2019届天一大联考“顶尖计划”高中毕业班第一次考试 理科数学(附答案)

x, y 天一大联考 高三年级上学期期末考试数学（理科）第I 卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有 一项符合题目要求• 1.已知集合A 「024,6 \ N |2n ：：：33?，则集合 A\ B 的子集个数为A.8B. 7C. 6D. 42. 设i 为虚数单位，复数 -一2i 为纯虚数，则实数 a 的值为1+iA. -1B. 1C. -2D. 23. 已知数列 订」的前n 项和S n =2n -1，则数列1log 2a 「的前10项和等于 A. 1023 B. 55 C. 45 D. 354.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的 绝妙证明。

下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为 边的正方形，其面积称为弦实。

图中包含四个全等的勾股形及一个 小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实， 利用2汉勾股+（股-勾）2=4朱实+黄实=弦实，化简得：勾2 +股2=弦2. 设勾股形中勾股比为1: .3，若向弦图内随机抛掷 1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 1345.已知圆 23 x x T i 亠y 2的一条切线y = kx 与双曲线C :右42 y a b 2=1 a 0, b 0有两个交点,则双曲线 C 的离心率的取值范围是A. 1,-3B. 1,2C.，3, ：： D. 2,二2x y _4 _ 0*x-y-2^0 ，N为直线y = -2x + 2 上任一点，贝U MN y _3兰0x, y的最小值是A. 5B. 25C. 1D.5 517 〒7.已知a 0且a =1，如图所示的程序框图的输出值y • 4, •::，则实数a的取值范围是(1 、A. 1,2 1B. I ,1⑵丿C. 1,2D. 2cos—x8.函数f X二一2的图象大致是.1X -XIH9.如图，已知长方体ABCD -ABQD,的体积为6, • GBC的正切值为，当AB AD AA^的值最小时，长方体ABCD -A1B1C1D1外接球的表面积为A. 10二B. 12二C. 14二D. 16 ■：1 (H、\：：：：：：y轴上的截距为1,且关于直线x 对称，若对任意的x・0；，都有m2-3m^f x，则12 12」实数m的取值范围是A. 1,3B. 1,21C. ?,2D. —IL 2. [2 . [2211. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412. 已知定义在R上的函数f X满足f 4 X ]= f X，且I：2,2 I2-x 2x ,一2 ：： x 岂 0A. 4B. 7C. 8D.9第U 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知平面向量(1,2 ),1 = (—2,m )，且；+片—b ，贝U a +2b = _________ . ____14. 已知n = f (2x —1 )dx ，则］牛—坂i 的展开式中x 2的系数为 ______________ . _____. x2y 2 x 215. 已知抛物线 G ：y =ax 2 a 0的焦点F 也是椭圆C ?:b 0的一个焦点，点4 bM ,P ,'3,1 |分别为曲线C 1,C 2上的点，贝U MP + MF 的最小值为 \2 )16. 已知数列 ⑴是首项为-34，公差为1的等差数列，数列 咕奁满足a n 1 - a n = 2n n • N ,b且a^ b 37，则数列」—卜的最大值为 ___________ . ______l 9n J三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程17.(本题满分12分)如图，在圆内接四边形 ABCD 中，AB =2,AD =1, 3BC 二 3BD cos 一二 CDsin •:(1)求角：的大小；(2 )求四边形 ABCD 周长的取值范围‘1 /1 x +—1 x ----,0 £ x 兰 2 f (X ) 21 xx，则函数g(x )= f的零点个数是时, X - lo g 4 X如图，已知四边形 ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点 E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点 A,C, AG 的中点为F,CD 的中点为P ，且AD =AB 二AE .（1）求证：平面EFP _平面BCE ； （2 ）求二面角P - EF -B 的余弦值.19. （本题满分12分）2016年是红军长征胜利 80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利 80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取 10名幸运之星回答问题， 从10个关于长征的问题中随机抽取 4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2） 若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为 ，求恰好2位幸运之星获得纪2念品的概率；（3 ）若幸运之星小李对其中 8个问题能答对，而另外 2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列和数学期望 E X .20. （本题满分12分）2 2已知椭圆C:每•务=1 a b 0的上下两个焦点分别为 F 1,F 2，过点F 1与y 轴垂直的直 a b（1） 求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线丨：y =kx • m 与y 轴交于点P ,与椭圆C 交于A,B 两个不同的线交椭圆C 于M,N 两点,MNF 2的面积为，椭圆C 的离心率为T T —点，若存在实数■，使得OA • ■ OB =4OP，求m的取值范围.K已知函数f(x)=x+alnx与g(x)=3-一的图象在点(1,1 )处有相同的切线.x(1) 若函数y=2x・m与y = f x的图象有两个交点，求实数m的取值范围;(2) 设函数H x = f x -In e x一1 ,x 三［0,m，求证:H x :：罗.