最新河南省天一大联考“顶尖计划”2020届高三毕业班第一联考理科数学试题

2019-2020学年天一大联考高中毕业班阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|3A x y x ==-， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}|1<<3x xB ．{}|1<<6x xC ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A【解析】要使根式有意义，则需30x -≥，可求集合A ，再求R C A ， 解二次不等式2760x x -+<，可求得集合B ，从而求得()R C A B I 即可. 【详解】 解：{}|3A x y x ==-={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ， 故选A. 【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题. 2．已知，，且复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，，，的虚部为．故选． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念，考查基本运算求解能力. 3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（） A ．14 B ．20C ．21D ．70【答案】A【解析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数. 【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170， 故老年职工人数为70，中年职工人数100， 抽样比为3011505=， 则抽取的老年职工的人数为170145⨯=， 故选A ． 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力.4．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A ．13 B ．15C ．20D ．22【答案】C【解析】由等差数列前5项和求得3a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =得到关于d 的方程，再由等差数列的通项公式求7a ． 【详解】由题意，53540S a ==，得38a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =，得(8)82(84)d d -⨯=⨯+，解得3d =．73484320a a d ∴=+=+⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前n 项和公式的应用，考查基本量法求解数列问题.5．已知向上满足||2,a =r||1b =r,()a b b -⊥r rr，则向量a r与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】先由题意求出a b ⋅r r，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为||2,a =r ||1b =r ，()a b b -⊥rr r ，所以()0-⋅=r rr a b b ，因此21⋅==r r r a b b ，所以1cos ,2⋅==r rr r r r a b a b a b ， 因此向量a r与b r的夹角为3π 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型. 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（） A ．60 B ．120C ．180D ．240【答案】C【解析】先求出运动员每分钟跑42000150280÷=米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解. 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选：C . 【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．352B ．3562+C ．35πD ．635π+【答案】B【解析】由题意可知该几何体是一个半圆台，利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解. 【详解】该几何体是一个半圆台，上底面半圆的半径为1，下底面半圆的半径为2，高为2，母5.所以其侧面积为()()113525242622ππ⨯+⨯+⨯=+. 故选：B. 【点睛】本题考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解，属于基础题.8．已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，△PQF 的周长为83PQ 的长为（ ） A ．2 B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：||||23PF PA -=，||||23QF QA -=，再根据周长的值，求得线段PQ 的长.【详解】Q 双曲线22:13x E y -=的左焦点(2,0)F -，3a =，1b =，2c =；双曲线的右焦点(2,0)A 在线段PQ 上，||||23PFPA -=，||||23QF QA -=，所以∆POF 的周长为83||||||2||43PF QF PQ PQ =++=+，得||23PQ =，故选：B ．【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力．9．已知函数()()x xf x x e e -=-，若(21)(2)f x f x -<+，则x 的取值范围是（）A ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】A【解析】根据()()f x f x -=得()f x 为偶函数，利用导数得函数()f x 在[0，)+∞上为增函数，结合偶函数的性质(||)()f x f x =，将(21)(2)f x f x -<+转化为|21||2|x x -<+，两边平方解得x 的取值范围．【详解】 根据题意，()()x x f x x e e -=-，因为()()()()()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=-=，所以()f x 为偶函数； 又由()()()x x x x f x e e x e e --'=-++，当0x …时，()0f x '>，则函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以(21)(2)(|21|)(|2|)|21|2|f x f x f x f x x x -<+⇔-<+⇔-<+， 即22(21)(2)x x -<+，解得：133x -<<. 故选：A ． 【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】利用直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，得到2214b a =这一关系，再代入离心率的公式，求得e 的值. 【详解】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.11．设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A．BCD【答案】C【解析】由题意得01x =，由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为22y x =-，证明切线与曲线23ln 2y x x =-无交点，当点Q 处的切线与22y x =-平行时，点Q 到直线22y x =-的距离即为PQ 最小值，利用导数几何意义求得点Q 后即可得解. 【详解】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =. 因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-=， 则切线方程为22y x =-，设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+， 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>，所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点. 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g =， 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d ，所以10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D 【解析】【详解】解：因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在 面ABCD 内的射影落在正方形 ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O , 连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE ===, 所以971442PE R OE =-=-=或97444PE R OE =+=+=， 当12PE =时，32PA ===, 则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为112332PE AP ==, 当4PE =时，PA ===则PA 与底面ABCD所成角的正弦值为3PE AP ==, 即PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为13， 故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.二、填空题13．设变量,x y满足约束条件70,10,2,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数11yzx-=-的最大值为_______.【答案】4【解析】作出可行域，将问题转化为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率的最大值，结合图形可得答案.【详解】作出可行域，如图所示：11y z x -=-表示可行域中的点与点(1,1)P 连线的斜率. 由图可知，点(1,1)P 与点(2,5)A 连线的斜率最大，max 51421z -==-， 所以目标函数11y z x -=-的最大值为4. 故答案为: 4 【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值，解题关键是转化为斜率求最大值，属于基础题.14．已知正项等比数列{n a }满足2464,80a a a =+=.记2log n n b a =，则数列{n b }的前50项和为________.【答案】1275【解析】由等比数列通项公式的求法可得：42200q q +-=，又0q >解得2422n n n a -=⨯=，由对数的运算可得：n b n =，即{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：由数列{n a }为正项等比数列，设其公比为q ，则0q >， 又2464,80a a a =+=， 所以42200q q +-=， 解得2q =，即2422n n n a -=⨯=， 所以2log 2nn b n ==，则{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列， 则数列{n b }的前50项和为(150)5012752+⨯=，故答案为：1275. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前n 项和，重点考查了对数的运算，属基础题.15．