一般形式如下所示：dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)表示状态向量，代表系统的状态变量；u(t)为输入向量，指系统的输入信号；y(t)为输出向量，代表系统的输出信号；A、B、C、D为系统的参数矩阵。
二、状态方程的求解方法1. 直接求法：通过系统的关系方程，将所有元件的微分方程组合在一起，得到状态方程。
这种方法适用于简单且线性的系统。
2. 简化求法：对于线性定常系统，可以使用拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程，然后通过代数求解的方法得到状态方程。
3. 传递函数转换法：对于已知系统的传递函数，可以通过传递函数转换为状态方程的形式。
通过分子多项式的展开和分母多项式的因式分解，得到状态方程的形式。
三、状态方程的应用1. 系统分析：通过状态方程可以推导系统的稳定性、响应特性等。
可以通过分析系统的状态转移矩阵，判断系统的稳定性和控制性能。
2. 系统设计：利用状态方程可以进行系统的控制器设计。
可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵，使系统满足不同的控制要求。
3. 系统仿真：借助计算机仿真工具，可以利用状态方程对系统进行仿真分析，模拟不同输入下系统的响应和稳定性，从而指导实际系统的控制设计。
总结：状态方程是自动控制原理中的重要概念，能够用数学模型描述系统的动态行为。
掌握状态方程的基本概念、求解方法和应用，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
通过本文的介绍，相信读者已经对状态方程有了更深入的理解和认识。
让我们在自动控制原理的学习中更加游刃有余，应用自如。
状态方程的研究及其应用状态方程是描述物质状态的重要工具，它是热力学的基础和理论建立的出发点。
研究状态方程的性质和应用具有重要意义，可以为多个领域的研究提供理论基础和实验依据。
一、状态方程的定义和基本性质状态方程又称为物态方程，它是描述物质状态的方程式。
它通常由状态量之间的关系式构成，如压力、体积和温度等。
常用的状态方程有两大类：一类是压缩性状态方程，即根据物质压缩的性质定义的方程，如范德瓦尔斯状态方程、文丘里方程等；另一类是热力学状态方程，即定义物质状态的热力学性质的方程，如理想气体状态方程、贺兹方程等。
状态方程具有以下基本性质：1.互相独立：研究物质状态时，压力、体积和温度三个状态量是互相独立的，因此需要至少给出其中两个状态量来确定物质的状态。
2.不与过程有关：状态方程本身不与物质的过程有关，仅与物质的状态有关。
因此，通过测量物质某一时刻的状态量来确定其状态方程。
3.可用于计算能量和焓：根据状态方程，可以计算物质的能量和焓等物理量。
因此，在热力学的应用中，状态方程是非常重要的基础。
二、状态方程的研究状态方程的研究主要是探索它的性质和特征，为应用提供理论基础。
下面介绍三个常见的状态方程研究内容。
1. 经验状态方程的构建经验状态方程是根据实验数据建立的方程，它可以用于描述一定条件下物质的状态。
经验状态方程的构建需要大量的实验数据和经验分析方法。
比如，贺兹方程和文丘里方程都是根据实验数据和经验规律建立的。
2. 统计物理学理论状态方程的建立统计物理学理论状态方程是利用分子动力学理论或统计力学理论计算的状态方程。
这些状态方程涉及分子之间的相互作用，因此可以对物质的状态行为提供更深入的分析。
范德瓦尔斯状态方程和理想气体状态方程就是统计物理学理论状态方程的常用模型。
3. 状态方程和反应热的关系物质发生化学反应时，常常伴随着放热或吸热过程。
状态方程可以提供反应前后物质的状态信息，进而帮助确定反应热。
通过研究物质状态方程和反应热关系，可以深入探索化学反应的内在机理和热力学规律。
答案解：0<t 时，电容处于开路，故V 20k 2m A 10)0(=Ω⨯=-C u由换路定律得：V 20)0()0(==-+C C u u换路后一瞬间，两电阻为串联，总电压为)0(+C u 。
所以m A 5k )22()0()0(1=Ω+=++C u i再由节点①的KCL 方程得：m A 5m A )510()0(m A 10)0(1=-=-=++i i C答案解：0<t 时电容处于开路，电感处于短路，Ω3电阻与Ω6电阻相并联，所以A 3)363685(V45)0(=Ω+⨯++=-i ，A 2)0(366)0(=⨯+=--i i L V 24)0(8)0(=⨯=--i u C 由换路定律得：V 24)0()0(==-+C C u u ，A 2)0()0(==-+L L i i 由KVL 得开关电压：V 8V )2824()0(8)0()0(-=⨯+-=⨯+-=+++L C i u u答案解：0<t 时电容处于开路，0=i ，受控源源电压04=i ，所以V 6.0V 5.1)69(6)0()0()0(1=⨯Ω+Ω===--+u u u C C0>t 时，求等效电阻的电路如图(b)所示。
等效电阻Ω=++-==5)36(4i ii i i u R时间常数s 1.0i ==C R τ0>t 后电路为零输入响应，故电容电压为：V e 6.0e )0()(10/t t C C u t u --+==τΩ6电阻电压为：V e 72.0)d d (66)(101t Ctu Ci t u -=-⨯Ω-=⨯Ω-=)0(>t答案解：0<t 时电感处于短路，故A 3A 9363)0(=⨯+=-L i ，由换路定律得： A 3)0()0(==-+L L i i求等效电阻的电路如图(b)所示。
(b)等效电阻Ω=+⨯+=836366i R ，时间常数s 5.0/i ==R L τ 0>t 后电路为零输入响应，故电感电流为 A e 3e )0()(2/t t L L i t i --+==τ)0(≥t电感电压V e 24d d )(21t L tiL t u --==)0(>tΩ3电阻电流为A e 23632133t L u i u i --=Ω+⨯Ω=Ω=Ω3电阻消耗的能量为：W 3]e 25.0[1212304040233=-==Ω=∞-∞-∞Ω⎰⎰t t dt e dt i W答案解：由换路定律得0)0()0(==-+L L i i ，达到稳态时电感处于短路，故A 54/20)(==∞L i求等效电阻的电路如图(b)所示。
