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【冀教版】2019年春九年级数学下册教案：29.3 切线的性质和判定

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29.3 切线的性质和判定
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)；
2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)；
3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．
一、情境导入
约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？
二、合作探究
探究点一：切线的性质
【类型一】切线的性质的运用
AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO
相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为( )
A．20°B．35°C．55°D．70°
解析：连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD ＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.
方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想．
【类型二】利用切线的性质进行证明和计算
如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，
连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝3，求⊙O的半径．
(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP ＝90°.又∵∠P ＝30°，∴∠AOB ＝60°，又OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形．∴AB ＝AO ，∠ABO ＝60°.又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在△ACB 和△APO 中，∠BAC ＝∠OAP ，AB ＝AO ，∠ABO ＝∠AOB ，∴△ACB ≌△APO ；
(2)解：在Rt △AOP 中，∠P ＝30°，AP ＝3，∴AO ＝1，即⊙O 的半径为1.
方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解．
【类型三】 探究圆的切线的条件
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，P 是BC ︵上的一个动点，
过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D .
(1)当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由；
(2)当DP 为⊙O 的切线时，求线段BP 的长．
解析：(1)当点P 是BC ︵的中点时，得PBA ︵＝PCA ︵，得出PA 是⊙O 的直径，再利用DP ∥
BC ，得出DP ⊥PA ，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB 的长，在Rt △ABP 中再次利用勾股定理即可求出BP 的长．
解：(1)当点P 是BC ︵的中点时，DP 是⊙O 的切线．理由如下：∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，
又∵PB ︵＝PC ︵，∴PBA ︵＝PCA ︵，∴PA 是⊙O 的直径．∵PB ︵＝PC ︵，∴∠1＝∠2，又∵AB ＝AC ，∴PA ⊥BC .又∵DP ∥BC ，∴DP ⊥PA ，∴DP 是⊙O 的切线．
(2)连接OB ，设PA 交BC 于点E .由垂径定理，得BE ＝12
BC ＝6.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝AB 2－BE 2＝8.设⊙O 的半径为r ，则OE ＝8－r ，在Rt △OBE 中，由勾股定
理，得r 2＝62＋(8－r )2
，解得r ＝254.在Rt △ABP 中，AP ＝2r ＝252，AB ＝10，∴BP ＝（252）2－102＝152
. 方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论．
探究点二：切线的判定
【类型一】 判定圆的切线
AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠D ＝30°，
求证：CD 是⊙O 的切线．
证明：连接OC ，∵AC ＝CD ，∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠A ＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD ＝90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．
方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【类型二】
如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 是⊙O 上的两点，且AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，连接AC 、
AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ，垂足为D .
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若CD ＝23，求⊙O 的半径．
分析：(1)连接OC ，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD ＝∠B ，再根据等量代换得到∠ACO ＋∠ACD ＝90°，从而证明CD 是⊙O 的切线；(2)由AF ︵＝FC ︵
＝CB ︵推得∠DAC ＝∠BAC ＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB 的长，进而求得⊙O 的半径．
(1)证明：连接OC ，BC .∵FC ︵＝CB ︵，∴∠DAC ＝∠BAC .∵CD ⊥AF ，∴∠ADC ＝90°.
∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ACD ＝∠B .∵BO ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∵∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∠OCB ＝∠OBC ，∠ACD ＝∠ABC ，∴∠ACO ＋∠ACD ＝90°，即OC ⊥CD .又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；
(2)解：∵AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，∴∠DAC ＝∠BAC ＝30°.∵CD ⊥AF ，CD ＝23，∴AC ＝4 3.
在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，AC ＝43，∴BC ＝4，AB ＝8，∴⊙O 的半径为4.
方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长．
三、板书设计
1．切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2．切线的判定
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.。

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九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)

九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)

( 数学教案 )学校：_________________________年级：_________________________教师：_________________________教案设计 / 精品文档 / 文字可改九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程设计（一）复习、发现问题1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练'例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。

冀教版数学九年级下册《29.3 切线的性质和判定》教学设计1

冀教版数学九年级下册《29.3 切线的性质和判定》教学设计1

冀教版数学九年级下册《29.3 切线的性质和判定》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级下册《29.3 切线的性质和判定》这一节主要介绍了切线的性质和判定方法。

教材通过引入实例，引导学生探究切线的性质，并运用判定方法判断一个直线是否为圆的切线。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握切线的性质和判定方法。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了直线、圆的基本概念和性质，对图形的认识有一定的基础。