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为__________. 【答案】40【解析】由题意写出()512x -的展开式的通项，根据通项求出()512x -的展开式中2x 和3x 的系数，根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意()512x -的展开式的通项为()()15522r rrr r r T C x C x +=-=-，()512x -的展开式中2x 的系数为()225240C -=，3x 的系数为()335280C -=-，因此，原展开式中含3x 项的系数为40380=40⨯-. 故答案为：40. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 16．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为221tan 2tan 21tan ααα-++，代入tan α即可求得结果.【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 2444πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 21tan ααα-+=⨯+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+ 当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭本题正确结果：10【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.三、解答题17．已知平面四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，且内角B 与D 互补.（1）求cos A 的值.（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1cos 19A =；（2）S =【解析】（1）由题意A 与C 也互补，在ABD △和BCD V 中分别使用余弦定理，即可得4536cos 4140cos A A -=+，即可得解；（2）由平方关系可得2sin sin 1cos C A A ==-，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为B 与D 互补，所以A 与C 也互补， 可得A C π+=，所以cos cos C A =-. 在ABD △中，根据余弦定理可得2222cos 4536cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-.在BCD V 中，根据余弦定理可得2222cos 4140cos 4140cos BD CB CD CB CD C C A =+-⋅=-=+.由4536cos 4140cos A A -=+，得1cos 19A =. （2）因为0A π<<，所以221610sin sin 1cos 119C A A ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅+⋅⋅V V 11610364561022⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心.（1）求证：MG ⊥平面ABN ； （2）求二面角1A AB N --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标后，通过证明0MG AN ⋅=u u u u v u u u v， 0MG AB ⋅=u u u u v u u u v，即可得证；（2）求出平面ABN 的一个法向量MG u u u u r ，平面1A AB 的一个法向量为n r，求出cos ,MGn MG n MG n⋅=u u u u v vu u u u v v u u u u v v 后，利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：由题意可知，AC ，BC ，1CC 两两垂直，以C 为原点，分别以AC ，BC ，1CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A .由中点坐标公式可得()1,1,1M ，()0,0,1N ，由重心的性质可得221,,333G ⎛⎫⎪⎝⎭. 则112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,2,0AB =-u u u r ，()2,0,1AN =-u u u r ，()10,0,2AA =u u u r.所以()1122010333MG AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ， ()1122200333MG AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，所以MG AN ⊥，MG AB ⊥，又AN AB A =I ，AN ，AB Ì平面ABN ， 所以MG ⊥平面ABN .（2）由（1）知，平面ABN 的一个法向量为112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r .设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =r.则120220n AA z n AB x y ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，所以0z x y =⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,1,0n =r .所以cos ,MG n MG n MG n⋅==u u u u r ru u u u r r u u u u r r . 设二面角1A AB N --的大小为θ，则sin 3θ==. 所以二面角1A AB N --【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题. 19．已知动圆M 过点(2,0)P 且与直线20x +=相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）斜率为()0k k ≠的直线l 经过点(2,0)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求||||AB NP 的值. 【答案】（1）28y x =（2）2【解析】（1）已知条件转化成圆心M 到定点(2,0)P 的距离与定直线2x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到AB 的中点坐标，进而得到线段AB 的中垂线方程，令0y =得到点N 的坐标，把弦长||AB 和线段||NP 都用k 表示，再进行比值即可得答案. 【详解】（1）由已知可得，点M 到点(2,0)P 的距离等于点M 到直线20x +=的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.点P 为抛物线的焦点，直线20x +=即2x =-为抛物线的准线. 设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，所以22p=，所以4p =， 故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为28y x =.（2）由已知可得直线l 的方程为(2)y k x =-，记()11,A x y ，()22,B x y .由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理可得()22224840k x k x k -++=. 由根与系数关系可得212248k x x k ++=，所以()12124422k x x k y y k+-+==. 所以AB 的中点坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以线段AB 的中垂线方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，可得2264k x k +=，所以2264,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以()22224164||2k k NP k k++=-=. 又由抛物线的定义可知()212281||4k AB x x k +=++=.所以()()222281||2||41k AB k NP k k +=⋅=+. 【点睛】本题考查定义法求抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查坐标法思想的运用，解题过程中要注意目标意识，即弦长||AB 和线段||NP 都借助变量k 进行表示，再进行运算求值.20．一间宿舍内住有甲､乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为16-)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A . （1）求()P A . （2）设()*n p n N∈表示“第n 天甲值日”的概率，则()1111,1(2,3,4,)n n n p p ap b p n --==+-=L ，其中()a P A =，()b P A =.（ⅰ）求n p 关于n 的表达式.（ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由.【答案】（1）56.（2）（ⅰ）1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N （ⅱ）不公平，理由见解析 【解析】（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果； （2）（ⅰ）代入,a b 的值后，构造等比数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭可求得结果；（ⅱ）根据112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭可知游戏不公平. 【详解】（1）由题意可知，事件A 表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.抛掷两枚骰子所得点数的情况有6636⨯=种，事件A 包含的情况有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共6种情况.所以61()366P A ==. 所以5()1()6P A P A =-=. （2）（ⅰ）由（1）可知()111512116636n n n n p p p p ---=+-=+. 整理可得1121,2,3,4,232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭L ， 所以12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11122p -=，公比为23的等比数列.所以1112223n n p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （ⅱ）不公平.理由如下：因为112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，即每天甲值日的概率都大于12，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平. 【点睛】本题考查了古典概型扥概率公式和对立事件的概率公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.21．