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)数学（理科）考生注意：1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦千净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x ∈N0≤x≤5},CAB={1,3,5},则集合B=A.{2,4}B.{0,2,4}C.{0,1,3}D.{2,3,4}2.已知集合A={x|x 2-4x<0},B={1,2,5,6},则A∩B=A.{1,2,5}B.{5,6}C.{1,2}D.{1}3.已知复数1276-+=i i z ,则复数z 的虚部为 A.58 B.519- C.519 D.i 519- 4.函数3ln )(-+=x x x f 的零点位于区间A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.=+ππππ1225411cos 127sin 45sin in A.21 B.23 C.21- D.23- 6.已知函数a x x f x -+=2)((a>0)的最小值为2,则实数a=A.2B.4C.8D.167.已知a,B 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,则下列说法中正确的是A.若m ⊥a,n ⊥B,m ⊥n,则a ⊥BB.若m ⊥a,a ⊥B,则m ∥BC.若m ∥a,a ⊥B,则m ⊥BD.若a ∥B,m ∥a,n ∥B,则m ∥n8.若⎩⎨⎧<>-=0),(0,32)(x x g x x f x 是奇函数,则f(g(-2)的值为 A.25- B.25 C.-1 D.1 9.下列说法中,正确的是A.命题“若m>n>0,则n m 3131log log >”的逆命题为真命题B.“x x R x cos 6,2>+∈∀”的否定为“0200cos 6,x x R x <+∈∃C.,0R x ∈∃使得02069x x <+成立D.直线03:1=-y x l 与直线02:2=+my x l 垂直的充要条件为32=m 10.已知函数)2cos()(ϕ-=x x f ,将函数f(x)的图象向右平移3π个单位后与函数)32sin()(π-=x x g 的图象重合,则φ的值可以是 A.6π B.4π C.3π D.12π 11.已知函数4215)(--=x x x f ,若a<-2,b>2,则f(a)>f(b)”是“a+b<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知关于x 的方程16cos 26222+=++x x λλλ仅有唯一实数根,则实数λ的值为A.2或-4B.2C.2或4D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 满足2)4(-=f ，则函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22上的最大值为___________________。

天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)数学（理科）考生注意：1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦千净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={04|2<-x x x },A B={1,2,5,6},则集合B=（ ）A.{1,2,5}B.{5,6}C.{1,2}D.{1}2.已知集合A={m ,1,2-},B={m ,2-},若A∩B=B ，则实数m 的值为（ ）A.0或1B.1C.0D.43.已知复数()()i a i z +-=2为纯虚数，其中R a ∈,则a=（ ）A.2B.21-C.-2D.21 4.函数3ln )(-+=x x x f 的零点位于区间（ ）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 5.=+ππππ1225411cos 127sin 45sin in （ ） A.21 B.23 C.21- D.23-6.已知函数a x x f x -+=2)((a>0)的最小值为2,则实数a=（ ）A.2B.4C.8D.167.已知βα,是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,则下列说法中正确的是（ ）A.若m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n,则βα⊥B.若m ⊥α,βα⊥,则m ∥βC.若m ∥α,α⊥β,则m ⊥βD.若α∥β,m ∥α,n ∥β,则m ∥n8.下列说法中,正确的是（ ）A.命题“若0>>n m ,则n m 3131log log >”的逆命题为真命题B.“x x R x cos 6,2>+∈∀”的否定为“0200cos 6,x x R x <+∈∃C.,0R x ∈∃使得02069x x <+成立D.直线03:1=-y x l 与直线02:2=+my x l 垂直的充要条件为32=m 9.已知函数)2c o s ()(ϕ-=x x f ,将函数f(x)的图象向右平移3π个单位后与函数)32sin()(π-=x x g 的图象重合,则φ的值可以是（ ） A.6π B.4π C.3π D.12π 10.已知函数4215)(--=x x x f ,若2,2>-<b a ,则“)()(b f a f >”是“a+b<0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=4,341940),5()(x xx x x x f ,若函数m x f x g +=)()(有4个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A.[]0,4-B.{}4419,425-⎥⎦⎤ ⎝⎛-- C.⎥⎦⎤ ⎝⎛--4,419 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-419,12.已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足)()('x f x xf >恒成立（其中)('x f 为函数)(x f 的导函数），对于任意实数0,021>>x x ，下列不等式一定成立的是（ ）A.)