但由于切线概念较为抽象，学生对其理解和应用可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过实例和练习帮助学生理解和掌握切线的性质和判定方法。

三. 教学目标1.理解切线的性质，并能运用判定方法判断一条直线是否为圆的切线。

2.培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

3.提高学生对数学知识的兴趣，培养其自主学习的能力。

四. 教学重难点1.切线的性质及其判定方法。

2.如何判断一条直线是否为圆的切线。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和解决问题，探究切线的性质和判定方法。

2.利用多媒体课件和实物模型，直观展示切线的性质和判定过程，提高学生的空间想象力。

3.设计具有层次性的练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

4.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.多媒体课件和教学素材。

2.实物模型和几何画板。

3.练习题及答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的切线实例，如剪刀、圆规等，引导学生关注切线在日常生活中的应用。

提问：“你们知道什么是切线吗？切线有哪些特点？”2.呈现（10分钟）通过几何画板展示一个圆和一条直线，引导学生观察直线与圆的关系。

提问：“请大家观察一下，这条直线和圆有什么特殊的关系？”3.操练（10分钟）学生分组讨论，分析切线的性质，归纳出切线的定义和判定方法。

教师巡回指导，对学生的结论进行点评和修正。

冀教版九年级下册数学课件29.3切线的性质和判定 (共23张PPT)

冀教版九年级下册数学课件29.3切线的性质和判定 (共23张PPT)


如 图 ， 直 线 l 到 圆 心 O 的 距 离 OA 等 于 圆 O 的 半 径 ， 直 线 l 是 ⊙ O 的 切 线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．
O
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C； (2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从
l A
位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
∴∠ODC=90°． ∴DC是⊙O的切线．
例2、如图，在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB和CD相 等，且AB与小圆相切于点E，
求证：CD与小圆相切
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F． ∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB． 又∵AB=CD， ∴OF=OE，又OF⊥CD， ∴CD与小圆O相切．
切线的性质和判定
1．直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
O
O
O
图（１）
图（２）
图（３）
２、观察、提出问题、分析发现
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定 一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从 另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的 切线呢?
求证：AC平分∠DAB．
证明：连结OC． ∴AC平分∠DAB．
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则 连结两个切点的线段是直径。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切 点,且AB∥CD
求证：连结E、F的线段是直径。
证明：连结EO并延长 ∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB， ∵AB∥CD，∴OE⊥CD． ∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必
（三）切线的判定方法 切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．
冀教版数学九年级下册29.3《切线的性质和判定》教学设计

冀教版数学九年级下册29.3《切线的性质和判定》教学设计

冀教版数学九年级下册29.3《切线的性质和判定》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级下册29.3《切线的性质和判定》是本册教材中关于直线与圆位置关系的一个重要内容。

本节内容主要让学生掌握切线的性质和判定方法，为后续学习圆的方程和其他圆相关知识打下基础。

教材通过引入切线的概念，引导学生探究切线的性质，并通过实验和证明让学生理解切线的判定方法。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了直线、圆的基本知识，具备一定的观察、实验、推理能力。

但部分学生对抽象的数学概念和证明过程可能存在理解困难，因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，通过具体实例和实际操作，帮助学生理解和掌握切线的性质和判定方法。

三. 教学目标1.理解切线的定义，掌握切线的性质和判定方法。

2.能够运用切线的性质和判定方法解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、实验能力和逻辑推理能力。

四. 教学重难点1.切线的定义及其性质。

2.切线的判定方法。

3.运用切线的性质和判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线的性质和判定方法。

2.利用实验和几何画板软件，直观展示切线的特点，帮助学生理解切线的概念。

3.通过证明和推理，让学生掌握切线的性质和判定方法。

4.设计具有针对性的练习题，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备相关教学PPT，包括切线的定义、性质、判定方法的讲解和实例展示。

2.准备实验材料，如圆板、直尺、铅笔等。

3.准备几何画板软件，用于展示切线的动态特点。

4.准备练习题和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示实际生活中的切线现象，如剪刀剪纸、圆规画圆等，引导学生思考：这些现象背后是否存在共同的数学规律？从而引出本节课的主题——切线的性质和判定。

2.呈现（10分钟）介绍切线的定义，通过PPT展示切线的图形，让学生直观地理解切线的概念。

接着，讲解切线的性质，如切线与半径垂直、切线长度等于半径等。