设函数()()21ln 12f x k x k x x =+-- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 的图象与直线y m =交于()1,A x m ，()2,B x m 两点，且12x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求导后根据0k ≤、0k >分别求出()0f x '>、()0f x '<得解即可得解；（2）由题意得212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--，则212122211112ln 21x x x x x k f x x x x x ⎛⎫- ⎪+⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭'，令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，求导后证明()()10g t g <=即可得证. 【详解】（1）函数()()21ln 12f x k x k x x =+--的定义域为()0,∞+. ()()()11x x k kf x k x x x+-'=+--=-. 当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+是减函数； 当0k >时，令()0f x '>，得0x k <<，令()0f x '<，得x k >， 所以()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.综上，当0k ≤时，()f x 在()0,∞+是减函数；当0k >时，()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.（2）证明：由题意知方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，且12x x <， 所以()()2211122211ln 1ln 122k x k x x k x k x x +--=+--，且120x x <<. 所以()()()222121211ln ln 2x x k x x k x x ----=-，所以212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--. 因为()1kf x k x x'=+--，所以21221122122121111ln ln 22ln 21x x x x x x x k k f k x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫ ⎪'=-=- ⎪+-- ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()22101t g t t t '-=-<+， 所以()g t 在()1,+∞单调递减，所以()()10g t g <=. 又因为120x x <<，由（Ⅰ）知0k >，所以210kx x >-.所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m =+⎧⎨=-+⎩，（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求|MN |.【答案】（1）直线:230l x y --=，曲线22:1189x y C +=；（2）【解析】（1）把直线参数方程中的参数m 消去，可得直线的普通方程，把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程； （2）写出直线参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义求解． 【详解】 （1）由121x my m=+⎧⎨=-+⎩（m 为参数），消去参数m 整理可得直线l 的普通方程为230x y --=.由曲线C 的极坐标方程2363cos 2ρθ=-，得2(3cos 2)36ρθ-=，即()2222cos 4sin 36ρθθ+=，故曲线C 的直角坐标方程为22218xy +=，即221189x y +=. （2）由已知可得直线l 的斜率12k =，设l 的倾斜角为α，则sin α，cos 5α=， 所以直线l的参数方程可写成11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22218x y +=，整理可得2252t =，解得1t =2t =.由参数方程的几何意义可得12||MN t t =-=【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解问题时，记得把参数方程化成标准形式． 23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x …的解集； （2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++….【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x …，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++…．【详解】第 21 页 共 21 页 （1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩剟． ()4f x Q …，∴1241x x -⎧⎨<-⎩…或2142x x -⎧⎨>⎩…，∴32x -…或52x …， ∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞； （2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++39+=…， 2343a b c ∴++…，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++…．【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

绝密★启用前天一大联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第一次考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{30},{17}M x x x N x x ，则M N A.{13}x x B.{13}x x C.{07}x x D.{07}x x 2.设复数213i z i，则z A.13 B.23 C.12 D.223.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如右图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为46可用算筹表示为4.为了贯彻落实党中央精准扶贫的决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制成下图，其中各项统计不重复，若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误．．的是A.该市共有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭有1800户C.在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户5.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99，则判断框中可以填。

2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考理科数学试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 设复数 z＝，则| z|＝（）A．B．C．D．(★) 3 . 中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）A．B．C．D．(★) 4 . 为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有 15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户(★) 5 . 运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（）A．B．C．D．(★) 6 . 已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．(★) 7 . 已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（）A．B．C．或D．(★) 8 . 记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（）A．B．C．D．(★★) 9 . 函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 设抛物线的焦点为 F,抛物线 C与圆交于 M, N两点,若,则的面积为( )A．B．C．D．(★★★★) 11 . 关于函数，有下列三个结论:① 是的一个周期；② 在上单调递增；③ 的值域为.则上述结论中，正确的个数为（）A．B．C．D．(★★) 12 . 已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（）A．9B．7C．D．二、填空题(★) 13 . 若变量，满足约束条件则的最大值为________.(★) 14 . 函数的极大值为________.(★★) 15 . 已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________.(★★★★) 16 . 记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________.三、解答题(★★) 17 . 的内角，，的对边分别是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面积.(★★)18 . 如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.(★★) 19 . 已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点. （Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（Ⅱ）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.(★★) 20 . 已知函数.（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.(★★) 21 . 某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出 A， B， C， D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量 X＝（ x A﹣ y A）2+（ x B﹣ y B）2+（ x C﹣ y C）2+（ x D﹣ y D）2，用 X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求 X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足 X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．(★) 22 . 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为（ m为参数），以坐标点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为ρcos（θ+ ）＝1．（1）求直线 l的直角坐标方程和曲线 C的普通方程；（2）已知点 M（2，0），若直线 l与曲线 C相交于 P、 Q两点，求的值．(★★) 23 . 已知 x， y， z均为正数．（1）若 xy＜1，证明：| x+ z|⋅| y+ z|＞4 xyz；（2）若＝，求2 xy⋅ 2 yz⋅2 xz的最小值．。