()()(2121x x f x f x f ≥⋅B.)()()(2121x x f x f x f ≤⋅C.)()()(2121x x f x f x f +>+D.)()()(2121x x f x f x f +<+二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 满足2)4(-=f ，则函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22上的最大值为___________________。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{1,2,3,4}A =，2{|log (31),}B n n k k A ==-∈，则AB =（ ）A ．{3}B ．{1}C ．{1,3}D ．{1,2，3} 【答案】C 【解析】试题分析：1,1;3,3k n k n ====，故A B ={}1,3.考点：集合交集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.已知复数32iz i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：3221315,15iz i i i i z i i-=-+=---=--=-+在第二象限. 考点：复数概念及运算．3.以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y -+-= B ．22(1)(1)5x y +++= C ．22(1)5x y -+= D ．22(1)5x y +-=【答案】A考点：直线与圆的位置关系． 4.已知||10a =，530a b =-，且(-)()15a b a b +=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．56π D ．3π【答案】C考点：向量运算．5.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．263π+B ．83π+C ．243π+ D ．43π+【答案】C 【解析】试题分析：相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为122221433ππ⋅+⋅⋅=+. 考点：三视图．6.已知函数())(0)3f x x πϖϖ=+>在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若90ABC ∠=，则ϖ=（ ）A ．4πB ．8πC ．6πD ．12π【答案】B考点：三角函数图象与性质．7.执行如图所示的程序框图，如果输入的2P =，1Q =，则输出M 的等于（ ）A ．37B ．30C ．24D ．19 【答案】C 【解析】试题分析：12,1M N ==，循环，3,2,15,2P Q M N ====，循环，4,3,19,6P Q M N ====，循环，5,4,24,24P Q M N ====，退出循环，输出24M =. 考点：算法与程序框图．8.已知α为锐角，若1sin 2cos 25αα+=-，则tan α=（ ） A ．3 B ．2 C ．12D ．13【答案】A 【解析】试题分析：22222222sin 2cos 22sin cos cos sin 2tan 1tan 1sin cos sin cos tan 15ααααααααααααα++-+-===-+++，解得tan 3α=. 考点：三角恒等变换．9.如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种 【答案】B 【解析】试题分析：先排1，有6种方法，再排2,3,4,5有45A 种方法，故一共有456720A ⋅=种.考点：排列组合．10.已知实数[0,1]m ∈，[0,2]n ∈，则关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实数根的概率是（ ） A ．14π-B ．4πC ．32π-D ．12π-【答案】A考点：几何概型．11.如图，1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右两个焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形12PFQF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）A ．2+ C ．2D 【答案】D考点：直线与圆锥曲线位置关系．【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查数形结合的数学思想，考查三角函数恒等变形.题目的关键词是四边形12PFQF 为矩形,因为y x =倾斜角为4π，所以128PF F π∠=，由此，在直角三角形中，找到2,2a c 的关系，结合双曲线的定理，然后利用三角函数恒等变形中的二倍角的正切公式，就能够求出双曲线的离心率.12.已知函数42412sin 4()22x x x f x x +++=+，则122016()()()201720172017f f f +++=（ ）A ．2019B ．2019C ．4034D ．4032 【答案】D考点：函数图象与性质．【思路点晴】先化简42412sin 4()22x x x f x x +++=+，得到4224412sin 4sin ()2222x x x x x f x x x +++==+++，注意到()24sin 2x xg x x =+为奇函数，故12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭关于()0,2对称，为中心对称图形，对称点的纵坐标和为4.函数的图象与性质包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的定义域、值域，图象的轴对称性、中心对称性.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为 _______. 【答案】88 【解析】试题分析：球的体积为344364833r πππ=⋅=，长方体的高为48642÷÷=，故表面积为()264426288⋅+⋅+⋅=.考点：球与长方体．14.在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8BC =，7BD =，则ABC∆的面积为______.