绝密★启用前天一大联考 2019—2020学年髙中毕业班阶段性测试（一）数学（理科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本诫卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={3|-=x y x }，B={0<67|2+-x x x }，则=B A C R )(A.{3<<1|x x }B.{6<<1|x x }C.{31|≤≤x x }D.{61|≤≤x x }2.已知i z i z 43,10521+=-=，且复数z 满足2111z z z +=，则z 的虚部为 A. i 252 B. i 252- C. 252 D. 252- 3. 某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为 7:10，为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人,则抽取 的老年职工的人数为A.14B.20C.21D.704.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若40,25732==S a a a ，则=7aA. 13B.15C.20D.225.已知向量b a ,满足b b a b a ⊥-==)(,1||,2||，则a 与b 的夹角为 A. 6π B. 3π C. 2π D. 32π 6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步輻（一步的距离）—般略低于自身的身髙，若某运动员跑完一次全程马拉松用了 2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为A.60B. 120C. 180D.2407.某几何体的三视图如阁所示，则该几何体的侧面积为A. π253 B. π2536+ C. π53 D. π536+ 8.已知双曲线E: 1322=-y x ，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点（2,0)，PQF ∆的周长为58，则线段PQ 的长为 A.2 B. 52 C.4 D. 549.已知函数)()(x x e e x x f --=，若)1(<)12(+-x f x f ，则x 的取值范围是 A. )3,31(- B. )31,(--∞ C. ),3(+∞ D. ),3()31,(+∞--∞ 10.已知椭圆C: )0> b 0,> (12222a b y ax =+的左、右顶点分别为A ，B,点M 为椭圆C 上异于A,B 的一点.直线AW 和直线BM 的斜率之积为41-，则椭圆C 的离心率为 A. 41 B. 21 C. 23 D. 415 11.设函数x x f ππsin 2)(-=在),0(+∞上最小的零点为0x ，曲线)(x f y =在点(0x ，0)处的切线上有一点P ，曲线x x y ln 232-=上有一点Q ，则||PQ 的最小值为A. 510B. 55C. 10103D. 5102 12.已知四棱锥P-ABCD 的四条俩棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为481π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为 A. 32 B. 32或35 C.322 D. 31或322 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =（ ）A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B .【详解】 依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-.故选：D. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（ ）A ．BC ．2D【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--，故z ==故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．已知向量()3,0m =，()3,0n =-，()()q m q n -⊥-，则q 为（ ） A ．7 B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，可得出()()0q m q m -⋅+=，由此可得出q m =，进而得解.【详解】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，()()0q m q m ∴-⋅+=，即22q m =，因此，22303q m ==+=.故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-，考查计算能力，属于基础题.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误； 使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8114S a =+，则（ ） A ．282a a += B ．284a a +=C ．272a a +=D ．274a a +=【答案】B【解析】由8114S a =+可得出234567814a a a a a a a ++++++=，再利用等差数列的基本性质可得出结果. 【详解】依题意，81234567814S a a a a a a a a -=++++++=，故()287142a a +=，即284a a +=.故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．已知实数a 、b 、c 满足134a =，1610b =，5log 50c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >>【答案】A【解析】利用幂函数的单调性得出a 、b 、2三个数的大小关系，利用对数函数的单调性得出c 与2的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】幂函数16y x =在()0,∞+上为增函数，且1111636610416642<=<=，即2b a <<；对数函数5log y x =在()0,∞+上为增函数，55log 50log 252c ∴=>=. 因此，c a b >>. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()(ln 1f x =【答案】B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()11x x e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x xx xx xx x e e e e f x f x e ee e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数， 当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg 1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数，所以，函数()1 lg1xf xx+⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减；对于C选项，作出函数()224,04,0x x xf xx x x⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增；对于D选项，函数()(2ln11f x x=-的定义域为(][),11,-∞-+∞，()()((()22ln11ln11f x x x f x-=+--=-=，该函数为偶函数.内层函数211u x=-()2,+∞上单调递增，外层函数lny u=也为增函数，所以，函数()(2ln11f x x=-()2,+∞上单调递增.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．已知长方体1111ABCD A B C D-的表面积为208，118AB BC AA++=，则该长方体的外接球的表面积为（）A．116πB．106πC．56πD．53π【答案】A【解析】由题意得出11118104AB BC AAAB BC BC AA AB AA++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果. 【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=， 所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.9．记双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线C 的渐近线l 上，点P 、P '关于x 轴对称.若12P F PF '⊥，12214PF PF k k k =⋅，其中1PF k 、2PF k 、1k 分别表示直线1PF 、2PF 、l 的斜率，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．【答案】A【解析】设直线2PF 的斜率为k ，根据12P F PF '⊥以及1P F '与1PF 关于x 轴对称，可得出11PF k k =，由此可得出2241b a=，由此可计算出双曲线C 的离心率. 【详解】不妨设直线2PF 的斜率为k ，由题易知0k ≠，且直线1P F '与1PF 关于x 轴对称，11P F PF k k '∴=-， 因为12P F PF '⊥，所以直线1P F '的斜率为1k -，即111P F PF k k k '=-=-，11PF k k∴=， 由12214PF PF k k k =⋅可得241b a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即2214b a =，所以，双曲线C 的离心率为e ==.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ）A ．58 B ．34C ．54D ．52【答案】C【解析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.11．已知函数()()22sin cos cos 2cos 1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）. 故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 、2l 与抛物线C 分别交于M 、N 和M 、P 两点，其中直线2l 过点F ，MR RN =，(),R R R x y .若2R py MN =-，则当MFN ∠取到最大值时，MP =（ ） A ．14 B ．16C ．18D ．20【答案】B【解析】先求出p 的值，得出抛物线C 的方程为24x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由抛物线的定义以及中点坐标公式得出2MF NF MN +=，然后在MNF ∆中利用余弦定理可求出cos MFN ∠的最小值，由等号成立的条件可知MNF∆为等边三角形，可设直线2l的方程为1y =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出MP . 【详解】依题意，可知2p =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ， 由抛物线定义可得122y y MF NF ++=+. 因为2R py MN =-，即1212y y MN +=-，所以2MF NF MN +=. 由余弦定理可得()2222236111cos 284842MF NF MF NF MNMF NF MFN MF NFMF NFMF NF++-⋅∠==-≥-=⋅⋅⋅，当且仅当MF NF =时等号成立，故MFN ∠的最大值为3π，此时MFN ∆为等边三角形，不妨直线MP 的方程为1y =+，联立241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得240x --=，故13x x+=)1313214y y x x +=++=，故16MP =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.二、填空题13．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 【答案】80【解析】求出二项展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.【详解】5212x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()525103155122kk k k k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1034k -=，得2k =，因此，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，联立21323y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得5373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z 的最大值为max 57172333z =⨯+=. 故答案为：173. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为32，24AB BC ==，E ∈平面11ABB A ，若点E 到直线1AA 的距离与到直线CD 的距离相等，则1D E 的最小值为______. 【答案】4【解析】根据长方体的体积得出14AA =，然后以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()2,,E y z ，根据已知条件得出24y z =+，然后利用空间中两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求出1D E 的最小值.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为111132ABCD A B C D V -=，24AB BC ==，所以14AA =.以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()2,,E y z ，则点E 到直线1AA 的距离为y ，点E 到直线CD 的距离为24z +，故24y z =+.而()10,0,4D ，故()22214428244D E y z z z =++-=-+≥，故1D E 的最小值为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查空间中两点间距离最值的计算，涉及到空间直角坐标系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．已知函数()2ln ,0,e x x m f x e x m x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-仅有1个零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】(]0,e【解析】令()0g x =，得出()f x m e e =，令()()f x h x e=，将问题转化为直线m y e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，然后对m 与e 的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数m 的等式或不等式，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】令()0g x =，则()f x m =，得()f x me e =，令()()ln ,0,x x mf x h x e e x m x <≤⎧⎪==⎨>⎪⎩， 则问题转化为直线my e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点， 当m e =时，1m y e ==，此时函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点(),1e ，符合题意；当0m e <<时，01m e <<，若函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点， 则ln m em e m<<，如下图所示，显然m ee m<成立，下面解不等式lnmme<，即ln1mm e<，构造函数()ln xF xx=，0x>，()1ln xF xx-'=，令()0F x'=，得x e=.当0x e<<时，()0F x'>，当x e=时，()0F x'<.所以，函数()y F x=在x e=处取得最大值，即()()max1F x F ee==，所以，当0m>且m e≠时，不等式ln1mm e<恒成立，此时，0m e<<.当m e>时，1me>，若函数()y h x=的图象与直线mye=有1个交点，则有lnmme≤，即ln1mm e≥，由上可知，m e=（舍去）.综上所述，0m e<≤.故答案为：(]0,e.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m与e的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.三、解答题17．已知ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，()sin2A B A+=，5b=，3AC MC=，2ABM CBM∠=∠.（1）求ABC∠的大小；（2）求ABC∆的面积.【答案】（1）34π；（2）52.【解析】（1）设CBMθ∠=，由3AC MC=可得出12BMCBMAS CMS AM∆∆==，再由()sin A B A +=，结合正弦定理得出AB =，代入12BMC BMA S CM S AM ∆∆==可求出cos θ的值，进而可求得ABC ∠的值；（2）在ABC ∆中，利用余弦定理可求出a 的值，然后利用三角形的面积公式可求出该三角形的面积. 【详解】（1）因为3AC MC =，所以点M 在线段AC 上，且2AM CM =，故12BMC BMA S CM S AM ∆∆==，① 记CBM θ∠=，则1sin 2BMC S BC BM θ∆=⋅⋅，1sin 22BMA S AB BM θ∆=⋅⋅. 因为()sin A B A +=，即sin C A =，即AB =，结合①式，得12BMCBMAS S ∆∆===，可得cos 2θ=.因为()0,θπ∈，所以4πθ=，所以334ABC πθ∠==； （2）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos b a c ac ABC =+-∠，即))222522a a =++⋅⋅，解得a =故1135sin sin 2242ABC S ac ABC a π∆=∠=⋅⋅=. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，涉及共线向量的应用，考查计算能力，属于中等题.18．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.【答案】（1）0.35；（2）7；（3）分布列见解析；数学期望65. 【解析】（1）用1减去频率直方图中位于区间[)3.5,6.5和[]7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数； （3）由题意可知34,10XB ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率为10.030.10.20.190.090.040.35------=； （2）所求平均数为40.0350.160.270.3580.1990.09100.047x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（时）； （3）依题意，34,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()47240101010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314371029*********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2224371323210105000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33437189310102500P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()438141010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故X 的分布列为X1234P240110000102925001323500018925008110000故()364105E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 19．如图，五面体ABCDEF 中，2AE EF =，平面DAE ⊥平面ABFE ，平面CBF ⊥平面ABFE .45DAE DEA CFB EAB FBA ∠=∠=∠=∠=∠=︒，AB EF ，点P是线段AB 上靠近A 的三等分点.（Ⅰ）求证：DP 平面CBF ；（Ⅱ）求直线DP 与平面ACF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）33819【解析】（Ⅰ）根据题意，分别取AE ，BF 的中点M ，N ，连接DM ，CN ，MP ，MN . 由题可知AD DE =，90ADE ∠=︒.设1AD DE ==，则2AM =由平面DAE ⊥平面ABFE ，得DM ⊥平面ABFE ，同理CN ⊥平面ABFE .，从而//DM CN .，则//DM 平面CBF ；由cos45AM AP =︒，所以90AMP ∠=︒，所以AMP ∆是以AP为斜边的等腰直角三角形，再由45MPA ∠=︒，45FBA ∠=︒，得到//MP FB .则//MP 平面CBF .，再由面面平行的判断定理得到平面//DMP 平面CBF ，从而得证。

2019-2020学年河南省天一大联考“顶尖计划”高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（8月份）一、选择题：本颞共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ＝{x|x 2−3x <0}，N ＝{x|1≤x ≤7}，则M ∩N ＝（ ） A.{x|1≤x <3} B.{x|1<x <3} C.|x|0<x <7} D.{x|0<x ≤7} 【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可． 【解答】∵ M ＝{x|0<x <3}，N ＝{x|1≤x ≤7}， ∴ M ∩N ＝{x|1≤x <3}．2. 设复数z =2−i 1+3i，则|z|＝（ ） A.13B.√23C.12D.√22【答案】 D【考点】 复数的模 【解析】根据复数的运算法则进行转化，结合复数模长公式进行计算即可． 【解答】z =2−i1+3i =(2−i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=−1−7i 10=−110−710i ，则|z|=√(−110)2+(−710)2=√50100=√12=√22，3. 中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A.B.C. D.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【解答】根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，∴56846用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B中的．4. 为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A.