【答案】考点：解三角形．15.6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是准确的.（1）甲轻型教授队所在方向不是C 方向，也不是D 方向； （2）乙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （3）丙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （4）丁轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是D 方向.此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向.有下列判断： ①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向.其中判断准确的序号是__________. 【答案】③ 【解析】试题分析：由（1）知，甲选A 或B ；由（2）知，乙选C 或D ；由（3）知，丙选C 或D ；由（4）知，丁选C 或B ；因为：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向，故丙所在方向是D 方向． 考点：合情推理与演绎推理．【思路点晴】类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在实行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误．演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理实行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是准确的，其结论一定是准确，一定要注意推理过程的准确性与完备性.16.函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数g()xx e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有________个. 【答案】2考点：函数导数与切线．【思路点晴】两个函数的切线相同，我们就能够这样来操作，先在第一个函数中求得其切线方程，如本题中的00ln 1x y x x =+-，得到斜率为01x ，利用这个斜率，能够求得第二个函数的切点，从而求得其切线方程为0000111ln x y x x x x =-+，这两个切线方程应该是相等的，故它们的截距相等，根据两个截距相等，能够得到关于切点横坐标的一个方程，我们根据图像就能够知道这个切点的横坐标能够有两个.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的12{}nnS S +的前n 项和n T . 【答案】（I ）3nn a =；（II ）2241n n nn +T =+.（Ⅱ）由（Ⅰ），得3log n n b a n ==，所以(1)2n n n S +=.………………………………………………（7分） ∴1221122()2(1)1n n S S n n n n +=+=-+++，……………………………………………………………（8分） 故数列12{}n nS S +的前n 项和为111112[(1)()()]22231n T n n n =-+-++-++ 21242(1)211n nn n n +=-+=++.……………………………………………………………………………（12分）考点：数列基本概念，数列求和．18.（本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）实行问卷调查，并实行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）在抽取的40名学生中，从月上网次数很多于20次的学生中随机抽取3人，并用X表示其中男生的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（I）0.05；（II）分布列见解析，95.…………………………………………………………………………………………………………………（11分） 所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………（12分）考点：频率分布直方图，超几何分布． 19.（本小题满分12分）如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点， 且14CN BC =，将AEF ∆沿EF 折到'A EF ∆的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB . （Ⅰ）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ； （Ⅱ）求二面角'E A F B --的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II（Ⅱ）设等边ABC ∆的边长为4，取BC 中点G ，连接MG ，由题设知MG EF ⊥，由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，又MG ⊂平面EFCB ，所以'A M MG ⊥，如图建立空间直角坐标系M xyz -，则(1,0,0)F -，A ，B ，)FA =，FB =.…………………………………………（8分）设平面'A BF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,FA n FB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,30,x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则(3,3,1)n =-.…………………………………………（10分）平面'A EF 的一个法向量为(0,1,0)p =，所以313cos ,||||p n n p p n ==， 显然二面角'E A F B --是锐角. 所以二面角'E A F B --的余弦值为……………………………………………………………（12分） 考点：空间向量法证明面面垂直、求面面角的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为 4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求OAD ∆与OAC ∆的面积之差的绝对值的最大值.（O 为坐标原点）【答案】（I ）22143x y +=；（II .（Ⅱ）解法一：设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S .当直线l 斜率不存有时，直线方程为1x =-，此时不妨设3(1,)2D -，3(1,)2C --，且OAD ∆，OAC ∆面积相等，12||0S S -=.………………………………………………………………………………………（6分）当直线l 斜率存有时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=.………………………（7分）解法二：设直线l 的方程为'1x k y =-，与椭圆方程22143x y +=联立得：22(3'4)6'90k y k y +--=.…………………………………………………………………………………………………………………（6分） ∴1226'3'4k y y k +=+，………………………………………………………………………………………（8分） ∴121212216|'|||2||||||||23'4k S S y y y y k -=⨯⨯-=+=+， 当'0k =时，12||0S S -=. 当'0k ≠时，126||43|'||'|||'|S S k k k -==≤=+'k=时等号成立）.所以12||S S -的最大值为.……………………………………………………………………………（12分） 考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维水平、分析与解决问题的综合水平、运算求解水平、方程思想与分类讨论的思想.长轴长是2a ，焦点和短轴端点构成等边三角形，这个已知条件我们需要用到等边三角形的几何性质来做，也就是角度为6π，并且2ac =，第一问就能够求出来了.第二问要先讨论斜率是否存有. 21.（本小题满分12分）设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，1b =-时，设2()(1)ln g x x x x =-+，求证：对任意的1x >，2()()x g x f x x x e e ->++-；（Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围.【答案】（I ）证明见解析；（II ）(,1)-∞.（Ⅱ）当2b =时，22()(2)ln 2f x x ax x x =-+，a R ∈． 所以不等式22()3f x x a >+等价于22(24)ln 0x ax x x a -+->. 方法一：令22()(24)ln p x x ax x x a =-+-，[1,)x ∈+∞，则'()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥.当1a ≤时，'()0p x ≥，则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)1p x p a ==-， 所以根据题意，知有10a ->，∴1a <.当1a >时，由'()0p x <，知函数()p x 在[1,)a 上单调增减； 由'()0p x >，知函数()p x 在(,)a +∞上单调递增. 所以2min ()()(12ln )p x p a a a a ==--.考点：函数导数与不等式．【方法点晴】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维水平、等价转化水平、运算求解水平、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲=. 如图所示，PQ为O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM QN=；（Ⅰ）求证：PF QN PQ NF==，求PF的长.（Ⅱ）若QP QF【答案】（I）证明见解析；（II）3.==，所以（Ⅱ）因为QP QFPFQ QPF ∠=∠.……………………………………………………（6分）又180PFQ QPF PQE EQF ∠+∠+∠+∠=，90EQF ∠=，………………………………………（7分）所以30PFQ QPF ∠=∠=，120PQF ∠=，……………………………………………………………（8分）由余弦定理，得3PF ==.………………………………………（10分）考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为5cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q .（Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （Ⅱ）若弦长||4PQ =，求直线l 的斜率.【答案】（I ）22(2)(1)5x y -++=；（II ）0k =或34k =.（Ⅱ）由直线l 的参数方程知直线过定点(5,0)M ，则由题意，知直线l 的斜率一定存有，所以不妨设直线l 的方程为(5)y k x =-.………………………（7分）因为||4PQ =，所以254-=，解得0k =或34k =.………………………………………（10分） 考点：坐标系与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设()|||10|f x x x =++.（Ⅰ）求()15f x x ≤+的解集M ；（Ⅱ）当,a b M ∈时，求证5|||25|a b ab +≤+.【答案】（I ）55x -≤≤；（II ）证明见解析.（Ⅱ）当,a b M ∈，即55a -≤≤，55b -≤≤时，要证5|||25|a b ab +≤+，即证2225()(25)a b ab +≤+.…………………………………………………（6分） ∵22222225()(25)25(2)(50625)a b ab a ab b a b ab +-+=++-++ 2222222525625(25)(25)0a b a b a b =+--=--≤…………………………………………………（9分）∴2225()(25)a b ab +≤+，即5|||25|a b ab +≤+.…………………………………………………（10分） 考点：不等式选讲．。