该市总有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户【答案】D【考点】频率分布直方图【解析】根据题意求出该市总有低收入家庭的总户数，再判断选项中的命题是否正确．【解答】由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．5. 运行如图所示的程序框图若输出的i的值为99，则判断框中可以填（）A.S ≥1B.S >2C.S >lg 99D.S ≥lg 98【答案】 C 【考点】 程序框图 【解析】依题意，第n 次循环时S n ＝lg 2⋅32⋅43⋅⋯⋯⋅n+1n=lg (n +1)，再结合输出的i ＝99讨论即可． 【解答】依题意，第n 次循环时S n ＝lg 2⋅32⋅43⋅⋯⋯⋅n+1n=lg (n +1)，输出的i ＝99，所以此时S ＝lg 100＝2，且当S ＝lg 99时没有输出，S ＝2时输出，排除A ，B ，D ．6. 已知幂函数f(x)＝x α的图象经过点 (3, 5)，且a ＝(1e)α，b =√α，c ＝log α14，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c <a <b B.a <c <b C.a <b <c D.c <b <a 【答案】 A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由幂函数f(x)＝x α的图象经过点 (3, 5)，求出α＝log 35∈(1, 2)，由此利用指数函数、对数函数的单调性能判断a ，b ，c 的大小关系． 【解答】∵ 幂函数f(x)＝x α的图象经过点 (3, 5)， ∴ 3α＝5，∴ α＝log 35∈(1, 2)， ∴ 0<a ＝(1e )α<1， b =√α>1， c ＝log α14<log α1＝0， ∴ c <a <b ．7. 已知非零向量a →，b →满足|a →|＝λ|b →|，若a →，b →夹角的余弦值为1930，且(a →−2b →)⊥(3a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A.−49B.23C.32或−49D.32【答案】 D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】根据(a →−2b →)⊥(3a →+b →)即可得出(a →−2b →)⋅(3a →+b →)=0，根据|a →|=λ|b →|及a →,b →夹角的余弦值为1930，进行数量积的计算即可得出18λ2−19λ−12＝0，解出λ即可． 【解答】∵ |a →|=λ|b →|，a →,b →夹角的余弦值为1930，且(a →−2b →)⊥(3a →+b →)， ∴ (a →−2b →)⋅(3a →+b →)=3a →2−5a →⋅b →−2b →2=3λ2b →2−5λb →2⋅1930−2b →2=0，且b →2≠0， ∴ 3λ2−196λ−2=0，解得λ=32或λ=−49（舍去）．8. 记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 4＝10，a 2a 3a 4＝64，则（ ） A.S n+1−S n ＝2n+1 B.a n ＝2n C.S n ＝2n −1 D.S n ＝2n−1−1 【答案】 C【考点】等比数列的前n 项和 【解析】a 2a 3a 4＝64，可得a 33=64，解得a 3．又a 2+a 4＝10，可得4q +4q ＝10，解得q ，a 1．再根据等比数列{a n }是单调递增，即可得出． 【解答】∵ a 2a 3a 4＝64，∴ a 33=64，解得a 3＝4． 又a 2+a 4＝10，∴ 4q +4q ＝10， 化为2q 2−5q +2＝0，解得q ＝2，12．q ＝2时，a 1＝1；q =12，a 1＝16．又等比数列{a n }是单调递增，取q ＝2，a 1＝1． ∴ a n ＝2n−1． ∴ S n =2n −12−1=2n −1．S n+1−S n ＝2n+1−1−(2n −1)＝2n ．因此只有C正确．9. 函数f(x)＝6|sin x|−2√1+x2的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数的对称性，以及函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可．【解答】f(−x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f(π)＝122<0，排除B，f(π2)＝6(π2)2√1+(2)≈6−π2>4，排除D，10. 设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与圆C′:x2+(y−√3)2＝3交于M，N两点，若|MN|=√6，则△MNF的面积为（）A.√28B.38C.3√28D.3√24【答案】B圆与圆锥曲线的综合问题 【解析】由圆经过原点，抛物线y 2＝2px 也过原点，设M(0, 0)，N(m, n)，m >0，由两点的距离公式和N 既在抛物线上又在圆上，可得m ，n ，p ，进而得到焦点F 的坐标，由三角形的面积公式计算可得所求值． 【解答】圆x 2+(y −√3)2＝3，即为x 2+y 2＝2√3y ， 可得圆经过原点，抛物线y 2＝2px 也过原点， 设M(0, 0)，N(m, n)，m >0，由|MN|=√6，可得m 2+n 2＝6，又m 2+n 2＝2√3n ， 解得n =√3，m =√3， 由n 2＝2pm ， 解得p =√32， 又F(p2, 0)，可得△MNF 的面积为12|OF|⋅|y N |=12⋅√34⋅√3=38，11. 关于函数f(x)＝|cos x|+cos |2x|有下列三个结论：①π是f(x)的一个周期；②f(x)在[3π4, 5π4]上单调递增；③f(x)的值域为[−2, 2]．则上述结论中，正确的个数为（ ） A.0B.1C.2D.3【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简f(x)，可令t ＝|cos x|，可得g(t)＝2t 2+t −1，由函数的周期性可判断①；由y ＝|cos x|的单调性，结合复合函数的单调性可判断②；由二次函数的单调性可判断③． 【解答】f(x)＝|cos x|+cos |2x|＝|cos x|+2cos 2|x|−1，由cos |x|＝cos x ，可得f(x)＝|cos x|+2cos 2x −1＝2|cos x|2+|cos x|−1， 可令t ＝|cos x|，可得g(t)＝2t 2+t −1，由y ＝|cos x|的最小正周期π，可得f(x)的最小正周期为π，故①正确； 由y ＝cos x 在[−π2, 0]递增，在[0, π2]递减，可得f(x)在[3π4, π]递增，在[π, 5π4]递减，故②错误；由t ∈[0, 1]，g(t)＝2(t +14)2−98，可得g(t)在[0, 1]递增，则g(t)的值域为[−1, 2]，故③错误．12. 已知四棱锥S −ABCD 的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E ．若SA =√3AB ＝3，则△SED 的面积的最小值为（ ） A.9B.7C.92D.72C【考点】棱锥的结构特征 【解析】设BE ＝x ，EC ＝y ，则BC ＝AD ＝x +y ，推导出SA ⊥ED ，ED ⊥平面SAE ，ED ⊥SE ，得AE =√x 2+3，ED =√y 2+3，推导出xy ＝3，SE =√x 2+12，ED =√y 2+3=√9x 2+3，从而S △SED =12×SE ×ED =12√3x 2+108x 2+45，由此能求出SED 面积的最小值． 【解答】设BE ＝x ，EC ＝y ，则BC ＝AD ＝x +y ，∵ SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，∴ SA ⊥ED ，∵ AE ⊥ED ，SA ∩AE ＝A ，∴ ED ⊥平面SAE ，∴ ED ⊥SE ， 由题意得AE =√x 2+3，ED =√y 2+3，在Rt △AED 中，AE 2+ED 2＝AD 2，∴ x 2+3+y 2+3＝(x +y)2， 化简，得xy ＝3，在Rt △SED 中，SE =√x 2+12，ED =√y 2+3=√9x 2+3，∴ S △SED =12×SE ×ED =12√3x 2+108x 2+45，∵ 3x 2+108x 2≥2 √3x 2×108x 2=36，当且仅当x =√6， y =√62时，等号成立，∴ S △SED ≥12√36+45=92．∴ △SED 面积的最小值为92．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．若变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +12x +y ≤4y +2≥0，则z ＝x −2y 的最大值为________【答案】 7【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数z ＝x −2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在y 轴上的截距最小时z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z 的最大值． 【解答】由变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +12x +y ≤4y +2≥0 作出可行域如图，由z ＝x −2y ，得y =x2−z2，由图可知，当直线y=x2−z2过可行域内点A时直线在y轴上的截距最小，z最大．联立{y+2=02x+y=4，解得A(3, −2)．∴目标函数z＝x−2y的最大值为3−2×(−2)＝7．函数f(x)＝x⋅e−2x的极大值为________12e．【答案】12e【考点】利用导数研究函数的极值【解析】先对函数求导，然后结合单调性与导数的关系可判断单调性，进而可求极值．【解答】∵f(x)＝x⋅e−2x，∴f′(x)=1−2xe x，当x<12时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x时，{f′(x)\lt0}，函数单调递减，故当{x = \dfrac{1}{2}}时，函数取得极大值{\dfrac{1}{2e}}$．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，直线l:x＝4a与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点若△OAB（点O为坐标原点）的面积为32，且双曲线C的焦距为2√5，则双曲线C的离心率为________【答案】√5或√52【考点】双曲线的离心率【解析】求出渐近线方程，推出A、B坐标，通过三角形的面积以及双曲线的焦距，求出ab的值，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线方程为：y＝±bax，直线l:x＝4a与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，可得A(4a, 4b)，B(4a, −4b)，△OAB（点O为坐标原点）的面积为32，可得12×4a×8b=32，即ab＝2，双曲线C的焦距为2√5，可得a2+b2＝5，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，所以双曲线的离心率为：e=√52或e=√5．记数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n−a n+1＝n(a n+1)，且a2＝5，若m>S n2n，则实数m的取值范围________．【答案】m>2【考点】数列递推式【解析】根据S n与a n的关系，利用累加法求出{a n}的通项公式；并设T n=S n2n，考察T n的最大值，只需m大于其最大值即可．【解答】∵当n＝2时，2(a1+a2)−a2+1＝2×(a2+1)；∴解得a1＝3；∵2S n+1−a n+1+1＝(n+1)(a n+1+1)…①2S n−a n+1＝n(a n+1)…②∴ ①-②，整理可得a n+1n+1−a nn=1n+1−1n；∵(a22−a11)+(a33−a22)+⋯+(a nn−a n−1n−1)=(12−1)+(13−12)+⋯+(1n−1n−1)；化简为a nn −a11=1n−1，即a n＝2n+1；∴数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列；S n=n2+2n；令T n=S n2n =n2+2n2n；则T n+1−T n=(n+1)2+2(n+1)2n+1−n2+2n2n=−12n2+322n；当n＝1时，可知T2>T1；当n≥2时，可知T n+1<T n；∴数列{T n}的最大项为T2＝2；∴实数m的取值范围是：m>2．三、解答题：共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考題：共60分．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a−b)2＝c2−ab．（1）求角C；（2）若4c cos(A+π2)+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【答案】由(a−b)2＝c2−ab，得a2+b2−c2＝ab，所以由余弦定理，得cos C=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12，又因为C∈(0, π)，所以C=π3；由，得4c cos(A+π2)+b sin C=0，得−4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积S=12ab sin C=12×1×4×√32=√3．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）化简已知可得a2+b2−c2＝ab，再结合余弦定理可求角C；（2）化简已知并结合正弦定理可得b＝4a，求出a，b，进而求得面积．【解答】由(a−b)2＝c2−ab，得a2+b2−c2＝ab，所以由余弦定理，得cos C=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12，又因为C∈(0, π)，所以C=π3；由，得4c cos(A+π2)+b sin C=0，得−4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积S=12ab sin C=12×1×4×√32=√3．如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D，E分别在线段AA1，CC1上，且AD=13AA1，DE // AC，F是线段AB的中点．(Ⅰ)求证：EF // 平面B1C1D；(Ⅱ)若AB⊥AC，AB＝AC，AA1＝3AB，求直线BC与平面B1DE所成角的正弦值．【答案】（1）证明：取B1D的中点G，连结G1G，FG，∵F，G分别是线段AB和B1D的中点，∴FG是梯形ADB1B的中位线，∴FG // AD，又AD // CC1，∴FG // CC1，∵AD // CC1，DE // AC，∴四边形ADEC为平行四边边，∴AD＝CE，∴C1E=23CC1，FG=AD+BB12=23CC1=C1E，∴四边形FGC1E是平行四边形，∴EF // 平面B1C1D．（2）∵ AB ⊥AC ，且AA 1⊥平面ABC ，∴ 以A 为原点，AB 为x 轴，AA 1为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝AC ＝1，则AA 1＝3，∴ C(0, 0, 1)，B(1, 0, 0)，B 1(1, 3, 0)，D(0, 1, 0)，E(0, 1, 1)， BC →=(−1, 0, 1)，B 1D →=(−1, −2, 0)，DE →=(0, 0, 1)， 设平面B 1DE 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅B 1D →=−x −2y =0n →⋅DE →=z =0 ，取x ＝2，得n →=(2, −1, 0)， 设直线BC 与平面B 1DE 所成角为θ， 则直线BC 与平面B 1DE 所成角的正弦值sin θ=√5×√2=√105．【考点】直线与平面平行 直线与平面所成的角 【解析】(Ⅰ)取B 1D 的中点G ，连结G 1G ，FG ，推导出FG // AD ，FG // CC 1，AD // CC 1，DE // AC ，四边形ADEC 为平行四边边，AD ＝CE ，从而四边形FGC 1E 是平行四边形，由此能证明EF // 平面B 1C 1D ．(Ⅱ)AB ⊥AC ，且AA 1⊥平面ABC ，以A 为原点，AB 为x 轴，AA 1为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面B 1DE 所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：取B 1D 的中点G ，连结G 1G ，FG ， ∵ F ，G 分别是线段AB 和B 1D 的中点，∴ FG 是梯形ADB 1B 的中位线，∴ FG // AD ， 又AD // CC 1，∴ FG // CC 1， ∵ AD // CC 1，DE // AC ，∴ 四边形ADEC 为平行四边边，∴ AD ＝CE ， ∴ C 1E =23CC 1，FG =AD+BB 12=23CC 1=C 1E ，∴ 四边形FGC 1E 是平行四边形，∴ EF // 平面B 1C 1D ． （2）∵ AB ⊥AC ，且AA 1⊥平面ABC ，∴ 以A 为原点，AB 为x 轴，AA 1为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝AC ＝1，则AA 1＝3，∴ C(0, 0, 1)，B(1, 0, 0)，B 1(1, 3, 0)，D(0, 1, 0)，E(0, 1, 1)， BC →=(−1, 0, 1)，B 1D →=(−1, −2, 0)，DE →=(0, 0, 1)， 设平面B 1DE 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅B 1D →=−x −2y =0n →⋅DE →=z =0 ，取x ＝2，得n →=(2, −1, 0)， 设直线BC 与平面B 1DE 所成角为θ， 则直线BC 与平面B 1DE 所成角的正弦值sin θ=|2×(−1)|√5×√2=√105．已知椭圆C:x 24+y 2＝1，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(Ⅰ)若线段MN 的中点坐标为(1, 12)，求直线l 的方程；(Ⅱ)若直线l 过点(4, 0)，点P(x 0, 0)满足k PM +k PN ＝0（k PM ，k PN 分别为直线PM ，PN的斜率），求x 0的值． 【答案】（1）设M(x, y)，N(x ′, y ′)代入椭圆得：{x 24+y 2=1x ′24+y′2=1，两式相减得：(x−x ′)(x+x ′)4+(y −y ′)(y +y ′)=0，而由题意得x+x ′2=1，y+y ′2=12，所以可得直线l 的斜率k =y−y ′x−x =−12，所以直线l 的方程：y −12=−12(x −1)，即x +2y −2＝0；（2）由题意得直线l 的斜率不为零，所以设直线l 的方程：x ＝my +4，联立与椭圆的方程整理得：(4+m 2)y 2+8my +12＝0，△＝64m 2−4⋅12⋅(4+m 2)>0，得m 2>12，y +y ′=−8m 4+m 2，yy ′=124+m 2，所以k PM +k PN =y x−x 0+y ′x ′−x 0=y(x ′−x 0)+y ′(x−x 0)(x−x 0)(x ′−x 0)=2myy ′+(4−x 0)(y+y ′)(x−x 0)(x ′−x 0)=0，∴ 2myy ′+(4−x 0)(y +y ′)＝0， 所以2myy ′+(4−x 0)(y +y ′)＝2m ⋅124+m2+(4−x 0)⋅8m 4+m2=8m(x 0−1)4+m 2=0，∵ m ≠0∴ x 0＝1， 故x 0的值为：1． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】(Ⅰ)利用点差法由中点求直线的斜率，进而写出直线的方程；(Ⅱ)设直线l 的方程，代入椭圆得两根之和，两根之积，然后由斜率之和为零得分子为零，进而求出点D 的横坐标． 【解答】（1）设M(x, y)，N(x ′, y ′)代入椭圆得：{x 24+y 2=1x ′24+y′2=1，两式相减得：(x−x ′)(x+x ′)4+(y −y ′)(y +y ′)=0，而由题意得x+x ′2=1，y+y ′2=12，所以可得直线l 的斜率k =y−y ′x−x ′=−12，所以直线l 的方程：y −12=−12(x −1)，即x +2y −2＝0；（2）由题意得直线l 的斜率不为零，所以设直线l 的方程：x ＝my +4，联立与椭圆的方程整理得：(4+m 2)y 2+8my +12＝0，△＝64m 2−4⋅12⋅(4+m 2)>0，得m 2>12，y +y ′=−8m4+m 2，yy ′=124+m 2， 所以k PM +k PN =y x−x 0+y ′x ′−x 0=y(x ′−x 0)+y ′(x−x 0)(x−x 0)(x ′−x 0)=2myy ′+(4−x 0)(y+y ′)(x−x 0)(x ′−x 0)=0，∴ 2myy ′+(4−x 0)(y +y ′)＝0， 所以2myy ′+(4−x 0)(y +y ′)＝2m ⋅124+m2+(4−x 0)⋅8m 4+m2=8m(x 0−1)4+m 2=0，∵ m ≠0∴ x 0＝1， 故x 0的值为：1．已知函数f(x)＝mx 2(ln x +12)．(Ⅰ)若m ＝1，求曲线y ＝f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当m ≤1时，要使f(x)>x ln x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）当m ＝1时，可得f′(x)＝2x ln x +2x ， 则切线的斜率k ＝f′(1)＝2，又f(1)=12，所以切线方程为y −12=2(x −1)，即为4x −2y −3＝0； （2）当m ≤1时，要使f(x)>x ln x 恒成立， 等价为mx(ln x +12)>ln x 恒成立，且m ≤1，当ln x =−12，即x =√e时，0>−12恒成立； 当ln x >−12时，m >ln xx(ln x+12)恒成立，设g(x)=ln xx(ln x+12)，g′(x)=−12(ln x+1)(21nx−1)x 2(ln x+12)2，可设t ＝ln x ，t >−12，由−12(t +1)(2t −1)>0，可得−12<t <12，可得g′(x)>0，g(x)递增；t >12，可得g′(x)<0，g(x)递减，可得g(x)在t =12，x =√e 处取得最大值2√e ，即有2e<m ≤1；当ln x <−12时，m <ln xx(ln x+12)恒成立，设g(x)=ln xx(ln x+12)，g′(x)=−12(ln x+1)(21nx−1)x 2(ln x+12)2，可设t ＝ln x ，t <−12，由−12(t +1)(2t −1)>0，可得−1<t <−12，可得g′(x)>0，g(x)递增；t <−1，可得g′(x)<0，g(x)递减，可得g(x)在t ＝−1，x =1e 处取得最小值2e ，可得m <2e ，而m ≤1，则m ≤1． 综上可得m 的范围是(2√e 1]．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ)当m ＝1时，求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；(Ⅱ)由题意可得为mx(ln x +12)>ln x 恒成立，且m ≤1，讨论ln x =−12，ln x >−12，ln x <−12，由参数分离和构造函数，运用导数求得单调性和极值，以及不等式恒成立思想，可得所求范围． 【解答】（1）当m ＝1时，可得f′(x)＝2x ln x +2x ， 则切线的斜率k ＝f′(1)＝2，又f(1)=12，所以切线方程为y −12=2(x −1)，即为4x −2y −3＝0；（2）当m ≤1时，要使f(x)>x ln x 恒成立， 等价为mx(ln x +12)>ln x 恒成立，且m ≤1，当ln x =−12，即x =√e时，0>−12恒成立； 当ln x >−12时，m >ln xx(ln x+12)恒成立，设g(x)=ln xx(ln x+12)，g′(x)=−12(ln x+1)(21nx−1)x 2(ln x+12)2，可设t ＝ln x ，t >−12，由−12(t +1)(2t −1)>0，可得−12<t <12，可得g′(x)>0，g(x)递增；t >12，可得g′(x)<0，g(x)递减，可得g(x)在t =12，x =√e 处取得最大值2√e ，即有2√e<m ≤1；当ln x <−12时，m <ln xx(ln x+12)恒成立，设g(x)=ln xx(ln x+12)，g′(x)=−12(ln x+1)(21nx−1)x 2(ln x+12)2，可设t ＝ln x ，t <−12，由−12(t +1)(2t −1)>0，可得−1<t <−12，可得g′(x)>0，g(x)递增；t <−1，可得g′(x)<0，g(x)递减，可得g(x)在t ＝−1，x =1e 处取得最小值2e ，可得m <2e ，而m ≤1，则m ≤1． 综上可得m 的范围是(2√e 1]．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A ，B ，C ，D 四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D ，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D ，其中x A x B x C x D 和y A y B y C y D 都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X ＝(x A −y A )2+(x B −y B )2+(x C −y C )2+(x D −y D )2，用X 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．(ⅰ)求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率； (ⅱ)求X 的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X <4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由． 【答案】(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解， 则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A ，x B ，x C ，x D 为1234的情况，家长的排序有A 44=24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为： 2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321， ∴ 家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P =924=38．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A ，B ，C ，D 按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A ，x B ，x C ，x D 为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB ， 再研究y A y B y C y D 的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的， ∴ 他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为38．(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况， 列出所有情况，分别计算每种情况下的x 的值， X 的分布列如下表：理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中， P(X <4)＝P(X ＝0)+P(X ＝2)=16，三轮游戏结果都满足“X <4”的概率为(16)3$${\{}$ ${=\, }$\${dfrac\{1\}\{216\}}$<\frac{5}{1000}}$， 这个结果发生的可能性很小，∴ 这位家长对小孩饮食习惯比较了解． 【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有A 44=24种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X 的分布列．（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(X <4)＝P(X ＝0)+P(X ＝2)=16，三轮游戏结果都满足“X <4”的概率为1216<51000，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解． 【解答】(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解， 则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A ，x B ，x C ，x D 为1234的情况，家长的排序有A 44=24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为： 2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321， ∴ 家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P =924=38．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A ，B ，C ，D 按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A ，x B ，x C ，x D 为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB ， 再研究y A y B y C y D 的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的， ∴ 他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为38．(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况， 列出所有情况，分别计算每种情况下的x 的值， X 的分布列如下表：这位家长对小孩的饮食习惯比较了解． 理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P(X <4)＝P(X ＝0)+P(X ＝2)=16，三轮游戏结果都满足“X <4”的概率为(16)3$${\{}$ ${=\, }$\${dfrac\{1\}\{216\}}$<\frac{5}{1000}}$， 这个结果发生的可能性很小，∴ 这位家长对小孩饮食习惯比较了解．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2m +16my =2m −16m（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)＝1．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点M (2, 0)，若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求1|MP|+1|MQ|的值．【答案】曲线C 的参数方程为{x =2m +16my =2m −16m（m 为参数），两式相加得到m ，进一步转换为34x 2−34y 2=1．直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)＝1，转换为直角坐标方程为x −√3y −2=0．将直线的方程转换为参数方程为{x =2+√32ty =12t（t 为参数），代入34x 2−34y 2=1得到3t 2+12√3t +16=0（t 1和t 2为P 、Q 对应的参数），所以t 1+t 2=−4√3，t 1⋅t 2=163，所以1|MP|+1|MQ|=|MP|+|MQ||MP||MQ|=|t 1+t 2||t 1t 2|=3√34． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =2m +16my =2m −16m（m 为参数），两式相加得到m ，进一步转换为34x 2−34y 2=1．直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)＝1，转换为直角坐标方程为x −√3y −2=0．将直线的方程转换为参数方程为{x =2+√32t y =12t（t 为参数），代入34x 2−34y 2=1得到3t 2+12√3t +16=0（t 1和t 2为P 、Q 对应的参数），所以t 1+t 2=−4√3，t 1⋅t 2=163，所以1|MP|+1|MQ|=|MP|+|MQ||MP||MQ|=|t 1+t 2||t 1t 2|=3√34． [选修4-5：不等式选讲]已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy <1，证明：|x +z|∗|y +z|>4xyz ； （2）若xyz x+y+z=13，求2xy ∗2yz ∗2xz 的最小值．【答案】证明：∵ x ，y ，z 均为正数，∴ |x +z|∗|y +z|＝(x +z)(y +z)≥2√xz ⋅2√yz =4z √xy ， 当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．又∵ 0<xy <1，∴ 4z √xy >4xyz ， ∴ |x +z|∗|y +z|>4xyz ； ∵xyz x+y+z=13，∴1yz+1xz+1xy=3．∵ yz +1yz ≥2√yz ⋅1yz =2，xz +1xz ≥2√xz ⋅1xz =2，xy +1xy ≥2√xy ⋅1xy =2， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号， ∴ xy +yz +xz +1xy +1yz +1xz ≥6，∴ xy +yz +xz ≥3，∴ 2xy ∗2yz ∗2xz ＝2xy+yz+xz ≥8， ∴ 2xy ∗2yz ∗2xz 的最小值为8． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）利用基本不等式可得|x +z|∗|y +z|≥2√xz ⋅2√yz =4z √xy ，再根据0<xy <1时4z √xy >4xyz ，即可证明|x +z|∗|y +z|>4xyz ；（2）由xyzx+y+z =13，得1yz +1xz +1xy =3，然后利用基本不等式即可得到xy +yz +xz ≥3，从而求出2xy ∗2yz ∗2xz 的最小值． 【解答】证明：∵ x ，y ，z 均为正数，∴ |x +z|∗|y +z|＝(x +z)(y +z)≥2√xz ⋅2√yz =4z √xy ， 当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．又∵ 0<xy <1，∴ 4z √xy >4xyz ， ∴ |x +z|∗|y +z|>4xyz ； ∵ xyzx+y+z =13，∴ 1yz +1xz +1xy =3．∵ yz +1yz ≥2√yz ⋅1yz =2，xz +1xz ≥2√xz ⋅1xz =2，xy +1xy ≥2√xy ⋅1xy =2，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴xy+yz+xz+1xy +1yz+1xz≥6，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy∗2yz∗2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy∗2yz∗2xz的最小值为8．。